高考数学解析几何基础知识总结清单

解析几何基础知识知识总结

,直线

L直线的倾斜角：一条直线向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角。

2、范围0《。<乃

3、直线的斜率：当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值。k=tana（aw$

J

21

4、直线的斜率公式：设1区,必）,巴区/2）。户工2）%=%二

5、直线的倾斜角和斜率关系：（如右图）

7T

0<a<—;k>0;单调增；

2

77

—<a<兀,k<0;单调增

2

6、直线的方程

（1）点斜式：y-y}⑵、斜截式：y=kx+b

⑶两点式：导=台⑷、截距式：-+z=l

ab

⑸、一般式：Ax+ByA-C=0（A2+B20）

x=工+，•cos0

⑹、参数式：1.八（t为参数）参数t几何意义：定点到动点的向量

y=yi-ht-sm0

7、直线的位置关系的判定（相交、平行、重合）

；:y+L：/=/2、+。2§:Axx+Bxy+C；=0,/2:A2X+B2y+C2=0

4_BG

平行：尢=:且4：方2———丰—

A2B2C2

4J

相交：左尸左2-----丰------

A2B2

4_j^i__

重合：1=—且4=%

“2B?C2

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垂直：k\，h=_\44+片房=o

8、到角及夹角（新课改后此部分已删掉）

到角：直线4依逆时方向旋转到与L重合时所有转的角。tana=与?

1+k、k\

夹角：不大于直角的从4到4的角叫4与，2所成的角，简称夹角。tana=

9、点到直线的距离（应用极为广泛）

P(%Jo)到4：力x+为+C=0的品巨离d=：8%+cI

L-2

平行线间距离：4：/x+a+G=0l:Ax+By+C=0d=。

22y)A2+B2

10、简单线性规划（确定可行域，求最优解，建立数学模型）

⑴、目标函数：要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。用关于变量是一次不

等式（等式）表示的条件较线性约束条件。

⑵、线性规划：求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题

11、直线系：具有某种公共属性的直线的集合。

（1）同斜率的直线系方程：y=依+6（k为定值，b为变量）

（2）共截距的直线系方程：y=丘+6（b为定值，k为变量）

（3）平行线束：与/'+a+。=0平行的直线系：Ax+By+m=0（m为变量）

（4）垂直线束：与/x++C=0垂直的直线系：Bx-Ay+m=0（m为变量）

（5）过直线I[:A}x+⑸歹+G=0和12:A2X++。2=0交点的直线系方程：

AyX+B^y+C+4（4%+B2y+C2）=0或A^x+B2y+C2+4（4%+与-+£）=0

（不包含4）（适用于证明恒过定点问题）

二.轨迹问题

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（一）求轨迹的步骤

L建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点p（X,y）

2、立式：写出适条件的p点的集合

3、代换：用坐标表示集合列出方程式f（x,y）=0

4、化简：化成简单形式,并找出限制条件

5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上

（二）求轨迹的方法

1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹

2、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义

3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题

4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线,

然后联立，消去变量即可。

5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标，联立消参。

6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找到轨迹方程。

同

1、定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合叫圆

2、圆的方程

1）特殊式：/+/=/圆心（o,o）半径「

2）标准式：（x_Q）2+（y_6）2=/

3）一育殳式：x2+y2+Dx+Ey+F=0（Z）2+E2-4F>0）圆<?（）

2

半径,/。2+七2一4一

2

X=Q+尸•COS0

4）参数式：,.八（6为参数）圆心（a,b）半径为r

y=b+r・Sin”

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3、点与圆的位置关系：设点到圆心距离为d,圆的半径为r

点在圆外od>r点在圆上=d=r点在圆内=d<r

4、直线与圆的位置关系：直线/:4x+8y+C=0圆C(x—Q)2+(y—/))2=/

Act+Bb+C

线心距d=JT+I

相交=△>0或d<r相切=△=d=r相离=△<()或d>r

5、圆的切线求法

1)切点(X0,打)已知

2,22

x+y=r切线+=/

22

(X-Q)2+(y-A)2=r切线(公-Q)(X-Q)+(j0-b)(y-b)=r

x2^y2+Dx-^Ey+F=Q切线/x+为y++/=0

满足规律：X2-xx、y2->yyxf)Jo+J

oox2

2)切线斜率k已知时,

x2+y2=r2切线y=kx±rJ1+左2

(x-a)2+(y-b)2=r2切线y-b=k(x-a)土+k?

6、圆的切线长：自圆外一点P(%,汽)引圆外切线，切点为£，则

用=业+*+%+&0+、

7、切点弦方程：过圆外一点p(x0/o)引圆/+；?=/的两条切线，过切点的直线即切

2

点弦xox+^=r(其推到过程逆向思维的运用)

8、圆与圆的位置关系：设两圆圆心距离为d,半径分别为不々

1)外离：：d>rx+r2

2)夕卜切：d=。+々

3)相交：t\-r2<d<rx^-r2

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4）内切：d=r]-r2

5）内含：d<rx-r2

圆与圆位置关系的判定中，不能简单的应用联立方程求根

当有两个根时候，肯定两圆相交；当没有根时候，不能确定是外离还是内含；当有且

只有一个根时候，也不能确定是外切和内切

9、公共弦方程（相交弦）：相交两圆G：++片=。、

22

C2:x+y+D2x+E2y^-F2=0公共弦方程⑷—2）x+（&+£）》+（《+&）

10、圆系：具有某些共同性质的圆的集合

1）同心圆系：（x-a）2+（y-bp=/（a,b为定值，r为变量且r>0）

2）等圆系：（x—a）?+（尸b）2=/（a,b为变量，r为定值）

3）过直线/:4c+8y+C=0与圆+瓜+口+产=。的交点的圆系方程：

x2+y2+Dx+Ey+F+A（Ax+By+C）=0（4£。）简记为。+“=0

2

4）过两圆G：/+y+A》++与=0,G:/+j?+D?X+E2y+g=0交点的

222

圆系方程：x+y+D]x+Exy+冗+A（x+/+D2x+E2y+F2）=0（2w-1）简

记为C+/lG=0

四.椭园

椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合

1、定义：|西|+|尾|=2。（2〃〉|质|）第二定义：子=e=5（0<e<l）

2222

2、标准方程：=十二=1(〃〉6〉0)或4+二=1(〃>6>0);

a~h~cTb~

\x—acos0

3、参数方程，.八（e为参数）。几何意义：离心角

[y=osmc/

4、几何性质:（只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质）

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①、顶点（土%0）,（0,±6）

②、焦点（土c,0）

③、离心率e，（0<e<l）

a

④准线：x=土”（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）

c

n

5、焦点三角形面积：,所巡=〃.tan（设/片次=6）（推导过程必须会）

6、椭圆面积：5椭=〃・。・6（了解即可）

7、直线与椭圆位置关系：相离（A<0）;相交（A>0）;相切（A=0）

判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数

8、椭圆切线的求法

22

1）切点（/义）已知日寸，=+二=l（a>6>0）切线?+斗=l

ab"a~b-

力+a=l(a>b>。)切线驾+苦=l

a~b~

22

2）切线斜率k已知时，二+==1（。〉6〉0）切线y=kx±da2k?+b2

cTb~

22

VX切线y=kx±\lb2k2+a2

二+r=1(Q>6>0)

crb~

9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离

22

r=a±exQ（左力口右减）

2

+p-=1(6?>A>0)r=a±ey（下加上减）

a20

五、双曲线

PFc/1、

L定义：\PF}\-\PF2\=±2a第二定义:e=—(e>I)

da

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2

2、标准方程：。=1（Q〉0/〉0）（焦点在x轴）

a~b2

v2x2

4一二二1（。>0力〉0）（焦点在y轴）

ab〜

x=a・sec0

参数方程:,八(e为参数)用法：可设曲线上任一点P(asece,btan6)

y=b-tan0

3、几何性质

①顶点（土兄0）

②焦点(±c,0)2=a2^b2

③离心率e=£e>\

a

2

④准线x土土

C

丫一22122

⑤渐近线工ybxv八

1(Q>0,b>0)尸土一X或一7一、二0

ab2aa"b~

x2y=±^xX2

=\(a>Q.b>0)二0

a

4、特殊双曲线

①、等轴双曲线二—二二1e=V2渐近线y=±x

a~cT

222

②'双曲线=1的共姬双曲线3=-1

性质1:双曲线与其共柄双曲线有共同渐近线

性质2:双曲线与其共期双曲线的四个焦点在同一圆上

5、直线与双曲线的位置关系

①相离（A<0%②相切（△=（））;③相交（A>0）

判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起

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△=0时可以是相交也可以是相切

6、焦半径公式

x2

~2—=l(a>0,6〉0)点P在右支上r=exQ±a（左加右减）

点P在左支上r=-（0（）±67）（左加右减）

v2x2

=l(67>0^>0)点P在上支上r=eyQ±a（下加上减）

点P在上支上r=-（"o±67）（下加上减）

7、双曲线切线的求法

22

①切点P（Xo/o）已知=―%=1(。>01>0)切线当一罢=1

矿b」cTb“

二—/l(a>0,"0)切线誓一等=1

abab

y=kx±da2k2-b2(网>—)

②切线斜率K已知晨下一1

a

2

Xy=kx±Jq2-b2k2(k|<—)

a2a

.0

8、焦点三角形面积：S.pg=/>2-cot-(e为/F\PF,)

2~

六.抛物线

L定义：平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合（轨迹）

2、几何性质：P几何意义：焦准距焦点到准线的距离设为P

标准方程：=2px（p>0）y2=一2Px(p>o)

图像:

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范围：x>0x<0

对称轴：x轴x轴

顶点：（0,0）(0,0)

焦点：（4,0）

2

离心率：e=le=l

准线：x=-PX-P

2

标准方程：x2=2py（p>0）