北师大版九年级数学暑假预习成果测试卷（第1-4章）

一、单选题

1.若3%=2），（），工0）,则下列比例式成立的是（）

A==2B.白mC.2=2DT=2

3，23x33x

【答案】B

【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解.

r2

【解析】解：A、由弓=二得，-，=6,故本选项比例式不成立；

B、由5=］得，3X=2），，故本选项比例式成立；

C、由2=］得，2x=3y,故本选项比例式不成立；

x3

D、由与=2得，切，=6,故本选项比例式不成立.

3x

故选：B.

【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键.

2.点C为线段AB的黄金分割点（AC>8C）,且42=2,则AC的长为（）

A.2x/5-2B.V5-2C.逐-1D.3-石

【答案】C

【分析】利用黄金分割点的概念即可求出AC的长度

【解析】解：根据题意得：江=垦二

AB2

；.AC=^^AB=^^x2=非一1，

22

故选：C.

【点睛】本题考查黄金分割定理，解题关键是掌握黄金分割定理的概念：把一条线段分成两部分，使其中

较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值为史二1,叫黄金

2

分割比.

3.关于x的一元二次方程加-2x+l=0有两个不相等的实数根，则。的取值范围是（）

A.a<lB.a<1C.把1且存0D.aVl且存0

【答案】D

【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到存0且加-4ac、=（-2）2-4«>0,然后求出两个不

等式的公共部分即可.

【解析】解：根据题意得9且是2-4改=(-2)2-4。:>0,

解得且g0.

故选：D.

【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a±0)的根与b?-4ac有如下关系:当b?-4ac

>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4acV0时，方

程无实数根.

4.某服装公司今年10月的营业额为200万元，按计划第四季度的总营业额要达到900万元，求该公司II、12

两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x,则根据题意可列的方程为

()

A.200(1+A)2=900B.200[l+(l+x)+ll+Aj2]=900

C.200[1+X+(1+A)2]=900D.900(1+x)2=200

【答案】B

【分析】根据增长后的量=增长前的量x(1+增长率)，即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的

总营业额要达到900万元，即可列方程.

【解析】解：••・该服装公司今年10月的营业额为200万元，该公司11,12两个月营业额的月均增长率为“，

■.该服装公司今年11月的营业额为200(1十人)万元，12月的营业额为200(1+1)2万元.

根据题意得：200+200(1+x)+200(1+x)2=900,

即200p+(l+x)+(l+A)2J=900,

故选:B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，根据题意正确列出方程是解题关键.

5.如图，AD〃BE〃FC,它们依次交直线4、4于点A、R、C和点。、E、F,如果43=4,AC'=9,

那么D名F的值是()

三

4

A.-BcD

9-i-?-7

【答案】C

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.

【解析】解：VAD//BE//FC,

.DEAB

又AA=4,AC=9,

.DE_A^_AB_4_4

^~EF~~BC~AB-AC~9^4~5，

故选：C.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、准对应关系是解题的关键.

6.如图，在四边形A8CO中，对角线AC,8。相交于点。，且。4=OC,OB=OD,下列说法错误的是

A.若AC上BD,四边形48co是菱形

B.若AC=BD,四边形A8CD是矩形

C.若ACJ.BD且AC=BD,四边形A8CO是正方形

D.若430=90°,四边形A38是正方形

【答案】D

【分析】由平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定分别对各个选项进行判断即可.

【脩析】解：•••OA=OC，OB=OD,

..・四边形488是平行四边形，

A、若ACJ.BD,则平行四边形A8CO是菱形，故选项A不符合题意；

B、若AC=BD,则平行四边形A6CO是矩形，故选项C不符合题意；

C、若AC_Z8。且AC=8O,则平行四边形ABC。是正方形，故选项C不符合题意；

D、若NABC=90。，则平行四边形488是矩形，故选项D符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，熟练掌握各

四边形的判定是解题的关键.

7.下列四组条件中，能识别“8C与/>£尸相似的是（）

A.ZA=45°,N8=55。；Z£）=45°,NF=75。

B.AB=5,BC=4,Z4=45°,DE=5,EF=4,ZD=45°

C.A8=6,BC=5tN8=40°,DE=5,EF=6,ZE=40°

D.AB=BC,ZL4=5O°；DE=EF,ZE=50°

【答案】C

【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析从而确定最后答案.

【解析】解：A不正确：

VZA=45°,ZB=55°；ND=45。,N尸=75°,

AZC=80°,ZE=60°,

，不相似；

B不正确：

A与NE不是边4b.AC与DE,E产的夹角，

**•不相似；

C相似：

VAB=6,BC=5,ZB=40°,DE=5,EF=6,Z£=40°,

/.AB:EF=BC:DE,/R=/E,

・•・相似;

D不相似；

〈/A不是A8,BC的夹角，NE是边OE与所的夹角，

・••不相似.

故选:C.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①若对应三边的比相等，则三角形相似；②若对应两边的比相等,

及其夹角相等，则三角形相似；③若有两个角对应相等，则三角形相似.

8.在不透明口袋内装有除颜色外完全相同的5个小球，其中红球2个，白球3个，搅拌均匀后，随机抽取

一个小球，是红球的概率为（）

【答案】A

【分析】用红球的个数除以所有球的个数即可求得抽到红球的概率.

【解析】解：•・•共有5个球，其中红球有2个，

•p-2

故选A.

【点睛】此题主要考查概率的意义及求法.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.掌握概

率的意义是解题关键.

9.如图，在直角坐标系中,AABC的三个顶点分别为A（1,2）,B（2,1）,C（3,2）,现以原点。为位似中心，在

第一象限内作与的位似比为2的位似图形AAEC,则顶点C的坐标是（）

八y

4/C'

A.（2,4）B.（4,2）C.（6,4）D.（5,4）

【答案】C

【分析】直接根据位似图形的性质即可得.

【解析】解：TAABC的位似比为2的位似图形是△A'8'C,且C（3,2）,

/.C（2x3,2x2）,即C（6,4）,

故选：C.

【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键.

10.如图，在△A8C中，AB=AC=6,D在BC边上,NADE=NB,CD=4,若△A8O的面积等于9,则

△CDE的面积为（）

A

【答案】A

【分析】过点。作于M,过点E作硒_L3C于N,首先根据等腰三角形的性质及三角形外角的性

质，可证得△A8D2DCE,再根据三角形的面积公式，可求得DM=3,根据相似三角形的性质，可求得

EN=2,据此即可求得.

【解析】解：过点。作。4?于M,过点E作业■LAC于N,

AB=AC=6,

；"B=/C,

•「ZADE=ZB,ZADC=NB+/BAD=ZADE+NCDE,

:.NBAD=/CDE,

.△ABD^ADCE.

.ABDM

"~DC~~EN'

•.•△ABO的面积等于9,

-ABDM=-x6xDM=9,

22

/.DM=3,

.6_3

••一=9

4EN

:.EN=2.

.•.△CQE的面积为：1CDE/V=lx4x2=4,

故选：A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公

式，作出辅助线是解决本题的关键.

二、填空题

II.已知关于X的方程。〃-1)乂/+1+2]-3=0是一元二次方程，则帆的值为

【答案】-1

【分析】根据一元二次方程的定义：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数

是2,且二次项系数不为0.得出"1券，〃/+1=2,求出〃，的值即可.

【解析】解：•・•关于x的方程(〃?-1)/""+2%一3=0是一元二次方程,

.••〃/+1=2且m-1/（），

解得："『-I.

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，牢固掌握一元二次方程的定义是做出本题的关

键.

12.在比例尺是1:90000000的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点2()分有一架飞机从甲地飞

往乙地，上午11点2()分到达，这架飞机每小时飞行千米.

【答案】900

【分析】由题意可知：上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达共飞了2小时，根

据“比例尺是I：90000000",又因为甲乙两地的图上距离是2厘米，求实际距离，进而求出答案.

【解析】解：甲乙两地的实际距离:

2+——!——=180000000（cm）,

90000000'）

180000000cm=1800（千米），

1800+2=900(千米)；

答：这架飞机每小时行900千米.

故答案为：900.

【点睛】本题考查比例线段，正确根据比例进行计算是解题关键.

13.如果两个相似三角形对应高的比为3:4,那么这两个三角形的面积比为

9

【答案】9:16大

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解•.

【解析】解：•・•两个相似三角形对应高的比为3:4,

・•・这两个三角形的面积比为9:16,

故答案为：9:16.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等「相似比的平方是解题的关键.

14.如图：已知中，D是AB上一点，添加一个条件,可使△ABCSAACO.

【答案】ZB=ZACD（答案不唯一）

【解析】解：由图可知NCAD二NBAC,再加一个对应角相等即可,

所以，可以为：NADC=NACB或NABC=NACD,

故答案为：ZADC=ZACB.

15.如图，当太阳光与地面上的树影成45。角时，树影投射在墙上的影高C。等于2米，若树根到墙的距离

8c等于8米，则树高A8等于一米.

【答案】10

【解析】解：如图所示,

作与，，贝iJO，=8C=8m,CD=BH=2m,

根据题意得/4。，=45。，

所以△AD”为等腰直角三角形，

所以A”=Q”=8m,

所以A8=A〃+3〃=8+2=10m.

故答案为：10.

16.正方形的对角线长为4&5?，则它的周长为cm.

【答案】16

【分析】根据正方形对角线的长，可将正方形的边长求出，进而可将正方形的周长求出.

【解析】解：设正方形的边长为了，

•・•正方形的对角线长为4人。〃，

•••/十/=(4无丫，

解得：x=4,

，正方形的边长为：4(cm),

・••正方形的周长为4x4=16(c〃?).

故答案为：16.

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的性质.

17.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，点A，B,C,D均为格点，连接AC,相

交于点£设小正方形的边长为1，则的的长为.

RFADO

【分析】先根据勾股定理计算8。的长，再根据△ABESKDE,对应边成比例，得到左=k=三，所以

BHC/Jj

设BE=x,则。E=g-x,从而求出8£的长.

【解析】解：BD=\lAD2+AB2=>/32+22=V13»

VABHDC,

；•△ABEsKDE，

.BEAB2

^~BE~~CD~3

设=则。E=-x,

A_2

,，V13^=3，

解得―汉叵.

5

故答案为：巫.

5

【点评】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质.

18.如图，矩形A8c。中，AB=6,AQ=8,点。在对角线30上，过点。作MV_L4O,交边ADBC于

点M,M过点M作睦_LAO交，。于点E,连接EMBM,ON.下列结论：①EM=EN；②四边形M8M)

96

的面积不变；③当AM:M0=1:2时，"，E=K④8M+MN+ND的最小值是20.其中所有正确结论的

序号是__________.

【答案】②③④

【分析】根据等腰三角形的三线合一可知MP=PN,可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出80=10,

/、2

MN=R，利用床边形MBND=；MNXBO判断②；根据相似可以得到沁=(黑，判断③；利用将军饮

22§4B\BDJ

马问题求出最小值判断④.

【解析】解：•:EM=EN,MNLBD,

:・MP=PN,

在点P移动过程中，不一定MP=PN,

相矛盾，

故①不正确；

延长ME交8c于点a

则为矩形，

：•BD=S!AB、AD?々6?+6=10

VMELAD,MN工BD,

・•・ZMED+ZMDE=NMEP+ZEMN=90°,

dDE=/EMN,

：・^MHNs^DAB,

.MHHN_MN

•・而―布―茄，

„6HNMN

即r1一=——=---,

8610

915

解得：HN=gMN遣,

：・SZVBND=S"+SWN=；MN乂BP+gMNXDP=gMNXBD=xio

故②正确：

*.*ME//AB,

：・WMEs^DAB，

.MEMD_2

・・丽―茄一

：•ME-4,

•:/MDE=NEMN,NMPE=ZA=90。，

・\AMPESQAB,

…BL〔B/J25'

44I96

：•S..=—S=—x-x6x8=--

加(wp匕25加nAli谊25225

故③正确,

BM+MN+ND=BM+ND+—,

2

即当M8+ND最小时，3M+MN+M)的最小值，作从。关于AO、8C的对称点用、0,

97

把图1中的6向上平移到图2位置,使得CD=不，连接8Q,即BQ为MB+ND的最小值，则AC=BD]=~,

88=12.

这时电产加…⑶"闫+12?=胃,

即BM+MN+ND的最小值是20,

故④正确；

故答案为：②③④

【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题

的关键.

三、解答题

19.请用适当的方法解下列方程:

(1)X2-7X+10=0；

(2)3--2x-1=0;

（3）f-9=2（x-3）.

【答案】（1）X=2,x2=5

（2）,^,x2=1

⑶演=3,x2=-1

【分析】（1）利用十字相乘法分解因式，即可得到两个一元一次方程，解得即可；

（2）利用十字相乘法分解因式，即可得到两个一元一次方程，解得即可；

（3）利用提取公因式法分解因式，即可得到两个一元一次方程，解得即可.

【解析】（1）解：（工一2）（工-5）=0,

「.X-2=0或x-5=0,

二.入=2,占=5；

（2）（3x+l）（x-l）=0,

3x+l=0或4一1=0,

1.

二.4=_§,x2=1；

（3）（x+3）（­=0,

（x-3）（x+3-2）=0,

..人一3=0或x+1=0,

.,.%=3,x2=-\.

【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键.

20.已知关于x的方程+（%-l）x+l=0有两个不相等的实数根内，匕.

⑴求〃的取值范围；

（2）是否存在实数〃，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出。的值；如果不存在，说明理由.

【答案】（1）a<7；（2）不存在.

【分析】（1）根据题意，应满足两个条件：△>（）,二次项系数不等于0,由此求解即可；（2）利用根与

系数的关系求得字母的值后（注意检验原方程是否有实数根），结合（1）的取值范围解答即可.

【解析】(I)已知方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程，

・・・力0且满足△=(2a-l)2-4a2>0,

且a#)；

4

(2)不存在这样的a.

•・•方程的两个实数根XI,X2互为相反数，

2。一1

则KI+X2二一—=0,

a~

解得a=^,

经校验a=T是方程的根.

V(1)中求得方程有两个不相等实数根，

a的取值范围是且a#),

而(不符合题意).

乙4

所以不存在这样的a值，使方程的两个实数根互为相反数.

【点睛】本题考查了根与系数的美系、一元二次方程的定义、根的判别式、解分式方程.解决问题时，只

要是一元二次方程或说方程有两个实数根，则二次项系数不得为0：凡是利用根与系数的关系求得未知字母

的值时，一定要注意代入原方程，看是否有实数根.

21.如图，己知O是坐标原点，A、3的坐标分别为(3,1)、(2,-1).

⑴画出绕点O顺时针旋转1次)。后得到的图形.

(2)在)，轴的左侧以。为位似中心作AOAB的位似三角形OCO,使新图与原图的相似比为2：1,并分别写出

A、8的对应点C、。的坐标.

【答案】(1)见解析

(2)图见解析,。(~4,2),C(-6,-2)

【分析】(1)根据中心对称的性质即可得到结论；

(2)利用位似图形的性质得出C,。两点坐标在A,8坐标的基础上，同乘以-2,进而得出坐标画出图形

即可.

【解析】(1)解：如图所示，曾即为所求；

(2)解：如图所示A0C力即为所求，Q(T2),C(-6.-2).

【点睛】此题主要考查了作图-位似变换，作图-旋转变换，得出对应点坐标是解题关键.

22.抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结

果分为A,8,C,。四个等级.请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

(1)本次抽样调查共抽取了多少名学生？

(2)求测试结果为。等级的学生数，并补全条形图；

(3)若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为。等级的学生有多少

名？

(4)若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请

用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率.

【答案】(I)50：(2)16：(3)56(4)抽取的两人恰好都是男生的概率为1,树状图见解析

【分析】（I）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；

（2）用总人数分别减去A、B、。等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图：（3）用700乘以。等

级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为。等级的学生数；

（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式

求解.

【解析】（I）10・20%=50（名）

答：本次抽样调查共抽取了50名学生.

（2）50-10-20-4=16（名）

答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名.

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2,

所以抽取的两人恰好都是男生的概率2===）1.

126

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从中选出符合

事件A或B的结果数目〃?，然后利用概率公式计算事件4或事件8的概率.也考查了统计图.

23.如图，菱形A8CQ的对角线4C、8。相交于点0,BE〃AC,AE//BD,OE与AB交于点F,

OE=5,AC=8

（1）求A8的长；

⑵求菱形"CO的高.

【答案】⑴5

【分析】（1）通过8七〃AGAE〃加结合菱形的性质可证四边形A硼。是矩形，再结合矩形的性质对角

线相等即可求出AB的长.

（2）利用勾股定理求出6。的长，再利用对角线求出菱形面积，最后利用等积变形求出反求菱形的高.

【解析】（1）解：•・•四边形A8CQ是菱形，

:.AC113D,

・••=90°,

VBE//AC,AE//BD,

・•・四边形AOBE是平行四边形，

,/ZAOB=90°,

・•・四边形AO8E是矩形，

/.AB=OE,

•：0E=5,

AB=5

(2)过3作8WJ./U)于M

MA

/四边形/WC。是菱形，AB=5,

AAO=OC,BO=DO,AD=AB=5,

VAC=3,

・•・AO=4,

•・•AB=5,

•**BO=DO=y/AB^AO2=V52-42=3>

J80=6,

S号即Azim=~xxBD=ADxB\1,

/,-x8x6=5xBM,

3

・・・BM言

24

即菱形A8co的高是［■.

【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，菱形的面积计算方法，熟练掌握矩形的性质及菱形面积计算方

法是解决本题的关键.

24.如图，已知矩形ABC。，点E在C8延长线上，点尸在8c延长线上，过点尸作切，所交E。的延长

线于点”，连结转交E”于点G,GE=GH.

（1）求证：BE=CF.

AR5

Q）当4）=4时，求E尸的长.

FH6

【答案】（1）见解析

(2)EF=6

【分析】（1）根据等边对等角得出NGFE=NE,根据矩形的性质得出A8=C。，ZABC=ZDCB=90°,

即可证明△人所包/X芯（AAS）,根据全等三角形的性质得出M=CE,进而即可求解；

（2）根据。。〃尸“，得出设BE=CF=x,则5C=AO=4,CE=x+4,M=2x+4,

根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解.

【解析】（1）解：,:FHA.EF,GE=GH,

:,GE=GF=GH,

，NGFE=/E.

•・•四边形ABC。是矩形，

/.AB=CD,ZABC=NDCB=9CN,

：.公ABF色ADCE(AAS),

・•・BF=CE,

:.BF—BC=CE—BC,^BE=CF.

(2)VCD//FH,

△DCE-/\HFE,

.ECCD

**~EF~~FH'

，

：CD=ABf

.CDAB5

设BE=CF=x,VBC=AD=4,

/.CE=x+4,EF=2x+4,

・x+45

-2不+4一寸

解得x=l,

/.EF=6.

EBCF

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性

质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键.

25.如图，在平面直角坐标系中，直线A3交x轴交于点/?,与y交于点A,04=1,OB=^OA,直线OC：

y=Gx交直线A8于点C.

⑵如图I,夕为直线OC上一动点且在第一象限内，",Q为X轴上的动点，Q在M右侧且MQ=*,当

$△2=迪时，求PQ+QM+MA最小值；

8

（3）皿图2,将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A0,3三点分别对应2E/三点.当。尸过。点时，在

平面内是否存在”点，在直线CO是否存在N点，使得以AMD尸四个点为顶点的四边形为菱形，若存在,

请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴直线/W的解析式为y=-冬+1,点C的坐标为惇?

⑵府+6

2

-3#>+晒-9+后"-3V3-V19-9-历)

(3)或

冷串或「鲁平M8888

【分析】（】）直线A4交工轴交于点3,与y交于点A,04=1,OB=gOA,可求出点AB的坐标，由此

即可求出直线A3的解析式，根据直线OC：），=6x交直线A3于点C,联立方程组求解即可求出点C的坐

标；

（2）求尸Q+QM+M4的最小值，如图所示，点尸在直线0C上，设P（〃,G〃），由S“°=也可求出点产

8

的坐标，作点A关于x轴的对称点A，当点P,Q,力在一条直线上时，PQ+QM+M4值最小，根据点。,P求

出点。的坐标，点”的坐标，由此即可求解；

（3）以〃,MQ,尸四个点为顶点的四边形为菱形，分类讨论：以。尸，DN为邻边;以FN,DN为邻边，

以DN为对角线；由此即可求解.

【解析】（1）解：：直线A3交；轴交于点8,与y交于点A,0A=\,OB=mOA,

・・・A(O,1),8(6,()),设直线A8的解析式为)，=履+1,

，辰+1=0,解方程得，卜=_与,

：•直线AB的解析式为)，=-I%+1,

3

•・•直线OC：y=交直线AB于点C,

且.卜且

・•・"一3",解方程组得，:，

丫=瓜「二

工点c的坐标为

44

・,・直线A8的解析式为丁=-¥%+1,点C的坐标为

点P在直线OC上，设P(〃,石〃),

SfCB=S30B-S&COB»且08=5

1

***SMOB=；X''/^X[=^,S&P0B=5乂6乂6〃=¥,

解方程得，p=上,即P(6,3),

288

:.P8_Lx轴，

如图所示，作点A关于x轴的对称点儿,

fp

・•・A（o,-i）,连接AM,过点A作x轴的平行线，过点。作AM的平行线，两线交「点。，则四边形AQQM

为平行线,

.•・AM==DQ,

当点P,。,。在一条直线上时，PQ+QM+MA值最小,

:。在M右侧且MQ=#,

,P由,3）,设DP所在直线的解析式为x=4“+4,

旦+b=-1873

T1,解方程组得，・13,

x/5ki+4=3b、=-5

・・・。尸所在直线的解析式为》=竽4一5,令y=。，贝|J]=平

,0,则M

：・0M=与,8Q=O8—OQ=6-等=乎，BP=3,

_x/67

在RlZVMM,RtziBPQ中，AM=A.M=DQ=y]oM2+OA2=

--F，

18yl

+3、道,

PQ={BQ2+BP?=

8

,3QM+MA可与警*0即PQ+QM+MA二国子

⑶解：直线A8：y=—#x+l,直线OC：y=y[3x,A（0,l）,B（Ao）,

AAB=2,OC=—,由（1）可知，（X：1AB,

2

将MO8沿着射线CO方向平移得△。所，

；・4AO哙△DEF,AB//OF,

**•EO—OC=>ZAOC—30°,则后

244

OA=I,O3=G

，AA=2,

，AB=2OA,

/.ZABO=30°,

:.ZABO+ZBOC=90°,

ZOCfi=90°,即OC14B,

:.DF±OC,

设点N的坐标为（见后〃），

以DF,ON为邻边，此时£W=OF,

以FN,DN为邻边，此时。尸，HN为对角线,则。/_L”N,

・•・HN〃OC,

此时点N不在直线OC上；

当DN,以ON为对角线时，此时OF=/W,

解得：/〃=-36+M或-3&-炳

88

'-3G+M-9+底、

・•・此时点的坐标为或I—8—

N8'-8

\/\/

综上所述点N的坐标为件由或因「叫或（当”士咨卜（苦妈普斗

【点睛】本题主要考查一次函数以几何变换的综合，掌握一次函数图像的特点，几何变换中确定点坐标的

方法，学会图形结合，分类讨论思想是解题的关键.

26.【问题发现】

（1）如图①，在正方形A8CO中，G是BC上一点（点G与B,C不重合），AEtDG交DG于点E,CF1DG

交DG于点F.试猜想线段AE,C尸和E厂之间的数量关系，并证明：

【延伸探究】

（2）在其余条件不变的基础上延长4E,交OC于点，，连接AG,8”，交于点P,如图②.求证：AG1BH；

【问题解决】

（3）如图③，是一块边长为1米的正方形钢板A8cD由于磨损，该钢板的顶点A,C,力均不能使用，王

师傅计划过点A裁出一个形如四边形AEG尸的零件，其中点尸，E,G分别在A3,CD,8C边上，且小为

的中点，G/_LGE交。。于点E,连接人E,求王师傅能裁出四边形AEG厂的最大面积是多少？

图①图②图③

【答案】（I）AE=CF+EF,证明见解析；（2）见解析；（3）y

【分析】（1）由四边形A8CO是正方形得4Z）=OC,NA0C=9O。，再由同角的余角相等证明/£）/归=/。。/，

即可证明AA及泾△OR7,得A