高考数学总复习专项突破一 函数与导数在高考中的热点题型

专项突破一函数与导数在高考中的热点题型

函数与导数作为高中数学的核心内容,是历年高考的重点、热点,试题主要以解答题的形式

命题,属于压轴题目.高考中函数与导数常涉及的问题主要有：（1）研究函数的性质（如单调性、

极值、最值）；（2）研究函数的零点（方程的根）、曲线的交点；（3）利用导数求解不等式问题（证明

不等式、不等式的恒成立或能成立求参数的取值范围）.

备考时要熟练掌握导数的基本知识和技能,如导数的计算与几何意义,利用导数研究函数的

单调性、极值和最值，在此基础上掌握难点问题的常用方法，如利用导数研究函数的零点问题的

方法、解决不等式问题的方法等.

题，导数与不等式的证明

典例1（2020课标H理,21,12分）已知函数f（x）=sin'xsin2x.

（1）讨论Mx）在区间（0,无）的单调性；

（2）证明："（x）|W学；

8

(3)设liE;siII2ASiII22ASiII24A-••sin22

答题规范答题过程

第一步:求导函

解析（l）f'（x）:cosx（sinxsin2x）+sinx（sinxsin2x）z

数F，（X）,然后

=2sinxcos胚in2A+2sin'^cos2x

解不等式

=2sinxsin3工

〃（力＞0和

当xe（0,0U管㈤时，广⑶＞0；当X6&,y）时，广㈤V0.所以f（X）

L5）＜0,讨论

在区间（0,富得，/r）单调递增,在区间（g,g）单调递减.

函数人力在区

间（0,兀）的单调⑵证明:因为f（0）=f（宽）=0,由⑴知,f（x）在区间［0,的最大值为

性，得4分；49=不，最小值为/（g）=-手•而/（X）是周期为n的周期函数，故

第二步:根据（1）

的结果求f（x）

（3）证明:由于（sin2xsin'2jr・・sin'2''x）5

在区间［0,句的

最大值和最小=Isin，si1？2彳…siiT'2"x|

值,证明不等式,=|sinx||sin、sin'2x…sin2Txsin2nxsin'2"x|

得4分；=|sinx||f(x)F(2x)…f(2"x)||sin2r'x

第三步:把要证W|f(x)f(2*A・，(2k，)I,

的不等式变形，2n

所以sinxsin22A…sin'2"xW(苧)$=

利用⑵的结论

证明不等式，得

4分

♦方法归纳

证明不等式通常需要构造函数，利用函数的最值、单调性证明.

(1)证明不等式一般转化为利用导数求函数的值域问题，然后结合放缩法证明；

(2)证明含有两个变量a,6的不等式时，一种方法是通过变形构造不等式然后利

用函数/'(>)的单调性证明，另一和方法是通过换元构造单变量不等式.

衽将应用］

(2020山西大学附中高三模拟)已知函数F(x)=xsinx+cosx.

⑴若(0,2/)，求函数F(x)的极值；

⑵若x>0,记x,为f(x)的从小到大的第式0)个极值点,证明*+汽+或+…+,vt到2

2,〃EN").

解析(1):F(x)=xsinm*cosx,0<K2n,

fz(x)=sin肝*cos尸sin户xcosx,0<K2n.

令f'(x)=0,则襟或％=y,

.••当0<底；或多<x<2丸时，U(必)0;

当(x)<0,

・•・/〃)在(0,*管,2同上单调递增,在&方上单调递减，

:.当桔时，/'(力取得极大值,F(x)极大值=造)=］；

当行当时，f(x)取得极小值，f(x)技小的=《引=-y-

(2)证明：・・・乂为f(x)的从小到大的第个极值点，

令F'(x)=0,x>0,:.x尸⑵J：/£N：

・・彳-(2f-l)2ir2〈筱X⑵-1),-1一市X2i⑵-2)—正X(H，22,，£M.

•胃+3+£+…+*<专］(禺)+(泊)+(冷)+…+(=.)］

题型目根据不等式求参数的取值范围

典例2(2020新高考I,21,12分)已知函数f(x)=ae^~ln/lna.

(1)当fe时，求曲线片F(x)在点(1,/W)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若/*(*)21,求a的取值范围.

答题规范答题过程

第一步:求曲线看八>)在点解析人X)的定义域为(0,+8),〃(才)二疣

X

(l,f(D)处的切线方程，得2

⑴当a=e时，/Xx)=e'Tn户1,f'(l)=eT,曲线尸f(x)在点

分；

(1,f(D)处的切线方程为广(e+l)=(eT)(『l),

第二步:求切线与两坐标轴围

即j=(e-l)A+2.

成的三角形的面积，得2分；

直线产(e-1)外2在x轴,y轴上的截距分别为言,2.

第二步：证明当0<a<1时不满

因此所求三角形的面积为二.

足题意，得2分；e-l

(2)当0<水1时，/W=a+lnXI.

第四步：当行1时，求/*(*)的

当a=l时，A^)=eAl-lnx,f'(x)=e"」.当(0,1)

最小值，证明其最小值大于等x

于1,得4分；时,(x)<0;当xW(1,+8)时,f，(力>0.所以当下1时,f(力取

第五步：当&>1时，利用放缩得最小值,最小值为Al)=l,从而f(x)21.

法证明f(x)21,得1分；当力1时，F(x)-aer」ln产Ina^er'-Inx»l.综」一，a的取值范

第六步:总结归纳，得到参数围是口，+8).

a的取值范同得1分

♦方法归纳

由不等式恒(能)成立求参数的取值范围常用两种方法：

(1)讨论最值:先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相

应的含参不等式，求出参数的取值范围；

(2)分离参数：先分离出参数，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.

宜移应用I

[2021年1月“八省(市)联考”]己知函数/:e'-sin『cos>,g(x)=e'+sin户cosx.

⑴证明:当x>号时,F(x)20;

4

⑵若g(x)22+ax,求a.

解析⑴证明:f(x)=e'-y/2.sin(%+*x>-乎，

当时,4七(_Jl，0〕，sin(%+q)W0,eA>0,

则f(x)>0,

当时，f，(x)=e'-cosesin广e"+&sin令。(x)"，(x)=e,+&sin1-：),

则力’(x)=eT+V2cos(%-3)>V2cos[x~：)>(),

所以4J)在(q,9上递增，即f'3在(T：)上递增，又f"0)=0,所以0)时，

「(必<0;回0,：)时，U)>0,

因此f(x)在(-：，0)上递减,在(0,上递增，

所以才£(一不?)时，f(x)2f(0)=0；

当曲+8)时,f(x)=eT—\/2sin(x4->e*—V2>ez-V2>0.

综上，当x>与时，f(x)20.

4

⑵令77(x)=e1+sinJV+COSx-ax-2,F(x)20,则以力啪“2。，

又£(0)=0,所以6(x)在R上的最小值为H0),

A'/(%)=e*+cos尸sin尸a,令6(x)=e'+cos尸sinx-a,

G'(x)=e"-sin『cosx=f(x),由⑴知x>-纪时，G'(x)20,

4

所以G(x)在(-及+8)上递增,G(0)=2-a,

①Q2时，G(0)<0,G(l+lna)=a(eT)+或(cosl+Ina+^)>e-1-V2>0,

故G(x)在(0,1+lna)上存在零点，设为汨，

xR(0,而)时，G[x)<0,即尸'(/)<0,贝I」"))在(0,击)上递减，

所以A(x,)<A(0)=0,与题意不符,舍去；

②。<水2时，6(0)>0,G(-n)=e*-l-a<0,

故G[x)在(-"，0)上存在零点，设为必，

(物0)时，G&)>0,即F'(x)>0,则F\x)在(M,0)上递增,

所以尸(M)〈尸(0)=0,与题意不符，舍去；

③aWO时,=e—n-1+泉?~2<0,舍去；

④炉2时,G(0)=0,则(-乎，0)时,GJ)<0,(0,+8)时,G(而>0,

即(-斗，0)时,尸(X)<0,(C,+8)时，F'3>0,

所以尸(x)在(-弓，0)上递减，在(C,+8)上递增，

所以xe(-乎+8)时，尸(X)2网o)=o,

又YG(-8,一.]时,//(x)=e'+VIsin(%+：)-2x-2>-V2+彖2>0,所以行2时，尸(x)20.

综匕a-2.

整型目利用导数研究函数的零点

典例3(2020课标HI理,21,12分)设函数f(x)=V+b广G曲线片F5)在点G，/©))处的切

线与y轴垂直.

⑴求b\

(2)若八＞)有一个绝对值不大于1的零点，证明：/6)所有零点的绝对值都不大于1.

答题规范答题过程

第一步:利用解析⑴『(x)=3V+b.

依题意得f'仁)=。，即“人=。故人=一提

曲线产/'(*)\2/44

在点⑵证明：由⑴知f(x)=x~^x+c,fz(x)=3x2-*

(打⑨处

令(x)=0,解得产4或％=今

的切线的斜尸(x)与-(力的情况为:

率等于0求bX(一8,一)-(-,)(,+OO)

的值,得2

f'(X)+0-0+

分；

f(x)Zc+、u-/

第二步:利用

因为"1)=/(')=C+：,

导致研究函

所以当*一时，Ax)只有大于1的零点.

数f(x)的单

调性,得4因为A-D=/(1)=C-所以当c＞轲，f(x)只有小于T的零点.

分；由题设可知-

第三步:根据

当时,/(%)只有两个零点和1.

函数的单调

当U时JQ0只有两个零点-1和"

性确定。的q/

当£VC时，/㈤有三个零点xl/2,x3,且xlE(-1,-1),X2e(-1,^),x3e

取值范围，得

2分；

第四步:根据综匕若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于

c的情况分类1.

讨论零点的

个数及取值

范围（或值），

得2分；

第五步:证明

结论,得2分

♦方法归纳

利用导致研究函数的零点，一是利用导致判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二

是将零点问题转化为函数图象的交点问题，结合函数的极值利用数形结合来解决.

衽移应用I

（2020安徽淮北一中高三月考）已知函数/G）音（AH）2（a>0）,g（x）51nx,设网>）=〃%）-以*）.

（1）求产（%）的极值点;

⑵若ae（1,e）,求4）的零点的个数.

解析（1）由题意可知，尸（力甘（尸1）2-代In乂定义域为（0,+8）,

则广，3%（『1）一定=-2=^^,

XXX

当齐1时,“'320'/J）在（0,+8）上单调递增,无极值点；

当0<水1时，河X）在（0,1）上单调递增，在（1,J上单调递减,在+8）上单调递增，

故回（X）的极大值点为1,极小值点为上

a

当ai时，〃⑺在（0,3上单调递增，在c，i）上单调递减，在（1,18）上单调递增，

故F（x）的极大值点为二,极小值点为1.

a

⑵由⑴知，当1〈水。时,Hx）在（0,0上单调递增,在&1）上单调递减,在（1,+8）上单调递增，

所以4）的极小值为尸⑴=-1<0,网力的极大值为/（£）=：Q-l）2-；+lni=^-方Ina-1.

设仅a）=?-；Tn其中（1,e）,

2Za

则犷®e+右_；竺署1=*>0,

所以h3在(1,e)上是增函数,所以力(a)Q(e)三一；-2<0.

2ze

因为A(4)=^(4-l)2-4+ln4>|X9-4+In4=In4+1>0,

所以有且仅有1个不£(1,4),使得尸(所)=0,

故当KcXe时，尸(才)有且仅有1个零点.

I夯基提能作业

题型一导数与不等式的证明

1.(2020陕西西安高三一模)已知函数f(x)署+・若曲线尸/U)在点(l,f(D)处的切线方程

为广2广3=0.

⑴求ci,b的值；

⑵证明:当x〉。且+1时,/W詈

解析⑴…)喘口

/⑴=1,

由于直线外2厂3二0的斜率为且过点(1,1),故)=T

6=1,

即a_b__i解得疔1,HL

(2)证明：由(1)知f(x)当+=

x+1X

所以f(加詈=白(2段-亭)，

设/?(x)=21n且学1),

则犷=a=一印，

所以当杼1时，力'3<o,且力⑴=0,

故当xR(0,1)时,。(*)>(),得《)>空;

当(1,+8)时，力(力<0,得

x-l

综上,当x>0且#1时,f(x)>等

2.(2020江苏徐州模拟)己知函数f(x)=(尸1)Inx,g(x)=x~ln六?.

(1)求证：函数y=f(x)的图象恒在函数尸g(x)图象的上方；

⑵当0》0时，令方(x)二川f(x)+g(M,且函数力(x)有两个零点汨，及(汨〈用)，求证：汨-Y<e-±

e

证明(1)构造函数4Q)=/U)-双分rln『/+?(/>0),

e

则1(x)=ln^+l-l=lnX,令A，(x)=0,得产1,

.「£(0,1)时A'(x)<0,x£(l,+8)时『(x)〉0,

，Mx)在(0,I)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，

・1:(x)2A(1)=0-1号=%>0,即f(x)>gCr),故函数片/tr)的图象恒在函数*g(x)图象的上方.

(2)由题意知力(>)=/"(*)+以*)=/〃(尸1)In户kin六三,且函数力J)有两个零点，

e

当，力>0时，力，(x)二，Inx+1-+1—*

易知力'(力在(0,+8)上为增函数，且力'⑴=0,则当。£(0,1)时，力'(力〈0"("为减函数，当

(1,+8)时，力'(力〉0"(才)为增函数，.•.力(力■产力(1)=1、<0,

e

又/;(-)=mln-+--ln---=m+1-->0,/?(e)=/7?(e-l)+e-l-->0.

\e/\e/eeee\e/ee

，力(x)在G，1)和(1,e)上各有一个零点，分别为乂,用(汨〈及)，故版-汨&-；

3.(2020福建龙岩模拟)已知函数AA)=CM2-A1IIA.

(1)若函数Ax)在(0,+8)上单调递增,求实数a的取值范围；

⑵若a=e,证明：当x〉0时，f(x)<^er+-.

e

解析(1)由题意知，ff(x)-2ax-\x\x-1.

因为函数f(x)在(0,+8)上单调递增,所以当x〉0时，f'⑺20,即2a20.

令g(x)=q(x>0),

X

则g'(X)=-詈(x>0),

易知g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减,所以冢取片以1)=1,所以2a21,即a若.

故实数a的取值范围是畛，+8).

⑵证明：当a=e时，要证f(x)<xe'+-

et

只需证e『lnKev+—,

ex

即证eA^eXlnA+—.

ex

令》(x)=lnx+—(x>0),

ex

则/(x)=安(x>0),

ex2

易知力(x)在(0,J上单调递减，在Q,+8)上单调递增，

则力(x)1H产尼卜0,所以In产220.

再令0(x)=e『e',

则6'(x);e-e；

易知。(力在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

则0(入)皿=。(1)=0,所以e『e'W0.

因为方(x)与。(才)不同时为0,

所以eA-ex<lnA-I—,

ex

故原不等式成立.

4.(2020河北石家庄模拟)已知函数f(x)=ln(产a)-加,g(x)=(川T)e'+*a(a,R,e为自然对

数的底数)，且曲线f(x)在点(1,f⑴)处的切线方程为尸-*ln2.

(D求实数a,力的值；

⑵若x20,求证：f(x)Wg(x).

解析（1）由题可得/"（X）=；-26%

：.ff(1)^—f(l)=ln(l+a)-/>.

l+a

・•・以点(i,AD)为切点的切线方程为厂(1)(尸1),

即尸(士-2b)x-士+ZH4n(l+a).

-2匕=二，①

.)l+a2

+d+ln(l+a)=ln2,②

\l+a

由②得kin2Tn(l+a)+」—，

l+a

代人①得21n(l+a)-」-=21n2-

l+a2

又尸21n尸：为增函数，

/.a=l,b=^.

(2)证明：由(1)可知A^)=ln(^+1)-1^,式才)=6%2-1)0'+2鼾1,

令F'(x)=1n(户1)-52一4，

则lilllf，■//(x)\=--1--x-14=-■-#-(-X-+-2).

X+lX+1

当xW[0,+8)时，b(»W0,

・・・产5)w尸(0)=0,即111(户1)一%2这y

**.要证f(x)Wg(x),

即证ln(*l)<Qx2l)eri2xH,

只需证^^6%2-1b，+2G1,

即证(#-1卜+户120.

令,6(^)=Qx2-l)e'+x^l,[0,+°°),

贝ij力7(>):胎’+6》2—1)©丫+1,

令，(x)=力，(x)=xe'+Cx2_i)e，+i,

则，'(x)=e'+A,ev+^e'+Qx2-l)ex=2xex+，fe'20(当且仅当产0时,等号成立).

・・・〃(力=力'(力在［0,+8)上为增函数，・・・》(力23(0)=0.

工力(x)在［0,+8)上为增函数,

・・・力(*)20(0)=0,

即仁"2-1)/+廿120,

/.ln(A+l)-1x2<(3%2-1卜'+2户1,即f(x)《g(x).

题型二根据不等式求参数的取值范围

1.(2020河北邢台高三模拟)已知函数Ax)=A'.

(1)求/Xx)的单调区间;

(2)若不等式F(x)2〃4对任意xWR恒成立,求m的取值范围.

解析⑴F'(*)=3八'+1。三%，(/3),

令ff(%)>0,得加3,则/U)的单调递增区间为(-3,+8)；

令r(x)<0,得K-3,则F(x)的单调递减区间为(-8,-3).

综上所述，F(x)的单调递增区间为(-3,+8),单调递减区间为(-8,一3).

⑵当产0时，不等式fix)力加/即ON。,显然成立,所以m£R;

当d:0时，不等式f(x)即历Wx。'.

设g(x):xe'(xWO),则g‘(x)=GH)e；

令g'(>)<0,得%<-1;

令g'(x)>0,得x>T且挣0.

所以g(x)ni产g(T)=-X,所以辰」.

ee

综上，加的取值范围为98,一：］.

2.已知函数/(x)=lnx、g(x)=x+m,且F{x)=f(x)-g(x).

⑴若尸(力WO恒成立,求/〃的取值范围；

⑵已知由，X是函数P(x)的两个零点，且由〈用,求证：乂&<1.

解析(1)因为网x)=F(x)-g(x)=ln『六〃'(e0),所以〃'(*)三一1二?，

当%>1时,尸3他所以及力在(1,+8)上单调递减，当仅水1时，尸，(力〉0,所以“0在(0,1)

上单调递增,所以7•'(*)在后1处取得极大值，也是最大值,为-1-巴

若."(x)40恒成立,则-1-辰0,即

(2)证明：・・・0<水莅,

••生>1,

必

..jinx1-x1-m=0,

•(Inx2~x2~m.=0,

In距-及二ln汨-M,即Inx2-]n乂=及一小，

欲证汨%<1,只需证只需证In%Tn汨<华上1,

\fX\X2

只需证1盾<隹一叵

XiyjXiy]x2

设片器，则Z〉l,所以只需证21nt<

即21n广40(£>1),

设伏。=21n片£号(£>1),

则〃，⑺号一1一2二一誓<0,

・•・〃(力在(1,+8)上单调递减，

.,.MtXMD=21n1-1+1=0,

A21n广加:<0,

工原不等式成立.

3.(2020云南曲靖模拟)已知函数r(x)=e-a(x-1)-b,其中a,〃£R,e为自然对数的底数.

(1)讨论函数/tv)的单调性；

(2)若<i>0,函数八>)20对任意的x£R都成立,求学b的最大值.

解析⑴由题可得f'3=e".

①当aW()时，〃(»>(),F(x)在R上单调递增；

②当a>0时，令f'(x)=0,得A=lna,

当(-8,5a)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；

当(Ina,+8)时，f"(x)>0,F(x)单调递增.

(2)由函数F(x)20对任意的xGR都成立,得F(X),M20,

由⑴得/'(x)nin=f(lnci)=2ci~ciln

，Z>W2balna,

；•乔氏3balna,

设g(a)=3a-alnata>0,

.,.^z(a)=2-lna,

令g'(a)=2Tna=0,得Ina=2=个e[

当正(04)时,g'®>0,g®单调递增;

当分£储+8)时,〃⑸<0,g®单调递减.

.,.g(a)…=g(e')=e2,

，肝6的最大值为e2.

4.(2020安徽宿州模拟)己知函数F(x)=a尸eYaER),g(x)母.

(1)求函数F(x)的单调区间；

(2)若三才£(0,+8),使不等式A%)Wg(x)-e'成立,求a的取值范围.

解析⑴因为。(力=a-e",x£R,

所以当&W0时，ffUXO,f(x)在R上单调递减；

当a>0吐令ff(^)=0,得x=lna.

令A(x)>0,得/'(*)的单调递增区间为(-8jna);

令广(x)<0,得f(x)的单调递减区间为(Ina,+8).

综上所述，当时，f(x)的单调递减区间为(-8,+8),无单调递增区间；

当a>0时，娱力的单调递增区间为(-8,in力，单调递减区间为(Ina,+8).

⑵因为九W(0,+8),使不等式f(x)Wg(x)-e，成立,所以4后竽即W臂.

设伏x)号,则问题转化为

易得力'(x)=1：，；令力'(x)=0,得A=Ve.

当“在区间(0,+8)内变化时,/J(x),力(x)随x的变化情况如下表:

X(0,x/e)五(Ve,+°°)

hf(x)+0—

力(x)/极大值

由上表可知，当方加时，函数方(x)有极大值,也是最大值,为所以运｝.

2c2e

故a的取值范围是(-8,±].

题型三利用导数研究函数的零点

1.(2020四川眉山车城中学高三模拟)已知函数/U)=-7+ar-4.

(1)若F(x)在注处取得极值,求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，若关于x的方程f(x)二m在LT,1」上恰有两个不同的实数根,求实数勿的取

值范围.

解析⑴f'5)=-3―2时由题意得ff(3=0,解得炉2,经检验符合题意.

⑵由(1)知/U)7+2f-4,贝ljf:(»=-3"+4乂

令广(x)=0,得外0或后(舍去).

当X变化时，/(/),/.(/)的变化情况如下表：

X-1(-1,0)0(0,1)1

f'⑺—0+

f(x)-1X-4/-3

•・•关于X的方程f(x):初在[T,1]上恰有两个不同的实数根，，-4＜加忘-3,・••实数/的取值范围

是(-4,-3].

2.(2020安徽六安中学高三期末)设函数/U)=ln尸aAH,a£R.

(1)求函数〃¥)的单调区间；

(2)当a>0时,若函数f(x)没有零点,求a的取值范围.

解析(l)f(x)=ln则F'(才)上一a=、竺(入>0).

XX

①当aWOW,a)>0,/〃)在区间(0,+8)上单调递增.

f

②当a>0时，令f(x)<0,解得x>-a,

.•"(x)在G，+8)上单调递减；

令广(力〉0,解得o<xd,

a

・••/〃)在(o,3上单调递增.

综上所述，当aWO时，函数f(x)的增区间是9+8)；

当a>0时，函数F(x)的增区间是(0,》减区间是G，+8).

(2)由题意知函数f(x)没有零点，即fU)=ln七a尸1=0无解，由(1)知，当a>0时，函数F(x)在区

间(0,?上为增函数，在区间(；，十8)上为减函数，故只需/(3=11号—­；-1=-1"/2<0,解

得办》，实数Q的取值范围为(>+8).

3.(2020江西赣州适应性考试)已知函数/'(力=蛾°-幻11x,f(x)的导函数为L(M.

⑴当〃尸1时，证明：函数r(x)在(0,+8)上单调递增；

⑵若以X)=F'(X)-/新1,讨论函数g(x)零点的个数.

解析(1)证明：当炉1时，f(x);e~-xlnx(x>0),

/.fz(zT)=erl-ln尸1,令人(x)=f'(x)=『1,则力'(x)二小-：，

当xQ(0,1)时"(力<0,力(⑼单