【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学（课时作业+单元综合检测+章末总结）（全册打包30套）苏教版选修2-1
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学（课时作业+单元综合检测+章末总结）（全册打包30套）苏教版选修2-1,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,课时,作业,功课,单元,综合,检测,总结,打包,30,苏教版,选修
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1 种命题 课时目标 能判断一些简单命题的真假 解命题的逆命题、否命题与逆否命题的含义 分析四种命题的相互关系 1命题的定义 _叫做命题，其中 _叫做真命题， _叫做假命题 2命题的结构 在数学中， “ 若 p 则 q” 这种形式的命题是常见的，我们把这种形式的命题中的 p 叫做命题的 _， q 叫做命题的 _ 3四种命题的概念 一般地，设 “ 若 p 则 q” 为原命题， “ 若 q 则 p” 就叫做原命题的 _， “ 若非p 则非 q” 就叫做原命题的 _， “ 若非 q 则非 p” 就叫做原命题的_ 4四种命题的真假性 四种命题的真假性之间的关系如下： (1)两个命题互为逆否命题，它们有 _的真假性； (2)两个命题互为互逆命题或互否命题，它们的真假性 _ 一、填空题 1下列语句是命题的是 _ 求证 3是无理数； x 2 4x 40 ； 你是高一的学生吗？ 一个正数不是素数就是合数； 若 x R，则 4x 70. 2下列命题： 若 1，则 x， y 互为倒数； 四条边相等的四边形是正方形； 平行四边形是梯形； 若 a_ 3命题 “ 奇函数的图象关于原点对称 ” 的条件 p 是 _，结论 q 是_ 4命题 “ 各位数字之和是 3 的倍数的正整数，可以被 3 整除 ” 的逆否命题是_；逆命题是 _；否命题是_ 5有下列四个命题： “ 全等三角形的面积相等 ” 的否命题； 若 0，则 a， b 全为 0； 命题 “ 若 m1 ，则 2x m 0 有实根 ” 的逆否命题； 命题 “ 若 A B B，则 AB” 的逆命题 其中是真命题的是 _(写出所有正确命题的序号 ) 6命题 “ 当 ， 等腰三角形 ” 与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 _ 7对于命题 “ 若数列 等比数列，则 ” ，下列说法中正确的有 _ (写出所有正确的序号 ) 它的逆命题是真命题； 它的否命题是真命题； 它的逆否命题是假命题； 它的否命题是假命题 2 8命题 “ 若函数 f(x) a0， a1) 在其定义域内是减函数，则 x 1 0 无实数根 假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假 (1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形； (2)若 q1 ，则方程 2x q 0 有实根 能力提升 11写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假 (1)垂直于同一平面的两直线平行； (2)若 m a1) 在其定义域内不是减函数 解析 由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若 ，则函数 f(x) a0， a1) 在其定义域内不是减函数 9解 (1)若一个数是偶数，则这个数能被 2 整除，真命题 (2)若 m14，则 x 1 0 无实数根，真命题 10解 (1)原命题是真命题 逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，真命题 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，真命题 . 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，真命题 (2)原命题是真命题 逆命题：若方程 2x q 0 有实根，则 q1 ，真命题 否命题：若 q1，则方程 2x q 0 无实根，真命题 逆否命题：若方程 2x q 0 无实根，则 q1，真命题 11解 (1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面，真命 题 否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行，真命题 逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面，真命题 (2)逆命题：若方程 x n 0 有实数根，则 mn0 ，假命题 否命题：若 mn0 ，则方程 x n 0 没有实数根，假命题 逆否命题：若方程 x n 0 没有实数根，则 mn0 ，真命题 12证明 若 a b0，则 a b， f(x)在 R 上是增函数， f(a)f( b) 又 f(x)为奇函数， f( b) f(b)， f(a) f(b)，即 f(a) f(b)0. 即原命题的逆否命题为真，故原命题为真 a b0. 1 分条件和必要条件 课时目标 解充分条件、必要条件、充要条件的意义 判断 (证明 )某些命题的条件关系 1一般地，如果 pq，那么称 p 是 q 的 _，同时 q 是 p 的 _ 2如果 pq，且 qp，就记作 _这时 p 是 q 的 _条件，简称_条件，实际上 p 与 q 互为 _条件如果 p q 且 q p，则 p 是 q 的_条件 一、填空题 1用符号 “ ” 或 “ ” 填空 . (1)a (2)_ a0. 2已知 a， b， c， d 为 实数，且 cd，则 “ ab” 是 “ a cb d” 的 _条件 3不等式 (a x)(1 x)0)在 1， ) 上单调递增的充要条件是 _ 5设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，则丙是甲的 _条件 6设 a， b R，已知命题 p： a b；命题 q： a 则 p 是 q 成立的_条件 7 “ 是 “ a， b， c 成等比数列 ” 的 _条件 8 “ k 1” 是 “ 直线 x y k 0 与圆 1 相交 ” 的 _条件 二、解答题 9设 、 是方程 b 0 的两个实根，试分析 “ a2 且 b1” 是 “ 两根都大于1” 的什么条件？ 10.设 x， y R，求证 |x y| |x| |y|成立的充要条件是 . 2 能力提升 11记实数 ， ， 最小数为 ， 已知 三边边长为 a， b， c(a b c)，定义它的倾斜度为 l 则 “ l 1” 是 “ 等边三角形 ” 的 _条件 12已知 P x|a 4d， a c 与 b d 的大小无法比较； 当 a cb d 成立时，假设 a b，又 综上可知， “ ab” 是 “ a cb d” 的必要不充分条件 3 (2， ) 解析 不等式变形为 (x 1)(x a) a，即 a2. 4 b 2a 解析 由二次函数的图象可知当 ，即 b 2a 时，函数 y c 在 1， ) 上单调递增 5充分不必要 解析 甲是乙的必要条件， 乙 甲 又 丙是乙的充分条件，但 不是乙的必要条件， 丙 乙，但乙 丙如图所示 综上有丙 乙 甲，但乙 丙， 故有丙 甲，但甲 D/丙， 即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 6充分不必要 解析 由 a b 知， a pq； 反之，若 q 成立，则 p 不一定成立， 例如取 a 1， b 1， 则 a 01 但 a b. 7必要不充分 4 解析 由 a， b， c 成等比数列， 例如， a 0， b 0， c 5. 若 a， b， c 成等比数列，由等比数列的定义知 8充分不必要 解析 把 k 1代入 x y k 0，推得 “ 直线 x y 1 0与圆 1相交 ” ；但 “ 直线 x y k 0 与圆 1 相交 ” 不一定推得 “ k 1” 故 “ k 1” 是 “ 直线 x y k 0 与圆 1 相交 ” 的充分不必要条件 9解 由根与系数的关系得 b ， 判定的条件是 p： a2b1 ，结论是 q： 1 1 ( 0) 由 1 且 1a 2， b 1a2 且 b1，故 qp. 取 4， 12， 则满足 a 4 122， b 4 12 21，但 p q. 综上所述， “ a2 且 b1” 是 “ 两根都大于 1” 的必要不充分条件 10证明 充分性：如果 ，则有 0 和 两种情况，当 0 时，不妨设 x 0， 则 |x y| |y|， |x| |y| |y|， 等式成立 当 时，即 x0， y0，或 y0 时， |x y| x y， |x| |y| x y， 等 式成立 当 x0， y0 时， |x y| (x y)， |x| |y| x y， 等式成立 总之，当 时， |x y| |x| |y|成立 必要性：若 |x y| |x| |y|且 x， y R， 则 |x y|2 (|x| |y|)2， 即 22|x|y|， | . 综上可知， |x y| |x| |y|成立的充要条件是 . 11必要而不充分 解析 当 等边三角形时， a b c， l 11 1. “ l 1” 是 “ 等边三角形 ” 的必要条件 a b c， 又 l 1， 即 得 b c 或 b a，可知 等腰三角形，而不能推出 等边三角形 “ l 1” 不是 “ 等边三角形 ” 的充分条件 12解 由题意知， Q x|1x3， QP， a 41a 43 ，解得 1 a5. 实数 a 的取值范围是 1,5 1 单的逻辑联结词 课时目标 或 ” 、 “ 且 ” 、 “ 非 ” 的含义 用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假 1用逻辑联结词构成新命题 (1)用联结词 “ 且 ” 把命题 p 和命题 q 联结起来，就得到一个新命题，记作 _，读作 _ (2)用联结词 “ 或 ” 把命题 p 和命题 q 联结起来， 就得到一个新命题，记作 _，读作 _ (3)对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作 _，读作 _或_ 2含有逻辑联结词的命题的真假判断 p q p q p q 綈 p 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 真 一、填空题 1下列命题： 2010 年 2 月 14 日既是春节，又是情人节； 10 的倍数一定是 5 的倍数 ； 梯形不是矩形 其中使用逻辑联结词的命题是 _ (写出符合要求的序号 ) 2 “23” 中的逻辑联结词是 _，它是 _命题 (填 “ 真 ” ， “ 假 ”) 3如果命题 “ 綈 p 或綈 q” 是假命题，则在下列各结论中，正确的为 _(写出所有正确的序号 ) 命题 “ p 且 q” 是真命题； 命题 “ p 且 q” 是假命题； 命题 “ p 或 q” 是真命题； 命题 “ p 或 q” 是假命题 4下列命题中既是 p q 形式的命题，又是真命题的是 _ (写出符合要求的序号 ) 10 或 15 是 5 的倍数； 方程 3x 4 0 的两根是 4 和 1； 方程 1 0 没有实数根； 有两个角为 45 的三角形是等腰直角三角形 5若 “ x 2,5或 x ( ， 1) (4， )” 是假命题，则 x 的范围是 _ 6已知 a、 b R，设 p： |a| |b|a b|， q：函数 y x 1 在 (0， ) 上是增函数，那么命题： p q、 p q、綈 p 中的真命题是 _ 7 “ a 和 b 都不是偶数 ” 的否定是 _ 8设 p：函数 f(x) 2|x a|在区间 (4， ) 上单调递增； q： 1)是单调减函数 ” ，试判断非 p 的真假； (2)如果 p 表示 “ A B A B”( 其中 A， B 为非空集合 )，那么非 p 表示什么？并判断p 的真假 12设有两个命题命题 p：不等式 (a 1)x 10 的解集是 ；命题 q：函数 f(x) (a 1)果 p q 为假命题， p q 为真命题，求 a 的取值范围 3 1从集合的角度理解 “ 且 ”“ 或 ”“ 非 ” 设命题 p： x q： x B.则 p qx A 且 x Bx A B； p qx A 或 x Bx A B；綈 pxAx 2对有逻辑联结词的命题真假性的判断 当 p、 q 都为真， p q 才为真；当 p、 q 有一个为真， p q 即为真； 綈 p 与 p 的真假性相反且一定有一个为真 3利用命题的真假来判断字母的范围问题是常见题型，可以分情况讨论 简单的逻辑联结词 知识梳理 1 (1)p q “ p 且 q” (2)p q “ p 或 q” (3)綈 p “ 非 p” “ p 的否定 ” 作业设计 1 解析 命题使用逻辑联结词，其中， 使用 “ 且 ” ， 使用 “ 非 ” 2或 真 3 解析 由真值表可知，綈 p 或綈 q 为假命题，可知綈 p，綈 q 均为假命题，所以 p、 “ p 且 q” 为真命题， “ p 或 q” 也为真命题 4 解析 中的命题为 p q 型， 中的命题是假命题， 中的命题是綈 p 的形式， 中的命题为 p q 型且为真命题 5 1,2) 解析 x 2,5或 x ( ， 1) (4， ) ， 即 x ( ， 1) 2， ) ，由于命题是假命题， 所以 1 b0 时， |a| |b| |a b|，故 p 假，綈 p 为真；对于 q，抛物线 y x 1 的对称轴为 x 12，故 q 假，所以 p q 假， p q 假 这里綈 p 应理解成 |a| |b|a b|不恒成立， 而不是 |a| |b| a b|. 7 a 和 b 至少有一个是偶数 8 (4， ) 解析 由题意知： p 为假命题， q 为真命题 4 当 a1 时，由 q 为真命题得 a2；由 p 为假命题且画图可知： a4. 当 04. 9解 (1)p 为假命题， q 为真命题 p 或 q： 1 是质数或是方程 2x 3 0 的根真命题 p 且 q： 1 既是质数又是方程 2x 3 0 的根假命题 綈 p： 1 不 是质数真命题 (2)p 为假命题， q 为假命题 p 或 q：平行四边形的对角线相等或互相垂直假命题 p 且 q：平行四边形的对角线相等且互相垂直假命题 綈 p：有些平行四边形的对角线不相等真命题 (3) 0， p 为假命题， 又 3x 10解 若方程 1 0 有两个不等的负根， 则 40， p： m2. 若方程 44(m 2)x 1 0 无实根， 则 16(m 2)2 16 16(4m 3)2，m1 或 m3 ， 或 m2 ，1 1)不是单调减函数，为假； (2)中非 p 表示的命题为 “ A BA B” ，其显然为真，故命题 p 为假 12解 对于 p：因为不等式 (a 1)x 10 的解集是 ，所以 (a 1)241，所以 a0. 又 p q 为假命题， p q 为真命题， 所以 p、 q 必是一真一假 当 p 真 q 假时有 3a0 ， 5 当 p 假 q 真时有 a1. 综上所述， a 的取值范围为 ( 3,0 1， ) 1 词 课时目标 解全称量词与存在量词的意义 判定全称命题和存在性命题的真假 1全称量词和全称命题 “ 所有 ” 、 “ 任意 ” 、 “ 每一个 ” 等表示全体的量词在逻辑中称为 _，通常用符号 “_” 表示 “ 对任意 x” 含有 _的命题称为全称命题 通常， 将含有变量 x 的语句用 p(x)， q(x)， r(x)， 表示，变量 x 的取值范围用 M 表示那么，全称命题 “ 对 M 中的任意一个 x，有 p(x)成立 ” 可用符号简记为 x M， p(x)，读作 “ 对任意 x 属于 M，有 p(x)成立 ” 2存在量词和存在性命题 “ 有一个 ” 、 “ 有些 ” 、 “ 存在一个 ” 等表示部分的量词在逻辑中称为 _，通常用符号 “_” 表示 “ 存在 x” ，含有 _的命题称为存在性命题 存在性命题 “ 存在一个 x 属于 M，使 p(x)成立 ” 可用符号简记为 x M， p(x)，读作 “ 存在一 个 x 属于 M，使 p(x)成立 ” 一、填空题 1给出下列命题： 所有正方形都是矩形； 每一个有理数都能写成分数的形式； 有些三角形是直角三角形； 存在一个实数 x，使得 x 1 0. 其中含有全称量词的命题序号是 _，含有存在量词的命题序号是 _ 2指出下列命题是全称命题，还是存在性命题： (1)任何一条直线都有斜率 _； (2)一次函数是单调函数 _； (3)有无数多个 既是奇函数又是偶函数的函数 _ 3给出下列存在性命题： 有的有理数是无限不循环小数； 有的等比数列的公比是负数； 有些圆内接四边形的对角不互补其中 假 命题是 _ (写出所有假命题的序号 ) 4已知：对 x (0， ) ， 用 “ ” 或 “ ” 可表述为_ 6下列命题中假命题有 _ (写 出所有符合要求的序号 ) x R， lg x 0； x R， x 1； x R， ； x R,2x0. 7将 “ 改写成全称命题 _ 8下列四个命题： x R， 2x 30； 若命题 “ p q” 为真命题，则命题 p、 q 都是真命题； 若 p 是綈 q 的充分而不必要条件，则綈 p 是 q 的必要而不充分条件 其中真命题的序号为 _ (将符合条件的命题序号全填上 ) 二、解答题 下列命题中哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假 (1)若 a0，且 a1 ，则对任意实数 x， . (2)对任意实数 7 a， b R， 析 补上省略的全称量词即可 8 9解 (1)(2)是全称命题， (3)(4)是存在性命题 (1) (a0， a1) 恒成立， 命题 (1)是真命题 (2)存在 0， ， 命题 (4)是假命题 10解 甲命题为真时， (a 1)2 4 a1 或 (2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况： 甲真乙假时， 131 时不可能，所以 0a1，34， 解得3 44 a1. 故所求 a 的取值范围为3 44 ， 1. 1 有一个量词的命题的否定 课时目标 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 含有一个量词的命题的否定 1全称命题 p： x M， p(x)，它的否定綈 p： _. 2存在性命题 p： M， p(它的否定綈 p： _. 一、填空题 1对于命题 “ 我们班学生都是团员 ” ，给出下列三种否定： 我们班学生不都是团员； 我们班有学生不是团员； 我们班学生都不是团员其中正确的答案是 _ (写出所有正确答案的序号 ) 2写出下列命题的否定： (1)有的平行四边形是菱形 _. (2)存在质数是偶数 _. 3已知命题 p： x R， x1 ，则綈 p： _. 4 “ 存在整数 得 2 011” 的否定是 _ 5命题： “ 对任意实数 m，关于 x 的方程 x m 0 有实根 ” 的否定为：_. 6命题 “ 末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除的 ” 否定形式是 _；否命题是 _ 7已知命题 p： “ 至 少 存 在 一 个 实 数 x，使 2x” ， 则 命 题 非 p 是_ 8已知命题 p：直线 x 是函数 y |x|图象的对称轴， q： 2 是函数 y |x|的最小正周期求此构成的 “ p 且 q” 、 “ p 或 q” 、 “ 非 p” 形式命题中，假命题的个数是 _ 二、解答题 9写出下列 命题的否定，并判断其真假 (1)有些质数是奇数； (2)所有二次函数的图象都开口向上； (3) Q， 5； (4)不论 m 取何实数，方程 2x m 0 都有实数根 a (2,1 )， b (1， )，命题 p： “ 存在 R，使 ab ” 试证明命题 p 是假命题 2 能力提升 11命题 “ 对任何 x R， |x 2| |x 4|3” 的否定是 _ 12已知綈 p： x R， x x m 为真命题， q： x R， 10 为真命题，求实数 m 的取值范围 1全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外；而存在性命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外，两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题 2全称命题和存在性命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词具有性质 p 变为具有性质綈 p. 3实际应用中，若从正面证明全称命题 “ x M， p(x)” 不容易，可证其反面 “ M，綈 p( 是假命题，反之亦然 3 有一个量词的命题的否定 知识梳理 1 M，綈 p(2. x M，綈 p(x) 作业设计 1 2 (1)所有的平行四边形都不是菱形 (2)所有的质数都不是偶数 3 R， 解析 全称命题的否定是存在 性命题，应含存在量词 4对任意整数 m， n，使得 2 011 解析 存在性命题的否定是全称命题，应含全称量词 5存在实数 m，关于 x 的方程 x m 0 没有实根 6末位数字是 0 或 5 的整数，不都能被 5 整除 末位数字不是 0 且不是 5 的整数，不能被 5 整除 解析 命题綈 p 是对命题 p 结论的否定，要和 p 的否命题区别开来 7对任意实数 x，均有 x 解析 命题 p 是存在性命题，故其否定是全称命题 8 2 解析 命题 p 为真，命题 q 为假，故命题 “ p 且 q” 与 “ 非 p” 为假， “ p 或 q” 为真 9解 (1)“ 有些质数是奇数 ” 是存在性命题，其否定为 “ 所有质数都不是奇数 ” ，假命题 (2)“ 所有二次函数的图象都开口向上 ” 是全称命题，其否定为 “ 有些二次函数的图象不是开口向上 ” ，真命题 (3)“ Q， 5” 是存在性命题，其否定为 “ x Q， ” ，真命题 (4)“ 不论 m 取何实数，方程 2x m 0 都有实数根 ” 是全称命题，其否定为 “ 存在实数 m，使得方程 2x m 0 没有实数根 ” ，真命题 10证明 ab 21 (1 ) 2 2 12 . 对任意 R，都有 1 且 1， 2 12 2 1 12 120， 即 ab 0. 这表明对任意 R，向量 a 与 b 均不垂直，即命题非 p 为真命题，所以命题 p 是假命题 11存在 x R，使得 |x 2| |x 4|3 解析 全称命题的否定是存在性命题，全称量词 “ 任何 ” 改为存在量词 “ 存在 ” ，并把结论否定 12解 由綈 p 为真，即 p： x R， x xm 为假命题， 由 x x 2 x 4 2， 2， 又 x xm 不恒成立， m 2. 又对 x R， q 为真，即不等式 10 恒成立， 40，即 2m2， 故 m 的取值范围是 2 m2. 1 锥曲线 课时目标 1圆锥面可看成一条直线绕着与它相交的另一条直线 l(两条直线不互相垂直 )旋转一周所形成的曲面其中直线 l 叫做圆锥面的轴 2圆锥面的截线的形状 在两个对顶的圆锥面中，若圆锥面的母线与轴所成的角为 ，不过圆锥顶点的截面与轴所成的角为 ，则 2 时，截线的形状是圆；当 a0，为常数 )， O 为坐标原点，求线段 垂直平分线与直线 交点 M 的轨迹 1椭圆定义中，常数 常数 这样的点 不存在；若常数 动点的轨迹是以 3抛物线定义中 Fl，若 Fl ，则点的轨迹是经过点 F，且垂直于 l 的直线 第 2 章 圆锥曲线与方程 4 圆锥曲线 知识梳理 3两个定点 焦点 焦距 4两个定点 焦点 焦距 5到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上 )的距离相等的点 定点 F 定直线 l 6圆锥曲线 作业设计 1椭圆 解析 由已知，得 2， 2，且 F， 即动点 P 的轨迹 是以 A、 F 为焦点的椭圆 2抛物线 解析 由题意知 2 2 |3x 4y 12|5 . 左侧表示 (x， y)到定点 ( 2,1)的距离，右侧表示 (x， y)到定直线 3x 4y 12 0 的距离，故动点轨迹为抛物线 3 解析 F 2 且 P ， F 2P 取 ，连结 则 1212( 12( 又 M 在椭圆上， 数， 设常数为 2a，则 a， 即 P 在以 a 为半径的圆上 4椭圆 5椭圆 6抛物线 解析 由题意知 P 到 F 的距离与到直线 x 4 的距离相等，所以点 P 的轨迹是抛物线 7双曲线 8双曲线的一支 9证明 设 r. 圆 P 与圆 A 内切，圆 A 的半径为 10， 两圆的圆心距 10 r， 即 10(大于 点 P 的轨迹是以 A、 B 两点为焦 点的椭圆 10解 由正弦定理得： 5 代入 12 得： b c 12a，即 b c 1， 即 1 (A 的轨迹是以 B、 C 为焦点且靠近 B 的双曲线的一支，并去掉与 交点 11 解析 D 1面 面 D 1 1P， 点 P 到直线 1P 的 长度，由题意知，点 P 到点 到直线 距离相等，这恰符合抛物线的定义 12解 由题意，得 2a. 2a2c. 点 M 的轨迹是以 R、 Q 为两焦点，实轴长为 2a 的双曲线右支 1 圆的标准方程 课时目标 确焦点、焦距的概念 由椭圆定义推导椭圆的方程，初步学会求简单的椭圆的标准方程 求与椭圆有关的点的轨迹和方程 椭圆的标准方程：焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 _ (ab0)，焦点坐标为 _，焦距为 _；焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为_ (ab0) 注： (1)以上方程中 a， b 的大小为 ab0，其中 _； (2)椭圆 1 (m0， n0， mn) ，当 mn 时表示焦点在 _轴上的椭圆；当 果 2a 迹是线段果 2，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上 3求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即 1 (m， n 为不相等的正数 ) 4在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系 椭 圆 2 圆的标准方程 知识梳理 1 c， 0)， F2(c,0) 2c 1 (1)2)x y 作业设计 1线段 解析 6 动点 M 的轨迹是线段 2 16 解析 由椭圆方程知 2a 8，由椭圆的定义知 2a 8， 2a 8，所以 的周长为 16. 3椭圆或线段或无轨迹 解析 当 2a M 的轨迹是椭圆，当 2a M 的轨迹是线段， 当 2a 0 ， 又因为 0， 2 ，所以 4 0 ，解之得 0b0) 2a 10， a 5，又 c 4. b 2 52 42 9. 故所求椭圆的标准方程为 1. (2) 椭圆的焦点在 y 轴上， 设椭圆的标准方程为 1 (ab0) 由椭圆的定义知， 2a 32 2 52 2 2 32 2 52 2 2 3 102 102 2 10， a 10. 又 c 2， b 2 10 4 6. 故所求椭圆的标准方程为 1. 10解 4， 4，又 O 1A 2 312， G 点的轨迹是椭圆， B、 C 是椭圆焦点 2c 12， c 6,2a 20， a 10， 102 62 64， 故 G 点的轨迹方程为 1 (x10) 又设 G(x ， y) ， A(x， y)，则有 x2100y 264 1. 由重心坐标公式知 x x3，y 点轨迹方程为 1. 即 1 (x30) 1 圆的几何性质 课时目标 称性、顶点、离心率等几何性质 确标准方程中a， b 以及 c， e 的几何意义， a、 b、 c、 e 之间的相互关系 利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题 椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准 方程 范围 顶点 轴长 短轴长 _，长轴长 _ 焦点 焦距 对称性 对称轴是 _，对称中心是 _ 离心率 一、填空题 1椭圆 1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为 _ 2 P 是长轴在 x 轴上的椭圆 1 上的点， 个焦点，椭圆的半焦距为 c，则 F 2的最大值与最小值之差为 _ 3以等腰直角 两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为_ 4焦点在 、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，则椭圆的方程为 _ 5如图所示， A、 B、 C 分别 为椭圆 1 (ab0)的顶点与焦点，若 90 ，则该 椭圆的离心率为_ 1、 足 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 _ 7已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 55 ，且过点 P( 5,4)，则椭圆的方程为 _ 8直线 x 2y 2 0 经过椭圆 1 (ab0)的一个焦点 和一个顶点，则该椭圆的离心率为 _ 2 二、解答题 9设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离为 4( 2 1)，求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标 10. 如图，已知 P 是椭圆 1 (ab0)上且位于第一象限的一点， F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心， B 是椭圆的上顶点， H 是直线 x c 是椭圆的半焦距 )与 x 轴的交点，若 F ， P ，试求椭圆的离心率 e. 能力提升 11若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为_ 1、 1 (ab0)的左、右两个焦点， A 是椭圆上位于第一象限 3 内的一点，点 B 也在椭圆上，且满足 0(O 是坐标原点 )， 2 ， 的面积等于 4 2，求椭圆的方程 1椭圆的范围实质就是椭 圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用 2椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用 3椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，其取值范围是 0c 恒成立， 由椭圆性质知 OPb ，其中 b 为椭圆短半轴长， bc ， c 22 b0)， 将点 ( 5,4)代入得 25161， 又离心率 e 55 ，即 15， 解之得 45， 36，故椭圆的方程为 1. 5 解析 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上，又直线 x 2y 2 0 与 x 轴、 y 轴的交点分别为(2,0)、 (0,1)，它们分别 是椭圆的焦点与顶点，所以 b 1， c 2，从而 a 5， e 55 . 9解 设所求的椭圆方程为 1 或1(ab0)， 则 b c，a c 2 ，得 a 4 2，b 4，c 1，或1. 离心率 e 22 ， 当焦点在 x 轴上时，焦点为 ( 4,0)， (4,0)，顶点 ( 4 2， 0)， (4 2， 0)， (0， 4)，(0,4)， 当焦点在 y 轴上时，焦点为 (0， 4)， (0,4)，顶点 ( 4,0)， (4,0)， (0， 4 2)， (0,4 2) 10解 依题意知 H 0 ， F(c,0)， B(0， b) 设 P(且 c，代入到椭圆的方程， 得 P c， 6 P ， k b 00 e e 2 e 2 1. e 4 1 0.0e1 ， e 5 12 . 析 由题意知 2b a c，又 4(a 2 23a 2 250.5c 2 230. 5e 2 2e 3 0.e 35或 e 1(舍去 ) 12 解 由 0 知，直线 过原点， e 22 ， b 2 12 设 A(x， y)，由 1x c， A(c ， y)，代入椭圆方程得 1， y 结 由椭圆的对称性可知 S S S 所以 122c 12a 4 2， 又由 c 22 a，解得 16， 1216 8， 故椭圆方程为 1. 1 曲线的标准方程 课时目标 何图形和标准方程的推导过程 握双曲线的标准方程 利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题 1焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是 _，焦点 2_. 2焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 _，焦点 2_. 3双曲线中 a、 b、 c 的关系是 _ 4已知两点求双曲线的标准方程，当焦点位置不确定时可设为 1(A0 ， B0 ，5双曲线的标准方程中，若 焦点在 _轴上，若 焦点在 _轴上 一、填空题 1已知平面上定点 动点 M，命题甲： | 2a(a 为 常数 )，命题乙： 1、 甲是乙的 _条件 2已知双曲线 1 上的一点 P 到双曲线的一个焦点的距离为 3，则点 P 到另一个焦点的距离为 _ 3双曲线 88 的一个焦点坐标是 (0,3)，则 k 的值为 _ 4设 a1，则双曲线 2 1 的离心率 e 的取值范围为 _ 5已知双曲线中心在坐 标原点且一个焦点为 5， 0)，点 P 位于该双曲线上，线段 0,2)，则该双曲线的方程是 _ 1、 双曲线 2 2 14x y的两个焦点，点 P 在双曲线上，且 0，则F 2 _. 7已知方程 kk 1 表示双曲线，则 k 的取值范围是 _ 8 1 的两个焦点， P 在双曲线上且满足 F 2 32，则 F 1_. 二、解答题 9已知双曲线过 2， 32 5 和 43 7， 4 两点，求双曲线的标准方程 2 图所示，在 ，已知 4 2，且三内角 A、 B、 C 满足 2 2，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线 能力提升 和点 F（ ）分别为双曲线 2 22 1x (a0)的中心和做焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则 的取值范围为 _ 12设双曲线与椭圆 1 有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点 A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程 3 1方程 1 既可以表示椭圆又可以表示双曲线 当方程表示椭圆时 ， m、 n 应满足 mn0 或 nm0，当 mn0 时，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 nm0 时，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆 当方程表示双曲线时， m、 n 应满足 ，方程表示焦点在 y 轴上的双曲线 2知道双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，但不知道焦点在哪一个坐标轴上，这时双曲线的方程可设为 1 (b0) ( c,0) (c,0) 1(a0， b0) (0， c) (0， c) 3 1 ， k 1)(k 1) 2) 故 C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点 ( 2， 0) 11 3 2 3， ) 解析 由 c 2 得 1 4， a 2 3， 双曲线方程为 1. 设 P(x， y)(x 3)， (x， y)(x 2， y) 2x 2x 1 432x 1(x 3) 令 g(x) 432x 1(x 3)，则 g(x)在 3， ) 上单调递增，所以 g(x)g( 3) 3 2 3. 的取值范围为 3 2 3， ) 12解 方法一 设双曲线的标准方程为 1 (a0， b0)，由题意知 36 27 9， c 3. 又点 A 的纵坐标为 4，则横坐标为 15，于是有 425 2 1，9，解得 4，5. 所以双曲线的标准方程为 1. 方法二 将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得 A( 15， 4)， 又两焦点分别为 ,3)， ， 3) 所以 2a | 15 2 2 15 2 2| 4， 即 a 2， 9 4 5， 所以双曲线的标准方程为 1. 1 曲线的几何性质 课时目标 1双曲线的几何性质 标准方程 1 (a0， b0) 1 (a0， b0) 图形 性质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长 实轴长 _，虚轴长 _ 离心率 渐近线 2.(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的 _； (2)双曲线 1 的两个顶点为 a,0)、 A2(a,0)设 ， b)、 ， b)，线段 做双曲线的 _，它的长等于 2a， a 叫做双曲线的实半轴长，线段 _，它的长等于 2b， b 叫做双曲线的虚半轴长实轴和虚轴等长的双曲线叫做 _双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为 _ (3)当双曲线的离心率 e 由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得 _，原因是 1，当 e 增大时， 近线的斜率的绝对值 _ 一、 填空题 1设双曲线 1(a0， b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程为 _ 2以双曲线 1 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是_ 3双曲线与椭圆 41 有相同 的焦点，它的一条渐近线方程为 y 2x，则双曲线的方程为 _ 4已知双曲线 1 (a0， b0)的左、右焦点分别为 P 是双曲线上一点，且 F 2， F 2 4双曲线的离心率是 _. 5已知双曲线 1 (a0， b0)的左、右焦点分别为 P 在双曲线的右支上，且 4此双曲线的离心率 e 的最大值为 _ 2 6两个正数 a、 b 的等差中项是 52，一个等比中项是 6，且 ab，则双曲线 1 的离心率 e _. 7在 ， a， b， c 分别是 A ， B ， C 的对边，且 a 10， c b 6，则顶点 _ 8与双曲线 1 有共同的渐近线，并且经过点 ( 3， 2 3)的双曲线 方程为_ 二、解答题 9根据下列条件，求双曲线的标准方程 (1)经过点 154 ，
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