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2008年全国各地高考数学试卷及详解37套,全国各地,高考,数学试卷,详解,37
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2008 年普通高等学校招生全国统一考试 (辽宁卷 ) 数 学（供理科考生使用） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 1 至 2 页，第卷 3至 4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 第卷 （选择题共 60 分） 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4 2R 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P(A B) P(A) P(B) 球的体和只公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p， 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 V= 243 R( ) (1 ) ( 0 , 1 , 2 , , )k k n k C P p k n 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 12 小题 ，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . (1)已知集合 3| | 0 | , | | 3 |1xM x x N x ，则集合 | | 1| (A) (B) (C) R( ) (D) R( ) (2) 1 3 5 ( 2 1 )l i m( 2 1 )x (A)14(B)12(C)1 (D)2 (3)圆 221与直线 2y 没有 公共 点的充要条件是 ( ) ( 2 , 2 ) ( ) ( , 2 ) ( 2 , ) ( ) ( 3 , 3 ) ( ) ( , 3 ) ( 3 , ) (4)复数 112 1 2 的虚部是 1()555()5D (5)已知 O、 A、 B 是平面上的三个点，直线 有一点 C，满足 20A C C B，则 ( )2A O A O B ( ) 2B O A O B 21()33C O A O B12()33D O A O B(6)设 P 为曲线 C: 2 23y x x 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为0,4,则点 P 横坐标的取值范围为 1( ) 1, 2A ( ) 1,0B ( )0,1C 1( ) ,12D(7)4 张卡片上分别写有数字 1， 2， 3， 4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数学之和为奇数的概率为 1()3234D(8)将函数 212 1 2 ay a y 的 图 象 按 向 量 平 移 得 到 函 数的图象，则 ( ) ( 1, 1) ( ) (1, 1) ( ) (1,1) ( ) ( 1,1) (9)一生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人，第四道 工序只能从甲、丙两工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有 (A)24 种 (B)36 种 (C)48 种 (D)72 种 (10)已知点 P 是抛物线 2 2上的一个动点，则点 P 到点（ 0,2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 17()2A( )3B ( ) 5C 9()2D(11)在正方体 ， E、 F 分别为棱 在空间中与三条直线 相交的直线 ()A 不存在 (B)有且只有两条 (C)有且只有三条 (D)有无数条 (12)设 f(x)是连续的偶函数，且当 x0 时 f(x)是单 调函数，则满足 f(x) f 3()4的所有 (A) (B)3 (C) （ D） 8 第卷 （选择题共 60分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 . (13)函数 1, 0 ,0 的反函数是 _. (14)在体积为 43 的球的表面上有 A、 B、 C 三点， ， 2 ， A、 C 两点的球而距离为 33，则球心到平面 距离为 _. (15)已知 2 1(1 ) ( )x x x 的展开式中 没有 常数项， *，且 2 n 8,则n=_. (16)已知 ( ) s i n ( ) ( 0 ) , ( ) ( )3 6 3f x x f f ，且 () , )63有最小值，无最大值，则 _. 三、解答题：本大题共 6小题，共 74 分 明过程或演算步骤 . （ 17）（本小题满分 12分） 在 中，内角 A， B,a,b,c,已知 c=2,C=3. ( )若 的面积等于 3 ，求 a,b； ( )若 s i n s i n ( ) 2 s i n 2C B A A ，求 的面积 . （ 18）（本小题满分 12分） 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100周的统计结果如下表所示： ( )根据上面统计结果，求周销售量分别为 2吨， 3吨和 4吨的频率； ( )已知每吨该商品的销售利润为 2 千元， 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元） 各周的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望 . （ 19）（本小题满分 12分） 如图，在棱长为 1 的正方体 A B C D A B C D 中，P=b（ 00 时，恒有 |. （ 21）（本小题满分 12 分） 在数列 |， , ，且1,n n na b a 成等差数列，11,n n nb a b成等比数列（ *） ( )求 此猜测 通项公式，并证明你的结论； （）证明：1 1 2 21 1 1 512b a b a b . （ 22）（本小题满分 14 分） 设函数 f(x)= ln l n l n ( 1 ) .1 x ( )求 f(x)的单调区间和极值； （）是否存在实数 a,使得关于 x 的不等式 f(x) a 的解集为（ 0,+ ）？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，试说明理由 . 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 (辽宁卷 ) 数学 (供理科考生使用 ) 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 1 至 2 页，第卷 3至 4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 第卷 （选择题共 60 分） 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4 2R 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P(A B) P(A) P(B) 球的体和只公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p， 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 V= 243 R( ) (1 ) ( 0 , 1 , 2 , , )k k n k C P p k n 其中 R 表示球的半径 一、选择题 3 0 , 31xM x N x ,则集合 1为 ( ) C. ()R ()R C 解析： 本小题主要考查集合的相关运算知识。依题 3 1 , 3M x x N x x ， | 1M N x x ， ()R . 1 3 5 ( 2 1 )l i m( 2 1 )n 等于 ( ) 答案： B 解析： 本 小 题 主 要 考 查 对 数 列 极 限 的 求 解 。 依 题221 3 5 ( 2 1 ) 1l i m l i m .( 2 1 ) 2 2n n n 21与直线 2y 没有公共点的充要条件是 ( ) A. ( 2 , 2 )k B. ( , 2 ) ( 2 , )k C. ( 3 , 3 )k D. ( , 3 ) ( 3 , )k 答案： C 解析： 本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题 圆 221与直线 2y 没有公共点22 11d k ( 3 3 ) ， 12 1 2 的虚部是 ( ) 15iD. 15答案： B 解析： 本小题主要考查 复数的相关运算及虚部概念。依题： 1 1 1 1 2 5 5 虚部为 ,O 平面上的三个点 ,直线 有一点 C ,满足 2 A C C B0 ,则 于( ) B B. 2B C. 2133BD. 1233O A O B答案： A 解析： 本小题主要考查平面向量的基本定理。 依题 2 2 ( ) O B B C O B A C O B O C O A O A O B 为曲线 2: 2 3C y x x 上的点 ,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是0, 4 ,则点 P 横坐标的取值范围是 ( ) A. 1 1, 2B. 1,0 C.0,1 D. 1 ,12答案： A 解析： 本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点 P 的横坐标为0x,且0 2 2 t a （ 为 点 P 处切线 的 倾斜角 ），又 0, 4， 00 2 2 1x ， 0 1 1, ,2,3,4,从这 4张卡片中随机抽取 2张 ,则取出的 2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( ) C 解析 ： 本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使 取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数 ，则 取出的 2 张卡片上的数字 必须一奇一偶， 取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率 1的图象按向量 a 平移得到函数 12 的图象 ,则 a 等于 ( ) A.( 1, 1) B.(1, 1) C.(1,1) D.( 1,1) 答案： A 解析： 本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由 函数 21的图象 得到 函数 12 的图象 ，需将 函数 21的图象 向左平移 1 个单位，向下平移 1 个单位；故 ( 1 1). ，a 道工序 ,每道工序需要安排一人照看 ,现从甲乙丙等 6名工人中安排 4人分别照看一道工序 ,第一道工序只能从甲乙两工人中安排 1 人 ,第四道工序只能从甲丙两工人中安排 1人 ,则不同的安排方案有 ( ) 答案： B 解析： 本小题主要考查排列组合知识。依题若 第一道工序 由甲来完成，则 第四道工序 必由丙来完成，故完成方案共有 24 12A 种； 若 第一道工序 由乙来完成，则 第四道工序 必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有 12A 24 24A 种； 则不同的安排方案共有2 1 24 2 4 36A A A 种。 是抛物线 2 2上的一个动点 ,则点 P 到点 (0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( ) A. C. 5 A 解析： 本小题主要考查抛物线的定义解题。依题设 P 在抛物线准线的投影为 P ,抛物线的焦点为 F ,则 1( ,0)2F,依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为 | | | |F ,则点 0,2)A 的距离与 P 到 该 抛 物 线 准 线 的 距 离 之 和221 1 7| | | | | | ( ) 2 F P A A F 1 1A B C D A B C D中 , ,A 则在空间中与三条直线11,A D E F C ) 答 案： D 解析： 本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力。 在 任意取一点 M,直线11 确定一个平面，这个平面与 且仅有 1 个交点 N, 当 M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与 不同的交点 N,而直线这 3 条异面直线都有交点 的 )且当 0x 时 ()则满足 3( ) ( )4xf x f x 的所有 x 之和为 ( ) A. 3 C. 8 答案： C 解析： 本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足 3( ) ( )4xf x f x 时，即34xx x 时，得 2 3 3 0 ，此时 又 ()连续的偶函数，( ) ( )f x f x ，另一种情形是 3( ) ( )4xf x f x ，即 34xx x ，得 2 5 3 0 ， 满足 3( ) ( )4xf x f x 的所有 x 之和为 3 ( 5 ) 8 . 第卷 （选择题共 60分） 二、填空题 , 0,0 的反函数是 _. 答案： 11 ， ， 解析： 本小题主要考查求反函数基本知识。求解过程要 注意依据函数的定义域进行分段求解以及反函数的定义域问题。 3 的球的表面上有 ,点 , 1 , 2 , ,A B B C A C 两点的球面距离为 33,则球心到平面 距离为 _. 答案： 32解析： 本小题主 要考查立体几何球面距离及点到面的距离。 设球的半径为 R ,则34 433 , 设 A 、 C 两点对球心张角为 ，则 33 3A C R ,3, 3, 在平面的小圆的直径， 90,设 在 平 面 的 小 圆 圆 心 为 O ，则 球 心 到 平 面 距 离 为d 2 2 2333 ( ) O 31(1 ) ( ) nx x x x 的展开式中没有常数项 , * , 2 8n N n 剟 ,则 n _. 答案： 5 解析： 本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题31()nx x 对 * , 2 8n N n 剟 中，只有 5n 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 x 、 2x 乘积为常数的项。 ) s i n ( ) ( 0 ) , ( ) ( )3 6 3f x x f f ,且 () , )63有最小值 ,无最大值 ,则 _. 答案： 143解析： 本小题主要针对考查三角函数图像对称性及周期性。 依题( ) s i n ( ) ( 0 ) , ( ) ( )3 6 3f x x f f 且 () , )63 有最小值 ,无最大值 ,区间 ( , )63为 ()知 ()324x对称， 32,4 3 2k k Z ,取 0K 得 三、解答题 中 ,内角 ,边的边长分别是 ,3. 若 的面积等于 3 ,求 ,若 s i n s i n ( ) 2 s i n 2C B A A ,求 的面积 . 说明： 本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力满分 12 分 解析： （ ）由 余弦定理 及已知条件得， 22 4a b a b ， 又因为 的面积等于 3 ，所以 1 s 2 a b C ，得 4 4 分 联立方程组 22 44a b a ，解得 2a ， 2b 6 分 （ ）由题意得 s i n ( ) s i n ( ) 4 s i n c o B A A A ， 即 s i n c o s 2 s i n c o A A ， 8 分 当 A 时，2A ，6B ， 433a， 233b， 当 A 时，得 ，由正弦定理得 2， 联 立方程组 22 42a b a ，解得 233a， 433b 所以 的面积 1 2 3s i a b C 12 分 单位 :吨 )进行统计 ,最近 100 周的统计结果如下表所示 : 周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 根据上面统计结果 ,求周销售量分别为 2吨 ,3 吨和 4吨的频 率 ; 已知每吨该商品的销售利润为 2 千元 , 表示该种商品两周销售利润的和 (单位 :千元 ),若以上述频率作为概率 ,且各周的销售量相互独立 ,求 的分布列和数学期望 . 说明： 本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力 满分 12 分 解析： （）周销售量为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率分别为 3 分 （） 的可 能值为 8， 10， 12， 14， 16，且 P（ =8） = P（ =10） =2 P（ =12） = P（ =14） =2 P（ =16） = 的分布列为 8 10 12 14 16 P 9 分 E =80246元） 12 分 在棱长为 1 的正方体 A B C D A B C D 中 , ( 0 1 )A P B Q b b ,截面P Q E F A D ,截面 P Q G H A D . 证明 :平面 平面 相垂直 ; 证明 :截面 截面 积之和是 定值 ,并求出这个值 ; 若 与平面 成的角为 45 ,求 与平面 成角的正弦值 . 说明： 本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分 12 分 解法一： （ ）证明：在 正方体 中， D ， B ，又由已知可得 D ， D ， B ， A B C D ABC D P Q E F G H A B C D E F P Q H A B C D G N M 所以 F ， Q ， 所以 平面 所以平面 平面 相垂直 4 分 （）证明：由（）知 22P F A P P H P A ， ，又截面 截面 是矩形，且 ，所以截面截面 积之和是 ( 2 2 ) 2A P P A P Q ，是定值 8 分 （ ：连结 点 M 因为 D ， B ， 所以平面 和平面 相平行，因此 与平面 成角与 与平面 所成角相等 与（ ）同理可证 面 可知 面 ，因此 的比值就是所求的正弦值 设 交 点 N， 连结 1FD b 知 2 22(1 ) 2 (1 )22D E b N D b ， 因为 平面 又已知 与平面 45 角， 所以 2D E N D ， 即 2222 ( 1 ) ( 1 ) 222 ， 解得 12b， 可知 E 为 点 所以 24， 又 2 3(1 ) 22D E b ， 故 与平面 成角的正弦值为 26 12 分 解法二： 以 D 为原点，射线 别为 x， y， z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D 已知得 1DF b ，故 (100)A ， ， ， (101)A ， ， ， (0 0 0)D ， ， ， (0 01)D ， ， ， (10 )， ， (11 )， ， (1 1 0)， ， ， (1 0 0)， ， ， ( 11)， ， ( 01)， A B C D E F P Q H A B C D y x z G （ ）证明：在所建立的坐标系中，可得 ( 0 1 0 ) ( 0 )P Q P F b b ， ， ， ， ， ( 1 0 1 )P H b b ， ， ， ( 1 0 1 ) ( 1 0 1 )A D A D ， ， ， ， ， 因为 00A D P Q A D P F， ，所以 是平面 法向量 因为 00A D P Q A D P H， ，所以 是平面 法向量 因为 0 D ，所以 A D ， 所以平面 平面 相垂直 4 分 （ ）证明：因为 (0 1 0 )， ， ，所以 E F P Q E F P Q ， ，又 F ，所以 理 矩形 在所建立的坐标系中可求得 2 (1 )P H b， 2PF b ， 所以 2P H P F，又 1， 所以截面 截面 积之和为 2 ，是定值 8 分 （ ）解：由已知 得 与 成 45 角 ， 又 (1 1 1 ) ( 1 0 1 )D E b A D ， ， ， ， ，可得 22222 ( 1 ) 2D E A D A D b ， 即22 1(1 ) 2，解得 12b 所以 1 112 ， ，又 ( 1 0 1) ， ， ，所以 与平面 成角的正弦值为 1 122| c o s |3 622D E A D ， 12 分 ,点 P 到两点 ( 0 , 3 ) , ( 0 , 3 ) 的距离之和为 4,设点 P 的轨迹为 C ,直线 1y 与 C 交于 , 写出 C 的方程 ; 若 B ,求 k 的值 ; 若点 A 在第一象限 ,证明 :当 0k 时 ,恒有 B . 说明： 本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分 12 分 解析： （）设 P（ x， y），由 椭圆 定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 ( 0 3 ) ( 0 3 )， ， ， 为焦点，长半轴为 2 的椭圆它的短半轴 222 ( 3 ) 1b ， 故曲线 C 的方程为 22 14 3 分 （）设1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ，其坐标满足 22 ， 消去 y 并整理得 22( 4 ) 2 3 0k x k x ， 故1 2 1 2222344kx x x ， 5 分 若 B ，即1 2 1 2 0x x y y 而 21 2 1 2 1 2( ) 1y y k x x k x x ， 于是 221 2 1 2 2223 3 2 10444x y y ， 化简得 24 1 0k ，所以 12k 8 分 （） 22 2 2 2 21 1 2 2()O A O B x y x y 2 2 2 21 2 1 2( ) 4 (1 1 )x x x x 1 2 1 23 ( ) ( )x x x x 1226 ( )4k x 因为 A 在第一象限，故1 0x 由12 2 3 4xx k 知2 0x ，从而120又 0k ， 故 220O A O B， 即在题设条件下，恒有 B 12 分 ,112, 4,且1,n n na b a 成等差数列 ,11,n n nb a b成等比数列 . 求234,a a b b b,由此猜测 ,并证明你的结论 ; 证明 :1 1 2 21 1 1 512b a b a b . 说明： 本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力满分 12 分 解析： （）由条件得 21 1 12 n n n n n nb a a a b b ，由此可得 2 2 3 3 4 46 9 1 2 1 6 2 0 2 5a b a b a b ， ， ， ， ， 2 分 猜测 2( 1 ) ( 1 )n n b n ， 4 分 用数学 归纳法证明： 当 n=1 时，由上可得结论成立 假设当 n=k 时，结论成立，即 2( 1 ) ( 1 )k k b k ， ， 那么当 n=k+1 时， 222 2112 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )kk k k b a k k k k k b ， 所以当 n=k+1 时，结论也成立 由，可知 2( 1 ) ( 1 )n n b n ，对一切正整数都成立 7 分
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