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2008年全国各地高考数学试卷及详解37套,全国各地,高考,数学试卷,详解,37
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第 1 页 共 13 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 （非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟第 I 卷至 2 页，第 3 至 10 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、 准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效 3本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 24 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 34 3如果事件 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 08U x x N ， 1 2 4 5S ， ， ， ， 3 5 7T ， ， ， 则 （ ） A 124， ， B 1 2 3 4 5 7， ， ， ， ， C 12， D 1 2 4 5 6 8， ， ， ， ， 2设变量 满足约束条件 012 ， ，则目标函数 5z x y的 最大值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 3函数 1 ( 0 4 )y x x 的反函数是（ ） A 2( 1 ) (1 3 )y x x B 2( 1 ) ( 0 4 )y x x C 2 1 (1 3 )y x x D 2 1 ( 0 4 )y x x 4若等差数列 项和5 25S ，且2 3a ，则7a（ ） A 12 B 13 C 14 D 15 5设 是两条直线， ， 是两个平面，则 的一个充分条件是（ ） 第 2 页 共 13 页 A ， ， B ， ， C ， ， D ， ， 6把函数 s )y x x单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A s i n 23y x x R，B s i R，C s i n 23y x x R，D s i n 23y x x R，7设椭圆 22 1 ( 0 0 )xy ，的右焦点与抛物线 2 8的焦点相同，离心率为 12，则此椭圆的方程为（ ） A 22112 16B 22116 12C 22148 64D 22164 488已知函数 20() ， ， ，则不等式 2()f x x 的解集为（ ） A 11， B 22， C 21， D 12， 9设 5， 2， 2，则（ ） A B a c b C b c a D 10设 1a ，若对于任意的 2x a a ， ，都有 2y a a， 满足方程 l o g l o g 3，这时 a 的取值的集合为（ ） A 12 B 2 C 23 D 23， 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 第 卷 注意事项： 1答卷前将密封线内的项目填写清楚 2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3本卷共 12 小题，共 100 分 第 3 页 共 13 页 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分把答案填在题中横线上 11一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工 人 12 52的二项展开式中 3x 的系数为 （用数字作答） 13若一个球的体积为 43 ，则它的表面积为 14已知平面向量 (2 4) ，a ， ( 1 2)，b ，若 ()c a a b b ，则 c 15已知圆 C 的圆心与点 ( 21)P， 关于直线 1对称直线 3 4 1 1 0 与圆 C 相交于 两点，且 6，则圆 C 的方程为 16有 4 张分别标有数字 1， 2， 3， 4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1， 2， 3， 4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，则不同的排法共有 种（用数字作答） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) 2 c o s 2 s i n c o s 1 ( 0 )f x x x x x R，的最小正周期是2 （ ）求 的值； （ ）求函数 ()且求使 ()x 的集合 18（本小题满分 12 分） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 12与 p ， 且乙投球 2 次均未命中的概率为 116 （ ）求乙投球的命中率 p ； （ ）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； （ ）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率 19（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P 中，底面 矩形已知 3， 2， 2，22， 60 （ ）证明 平面 （ ）求异面直线 成的角的大小； （ ）求二面角 P 的大小 A B C D P 第 4 页 共 13 页 20（本小题满分 12 分） 已知数列 1a，2 2a ，且11(1 )n n na q a q a ( 2 0 ) ， （ ）设1 ()n n nb a a n *N，证明 （ ）求 数列 （ ）若3 q 的值，并证明：对任意的 n *N ，6等差中项 21（本小题满分 14 分） 设函数 4 3 2( ) 2 ( )f x x a x x b x R，其中 ， （ ）当 103a时，讨论函数 () （ ）若函数 ()x 处有极值，求 a 的取值范围； （ ）若对于任意的 22a， ，不等式 ( ) 1在 11， 上恒成立，求 b 的取值范围 22（本小题满分 14 分） 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是1( 30)F ，一条渐近线 的方程是 5 2 0 （ ）求双曲线 C 的方程； （ ）若以 ( 0)为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 ，且线段 垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 812，求 k 的取值范围 第 5 页 共 13 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 C 7 B 8 A 9 D 10 B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 24 分 11 10 12 10 13 12 14 82 15 22( 1) 1 8 16 432 （ 1）设集合 |0 8U ， 1, 2, 4, 5S ， 3, 5, 7T ，则 ()（ A） 1,2,4 （ B） 1, 2, 3, 4, 5, 7 （ C） 1,2 （ D） 1, 2, 4, 5, 6, 8 解析：因为 1, 2 , 4 , 6 , 8，所以 ( ) 1 , 2 , 4 ，选 A （ 2）设变量 满足约束条件1210则目标函数 5 的最大值为 （ A） 2 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 解析：如图，由图象可知目标函数 5 过点 (1,0)A 时 z 取得最大值，z ，选 D （ 3）函数 1 （ 0 4x）的反函数是 （ A） 2( 1)（ 1 3x） （ B） 2( 1)（ 0 4x） （ C） 2 1（ 1 3x） （ D） 2 1（ 0 4x） 解析：当 0 4x时， , 31 1x ，解 1 得 12( ) ( 1)f x x ，选 A （ 4）若等差数列 项和5 25S ，且2 3a ，则7a（ A） 12 （ B） 13 （ C） 14 （ D） 15 解析： 15 24545 ( ) 5 ( ) 722aa ，所以 427 2 25 5 1 32a d a ，选 B （ 5）设 是两条直线， , 是两个平面，则 的一个充分条件是 第 6 页 共 13 页 （ A） ,/, （ B） /, （ C） /, （ D） ,/, 解析：选 C， A、 B、 D 的反例如图 （ 6）把函数 （ x R ）的图象上所有点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ A） s 2 )3， x R （ B） s )26， x R （ C） s 2 )3， x R （ D） s i n ( 2 )32， x R 解析：选 C, 13 2s i n s i n ( ) s i n ( 2 )33y x y x y x 向 左 平 移 个 单 位 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 倍 （ 7）设椭圆 221（ 0m ， 0n ）的右焦点与抛物线 2 8的焦点相同，离心率为 12，则此椭圆的方程为 （ A） 22112 16（ B） 22116 12（ C） 22148 64（ D） 22164 48解析：抛物线的焦点为 (2,0) ，椭圆焦点在 x 轴上，排除 A、 C，由 12e排除 D，选 B （ 8）已知函数 2 , 0()2 , 0 ，则不等式 2()的解集是 （ A） 1,1 （ B） 2,2 （ C） 2,1 （ D） 1,2 解析：依题意得22 1100 0 0 1 122 xx x x 或 或，选 A （ 9）设 5， 2， 2，则 （ A） （ B） a c b （ C） （ D） 解析： 2，因为 24 7 2 ，所以 220 c o s s i n 1 t a 72 ，选 D （ 10）设 1a ，若对于任意的 , 2 x ，都有 2 , y 满足方程 l o g l o g 3，第 7 页 共 13 页 这时 a 的取值集合为 （ A） 2 | 1 （ B） | 2 （ C） 3|2 （ D） 2,3 解析：易得 3在 , 2 以 2 2 , 2y a a，故 212 2a ，选 B （ 11）一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工 _人 解析：依题意知抽取超过 45 岁的职工为 25 80 10200 （ 12） 52()二项展开式中， 3x 的系数是 _（用数字作答） 解析： 5 5 21 5 52( ) 2r r r r r x C ， 1r ，所以系数为 10 （ 13）若一个球的体积为 34 ，则它的表面积为 _ 解析： 由 34 433 R 得 3R ，所以 2 14 2S R （ 14）已知平面向量 (2,4)a ， ( 1, 2)b 若 ()c a a b b ，则 |c _ 解析：因为 ( 2 , 4 ) 6 ( 1 , 2 ) ( 8 , 8 )c ，所以 | | 8 2c （ 15）已知圆 C 的圆心与 点 ( 2,1)P 关于直线 1对称直线 3 4 1 1 0 与圆 A, 两点，且 6则圆 C 的方程为 _ 解析：圆心的坐标为 (0, 1) ，所以 2222( 4 1 1 )3 1 85r ，圆的方程为 22( 1) 1 8 （ 16）有 4 张分别标有数字 1， 2， 3， 4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1， 2， 3， 4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10，则不同的排法共有 _种（用数字作答） 解析：数字之和为 10 的情况有 4， 4， 1， 1、 4， 3， 2， 1、 3， 3， 2， 2 所以共有 4 4 4 44 4 42 2 1 8 4 3 2A A A 种不同排法 三、解答题 17本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍 角的正弦和余弦、函数s i n ( )y A x的性质等基础知识，考查基本运算能力满分 12 分 第 8 页 共 13 页 （ ）解： 1 c o s 2( ) 2 s i n 2 12 xf x x s i n 2 c o s 2 2 2 s i n 2 c o s c o s 2 s i n 244 2 s i n 2 24x 由题设，函数 ()可得 222，所以 2 （ ）解：由（ ）知， ( ) 2 s i n 4 24f x x 当 4242 ，即 ()1 6 2 4x 取得最大值 1，所以函数()2 ，此时 x 的集合为 1 6 2kx x k Z， 18本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分 12 分 （ ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件 A ，“乙投球一次命中”为事件 B ，由题意得 22 1( 1 ( ) ) ( 1 ) 16P B p ， 解得 34p或 54p（舍去），所以乙投球的命中率为 34 解法二：设“甲投球一次命中”为事件 A ，“乙投球一次命中”为事件 B ，由题意得 1()() 16 ， 于是 1()4 1()4（舍去），故 31 ( )4p P B 所以 乙投球的命中率为 34 （ ）解法一：由题设和（ ）知， 1()2 1()2 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 31 ( )4P A A 解法二：由题设和（ ）知， 1()2 1()2 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 12 3C ( ) ( ) ( ) ( ) 4P A P A P A P A （ ）解：由题设和（ ）知， 1()2 1()2 3()4 1()4 第 9 页 共 13 页 甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：甲、乙两人各中一 次；甲中 2 次，乙 2次均不中；甲 2 次均不中，乙中 2 次概率分别为 1122 3C ( ) ( ) C ( ) ( ) 16P A P A P B P B ， 1( ) ( ) 64P A A P B B ， 9( ) ( ) 64P A A P B B 所以甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次的概率为 3 1 9 1 11 6 6 4 6 4 3 2 19本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力满分 12 分 （ ）证明：在 中，由题设 2， 2， 22，可得 2 2 2P A A D P D，于是 A 在矩形 ， B ，又 B A ，所以 平面 （ ）解：由题设， D ，所以 （或其补角）是异面直线 成的角 在 中，由余弦定理得 22 2 c o s 7P B P A A B P A A B P A B 由（ ）知 平面 平面 所以 B ，因而 B ，于是 是直角三角形， 故 7t a B 所以异面直 线 成的角的大小为 7 （ ）解：过点 P 作 B 于 H ，过点 H 作 D 于 E ，连结 因为 平面 平面 所以 H 又 A D A B A ，因而 面 故 平面 的射影由三垂线定理可知， E 从而 是二面角 P 的平面角 由题设可得， s i n 6 0 3P H P A， c o s 6 0 1A H P A， 2B H A B A H ， 22 13B D A B A D ， 413 B 于是在 中， 39t a E A B C D P H E 第 10 页 共 13 页 所以二面角 P 的大小为 39 20本小题主要考查等差数列、等比数列 的概念、等比数列的通项公式及前 n 项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分 12 分 （ ）证明：由题设11( 1 ) ( 2 )n n na q a q a n ，得 11()n n n na a q a a ， 即 1 2q b n ， 又1 2 1 1b a a ， 0q ，所以 ，公比为 q 的等比数列 （ ）解：由（ ）， 211， 32a a q， 21 ( 2 )a q n 将以上各式相加，得 21 1 ( 2 )a q q n 所以当 2n 时， qa ， ， 上式对 1n 显然成立 （ ）解：由（ ），当 1q 时，显然3 1q 由3 6 9 3a a a a 可得 5 2 2 8q q q q，由 0q 得 3611 ， 整理得 3 2 3( ) 2 0 ，解得 3 2q 或 3 1q （舍去）于是 3 2q 另一方面， 2 1 1 33 ( 1 )11n n q qa a ， 第 11 页 共 13 页 1 5 1 66 ( 1 )11n n q qa a 由 可得 36n n n na a a a n *N， 所以对任意的 n *N ，6等差中项 21 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力满分 14 分 （ ）解： 3 2 2( ) 4 3 4 ( 4 3 4 )f x x a x x x x a x 当 103a时， 2( ) ( 4 1 0 4 ) 2 ( 2 1 ) ( 2 )f x x x x x x x 令 ( ) 0 ，解得1 0x ，2 12x ，3 2x 当 x 变化时， ()， () x ( 0) ， 0 102，121 22，2 (2 )， () 0 0 0 () 极小值 极大值 极小值 所以 ()02， (2 )， 内是增函数，在 ( 0) ， ， 1 22，内是减函数 （ ）解： 2( ) ( 4 3 4 )f x x x a x ，显然 0x 不是方程 24 3 4 0x a x 的根 为使 ()x 处有极值，必须 24 3 4 0x a x 恒成立，即有 29 6 4 0a 解此不等式，得 8833a 这时， (0)是唯一极值 因此满足条件的 a 的取值范围是 8833， （ ） 解：由条件 22a， 可知 29 6 4 0a ，从而 24 3 4 0x a x 恒成立 当 0x 时， ( ) 0 ；当
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