高二数学导数的运算知识点梳理

导数的运算

知识点梳理

高二（下）数学

25.2导数的运算

一、基本初等函数的求导公式

基本初等函数的导数公式

原函数导函数

f(x)=c(c为常数)r(x)=q_

f(A)-xft,(ueQ,且咛0)f(x)=axa-1

f(x)=sinxf(x)=cosX

f(x)=cosXf(x)=-sinx

f(x)=ax(a>0且a*)f(x)=axlna

f(x)=exf(x)=e^_

l

f(x)=logaX(a>0,且降1)f(x)=xlna

1

f(x)=lnxf(x)=7

注意点：对于根式f(x)J$,要先转化为f(x)=,所以f(x)=㈣.二t.

n

二、导数公式的应用

由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点

处的导数.

三、利用导数研究曲线的切线方程

(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况

①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数;

②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.

⑵求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤

年)—►；隹由切石巫麻(%»,“)；

@——3…•南五及子包;京二丁工拓二£17

由—J至大至万西孑忌:策而;二《荐百咫孑用

四、f(x)±g(x)的导数

两个函数和或差的导数：rf(x^g(x)1>=f(x)4-gf(x).

注意点：推广Ifl(x)士f2(x)士…士fn(x)『二f/(x)士f2<x)±...士fn，(x).

反思感悟两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别

利用导数的运算法则即可.

五.4n《(的钙s

1.[f(x)g(x)]/=f(x)g(x)+Rx)g,(x),特别地,rcax)r=cr(x).

I>'C>11•<IO

2(------------------------------(0*0)

..ux

注意点：注意两个函数的乘积和商的导数的结构形

式.六、导数四则运算法则的应用反思感悟：

(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转

化，从而转化为这三个要素间的关系.

⑵准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准

确.

(3)分清“在某点"和"过某点，'导数的不同.

七、复合函数概念的理解

复合函数的概念：一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),妇果通过中间变量u,y可以

表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).

注意点：内、外层函数通常为基本初等函数.

八、求复合函数的导数

复合函数的求导法则：一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它

的导数与函数y=f(u),u=时)的导数间的关系为y'x=也皿，即y对X的导数等于y0u

的导数与U对与的导数的乘积.

注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函

数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.

九、复合函数的导数的应用

将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导致反映了函数在该点的瞬时

变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.

但|经典例题

考点一初等函数求导

3

【例1】求下列函数的导数.

(l)y=x2sinx;

(2)y=lnx+-x；

(3)y=2x3-3x2+5x-4.

i11,

【答案】(l)y'=2xsinx+x~cosx(2))，'三x^x2(3)/=6x~-6

x+5【解析】(1)y=x2sinxy'=2xsinx+x2cosx

,£1_1

(2)y=lnx+-X「xf2

(3)y=2x3-3x2+5x-4xy*=6X2-6X+5

【练1】求函数y=f(x)=x+x在下列各点处的导数.

(1)X=XO；(2)x=l；(3)x=-2.

【答案】2]

(1)-p+1(2)-1(3)y

o

【解析】'-/Cv)=+x,.•./'(x)=-+.

7T

(I)当x=xo时，r(x)=—-+.

⑵当x=l时，尸()=—+=-.

⑶当x=-2时，/(一)—一行"十=

考点二复合函数求导

2

【例】•求下列函数的导数：

(l)y=e2v;(2)y=(-.v).

【答案】⑴2.”；(2)-9(1-3x)2或)，'=-8盘2+544-9

【解析】(l)y,=e2v-(2x)'=e2A-2=2e2v;

x

⑵y，=(一X)-x=-).或尸=-81”+54/-9.

2

【练】求下列函数的导数：

(l)y=cos31r

4

⑵工工”，

2x_

【答案】⑴)；=-3sin3；(2)>'=evxn-(A+H)

(l),y=cos£二任公L二

33⑴33

(2),/y=xnex,y=nxn~ex+xnex=exxH~(x+〃)

考点三求导数值

【例3】.已知函数f（x）的导函数为f（x）,且满足/（x）=3旷'⑴+lnx,则八1）=

A.-1B.±C.-1D.e

22

【答案】A

【解析】‘九）=矿（）+“，求导得rG）=r（）+"则"）=/‘（）+

解得/'（）=—.

故选：

A.

【练3】已知小）=x,则/。+©）-/（1）=（）

Ax

A.cos2xB.-cos2xC.2cos2vD.-2cos2x

C

【答案】

【解析】由小&+4?-小）二尸々）=（.）.=乩故选：c.

考点四求切线方程

X

【例4】曲线y=x-2在点()处的切线方程为

A.y=-2x+lB.y=-3x+2C.y=2x-3D.y=x-2

【答案】

A

【解析】），=--的导数为"二-------7,

-x-2（1-2）2

可得曲线y=一三在点（-）处的切线斜率为攵=y'|i=-2,

X

所以曲线），=x-2在点（）处的切线方程为y+1=-2（4-1），即y=-2x+l,故选A.

【练4】曲线)，=皿在点()处的切线方程为.

【答案】x-y=O

【解析】因为=〃工一城，所以切线斜率攵=7()=,

所以曲线/(、)="x在点()处的切线方程为：x-)，=o.

故答案为：x-y=O

考点五利用切线求参数

【例5】已知曲线>，="(点-x)在点(他)处的切线方程为)，=h，则(=()

A.-1B.0C.ID.e

【答案】D

MM.i>XI•••X••••►•X••

y=fx=ear-x'()

所以,f'()=ea-e,

因为曲线.v=ex(at-x)在点(ae)处的切线方程为)，=kx,

所以该切线过原点，

所以/'()=ea-e=〃e,解得"I,

即Z=e.故选：D.

f(+©_/()

【练5】已知函数/•(%)=m-1+，若一------1——，则实数。的值为

AsAx

()..-1-2

A2BICD

【答案】

A

【解析】根据题意，函数/(x)=ax-x+,

其导数((x)=ax-，则/'()=ci-,

f((\

又由一------：----□=，即/'()=a-=，解可得。=2；

Ar-Ax

故选：A.

g延伸练习

I.某物体的位移“米J与时间H杪的关系为=5-2+32,则该糊体在2秒末的瞬时

速度是（）

A.12米/秒B.10米/秒C.8米/秒D.6

米秒

【答案】B

【考点】导数的运算

【解析】由=5-2+32可得：=-2+6

2-246X2-W米秒,

故答案为：B.

【分析】利用位移的导数就是瞬时速度、求出S，,令I=2求解即可.

工令I♦】户】,.4*»♦-4

2>>420）9dX3042O2Dan-（

A2019■J«',B.2019-2*a

【答案】c

【考点】导数的运算，二项式定理的应用

【II析】M由“可JC..1-加】。，对《♦I）2020-14

“8»»*+w:iitw(€R)Wlt.

两边分别求号可得：2020(1+产019=2+23+3|2+-+2020202120,9,所以,2020(1+)2019=2+23+342+-+202020212019

令二i,何：20aM2+Z3+“+20192020W21,

故答案为：C.

【分析】根据题意首先对函数求导整理化简，再对X赋值计算出结果即可。

3.殖窗数（）=-+M-—-«■<*>-*，则实数等于（）

A.一B._<.-

【答案】A

【考点】导数的运算

【丽•••（）=_+ln-二.A（>-,+2.+」,

7

所以(1)=一+1+2=1,解得

【分析】根据题意求出函数的导函数再把数值X=1代入到导函数的解析式计算出结果即可。

4.(tan)'=()

।

c.

【答案】D

【考点】导数的运算

故答案为：D.

【分析】根据导数的除法运算法则，导数的运算公式即可得到结论.

5.()=2cos+4an,则(0)=----------

【答案】6

【考点】导数的运算

【解析】1-•'()=2cos-2sin+4<os=6<os-2sin.

A"(0)-6<E0.6.

故答案为：6

【分析】利用导数公式求出f(x),代入x=0计算.

6.已定由傲()=ln[2+1)J慵敛()的定义域为；()的坪的数

()-«

(££]12,+8)；2#-----------

【考点】函数的定义域及其求法，导数的运算

Ut析】IT因为7♦】><>,所以>-1.

()=(2+1)-2

awx力<-

(尔可得金效。的电义・IMR号刖M城西H.

8

7.已知()=ln(5+2)，()是()的铜01则〈)

【答案】1

【考点】导数的运算

(却】(h'•一.,(J)LiE.

故答案为：1

【分析】先对函数求导，再代入值即可求出,二)•

».»«<)-的导函数()---