第4章 平行四边形 单元测试【含答案】

平行四边形单元测

答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

I.（3分）一个正多边形的内角和为540。，则这个正多边形的每一个外也等于（）

A.108°B.90°C.72°D.60°

【分析】首先设此多边形为〃边形，根据题意得：180（〃・2）=540,即可求得〃=5,

再由多边形的外角和等于360°,即可求得答案.

解：设此多边形为〃边形，

根据题意得：180（«-2）=540,

解得：〃=5,

.••这个正多边形的每一个外角等于：飨二-=72°.

5

故选：C.

【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.注意掌握多边形内角和定理：（〃

・2）・180°,外角和等于360°.

【分析】根据中心对称图形的概念求解.

解：A.此图形不是中心对称图形，不符合题意：

B.此图形是中心对称图形，符合题意：

C.此图形不是中心对称图形，不符合题意：

D.此图形不是中心对称图形，不符合题意；

故选：B.

【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度

后两部分重合.

3.（3分）如图，在平行四边形A8C。中，A8_LAC,若48=8,AC=12,则的长是（)

A.22B.16C.18D.20

【分析】由四边形八3C。是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA

的长，然后由A8J_AC,AB=S,OA=6,根据勾股定理可求得的长，继而求得答案.

解：：四边形A8C。是平行四边形，AC=\2,

：.OA=1AC=6,80=208,

2

'：ABLAC,48=8,

OB=yj82+62=I。，

：.BD=2OB=20.

故选：O.

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用.熟记握平行四边形的对角

线互相平分这一性质是解题的关键.

4.（3分）如图，/XABC中，。、E分别是BC、AC的中点，B尸平分NA8C,交DE于点、F,

若AB=10,8C=8,则"的长是（）

A.立B.1C.立D.1.5

82

【分析】根据三角形中位线定理得到。DE=LB=5,根据平行线的性质、角

2

平分线的定义求出计算即可.

解:•・•£＞、E分别是6C、4。的中点,

：.DE//AB,OE=LB=5,BD=2BC=4,

22

:.NABF=NBFD,

•••8尸平分NAHC,

:.ZABF=/DBF,

:.NDBF=/BFD,

：.DF=DB=4,

：.EF=DE-DF=\,

故选:B.

【点评】本题考查的是角平分线的定义、三角形中位线定理，掌握平行线的性质、角平

分线的定义是解题的关键.

5.（3分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则NABC等于（）

A.30"B.35°C.45°D.60°

【分析】利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断六边形花环为正六边形，根据

多边形的内角和定理可计算出NA8O=120”，然后把N48D减去90°得到NA8C的度

数.

解：如图，

•・•六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，

...六边形花环为正六边形，

62）X180。=120。,

6

而NC8O=NR4C=90°,

AZABC=\20°-90°=30°.

故选：A.

【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：（〃-2）・180""23且“

为整数）：多边形的外角和等于360。.

6.（3分）如图，在△ABC中，点。、E、6分别是各边的中点,若△ABC的面积为16cm2,

则△/冗产的面积是（）cm1.

A.2B.4C.6D.8

【分析】根据三角形中位线定理证得。"〃BE,DF=BE,推出四边形8EF。是平行四边

形,进而证得△BOEgAFED,同理证得△BDEg/XDA/名即可求出^

DEF的面积.

解：•••点。、”分别是A8,AC的中点，

：.DF//BC,DF=^BC,

2

：.DF//BE,

•・,£是8c的中点，

：.BE=^BC,

2

：.DF=BE,

・•・四边形BEFD是平行四边形，

:・BD=EF,

在△BOE和△FED中，

BE=DF

<BD=EF，

DE=ED

:.ABDEqAFEDCSSS),

同理可证△»!尸色AEFC^AFED,

即△BOE0ADAF^AEFC^/IFED,

2

SADEF=-1SA4BC=—X16=4(c/n),

44

故选：B.

E

B

D

【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的性质和判定，三角形的面

积等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键.

7.（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

A.正方形B.期形C.菱形D.平行四边形

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

解.：A、B、。既是轴对称图形，也是中心对称图形；

。、不是轴对称图形，只是中心对称图形.

故选：D.

【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对

称图形的认识.

8.（3分）如图，下列四组条件中，不能判定四边形A5C。是平行四边形的是（）

A.AB=CD,AD=BCB.AB//CD,AB=CD

C.AB=CD,AD//BCD.AB//CD,AD//BC

【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可.

解:人、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形A8CO为平行四边形,

故此选项不合题意：

B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形A8CO为平行四边形,

故此选项不合题：

C、不能判定四边形A8CO是平行四边形，故此选项符合题意：

。、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形A8CO为平行四边形，

故此选项不合题意：

故选：C.

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理.

9.（3分）如图，E尸是△A8C的中位线，BD平分NABC交EP于D,BE=3,DF=1,则

8C的长为（)

【分析】根据角平分线的性质得到NABO=NC8D,根据三角形中位线定理得到即〃BC,

BC=2EF,根据等腰三角形的判定定理求出EQ,进而求出E”，得到答案.

解：:/?。平分乙4BC,

:.NABD=/CBD,

•••石厂是△ABC的中位线，

：.EF//BC,BC=2EF,

：,/EDB=/CBD,

：./ARD=/EDR.

：,ED=EB=3,

:.EF=ED+DF=4,

：・BC=2EF=8,

故选：O.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质、掌握三角形的中位线平行于

第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

10.（3分）如图，在平行四边形A8CD中，对角线相交于点0,AC=AB,E是A8边的中

点，G、尸为8c上的点，连接OG和E/，若A8=13,3c=10,GF=5,则图中阴影部

分的面积为（）

A.48B.36C.30D.24

【分析】连接£O,EG,OF,依据£0是△ABC的中位线，即可得出E0〃8C,

2

BC=5,进而得到四边形EOFG是平行四边形，据此可得S阴物吩=S“O£+S&EO/,+S"x;/，

=S；\AOE+S八EOB=S,\ABO，求得△480的面积即可得出结论.

解：如图所示，连接E0,EG,OF,

•・♦平行四边形ABC。中，对角线相交于点0,

，0是AC的中点，

又YE是A8边的中点，

，E0是AABC的中位线，

:.EO〃BC,EO=—BC=5,

2

又,：GF=5,

,EO=GF,

・•.四边形EOFG是平行四边形，

S^EOP+S^t-GP=却四边形EOFG=S^EOG>

又,：E0//BG,

:•S3EOG=S3EOB,

•*.SziEOP+S"GP=SdEOB，

==

S阴影他分=S^.AOE+S^.EOP+S^FGPSi\AOE+S^EOBS^ABOf

*：AC=AB=\3,8c=10,

.・.等腰△ABC中8。边上的高为小京币=12,

.,.SA4BC=-I-X10X12=60，

乙

:0是AC的中点，

S^BO=XSM£JC=—X60=30,

22

.・.阴影部分的面积为30,

故选：C.

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质的运用，解题

时注意：平行四边形的两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分.

二.填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

11.（4分）若一个正〃边形的每个内角为144°,则这个正〃边形的所有对角线的条数是一

35.

【分析】由正〃边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于〃的一元

一次方程，解方程即可求出〃的值，将其代入".-3）中即可得出结论.

2

解：••・一个正”边形的每个内角为144°,

I44H=I80X（n-2）,

解得：〃=[0,

这个正〃边形的对角线的条数是：n（n-3）=10>£7=：35（条）.

22

故35.

【点评】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正〃边形的

边数,难度小大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是

关键.

12.（4分）如图，在平行四边形A8C。中，E、厂分别是A8、。。上的点，请添加一个条件，

使得四边形为平行四边形，则添加的条件是一“C=AE（答案不唯一,添加一个

即可）.

【分析】根据平行四边形的性质可得OC=AB,DC//AB,添加〃C=AE,即可得。〃=

BE,进而可得结论.

解：•・•四边形A3CO平行四边形，

:・DC=AB,DC//AB,

\'FC=AE,

：,DF=BE,

'：DF//BE,

.・・四边形EBF。为平行四边形.

故FC=AE.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判

定与性质.

13.（4分）如图，在△ABC中，点。，E分别是边八&AC的中点，高AH交DE于点F,

若人〃=2,则人尸的长为1.

【分析】根据三角形中位线得出4/=工4从解答即可.

2

解：•・•在△ABC中，点。，E分别是边A8,AC的中点，

...OE是△A8C的中位线，

■:高AH交DE于点、F,A〃=2,

：.AF=^AH=\,

2

故1.

【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线得出解答.

2

14.（4分）图中是两个全等的正五边形，则Na=108°.

【分析】先求出正五边形各个内角的度数，再求出N8CO和NBOC的度数，求出NCBD,

即可求出答案.

•.•图中是两个全等的正五边形,

:・BC=BD,

:.NBCD=/BDC,

•••图中是两个全等的正五边形，

・••正五边形每个内角的度数是（5-2）义180°=]08。,

5

••・N8CD=N8OC=180°-108°=72°,

AZCfiD=180°-72°-72°=36°,

.*.Za=360o-36°-108°-108°=108°,

故108°.

【点评】本题考查了正多边形和多边形的内角和外角，能求出各个角的度数是解此题的

关键.

15.（4分）如图所示，团。EFG顶点分别在△A5C的三边上，若BE=BD,CF=FG,/GDE

=64°,则NA的度数为96°.

【分析】由题中条件可得ZC=ZCGF,注而再利用外角的性质及平行

四边形对角相等，即可得出结论.

解：・：BE=BD,CF=FG,

:"BED=/BDE,NC=NCG凡

丁四边形DEFG是平行四边形，

:・/EFG=/GDE=M°,DE//FG,

,:NEFG=ZC+ZCGF=2ZC

/.ZC=32°,

■:DE//FG,

:.NBED=NEFG=64",

:.NBDE=64",

.*.Z«=I8O0-64°-64°=52°,

Z4=I8O0・32°-52°=96°.

故96：

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质以及三角形的内角和定理，

应熟练掌握.

16.（4分）如图所示，在平行四边形八8co中，48=3,BC=4,NB=60°,E是8C的

中点，EF上AB于点,F,则△/）£尸的面积为_平方单立.

【分析】根据平行四边形对边平行可得八B〃CD,再利用两直线平行，内错角相等可得

N8=NECG,根据线段中点的定义可得8E=C£然后利用“角边角”证明△3“和4

CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得8F=CG,再解直角三角形求出EF、BF,

求出OG,然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解.

解：如图，延长。C和FE交于点G,

在平行四边形ABC。中，AB//CD,

:.ZB=NECG,

IE为BC的中点,

••・BE=CE=28C=2X4=2,

22

在△小£：”和△CEG中，

2B=ZECG

•BE=CE，

ZBEF=ZCEG

工△BEF9ACEG(ASA),

：.BF=CG,

VZfi=60°,

：・NFEB=30°,

；.BF=LBE=I,

2

：.EF=y/3,

•；CG=BF=T,CD=AB=3,

.*.DG=CD+CG=3+1=4,

EFLAB,AB//CD,

ADGIFG,

SgEF=-EF*OG=2X%X4=2J3.

22

故2巫.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三

角形的面积，熟记各性质是解题的关键.

三.解答题（共7小题，满分66分）

17.（6分）如图，在平行四边形48CO中，对角线AC、8。相交于。点，过。作直线EF

分别交48、CD±E.厂两点，求证：BE=DF.

【分析】根据平行四边形的性质可得00=30,AB//CD,证明即可得

结论.

证明；在平行四边形A4CZ）中，DO=BO,AB//CD,

：・NOBE=NODF,

在△DO”与△BOE中，

2DOF=/BOE

<OD=OB，

ZODF=ZOBE

:.△DOF94BOE（ASA）,

：,BE=DF.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握平

行四边形的性质.

18.(8分)如图，在平行四逅形ABCD中，对角线AC和8。交于点0,点E、尸分别为

0A、。。的中点，连接DF、DE.

(1)求证：△ABE-CDF；

(2)若8/)=2",且48=10,CF=6,直接写出OE的长为一任

【分析】(1)依据平行四边形的性质，即可得到：AAB^ACDF：

(2)依据平行四边形的性质及BO=2AB,即可得出等腰三角形A3。和等腰三角形COO,

再根据等腰三角形的性质，即可得到N8E凡NOFE是直角，进而得到RdDE户和Rl

△BEO,即可得出OE的长.

解：(1),・,平行四边形ABCO中，对角线AC与8。交于点。，

：.AO=CO,

又,：点、E,F分别为0人、。。的中点，

：,AE=CF,

•.•四边形八8。。是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD,

:.NBAE=/DCF,

；.4ABEO2DF(SAS)：

(2)VA/^E^ACDF,

:・BE=DF,AE=CF,

\*BD=2AB,平行四边形ABC。中，对角线AC与8。交于点O,

：.AB=OB=OD=CD,

•.•AB=10,CF=6,

：.AB=OB=OD=CD=\0,AE=6,

,:AB=OB,点E、尸分别为OA、OC的中点，

：.BE±AO,DFLCO,AE=CF=EO=OF=6,

:・DF=BE=8,EF=\2,

在Rb^OEF中，

DE=VEF2+DF2=V122+85=4•

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质勾股定理，全等

三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全

等时，关键是选择恰当的判定条件.

19.(8分)如图，平行四边形A5CD中，点E是A。的中点，连接3芯并延长交C。的延长

线于点F.

(I)求证：△ABE/ADFE；

(2)连接CE,若BE平分NA3C,且当BC=5c/〃时，求EC的长.

【分析】(I)由线段的中点得到线段相等的条件,再由平行线的怦质得到角相等的条件，

即可证得△ABEg△。2E；

(2)由平行线的性质及角平分线定义，导出NC8/=N"，得到8C=R7,由(I)得8E

=FE,再由等腰三角形的性质得到/CE3=90°,由勾股定理求出EC的长.

(I)证明；如图，.••四边形43co是平行四边形，

：,AB//CD,

AZABE=^F,N4=NEO”,

又〈A"DE,

:•△ABEWADFE.

(2)・・・跖平分NA5C,

:.NABE=/CBE,

,:NABE=NF,

:.NCBE=NF,

:.CB=CF,

•••△ABEWADFE,

BE=FE=AX8=4,

22

:,CELBF,

AZBEC=90°,

/.EC=^/BC2-CE2=752-42=3(cw)*

・•・EC的长为3cm.

【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定以及勾股定理的应用，

难度不大，但仍为好题.

20.（10分）如图，团A8C。中，对角线AC、BD交于O,E、"分别是OA、OC的中点，连

【分析】根据平行四边形的性质可得OO=BO,AO=CO,由E、”分别是04、OC的中

点，可得。E=O凡证明ZXBOEg△OO凡可得N3EO=NDFO,进而可得结论.

证明；在团A3CO中，DO=BO,AO=CO,

•；E、尸分别是0C的中点，

：.OE=OF,

在△80E和△。0”中，

BO=DO

-ZB0E=ZD0F.

OE=OF

:.4B0E@4D0F（SAS）,

:・/BE0=/DF0,

:.BE//DF.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握平

行四边形的性质.

21.（10分）如图，已知平行四边形ABC。，48VA。，点E在A。上，直线CE交8A的延

长线于点尸，且

(1)用尺规确定点E,F的位置；

(2)若N4BC=90°,AB=4,BC=6,求ZXAE尸的面积.

【分析】(1)根据平行四边形的性质，以点8为圆心，8C长为半径画弧交的延长线于

点凡连接CF交A。于点E即可：

(2)结合(1)BF=BC=6,AF=AE=BC-AB=2,根据NA8C=90°,即可求出△AEE

的面积.

解：(1)点E,尸的位置如图：

(2)在平行四边形ABCO中，AD//BC,

:.Z1AEF=/BCE,

'：^EFA=^FEA.

:・NEFA=/BCE.

：.BF=BC=6,

•.•人8=4,BC=6,

；・AF=AE=BE-AB=BC-AB=2,

若/A8C=90°,

•••/雨E=90°,

•••△4E/的面积=工乂4?4尸=工X2X2=2.

22

【点评】本题考查了平行四边形的性质，作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握平行

四边形的性质.

22.（12分）（1）如图1我们称之为“8”字形，请直接写出/A,NB,ZC,/。之间的

数量关系：

（2）如图2,Nl+N2+N3+N4+N5+N6+N7=540度:

（3）如图3所示，已知N1=N2,Z3=Z4,猜想N&NP,N。之间的数量关系，并

证明.

【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出NA+NO=/C+NB；

（2）Z6,N7的和与N8,N9的和相等.由多边形的内角和得出答案即可;

（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得Nl+NO=NP+/3@,N4+NB=N2+NP@,

由已知条件Nl=/2,Z3=Z4,将①+②，可得2NP=/O+N8.

解：(1)如图1,•.•NA+/8+N/lOB=NC+ND+NCOO=180°,ZAOB=ZDOC,

:./A+N8=NC+N£＞：

（2）VZ6,N7的和与N8,N9的和相等,

...Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=ZI+Z2+Z3+Z4+Z5-Z8+Z9=540°,

故540.

(3)如图3,由图知，Z1+ZD=ZP+Z3①，Z4+ZB=Z2+ZP@,

VZ1=Z2,N3=N4,

①+②得：

Z1+ZD+Z4+ZB=ZP+Z3+Z2+ZP,

即2NP=NO+N8.

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移

能力.(1)中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律:(2)(3)直接运用“8

字形”中的角的规律解题.

23.(12分)在四边形A8C。中，O在其内部，满足NA8O=2NA8C,NOCO=2/OC8.

nn

(I)如图1,当〃=2时，如果NA+/O=260°,直接写出如。的度数130°；

(2)当〃=3时，M、N分别在45、。。的延长线上，BC下方一点P,满足NCBP=2

4PBM,NBCP=2/PCN.

①如图2,判断NO与/尸之间的数量关系，并证明你的结论；

②如图3,延长线段8。、PC交于点Q,ABQP中,存在一个内角等于另一个内角的2

倍，直接写出/A+ND的度数为225°或18或

【分析】(I)首先根据四边形的内角和及角平分线的定义，求出NOBC+NOCD,进而根

据三角形的内角和定理即可求解：

(2)①首先由已知求出NOBC=2NABC,/PBC=2/MBC,根据平角的定义得出N

33

PBO=ZPBC+ZOBC=^X180°=120°,同理NPCO=120°,根据四边形的内角和

3

定理即可求解；

②在△BQP中，由①得NPBQ=120°,根据题意分四种情况进行