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2008年全国各地高考数学试卷及详解37套,全国各地,高考,数学试卷,详解,37
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2008 年普通高等学校统一考试（宁夏卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知函数 y=2 x+ )( 0)在区间 0， 2 的图像如下： 那么 =（ ） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 2、已知复数 1 ，则 21（ ） A. 2 B. 2 C. 2i D. 2i 3、如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的 余弦值为（ ） A. 5/18 B. 3/4 C. 3 /2 D. 7/8 4、设等比数列 q ，前 n 项和为42 （ ） A. 2 B. 4 C. 152D. 1725、右面的程序框图，如果输入三个实数 a、 b、 c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A. c x B. x c C. c b D. b c 6、已知1 2 3 0a a a ，则使得 2(1 ) 1( 1, 2,3)i 都成立的 x 取值范围是（ ） A.（ 0，11a ） B. （ 0，12a ） C. （ 0，31a ） D. （ 0，32a ） 7、 0203 02 0 =（ ） A. 12 B. 22 C. 2 D. 32 8、平面向量 a ， b 共线的充要条件是（ ） A. a ， b 方向相同 B. a ， b 两向量中至少有一个为零向量 C. R ， D. 存在不全为零的实数1，2，120是 否 开始 输入a,b,c x=a bx 输出 x 结束 x=b x=c 否 是 9、甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天 至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ） A. 20 种 B. 30 种 C. 40 种 D. 60 种 10、由直线21x， x=2，曲线及 x 轴所围图形的面积是（ ） A. 415B. 417C. 2211、已知点 P 在抛物线 4x 上，那么点 P 到点 Q（ 2， 1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（ ） A. （41， 1） B. （41， 1） C. （ 1， 2） D. （ 1， 2） 12、某几何体的一条棱长为 7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧 视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a + b 的最大值为（ ） A. 22 B. 32 C. 4 D. 52 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 13、已知向量 (0, 1,1)a ， (4,1, 0)b ， | | 2 9 且 0 ，则 = _ 14、过双曲线 2219 16的右顶点为 A，右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则 面积为 _ 15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98，底面周长为 3，那 么这个球的体积为 _ 16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位： 结果如下： 由以上数据设计了如下茎叶图： 甲 乙 3 1 27 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6 甲品种： 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种： 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的 纤维长度作比较，写出两个统计结论： _ _ 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 17、（本小题满分 12 分）已知数列 2 1a ，5 5a 。 （ 1）求 2）求 n 项和 18、（本小题满分 12 分）如图，已知点 P 在正方体 0 。 （ 1）求 2）求 平面 成角的大小。 本小题满分 12 分） A、 B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 2。根据市场分析，2 的分布列分别为 % 10% % 8% 12% P P 1）在 A、 B 两个项目上各投资 100 万元， 2分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 （ 2）将 x（ 0 x 100）万元投资 A 项目， 100 项目， f(x)表示投资 项目所得利润的方差的和。求 f(x)的最小值，并指出 f(x)取到最小值 。 （注： D( b) = 20、（本小题满分 12 分）在直角坐标系 ，椭圆 22 1 ( 0 )xy 的左、右焦点分别为 是抛物线 2 4的焦点，点 M 为 第一象限的 交点，且2 5|3 （ 1）求 方程；（ 2）平面上的点 N 满足12M N M F M F，直线 l 与 、B 两点，若 0，求直线 l 的方程。 21、（本小题满分 12 分）设函数 1( ) ( , )f x a x a b ，曲线 ()y f x 在点 (2, (2)f 处的切线方程为 3y 。（ 1）求 ()y f x 的解析式；（ 2）证明：曲线 ()y f x 的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（ 3）证明：曲线 ()y f x 上任一点处的切线与直线 1x 和直线 所围三角形的面积为定值，并求出此定值。 请考生在第 22、 23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22、（本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明选讲 如图，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A，过 A 作直线 直直线 足为P。 （ 1）证明： （ 2） N 为线段 一点，直线 直直线 交圆 O 于 B 点。过 B 点的切线交直线 K。证明： 90。 本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 已知曲线 c o s ()s i 为 参 数，曲线 22 ()22 为 参 数。 （ 1）指出 说明 2公共点的个数； （ 2）若把 各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1C，2C。写出1C，2公共点的个数和 共点的个数是否相同？说明你的理由。 24、（本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 已知函数 |4|8|)( （ 1）作出函数 )( 的图像；（ 2）解不等式2|4|8| 2008 年普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷） 数学（理科） 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 函数 2 s i n ( ) ( 0 ) )在区间 02， 的图像如下：那么 （ ） A 1 B 2 C21D 31解：由图象知函数的周期 T ，所以 2 2T2已知复数 1 ，则122z ） A 2i B 2i C 2 D 2 解： 1 ， 222 (1 ) 2 (1 ) 2 21 1 1z z i i iz i i ，故选 B 3如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A185B43C23D87解：设顶角为 C，因为 5 , 2l c a b c ，由余弦定理 2 2 2 2 2 24 4 7c o 2 2 8a b c c c cC a b c c 4设等比数列 q=2，前 n 项和为 24 ） A 2 B 4 C215D217解：414421( 1 )1 2 1 5122qa a q 5右面的程序框图，如果输入三个实数 a， b， c，要求输出这三 个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选 开始 输入 a b c， ， 输出 x 结束 是 是 否 否 y x 2 1 1 O 项中的（ ） A B C D 解：变量 x 的作用是保留 3 个数中的最大值，所以第二个条件结构的判断框内语句为 “ ”， 满足“是”则交换两个变量的数值后输出 x 的值结束程序，满 足“否”直接输出 x 的值结束程序。 6已知1 2 3 0a a a ，则使得 2(1 ) 1 ( 1 2 3 )ia x i ， ，都成立的 x 取值范围是（ ） A110a，B120a，C310a，D320a，解：2 2 2 2 2(1 ) 1 2 0 ( ) 0i i i x a x a x a x x a ，所以解集为 (0, ) 又1 2 32 2 2a a a，因此选 B。 723 02 co s 1 0 （ ） A 12 B 22 C 2 D 32 解： 22 2 23 s i n 7 0 3 c o s 2 0 3 ( 2 c o s 2 0 1 ) 22 c o s 1 0 2 c o s 1 0 2 c o s 1 0 ，选 C。 8平面向量 a， b 共线的充要条件是（ ） A a， b 方向相同 B a， b 两向量中至少有一个为零向量 C R ， 存在不全为零的实数1，2，120意零向量和任意向量共线。 9甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有（ ） A 20 种 B 30 种 C 40 种 D 60 种 解：分类计数：甲在星期一有 24 12A 种安排方法，甲在星期二有 23 6A 种安排方法， 甲在星期三有 22 2A 种安排方法，总共有 12 6 2 20 种 10由直线 12x， x=2，曲线 1 x 轴所围图形的面积为（ ） A 154B 174C 12解：如图，面积 221 12 211l n | l n 2 l n 2 l n 22 11已知点 P 在抛物线 2 4上，那么点 P 到点 (2 1)Q ， 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（ ） A 1 14，B 114，C (12)， D (1 2)， 解：点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离，如图 P F P Q P S P Q ,故最小值在 ,S 点共线时取得， 此时 , ，所以选 A。（点 P 坐标为 1( , 1)4 ） 12某几何体的一条棱长为 7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（ ） A 22 B 23 C 4 D 25 解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图 设长方体的高宽高分别为 ,由题意得 2 2 2 7m n k ， 22 6 1n 21 ， 21 ，所以 22( 1 ) ( 1 ) 6 228 ， 2 2 2 2 2( ) 2 8 2 8 1 6a b a a b b a b a b 4 当且仅当 2 时取等号。 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答 二、填 空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知向量 (0 11)， ，a ， (4 1 0) ， ，b ， 29 0 ，则 解： 由题意 ( 4 , 1 , ) a b = 221 6 ( 1 ) 2 9 ( 0 ) 3 14设双曲线 2219 16的右顶点为 A，右焦点为 F过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则 面积为 解： 双曲线的右顶点坐标 (3,0)A ，右焦点坐标 (5,0)F ，设一条渐近线方程为 43 5 )319 1 6 ，得交点纵坐标 3215y，从而 1 3 2 3 222 1 5 1 5 15一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98，底面周长为 3，则这个球的体积为 解： 令球的半径为 R ，六棱柱的底面边长为 a ，高为 h ，显然有 22()2，且2 1396248363aV a 1R 34433 16从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位： 结果如下： 甲品种： 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种： 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图 根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维 长度作比较，写出两个统计结论： ； 解： 1乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度） 2甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大） 3甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307品种棉花的纤维长度的中位数为 318 4乙品种 棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（ 352）外，也大致对称，其分布较均匀 3 1 27 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6 甲 乙 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 已知 2 1a ，5 5a （）求 （）求 n 项和 最大值 解：（ ）设 d ，由已知条件， 11145 ，解出1 3a， 2d 所以1 ( 1 ) 2 5na a n d n （ ） 21 ( 1 ) 42n n a d n n 24 ( 2)n 所以 2n 时， 18（本小题满分 12 分） 如图，已知点 P 在正方体 A B C D A B C D 的对角线 上， 60 （）求 所成角的大小； （）求 平面 所成角的大小 解：如图，以 D 为原点， 单位长建立空间直角坐标系 D 则 (1 0 0)， ， ， (0 0 1) ， ， 连结 在平面 中，延长 于 H 设 ( 1 ) ( 0 )D H m m m， ， ，由已知 60D H D A ， ， 由 c o D H D A D H D A D H ， 可得 22 2 1解得 22m， 所以 22122 ， ，（ ）因为220 0 1 12c o C C ， ， 所以 45D H C C ， 即 所成的角为 45 （ ）平面 的一个法向量是 (0 1 0)， ， 因为220 1 1 01c o D C ， ， 所以 60D H D C ， A B C D P A B C D A B C D P A B C D x y z H 可得 平面 所成的角为 30 19 （本小题满分 12 分） 两个投资项目的利润率分别为随机变量 据市场分析， 10 P ）在 两个项目上各投资 100 万元， 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的 利润，求方差 （）将 ( 0 1 0 0 ) 万元投资 A 项目， 100x 万元投资 B 项目， () 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和求 ()指出 x 为何值时， ()注： 2()D a X b a D X ） 解： （ ）由题设可知1 10 P 5 0 . 8 1 0 0 . 2 6 ， 221 ( 5 6 ) 0 . 8 (1 0 6 ) 0 . 2 4 ， 2 2 0 . 2 8 0 . 5 1 2 0 . 3 8 ， 2 2 22 ( 2 8 ) 0 . 2 ( 8 8 ) 0 . 5 (1 2 8 ) 0 . 3 1 2 （ ）12100() 1 0 0 1 0 0x D Y D Y 22121001 0 0 1 0 0 D Y 2224 3 ( 1 0 0 )100 2224 ( 4 6 0 0 3 1 0 0 )100 ， 当 600 7524x 时， ( ) 3为最小值 8 12 P 2 2 8 12 P 20 （本小题满分 12 分） 在直角坐标系 ，椭圆 222=1（ a b 0）的左、右焦点分别为 是抛物线 2 4的焦点，点 M 为 2 在第一象限的交点，且 =35 （）求 方程； （）平面上的点 1 ，直线 l 与 ， 0B ，求直线 l 的方程 20解：（ ）由2C： 2 4知2(10)F ， 设11()M x y， M 在2为2 53所以1 51 3x ，得1 23x ，1263y M 在 1C 上，且椭圆 1C 的半焦距 1c ，于是 ， 消去 2b 并整理得 429 3 7 4 0 ， 解得 2a （ 13a不合题意，舍去） 故椭圆12143 （ ）由12M F M F M N知四边形12中心为坐标原点 O ， 因为 l ，所以 l 与 斜率相同， 故 l 的斜率263 623k 设 l 的方程为 6 ( )y x m 由 223 4 1 26 ( )x m ，消去 y 并化简得 229 1 6 8 4 0x m x m 设11()A x y，22()B x y，12169， 212849 因为 B ，所以1 2 1 2 0x x y y 1 2 1 2 1 2 1 26 ( ) ( )x x y y x x x m x m 21 2 1 27 6 ( ) 6x x m x x m 2 28 4 1 67 6 699 21 (1 4 2 8 ) 09 m 所以 2m 此时 22(1 6 ) 4 9 ( 8 4 ) 0 ， 故所求直线 l 的方程为 6 2 3，或 6 2 3 21（本小题满分 12 分） 设函数 1( ) ( )f x a x a Z，曲线 ()y f x 在点 (2 (2)f， 处的切线方程为 y=3 （）求 () （）证明：函数 ()y f x 的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （）证明：曲线 ()y f x 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值 21解：（ ）21() ()f x a ， 于是212121 0( 2 ) ，解得 11， ，因 ， ，故 1()1f x x x （ ）证明：已知函数12 1y x都是奇函数 所以函数 1()g x 也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称 图形而1( ) 1 11f x x x 可知，函数 ()图像按向量 (11) ，a 平移，即得到函数 ()函数 ()11)， 为中心的中心对称图形 （ ） 证明：在曲线上任取一点00011xx x， 由0 201()1 ( 1 )fx x 知，过此点的切线方程为 20002001 11 ( )1 ( 1 )x 令 1x 得0011xy x ，切线与直线 1x 交点为 00111， 令 得021，切线与直线 交点为00( 2 1 2 1)， 直线 1x 与直线 的交点为 (11)， 从而所围三角形的面积为0 000011 1 21 2 1 1 2 2 22 1 2 1x 所以，所围三角形的面积为定值 2 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题做答，如果多做， 则按所做的第一题记分做答时，用
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