高考数学一轮复习题-函数中的构造问题

§3.4函数中的构造问题

【重点解读】函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式

的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.

题型一利用./U）进行抽象函数构造

命题点1利用JU）与x构造函数

例1（2024・绵阳模拟）已知函数加）满足府）=人一用,且当xE（—8,0］时，/（幻+0V）>O,若。=

0202

3^3-）,b=\n2/（ln2）,c=Iog.^/（Iog3；），则a1,c的大小关系是（）

A..a>b>cB.c>b>a

C.c>G>bD.a>c>b

答案A

解析令g（i）=MU）,XER,

因为7W=A-x）,所以以一外=一犹一幻=一状4）=一g（x）,

所以观幻为奇函数，

又因为当人｛（一8,0］时，危）+明力>0,

所以当工£（一8,0］时，夕（幻=/*）+入八处>0,所以g（x）在（一8,0］上单调递增，

又g"）为奇函数，所以g（x）在R上单调递增，

又因为°=3。2贝3°2）=g（3°2）,

h=\n2y（ln2）=g（ln2）,

c=log3#（log3j=g（log3S=g（-2）,

-2<0<In2<lne=1=30<302,

所以式-2）<g（ln2）<g（3°2）,即a>b>c.

思维升华（1）出现/次工）+工「（幻形式，构造函数尸（x）=Yy（x）.

（2）出现划x#形式，构造函数尸a）=等.

命题点2利用;U）与（？构造函数

例2函数J(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x恒有八x)-/U)>0,则()

C.eV(1)<eVQ)D.M3)》4)

答案B

解析设8。)=詈，

则="卓，

由条件可知,,所以g'(x)>0,

则函数g(x)在R上单调递增，

因为函数人幻是定义在R上的奇函数，

则』0)=0,

由等(等，得人一1)<0,故A错误；

由挚络，

e3e2

得/3)>啖2)，故B正确；

由争争>得//(J<最/(3，故C错误；

由鲁券，得第3)勺(4)，故D错误•

思维升华(1)出现八幻+/次x)形式，构造函数F(x)=e'tKJ(x).

(2)出现八x)—碇x)形式，构造函数代工)=柴.

命题点3利用人¥)与sinx,cosA构造函数

例3(2025・杭州模拟)已知定义在R上的函数於)满足於)sinx+f(x)cosQ0,贝心)

於)B『妙何停)

础)D"》阳)

答案B

解析令"幻=震，JWZ，

故侬吟0史>0恒成立，

故旧(%)=@在(—3+kn，5+kn)，攵WZ上单调递增，

COSX\Z乙:

故盼哨，即暮普=掣军可妙阳"

6322

思维升华函数7U)与sin.t,cosX相结合构造可导函数的几种常见形式

F(x)=/(.v)sinx,

F'(x)=/(x)sinx+/(x)cosx；

/(A)

尸(x)=sinx

/'(x)sinx-f(x)cosx

FQ)=

sin2x

F(x)=J(x)cosx,

F\x)=f(x)cosx-fix)sinx；

r(x)

cosx

/'(x)cosx+/~(x)sinx

F'(x)=

cos2x

跟踪训练1(1)(2024・齐齐哈尔模拟)已知函数/U)的定义域为((),71),其导函数是八X).若对任意的XW

(0,n),有/U)sinx—/U)cosxv0,则关于x的不等式,/(x)>2f管)sinx的解集为()

A.&三)B.(0,9C.(”)D.Q,K)

答案B

解析令函数g(i)=照.£((),兀),

则g,(y)=/7x)sinx-r(x)cosx<(),

因此函数g(x)在(0,兀)上单调递减，不等式段)>2/②Sin黑嚼，

6

即gQAgG)，解得0«书，

所以原不等式的解集为(0,g.

(2)(2024.南通模拟)已知函数./U)及其导函数八幻的定义域均为(0,4-oo),若切")<2八幻，贝ij()

A.4e^2)<16/(e)<e2/(4)

B.eY4)<4eY2)vl»e)

C.e为4)vl》e)〈4e次2)

D.16/(e)<e2/(4)<4e^2)

答案c

/w

解析方法一设g（x）=,xe(o,+8),

•・W（.r）v2於），

xf，(x)-2f(x)

•••g'a)=<0,

则g（/）在（0,+8）上单调递减，

；・g(2)>g(e)>g(4),

A/(2)>r(e)>/(4)

即4e2A2)>16/(e)>e^4)，故C正确.

方法二设/(x)=l,又e2<16<4e2,C正确.

（3）（2024.扬州模拟）已知函数於）的导数为八外,对任意实数x,都有段）一八#＞0,且川）=1,则

凡r）*C的解集为（）

A.(-8,J)

B.(l,+°°)

C.（一1,1）

D.（-0°,-1）U（1,H-oo）

答案A

解析由於）那T,可得午＞1=3,

exee

令go）=券，结合yu）­/u）＞°，则且0尸弋中十，

所以其幻在R上单调递减，

故gQ）＞g（l）=X＜l,

则原不等式的解集为（一8,I）.

题型二构造具体函数关系

例4（1）（2025.昆明模拟）设,。=学，则（）

61012

A..c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

答案A

解析设危)=詈，Q0,

则/(»=号,

令/V)=o,得工=代，

则人丫)在(0,粕)上单调递增，在(粕，+8)上单调递减，

〃=洪石)，c=flrR),则b>c,

X-).1ln55-31n5Ines-lnl25八z.

又a—b=-----=-----=--------->0,得Ba>b,

6103030

所以c<b<a.

(2)(2024.南昌模拟)142857被称为世界上最神秘的数字，142857X1=142857,142857X2=285714,

142857X3=428571,142857X4=571428,142857X5=714285,142857X6=857142,所得结果

是这些数字反复出现，若〃=e°」42857,+],di.285714,则()

\.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

答案D

解析由题意知，«=e0J42857,c=V1.285714=Jl+2x0,142857,

设Kx)=ev—1(A>0),f(x)=er—1,

当x£(0,+8)时OX),/U)单调递增，

所以久K)=e'—x—l次0)=0,

所以广*+1(心>0).

因为?+2.r4-l>l+2r(.r>0),

所以上+1>Jl+2x(x>0),

得e'>Jl+2x(.v>0),

所以e0l42857>Jl+2x0.142857,即a>c；

由er>.r+lU>0),得x>ln(x+l)(x>0),

所以x—l>lnx(x>1),即x>lnx+I(x>1),

所以，1.285714>ln所.285714+1=处2受1<+],即c>b

综上，a>c>b.

思维升华通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明的结构特点，然后依据此特点构造新函数.常用的不

等式：sinx<x<tan.v(0<x<,ln(x+1)<x(x>0),Inx^：x—1<x2—x(v>0),ev^x+l(.v>0),eA>ex>x(x>0).

跟踪训练2⑴(2025•九江模拟汜知〃=5泊？,/?=ln1,c=:，则()

\.a>h>cB.c>a>b

C.c>b>aD.a>c>b

答案D

解析方法-a=s\n7>sin7=,

562

设/U)=lnx+1—x,x>l,

则/'&)=与~0,

故外)在(1,+8)上单调递减，

故人幻"1)=0,即\nx<x~\(x>\),

所以b=In衿一1=c,故a>c>b.

22

方法二«=sin7>sin-=-=c,Z?=ln-<ln\/e=-=c,

56222

所以a>c>b.

(2)已知e是自然对数的底数，。=心,b=e2sin-,c=-^-,则()

21nvneln2

A.a>b>cB.c>a>b

C.a>c>hD.b>c>a

答案B

解析构建凡¥)=充,x＞e,

则/'*)=霖＞°在化＞+8)上恒成立，

可知久丫)在(e,+8)上单调递增，

因为“=—H—=_2I_c=-^-=-^―

21n诉Inn'ln2ln4'

可知44)》00》(e)=e,

即c>a>e；

构建g(x)=x—sinx,x>0,

贝lJgQ)=l—cosxNO在(()，+8)上恒成立，

可知式x)在(0,+8)上单调递增，

则8。)>以0)=。，即x>sinx,x>0,

可得1>sin［,且e>(),

则e>c2sin-,即e>b,

e

综上所述，c>a>b.

课时精练

［分值：52分］

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.(2025•福州模拟)已知,h=ln(ln3),c=~，则()

A..a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>a>b

答案B

解析因为〃=ln(ln3)>ln(lne)=0,

而〃=扣|<0,c<0,所以〃最大，

构造函数J(x)=x\nA-(x>0),因为/(x)=lnx4-l(x>0),

当0<xJ时，八幻<0,当.\心时，八外>0,

ee

所以人¥)在(O,J上单调递减，在G，+8)上单调递增，

又因为〃=/(：).c=/Q)，

所以/©“(3，即”，

故b>a>c.

2.(2024.北海模拟汜知a=ln(&e),b=—,。=增+1,则a,〃，c的大小关系为()

e5

A.c>d>/?B.b>a>c

C.a>b>cD.b>c>a

答案B

解析由题意，〃=q+1=号+1"=更+1«=苧+1,

24e5

设式#=等，则八月二号，

当0a<e时，f(x)>0,单调递增；当x>e时，八幻<0,危)单调递减，

因为e<4<5,

所以匕=>9)+1>。=/(4)+1"=/(5)+1,故/»〃>c.

3.(2024•昆明模拟)设定义在R上的函数y=/(x)满足对Vx£R,都有,"+2)+/U)=0,且当x£(0,4］时，

xf(x)-J(x)>0,若a=J(2024),6=轨2025),c=纨2026)，则〃"，c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.b>c>a

答案B

解析由/U+2)+yU)=0/U+4)+,"+2)=0m/U+4)=/W,

即4为y=yq)的一个周期，

所以。=人2024)=人4),

同理8=M2025)=攸1),。=皙2026)=42),

令以1)="=8。)=半产.

由已知可得，当xe(0,4］时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以早<野2<午=4A1)加2)44),即a>c>b.

4.(2025•成都模拟)已知函数)，=/(力对任意的5满足—osx~/U)sinx>0(其中八刈是函数凡i)的

导函数)，则下列不等式成立的是()

A/(-少何㈢氏/(沪矶：)

C.2/ld)</Q)D.何0)>/0

答案C

解析构造函数g(x)=/(,t)cosx,x三(一］,,

贝Ug'(x)=/'(x)cosx—/(x)sinx>0,

所以g(x)在(一以上单调递增，

则g(-9〈g(-9,

2)cos(-=)</(-7)COS(-2),

即/(—；)<■(—：)，故A不正确；

则熊卜田'

所以/歙靖>/晶喏,

即/6)>伪C)，故B不正确；

则g(O)〈g得),

所以人O)cos图cos)

即2flp)<fQ)，故C正确；

则g(O)<g6)，

所以J(0)cos0<fQ)cos^,

即发0)</偿)，故D不正确.

5.(2024•成都模拟)若函数人人)对任意的《UR,都有./V)5/U)+2成立，则〃(In2)与次2ln2)—2的大小关系为

()

A.2/(ln2)421n2)-2

B.2/(ln2)</(21n2)-2

C.2/(ln2)=A21n2)-2

D.无法比较大小

答案A

解析令且(1)=用，

/•，(X)-ra)-2

则g«)=

•・•对任意的,都有/'(X)矶r)+2成立，

・・・g'(x)vO,即g(x)在R上为减函数,

又In2<2In2,Ag(ln2)>g(21n2),

即f(ln2)+2>f(2ln2)+2

可得认ln2)>：/(21n2)-2.

6.(2024•南充模拟)设函数,/(x)=sinx+e"—er—x+3,则满足风行+./(3—2x)<6的工的取值范围是()

A.(-8,I)B.(l,+8)

C.(3,+8)D.(-8,3)

答案C

解析yW=sinx+e'—e*—x+3,

设.?(J)=/(JV)—3=sinx+ev—c~v—A,

又易知g(—x)=—g(x),

.・.ga)为R上的奇函数，

又gV)=cosx+e'+e~A—I2cosx+2—I=1+cos%N0,

在R上是增函数，

又/U)+/(3—2i)<6,

・・・伏》—3]+63—僦)-3]<0,

.•・g(x)+g(3—2x)<。,：.g(x)<—g(3~2x),

又g(K)为R上的奇函数，

，g(»<g(ZL3),

又g(K)在R上是增函数,

.*.A<2V—3,.*.x>3,

故满足人x)+/(3-2i)<6的x的取值范围是(3,+8).

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.(2024•滁州模拟)已知函数段)的定义域为R,其导函数为八幻，且对任意的x£R,都有府)+八#>0,则

下列说法正确的是()

A.e/(l)</(0)B.au)»oj

C.2"n2)<e/(l)D.加n2)>e/(l)

答案BC

解析令g(i)=ey"),

所以gV)=ey(x)+ey(x)=e\fix)+/a)j>o,

所以其用在R上是增函数，所以g(O)<g(l),即40)<41),故A错误，B正确；

又g(ln2)<g⑴，

所以e,n2/(ln2)<e/(l),

即2/(ln2)<c^l)，故C正确，D错误.

8.(2025・池州模拟)下列不等关系中正确的是()

A.ln2嘿BM'>aeh(a>b>l)

C.cosL卫D.sin-+->n

43222

答案ABD

GInx

解析对于A项，由In2=号，构造函数危尸塔go),则八】)=二卫=咨，当04y』时，八幻>0,

V■7XX£>XyfX

则、”)在(0,e2)上单调递增，所以心)勺(5),即詈整,故A项正确；

对于B项，设m(x)=~,x>\,

X

则利⑺在(1,+g)上恒成立，

故函数Mx)在(1,+8)上单调递增，

pa

因为a>b>1,故,即一，

ab

故bec>aeh,故B项正确；

2

对于C项，因为COS；<||<=>cos31一点=1—：义(3),

故构造函数於尸cosX-1+#(x>0),

则八K)=x—sinx,

令gCv)=x—sinx,贝I]g'(x)=1—cos,

故g。)在(0,+8)上单调递增，

则gM>g(o),即Fa)w(o)=