浙教版九年级数学上册《比例线段》同步测试（含答案）

4.1比例线段

一、单选题

1.已知实数a、b、c、d满足2005a3=2006b3=2007c3=2008d:

\/2005a2+2006b2+2007c2+2008d2=V2005+42006+^2007+^2008

则院+口+丁+『的值为（）.

A.1B.0C.-1D.±1

2.如图，在正方形ABCZ）中，点。是对角线AC的o点，P是线段40上的动点（不

与点A,。重合），PELPB交CD于袅E,PFLCD于点、F.则对于下列结论：①

依=依；②）=EF；③笔学=正；④铁=目，其中错误结论的个数是（）

CEPCCF

A.0B.1C.2D.3

3.已知麴=2,点尸是浅段初上的黄金分割点，且"＞即,则"的长为（）

A.B.右一1C.D.3一后

22

4.若线段a=6cm,b=3cm,且c是a,b的比例中项，则线段c的长度为（）

A.3＞/2cmB.±372cmC.±18cmD.18cm

5.如图，线段他=1,点6是线段AB的黄金分割点（做＜修），点g是线段期的黄

金分割点（Ag＜耳£），点鸟是线段的黄金分割点（A犬＜犬鸟），..，依此类推，则

线段A/2y的长度是（）

AP3P2PlB

A.（士泞•严。B.（与^严。C.（1）2020D.（石-2产。

6.在Rt△力比中，ZACB=90°,N4=30°,BC=3cm,动点尸从点力出发，沿

月8方向以每秒2c勿的速度向终点少运动；同时，动点。从点少出发沿8。力向以

每秒1c/〃的速度向终点。运动，将△掰。翻折，总〃的对应点为凡设点Q运动

的时间为t秒，若四边形/匕？。为菱形，则匕的值为（）

B

R

AC.

A.x/3B.2C.1D,正

2

7.下列说法正确的个数有（）

①垂线段最短；

②一对内错角的角平分线互相平行；

③平面内的n条直线最多有中个交点；

④若上=啖则女二；

⑤平行于同一直线的两条直线互相平行，垂直于同一直线的两条直线也互相平行.

A.1个B.2个C.3个D.4个

小.、L“Wrj.八.〃+〃一。a-b+c-a+b+c

8.",b,。为非零实数，且a+b+cwO,若----=-­—=-------则

(a+〃)e+c)(c+a)等于()

abc

A.8B.4C.2D.1

二、填空题

9.已知2=g=且=4,贝Ia的值为______.

654

10.在平面直角坐标系中，关于X的一次函数y=&+a其中常数k满足

^=-^=-7^-=—,常数b满足b>0且b是2和8的比例中项，则该一次函

数广履+〃的解析式为.

11.春节临近，各种新鲜水果大量上市.某商人根据市场调查，购进草莓和车厘

子两种水果，已知销售每斤草莓的利润率为30%,每斤车厘子的利润率为50%.当

售出的草莓和车厘子的数量之比为5:3时，商人得到的总利润率为40%.要使商

人得到的总利润率为45%,那么售出的草莓和车厘子的数量之比为.

12.若x：y：z=3：5:6,且3y=2z+3,则x+2y+z的值为.

13.美是一种感觉，当人体下半身身长与身高的比值越接近与（约为0.618）

2

时，越给人一种美感.如图，某女士身高165M,下半身身长工与身高1的比值

是0.60,为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为抽

14.已知4），-3..r=。，则土=______.

y

15.如图，在A48C中，ZACA的内、外角平分线分别交84及其延长线于点

。、E,BC=2.5AC,则任+空二

ADAE-----------

16.如图，在Rt△4%中，/e90°,JO10,滕15,点〃，E,〃分别是边47,

仍BC上的点，且/庐4"斤4EB,若APDE是等腰三角形，则次的长是

三、解答题

17.如图，抛物线y=x2+°户。与y轴交于点/（0,2）,对称轴为直线x=2,平

行于x轴的直线与抛物线交于反。两点，点8在对称轴左侧，BC=6.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点2在x轴上，直线鳍将面积分成2：3两部分，求出夕点坐标.

18.作出线段A8的黄金分割点(不写作法，保留作图痕迹)

aB

19.如图，点力坐标是(0,0),点1坐标是(2,2),现有反■两点分别从点〃(0,

2)和点〃(2,0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，。为£尸中点.设运动时间

为t.

(1)在运动过程中始终与线段用相等的线段是;四边形67%/面积

(2)当t=l秒时，求线段8的长.

(3)过点方作第平行于〃交于点R当£=时，线段4P最短，此

时作直线在与x轴交于点试证明，点｛是线段力8的黄金分割点.

20.如图(1),A3、是两条线段，M是A8的中点，Swc,DAC、S△狈。

别表示aDMC、△DAC、△D8C的面积.当A8〃CO时，则有5徵用二相结芋也

①.

(1)如图(2),M是A8的中点，A8与CO不平行时，作AE、MN、8厂分别垂

直。C于E、N、户三个点，问结论①是否仍然成立？请说明理由.

(2)若图(3)中，A8与CD相交于点。时，问灵的纥、和二者之间存

在何种相等关系？试证明你的结论.

21.如图1,在,A8CD中，点M,N分别在边A。和BC上，点E,F在对角线8。

(1)求证：四边形MEN/是平行四边形:

(2)若A8=6,8c=10,加)=8.

①当四边形MEA厅是菱形时，AM的长为；

②当四边形是正方形时，酢的长为______；

③当四边形MEN/是矩形且AM=6时，M的长为.

22.材料一：“黄金分割比”的定义如下：

“如图月DC8,点。把线段/仍分成两条线段心^和如果器

=令，那么称线段力8被点。黄金分割，点。叫做线段力8的黄金分割点，21=

AC/\B

早叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段另有一点〃把线段分成两

条线段和〃〃，满足42=44，所以点〃也是线段14的黄金分割点.

ABBD

2

材料二：对于实数：ax<a2<a2<a\,如果满足(的-团)=(&-&)(国-团)，

(&-&)2=(a-4)1&-)则称a为4，a,的黄金数，包为a,a的白银数.

请根据以上材料，回答下列问题

(1)如图^5—c%，若力8=4,点C和点〃是线段4?的黄金分割

点、,则,CD=.

(2)实数0<5</?<1,且人为0,1的黄金数，日为0,1的白银数，求

的值.

(3)实数k<n<m<t,t=2\k\,///,n分别为k,t的黄金数和白银数，求巴的

n

值.

23.在蛇中，AB=AC=6立,/胡。=90°,4〃_1_仇7于点〃，月为线段?!〃上

的一点，AExDE=2x1,以4?为直角边在直线力。右侧构造等腰放△力叫使N

必产=90°,连接龙，G为龙的中点.

(1)如图1,EF与AC交于点、H,连接GH,求线段切的长度.

(2)如图2,将△力以'绕点力逆时针旋转，旋转角为a且45°<a<135°,H

为线段绪的中点，连接加,HG,猜想/戊汨的大小是否为定值，并证明你的结

论；

(3)如图3,连接8a将△力项绕点力逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写

出的长度的最大值.

图i

__.ace3+2«+4c+6e

24•已知厂厂7卞求H2d+3/的值.

25.已知，在△ABC中，AB=AC,在射线AB上截取线段BD,在射线CA上截取线

段CE,连结DE,DE所在直线交直线BC于点M.

猜想：当点D在边AB的延长线上，点E在边AC上时，过点E作EF〃AB交BC

于点F,如图①.若BD=CE,则线段DM、EM的大小关系为.

探究：当点D在边AB的延长线上，点E在边CA的延长线上时，如图②.若BD二CE,

判断线段DM、EM的大小关系，并加以证明.

拓展：当点D在边AB上（点D不与A、B重合），点E在边CA的延长线上时，如

图③.若BD=1,CE=4,DM=0.7,求EM的长.

26.如图一，矩形ABCD中，AB=5cm,BC=4cm,E是8C上一点，将.CDE沿OE

折叠，使点C落在A8上一点尸处，连结。尸、EF.

⑴求/组的长度；

⑵设点人〃、G分别在线段DE、BC、84上，当BP=C尸且四边形BG尸〃为矩

形时，请说明矩形8GP"的长宽比为2:1,并求PE的长.（如图二）

答案

一、单选题

D.B.B.A.AC.B.A

二、填空题

9.8；

11.5:9.

12.19.

13.8

14.p

15.5.

14

16.2用或可

三、解答题

17.

解：(1)由题意得：x=-，=-g=2,c=2,

2a2

解得：b=~4,c—2,

，抛物线的解析式为y=x2-4A+2；

(2)•・•抛物线对称轴为直线x=2,BC=6,

xc-xB=6

・1％+/=2,

2

解得［“"

昌=-1

把)=5代入抛物线解析式-4户2,得：y=52-4X5+2=7,

：.B(-1,7),C(5,7),

设直线力。解析式为y=4户2,把C(5,7)代入得：7二5介2,

k=1,

，直线力。解析式为/=户2,

作直线8R与nC交于点〃，过〃作胆x轴，垂足为其过。作轴，垂

足为凡过力作力0_L阴垂足为0,交应'于点G

则四边形力0%是矩形，四边形％。是矩形，四边形G£7W是矩形，DG〃CQ,

9：C(5,7),

：.0代AQ-5,0及AG=xg

•・•直线征将△4%面积分成2：3两部分，根据同高两个三角形的面积比等于对

应底之比，得力〃：麻2：3或力。:麻3：2即49：力小2：5或力。:力仁3：5,

「DG〃CQ,

.AGAD

••而一就'

•立=2或2=3

,•55贽55，

***XD=2或XD=3,

当=2时，y=x+2=4,

当”=3时，片产2:5,

J点〃的坐标为(2,4)或(3,5),

当点〃的坐标为(2,4)时，设直线处的解析式为片加壮〃,

-m+〃=7

根据题意,

2m+〃=4

m=-\

解得

〃二6

・・・直线彼的解析式为片-x+6,

当户0时，一户6二0,解得产6,

・••点产的坐标为(6,0)；

当点〃的坐标为(3,5)时，设直线切的解析式为厂方产3

根据题意，得

3/z+r=5

h=——

2

解得13,

t=一

2

.二直线8。的解析式为片-g产号,

113

当产。时，-5矛+5=0,解得产13,

...点尸的坐标为(13,0)；

综上所述，户的坐标为(6,0)或(13,0).

18.

解：如图，点C即为所求.

:・CD=CB=AB=除2,

・••四边形的园是菱形

又NDW=90。

・•・四边形4仇》是正方形，

■:E、/两点分别从点。和点8向下和向右以每秒一个单位速度移动,

:.DE=BF、

'：/CDE=NCBF=9G，

：ZDI沼XCBF(SAS)t

:.EC=FC,

S凹边形CEAF=S四域形旧让S△侬=S四地形(&uy+5^(况=S正方形ABC尸CB*CD=2X2=4,

故答案为：FC,4；

(2)•・•△切比△诩，

：.EC=FC,/DCE=/BCF,

:/〃阳/笈％=90°,

：.ZBCF+ZECB=90°,即N&F=90°,

••.△比户是等腰直角三角形，

当t=l时，庞=1,

在Rt△⑦£中，由勾股定理得：CE=yjDE2+CD2=Vl2+22=V5,

••EF=5/2CE=5/2XV5—A/FO,

•・•〃为)中点，

••・CQ=；EF="M=叵;

~22

(3)YBP//CF、/ECF=90°,

:"BPC=9T,

・••点尸的轨迹在以8c为直径的圆弧上，

设仇、的中点为G,连接力G,如图2所示：

图2

当点尸在力G上时，力尸最短，

此时，PG=BG=\,

在Rt△力龙中，由勾股定理得—=〃82+跋2=户7=布,

:・AP=AG-PG=#)-1,

:BC〃DE,

JNAEP=/GCP,

・：GC=GP,

"GCP=/GPC,

,：4GPC=/APE,

：.ZAEP=AAPE,

:.AP=AE=4S-1,

：,E(0,1-^),

：.DE=2-(1-x/5)=N/5+1,

•・t=(+1)S,

故答案为：(石+1)S；

设置的解析式为：尸kx+b(k于。),

L[2k+b=2

将。(2,2)、月(0,1-6)代入解析式得：力=]一档，

/石+1

解得：一丁，

b=T-小

，必的解析式为：/=当把广1-石，

令y=0,x=3-x/5,

：.K(3-x/5,0),

:.BK=2-(3-V5)=x/5-1,

・空—必1

"~AB2~'

・.•点/是线段48的黄金分割点.

20.

(1)当AA和C。不平行时，结论①仍然成立.

如图，由已知，可得4E,8r和MN两两平行，

，四边形话是梯形.

，M为A8的中点，

MN是梯形4EF8的中位线.

...MN=；(AE+BF).

SMK+SDBC=；DC-2MN=2s~wc•

DAADB

SADMC_S^C+SC

2

(2)QM为AB的中点,

••SAADM=SABDM，=SABCM.

•♦SAJCM=^AAfOD+^^MOC=(^A/WD一,^AAOD)+(1^AAW-ShAOC)

=(S&BDM+^BCM)一(S4AOD+S4AOC)=(^ADBC~~,^AZMC.

.•2S&0cM=S4DBC~S&DAC.

r-S&［〉BC-S4bAe

aAD.WC-'

21.

(1)证明：如图1中，设8。的中点为。.连接八C,AN,CM,MN.

图1

•••四边形人"CO是平行四边形，

・•.AC与3。互相平分且交于点。，AM//CN,

-,-AM=CNt

二•四边形4VCM是平行四边形，

.•MC与MN互相平分且交于点0,

：.0M=0N,OB=OD,

BE=DF,

：.OE=OF,

二•四边形MENF是平行四边形.

(2)①如图2-1中，连接MN交8。于点。，当MN_L8。时，四边形MEA户是菱形.

/.AD2=AB2+

/.ZABD=90°,

:.AMOF=ZABD=90°,

，：OB=OD,

：.AM=DM=5,

②在①的基础上，满足=时，四边形MEN尸是正方形,

易知OM=gAA=3,

：,0E=0F=3,

,;BD=8,

：.B£=DF=-!-(8-6)=l.

2

③如图3-2中，连接MN交4。于点。，作MH_L4。于”.

4理D

BN

图2-2

-MH//AB,

:.MH.AB=DM:DA=DH:DB

.•'M"：6=4:10=Q”:8,

,DH=—,

,加4智4

5

0M=yjMH?+0H?=

・当OE=O"=QW=ON时，四边形MEN/是矩形,

力*」（8—述）=4—晅

255

故答案为：5,1,4-孚.

22.

解：(1)・.38=4,点。和点〃是线段力8的黄金分割点，

AAC=BD=AB=X4=275-2,

22

：.DC=A&BD-AB=2(26-2)-4=4逐-8；

故答案为：2辨-2,4石-8；

(2)为0,1的黄金数，且实数0V6V1,

(Z?-0)2=(1-Z?)(1-0),

F+b-1=0,

(舍)，4=zl1^>0,

2■2

•・匕为0,1的白银数，且实数OVaVl,

(1-z?)2=(a-0)(1-0),

a2-3m4=0,

3+V5、1/A、3-5/5/1

句=——>1(舍)，&=———<1,

2'2

・・.3/=止亚-三电=6一2;

22

(3)・・•/〃，〃分别为〃，方的黄金数和白银数，实数

.A)?=("〃?)(一左)®

・・[(-〃)2=("_2)(—2)②

分两种情况：

i)当女20时，t=2k..

由①得：(勿-外2=(2八加(2k-k),

nr-km-*=0,

l±>/5,

m=------k；

2

由②得:（2k-n）2=Cn-k）（2②外,

-5幻汁5*=0,

5±>/5j

n=——k,

2

Vk<n<m<t,

5+36

10；

ii）当）VO时,t=-2k,

由①得：（/-〃）：'=（-2A■-加）（-2k-k\

at-5km-5>=0,

由②得：（-2A-〃）2=（n-k）（-24-女）,

〃2+7/"升”=0,

n=F士*k>0,

2

Vk<n<m<t,

.*./??>0,

.5-3石,-7+3石.

,.m=--------k,n=----------k,

22

5-375

・巴=2=5-3—=5+3-

n-—7+36--7+3石——2—

一K

2

综上，生的值是土拽或出好.

n102

23.

解：（1）如图1中，连接阳CF.

•:AB=AC=6g,NBAC=90°,于点〃，

BC^VAB2+AC2=J(6\Z^,+(6\/^)—12,BL^CD=6,

：、AD=BD=DC=6、

:,/DAB=/DAC=45°,

・二△力绪是等腰直角三角形，

：.AE=AF

•:/DA〃=45°,

AZ/^//-90°-N为〃=45°,

:.EH=1F,

'：AExDE=2：1,力6畛6,

，力£=4,DE=2,

yjBD'+DE1=V6-+2-=2>/10，

9

\AB=AQAE=AF9NBAC=NEAF=9T,

/BAC-/CA人EA-NCAE,

图1

:・/BAE=/CAF,

・•・△掰/△O/7(%S),

:,CF=BE=2M,

*：EG=CG、EH=F1I,

工GH="F=M.

(2)结论：N〃G〃=90°是定值.

5

理由：连接应，CF,设O'交缈于点0,缈交月。于/

，

：AB=ACfAE=AF,NBAC=/EAF=9U0,

/BAC+/CA扶/EAE/CAE,

：.ZBAE=ZCAF,

:、△BAE^XCAF〈SAS)、

：,ZABE=NACF,

•：4AJB=/CJ0,

:"C0J=/BAJ=9G0,

J.CFLBE,

•:EH=HF,EG=GC,

二.GH//CFt

•：CD=DB,CG=GE,

:.DG〃BE、

:.DG1GH、

:•/DGH=9G.

(3)如图3中，取〃'的中点/连接口，JG.

由题意47=公3&,AB=6及,

・/N阴J=90°,

BJ=>JAB2+AJ2=^（6X/2）2+（3X/2）2=3710,

•:AJ=JC,EG=CG,

JG=/AE=2,

■:BGWBJ+JG,

猿3M+2,

，阳的最大值为3M+2.

24.

因为3=£=2J,

bdf