可分离变量微分方程

可分离变量微分方程Tag内容描述：<p>1、,一、变量可分离方程,如果一阶微分方程可以化为下列形式：,则称原方程为变量可分离的方程。,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：,其中C为积分后出现的任意常数。,第二节、可分离变量微分方程,.,解,原方程即,对上式两边积分，得原方程的通解,.,解,对上式两边积分，得原方程的通解,隐函数形式,经初等运算可得到原方程的通解为,你认为做完了没有？,.,原方程的解为,.,解,两边同时积分，得,故所求。</p><p>2、转化 可分离变量微分方程 第二节 解分离变量方程 可分离变量方程 分离变量方程的解法: 设 y (x) 是方程的解, 两边积分, 得 则有恒等式 当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有 称为方程的隐式通解, 或通积分. 同样,当F(x) = f (x)0 时, 上述过程可逆, 由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 例1. 求微分方程的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 例2. 解初值问题 解: 分离变量得 。</p><p>3、转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 解分离变量方程 可分离变量方程 第十二章 Date阜师院数科院 分离变量方程的解法: 设 y (x) 是方程的解, 两边积分, 得 则有恒等式 当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有 称为方程的隐式通解, 或通积分. 同样,当F(x) = f (x)0 时, 上述过程可逆, 由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date阜师院数科院 例1. 求微分方程的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步。</p><p>4、目录 上页 下页 返回 结束 转化 可分离变量微分方程 第二节 解分离变量方程 可分离变量方程 目录 上页 下页 返回 结束 分离变量方程的解法: 设 y (x) 是方程的解, 两边积分, 得 则有恒等式 当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时, 的隐函数 y (x) 是的解. 则有 称为方程的隐式通解, 或通积分. 同样, 当 F (x) = f (x)0 时, 由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 说明由确定 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求微分方程的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步。</p><p>5、第二节 可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、典型例题 一、可分离变量的微分方程 形如 的方程，称为可分离变量 的微分方程. 分离变量，得： 设 y= (x) 是方程的解, 则有恒等式： 两边积分, 得 即： 设函数 G(y) 和 F(x) 是 g(y) 和 f(x) 的一个原函数 , 则有 当 G(y) 与F(x)可微且 G(y) =g(y)0时, 说明由确定的隐函数 y=(x) 是的解. 称为方程的隐式通解, 或通积分. 同样,当F(x) = f (x) 0时, 上述过程可逆, 由确定的隐函数 x=(y) 也是的解. 一、可分离变量的微分方程 形如 的方程，称为可分离变量 的微分方程. 求解步骤： 。</p><p>6、第十二章,微分方程,上页 下页 返回 结束,Music,积分问题的反问题,基本微分方程的解法,应用广泛,微分方程,初始条件,第十二章 微分方程,第一节,上页 下页 返回 结束,微分方程的基本概念,微分方程的解,例1.,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C = 1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .,上页 下页 返回 结束,一、引例,例2. 列车在平直路上以,的速度行驶, 制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,。</p><p>7、第二节 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,二、典型例题,三、小结,解法,为微分方程的通解方程特征.,分离变量法,可分离变量的微分方程.,一、可分离变量的微分方程,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,二、典型例题,解,例2,分离变量,两端积分,衰变规律,解,设鼓风机开动后 时刻 的含量为,在 内,的通入量,的排出量,6分钟后, 车间内 的百分比降低到,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分-隐式通解.,三、小结,思考题,求解微分方程,思考题解答,为所求解.,练 习 题,练习题答案。</p><p>8、转化,可分离变量微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x),= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此。</p><p>9、1,第二节 可分离变量的微分方程,形如,的一阶微分方程叫做已分离变量方程 .,设 是方程的解 ,两边积分, 则有,即,(称为隐式通解),形如,的方程都叫做可分离变量方程 .,则有恒等式,或,2,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,令,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可,能增、减解.,如此例, y = 0 也是原 方程的解 , 但在变量 分离时丢失了此解.,3,例2. 解下述初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,4,求方程 的通解 .,解法 1：,或,( C 0 。</p><p>10、第二节 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程 二、典型例题 三、小结,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,二、典型例题,解,由题设条件,衰变规律,例 3,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得。</p><p>11、2,第二节 可分离变量的微分方程,形如,的一阶微分方程叫做已分离变量方程 .,设 是方程的解 ,两边积分, 则有,即,(称为通积分),形如,的方程都叫做可分离变量方程 .,可化为已分离变量形式,求解.,则有恒等式,或,3,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,令,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可,能增、减解.,如此例, y = 0 也是原 方程的解 , 但在变量 分离时丢失了此解.,4,例2. 解下述初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,5,求方程 的。</p><p>12、一阶微分方程,第二节,本节讨论形如,第八章,的一阶微分方程,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,例2. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),例3. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,练习,求下列微分方程的通解,练习:,解法 1 分离变量,即,( C 0 ),解法 2。</p><p>13、第二节 可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的通解.,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,例3.,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.,解: 根据题意, 有,(初始条件),分离变量,即,利用初始条件, 得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知 。</p><p>14、转化,可分离变量微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第十二章,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x),= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 。</p><p>15、转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时,的隐函数 y (x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样, 当 F (x) = f (x)0,时,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x),说明由确定,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),。</p><p>16、第二节 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,二、典型例题,一阶微分方程一般可表示为,若关于 可解出 , 则可写作:,还可写作对称形式:,一、可分离变量的微分方程,称为可分离变量的微分方程.,一阶微分方程,求解可分离变量的微分方程 的步骤:,1、分离变量,得,2、两边积分,得,3、求出通解,例1 求解微分方程,解,分离变量 , 得,两端积分 , 得,二、典型例题,解得,例 求解微分方程,解,分离变量,得,两端积分,得,解得,例2 求解微分方程,解,分离变量,得,两端积分,得,解得,例3 求解微分方程,解,分离变量,得,两端积分,得,解得,解,分离变量,得。</p><p>17、第十章 微分方程 第二节 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,二、例题,例2 求解微分方程,解,为所求解.,例3. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,例4.,成正比,求,解: 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分 :,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简, 得特解,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降。</p><p>18、对称式),可分离变量的微分方程,形如,解法,分离变量法,为微分方程的解,叫做方程的隐式解又叫隐式通解.,二、典型例题,例1 求解微分方程,的通解.,例2,例3 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴间的任一,切线段均被切点平分，求这曲线方程。,思考与练习,化下列方程为可分离形式：,定义,的微分方程称为齐次方程.,齐次方程,解法,作变量代换,例1 解微分方程,例 2 解微分方程,例 3 解微分方程,1.定义 一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一阶线性微分方程,一、线性方程,2.解法,齐次方程的通解为,分离变量法:,常数。</p>