计数原理与概率统计（1年汇编）原题版

计数原理与概率统计

考点oi统计

I.（2026•新课标全国I卷•高考真题）样本数据6,8,4,5,12的中位数为（）

A.5B.6C.8D.9

2.（2026・北京卷•高考真题）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下:

成绩分

网,94）[94,107)[107,120)[120,135)[135,150]

组

人数406060328

以频率估计概率，完成下列问题：

（1）求数学成绩低于120分的概率；

（2）从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率;

⑶每组数据取左端、中间、右端，比较《、,、片的大小关系.

考点02计数原理

1.（2026・新课标全国H卷•高考真题）现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、8两个技术小组，要求每组4人,

且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有（）

A.1()种B.12种C.16种D.24种

2.（2026・北京卷•高考真题）已知的展开式中的/的系数是280,则〃=（）

A.2B.-2C.ID.-1

3.（2026・上海卷・高考真题）fL+3/丫的二项展开式中，二的系数为.

4.（2026・上海卷・高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有种选法.

5.（2026•天津卷・高考真题）（“十2），）4展开式中炉）,的系数为.

考点03概率

1.（2026・上海卷・高考真题）事件A和事件8相互独立，”A和B至少一个发生”的对立事件是（).

A.AcBB.A\JBC.A()BD.AuB

2.(2026・上海卷・高考真题)

己知事件4,B互斥,P（A）=0.2,P⑻=0.5,则。（4U0=

3.（2026•天津卷・高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到

黄球的概率是__________;在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是.

4.（2026.上海卷.高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：

年龄剪纸摄影画面人数

[25,35)845

[35,45)1()55

[45,55)650

（1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在［25,35）岁的有多少人？

（2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？

⑶现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在[35,45）为事件A,记抽到学员爱好摄影为事件3.事件

A与8是否独立？请说明理由.

考点04随机变量及其分布列

1.（2026•新课标全国I卷•高考真题）设^={（不电,巧）氏£{-2,-11,2}/=1,2,3}为空间中64个点构成的集

合，点"（IJI）,记样木空间。=\",从Q中随机取一个点，定义随机变量X如下：对Q中的每个点

4（%,马,不），令X（A）=N+X2+E，则X的数学期望值为（）

A.-----B.------C.0D.—

21637

（-\01、

2.（2026•上海卷・高考真题）已知随机变量X的分布为人，且£（X）=0.5,则。=___________.

a0.3by

3.（2026•新课标全国I卷•高考直题）设整数N22.某同学用一个球讲行投筛练习，至多投解N次，当H

仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习.设该同学每次投中的概率为各次投中与否相

互独立.记X为停止练习时该同学的投篮次数.

⑴当N=4,〃=g时，求X的分布列；

（2）设，〃均为自然数.

（i）当上WN-1时，求P（X>k）；

（ii）当A+时，证明：P[X>k+in\X>k）=P[X>m）.

4.（2026・新课标全国II卷•高考真题）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），

然后绘制出如下有关于“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图：

频率

八砺

0.025.............................——

0.02..............................

0.015.................................................

0.01.....................

0.0051——....................................——।——।

°345355365375385395405415425间/天

（1）求第一四分位数和中位数:

（2）没〃为首次故障时间小于365天的概率估计值.

（i）求〃；

（ii）已知该工厂向某用户销售了100件电子元件,X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，

若X〜8（100/）,求矶X）和。（X）.

考点05统计案例

1.（2026•天津卷・高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，

其中相关系数r=-0.91,根据最小二乘法算得：y=-1.17x+1370.7,下列说法正确的是（）

八候鸟个数

■

•%

•・・・・・・

・・・

~~0

A.y与X负相关B.当工=10时，？一定为1359

C.当x=l（）时，》一定小于1359D.两变量无线性关系

2.（2026・上海卷・高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧

化硫密度进行了监测和记录，数据如下：

颗粒

物密101.0287.0257.4721.8511.768.865.034.633.86

度

二氧

化硫119.4781.9453.209.166.604.403.313.353.86

密度

（1）为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？

（2）为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分

析，并请你判断相关系数在（-1,0）,（0,1）,0,2）哪个区间内？（直接写结论）

（3）2023年前9年的年份（X）的平均数为2018,丁（颗粒物密度）关于》（年份）的回归方程拟采用

46,（x2014）

.y=106.544<?-°'-,或y2014）+83.743.已知2023年实际颗粒物密度为3.88,则哪个回归方程

对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？

参考数据：106.5443《的加土1.681

一、单选题

1.（2026♦湖南长沙•三模）一组数据升序排列为：2,4,5,工7,9,已知这组数据中位数是5.5,x的值为（）

A.5B.6C.7D.8

2.（2026・浙江绍兴•模拟预测）在（4-1）6的展开式中，含有9项的系数为（）

A.15B.6C.2（）D.1

3.（2026•山东泰安・模拟预测）5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（）

A.24B.48C.72D.96

4.（2026・江苏无锡・模拟预测）已知48为两个随机事件，P（A）=0.2,P（8）=（）.5,则下列结论错误的是

（）

A.若AqB,则尸（AU8）=0.5B.若4B独立，则P（A8）=0.1

C.若4B独立，则尸（Au8）=0.7D.若Ab互斥，则尸（A刑3）=0.7

5.（2026•黑龙江哈尔滨•模拟预测）若随机变量X~8（9,同,已知石”）=3,则。（2乂）为（）

A.1B.2C.4D.8

6.（2026・湖南常德•一模）已知变量％和V有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据

可以得到经验回归方程为y=2.2x+6,则（）

X2356

y57915

A.经验回归直线必过点（357.5）B.a=0.8

C.x=2对应的样本点的残差为-0.4D.当x=7时，预测值夕=15.6

7.（2026•山东东营•模拟预测）已知随机变量X服从正态分布X~N（l,b）若P（XKa）+P（XK"〃）=l,

则而的最大值为（）

I4

A.B,-C.1D.2

8.（2026・上海杨浦•模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两

种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为

)

4

9.（2026・湖北武汉•三模）关于多项式（2x-—+l）的展开式，下列结论正确的是（）

A.各项系数之和为32B,常数项为8（）

C.项的系数为-120D.展开式一共有21项

10.（2026•山西忻州•模拟预测）有一组样本数据毛，/，…，工〃，其平均数为了，方差为V，：s>0）.现

向这组数据中加入两个新数据x+d（”>0）,得到一组新的样本数据，其平均数为方差为J"

则下列说法正确的是（）

A.7=1

B.新样本数据的中位数一定等于原样本数据的中位数

C.若d=s,则

-ns2+2d'

D.5P=-----------

〃+2

II.（2026•江苏南京•三模）已知'田（〃,忆2,当£<0.05时，可以认为*~4〃，3），如果丫〜W〃,p）,

当即可以认为y~N（〃,4）.某校高中有学生］000人，近视人数有400人.从中随机抽取

100A,记这100人中近视人数为随机变量X；若从中有放回的一个一个的抽查100人，这100人中近视人数

为随机变量y.则（）

附:若随机变量。服从正态分布则户（〃一bVJV〃+cr）=0.6826,P（ju-2a<+2a）=0.9544,

P（〃-3cr<gv〃+3b）=0.9974.

A.X~8（100。）B.y〜N（40,24）

C.随机变量丫的取值在135,45］之间的概率大于0.6826D.E（X）=40

12.（2026・河北保定•三模）某科技公司推出了一项全民互动体脸项目，该项目利用AI技术为用户生成个

性化数字人形象.已知每位用户生成的数字人形象相互独立，且遵循以下生成规则：①风格类型分为国风、

科技风、萌趣风三类，每种类型生成的概率分别为!，!，!，②动作特效分为抱拳、奔跑、比心三类，动作

236

特效的生成概率与风格类型相关，其规律如下，若生成的风格类型为国风，则生成的动作特效为抱拳、奔

跑、比心的概率分别为:，!，，，；若生成的风格类型为科技风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的

236

概率均为若生成的风格类型为萌趣风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为

③隐藏款判定，若生成的数字人形象的风格类型与动作特效满足国风配抱拳或科技风配奔跑或萌趣风配比

心，则该数字人形象为隐藏款，否则为普通款.下列说法正确的是（）

A.随机抽取I位用户，则事件“数字人形象风格类型为科技风”与事件“数字人形象动作特效力奔跑”相

互独立

B.随机抽取1位用户，则该用户的数字人形象为隐藏款的概率是1

C.随机抽取9位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量。，则P信二5）最大

D.随机抽取2位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变显幺，另外随机抽取3位用户，

记生成的数字人形象为普通款且动作特效为奔跑的人数为随机变量小则。（〃）＞。（刍）

三、填空题

13.（2026•山东聊城•模拟预测）已知

（2+x1+（2+x）+•♦♦+（2+x）~+q（3+x）+g（3+x）+式3+，则％十七十七十•‘,十'"12=

14.（2026•陕西西安・模拟预测）某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均

成绩为110分，方差为55,女性平均成绩为130分，方差为95,则在这次团建中，该公司的平均成绩为

分，方差为.

15.（2026•福建泉州•模拟预测）为弘扬志愿服务精神，学校鼓励同学们积极参与志愿服务活动.现安排甲、

乙、丙、丁共四名同学参加某日早上、中午、晚上三个时段的志愿服务，每个时段需安排2名同学，分别

负责接待和登记.若每位同学至少安排一个时段，且甲不能排早二，乙丙不能排同一时段，则安排方法总数

为.

16.（2026・山东日照.模拟预测）若甲、乙两名同学进行投篮游戏，甲投球入篮的概率为g,乙投球入篮的

概率为:•经过两人约定，游戏规则如下：若甲投球未入篮，则下一球由乙投球；若乙投球未入篮，则下一

球等可能地由甲、乙投球，如此循环，直到一名同学投球入篮，则该学生获胜.通过硬币裁定，由甲先进行

投篮.若甲、乙两名同学的投篮次数不限，则最终乙获胜的概率为.

四、解答题

17.（2026・湖北•模拟预测）台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度

通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，

得到下表：

白光黄光

近视8060

不近视4060

（I）根据小概率值。=0.01的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关;

⑵用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率.

(a+Z?)(c+d)(.+c)(〃+d)，

a0.050.010.001

3.8416.63510.828

18.（2026.山西运城.模拟预测）设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为），cm,测得的一些数据如下表所

示：

第1/p>

高度ycm0479111213

作出这组数据的散点图发现：（cm）与x（天）之间近似满足关系式），=%6+〃，其中a,b均为常数.

（1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对〃，〃作出估计，并求出丁关于1的经验回归

方程；

（2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于亍的点

的个数为久其中亍为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量4的分布列和数学期望.

7777

参考数据：令〃»＞戊=283,Z甯=140,Z4=28,Zy=56.

/=1Mr=1r-1

参考公式:经验回归直线卞=/羡+片的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：B=R---------,a=y-bx.

加2