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全国各地
高考
数学试卷
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2008年全国各地高考数学试卷及详解37套,全国各地,高考,数学试卷,详解,37
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2008 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 文科数学 数学(文)试题头说明: 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,其中第卷第 2223 题为选考题,其它题为必考题考生作答时,将答案答在答题卡上在本试卷上答题无效考试结束,将本试卷和答题卡一并交回 注意事项: 1答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上 2选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答案使 用 米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚 3请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效 4保持卡面清洁,不折叠,不破损 5做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 参考公式: 样本数据 , 标准参 锥体体积公式 s= 2 2 2121 ( ) ( ) ( )nx x x x x V=31中 x 为样本平均数 其中 S 为底面面积, h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V= 24 , 343其中 S 为底面面积, h 为高 其中 R 为球的半径 第卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1已知集合 ( 2 ) ( 1 ) 0M x x x , 10N x x ,则 ( ) A ( 11), B ( 21), C ( 2 1), D (12), 2双曲线 22110 2的焦距为( ) A 32 B 42 C 33 D 43 3 已知复数 1 ,则 21( ) A 2 B 2 C 2i D 2i 4设 ( ) x x x ,若0( ) 2,则0x( ) A 2e B e C 5已知平面向量 (1 3),a , (4 2),b , a 垂直, 则 ( ) A 1 B 1 C 2 D 2 6 右面的程序框图,如果输入三个实数 a, b, c,要求输出这三 个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选 项中的( ) A B C D 7 已知 0,则使得 2(1 ) 1 ( 1 2 3 )ia x i , ,都成立的 x 取值范围是( ) A110a,B120a,C310a,D320a,8 设等比数列 q=2,前 n 项和为 24 ) A 2 B 4 C215D2179 平面向量 a, b 共线的充要条件是( ) A a, b 方向相同 B a, b 两向量中至少有一个为零向量 C R , 存在不全为零的实数1,2,120 ()P x y, 在直线 4 3 0上,且 满足 1 4 7 ,则点 P 到坐标原点距离的取值范围是( ) A 05, B 010, C 510, D 515, 11 函数 ( ) c o s 2 2 s i nf x x x的最小值和最大值分别为( ) A 1 , 1 B 2 , 2 C 3 , 32D 2 , 3212已知平面 平面 , l ,点 A , ,直线 AB l ,直线 AC l ,开始 输入 a b c, , 输出 x 结束 是 是 否 否 直线 , ,则下列四种位置关系中, 不一定 成立的是( ) A AB m B AC m C D 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答第 22 题第 23 题为选考题,考生根据要求做答 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13已知 差数列 ,1322,6 7a ,则5a 14一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 15过椭圆 22154的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 两点, O 为坐标原点,则 的面积为 16从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位: 结果如下: 甲品种: 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种: 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下 茎叶图 根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ; 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(本小题满分 12 分) 如图, 是等边三角形, 是等腰直角三角形, 90 , E ,2 ( )求 的值; 3 1 27 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6 甲 乙 ( )求 18(本小题满分 12 分) 如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的正视图和俯视图在下面画出(单位: ( )在正视图下面, 按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; ( )按照给出的尺寸,求该多面体的体积; ( )在所给直观图中连结 ,证明: 面 19(本小题满分 12 分) 为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普 及情况,调查部门对某校 6 名学生进行问卷调查 6 人得分情况如下: 5, 6, 7, 8, 9, 10 把这 6 名学生的得分看成一个总体 ( )求该总体的平均数; ( )用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 概率 20(本小题满分 12 分) 已知 mR ,直线 l : 2( 1 ) 4m x m y m 和圆 C : 22 8 4 1 6 0x y x y ( )求直线 l 斜率的取值范围; ( )直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 12的两段圆弧?为什么? 4 6 4 2 2 E D A B C F G B C D 2 B A C D E 21(本小题 满分 12 分) 设函数 () bf x a , 曲线 ()y f x 在点 (2 (2)f, 处的切线方程为 7 4 1 2 0 ( )求 () ( )证明:曲线 ()y f x 上任一点处的切线与 直线 0x 和直线 所围成的三角形面积为定值,并求此定值 请考生在第 22、 23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分做答时用 2 22(本小题满分 10 分)选修 4 1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A ,过 A 点作直线 直直线 垂足为 P ()证明: 2O M O P O A ; () N 为线段 一点,直线 直直线 且交圆 O 于 B 点过 B 点的切线交直线 K 证明: 90O K M 23 (本小题满分 10 分)选修 4 4;坐标系与参数方程 已知曲线 , ( 为参数),曲线 2222 ,( t 为参数) ()指出 是什么曲线,并说明 共点的个数; ()若把 各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线12,写出12,的 参数方程 1C与2C公共点的个数和 C 21 共点的个数是否相同?说明你的理由 O M A P N B K 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 文科数学试题参考答案和评分参考 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主工考查内容比照评分 参考制订相应的评分细则 2对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分 3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题: 1 C 2 D 3 A 4 B 5 A 6 A 7 B 8 C 9 D 10 B 11 C 12 D 二、填空题: 13 15 14 4315 5316( 1)乙品种棉花的 纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度) ( 2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散(或:乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定)甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大) ( 3)甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307品种棉花的纤维长度的中位数为 318 ( 4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近)甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值( 352)外,也大致对 称,其分布较均匀 注:上面给出了四个结论如果考生写出其他正确答案,同样给分 三、解答题 17解: ( )因为 9 0 6 0 1 5 0B C D , C B A C C D, 所以 15 所以 62c o s c o s ( 4 5 3 0 )4C B E 6 分 ( )在 中, 2, 由正弦定理 2s i n ( 4 5 1 5 ) s i n ( 9 0 1 5 ) 故 2 s 0c o s 1 512262462 12 分 18解: ( )如图 3 分 ( )所求多面体体积 V V V长 方 体 正 三 棱 锥 114 4 6 2 2 232 2284(3 7 分 ( )证明:在 长方体 A B C D A B C D 中, 连结 ,则 C 因为 分别为 , 中点, 所以 G , 从而 C 又 平面 所以 面 12 分 19解: ( )总体平均数为 1 ( 5 6 7 8 9 1 0 ) 7 . 56 4 分 ( )设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有: (56), , (57), , (58), , (59), , (510), , (67), ,(68), , (69), , (610), , (78), , (79), , (710), , (89), , (810), , (910), 共 15 个基本结果 事件 A 包括的基本结果有: (59), , (510), , (68), , (69), , (610), , (78), , (79), 共有7 个基本结果 所以所求的概率为 7()15 12 分 20解: ( )直线 l 的方程可化为22411, 直线 l 的斜率2 1mk m , 2 分 4 6 4 2 2 2 4 6 2 2 (俯视图) (正视图) (侧视图) A B C D E F G A B C D 因为 21 ( 1)2, 所以2112mk m ,当且仅当 1m 时等号成立 所以, 斜率 k 的取值范围是 1122, 5 分 ( )不能 6 分 由( )知 l 的方程为 ( 4)y k x,其中 12k 圆 C 的圆心为 (4 2)C , ,半径 2r 圆心 C 到直线 l 的距离 221d k 9 分 由 12k ,得 4 15d ,即2从而,若 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于 23 所以 l 不能将 圆 C 分割成弧长的比值为 12的两段弧 12 分 21解: ( )方程 7 4 1 2 0 可化为 7 34 当 2x 时, 12y 2 分 又2()bf x a x , 于是1222744 ,解得 , 故 3()f x 6 分 ( )设00()P x y,为曲线上任一点,由231y x 知曲线在点 00()P x y, 处的切线方程为 002031 ( )y y x , 即00200331 ( )y x x 令 0x 得06y x ,从而得切线与直线 0x 的交点坐标为060x, 令 得02y x x,从而得切线与直线 的交点坐标为00(2 2 ) 10 分 所以点00()P x y,处的切线与直线 0x , 所围成的三角形面积为 016262 故曲线 ()y f x 上任一点处的切线与直线 0x , 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6 12 分 22解: ( )证明:因为 圆 O 的切线,所以 M 又因为 M ,在 中,由射影定理知, 2O A O M O P 5 分 ( )证明:因为 圆 O 的切线, K 同( ),有 2O B O N O K ,又 A , 所以 O P O M O N O K ,即 K 又 N O P M O K , 所以 O N P O M K ,故 90O K M O P N 10 分 23解: ( )1 2 分 121,圆心1(00)C ,半径 1r 20 因为圆心10 的距离为 1 , 所以2 4 分 ( )压缩后的参数方程分别为 1C: , ( 为参数) 2C:2 2224 ,( t 为参数) 8 分 化为普通方程为:1C: 2241,2C: 1222, 联立消元得 22 2 2 1 0 , 其判别式 2( 2 2 ) 4 2 1 0 , 所以压缩后的直线2C与椭圆1C仍然只有一个公共点,和1 10 分 008 年普通高等学校统一考试(海南、宁夏卷) 数学(文科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合 M = x|(x + 2)(x 1) x x=b x=c 否 是 框中,应该填 入下面四个选项中的( )权 A. c x B. x c C. c b D. b c 【标准答案】 : A 【试题 解析 】 : 有流程图可知第一个选择框作用是比较 x 与 b 的大小, 故第二个选择框的作用应该是比较 x 与 c 的大小,故应选; 【 高考考点 】算法中的判断语句等知识。 【易错点】: 不能准确理解流程图的含义而导致错误。 【全品网备考提示】 : 算法是新课程中的新增加的内容, 也必然是新高考中的一个热点,应高度重视。 7、已知1 2 3 0a a a ,则使得 2(1 ) 1( 1, 2,3)i 都成立的 x 取值范围是( ) A.( 0,11a ) B. ( 0,12a ) C. ( 0,31a ) D. ( 0,32a ) 【标准答案】 : 【试 题 解析 】 : 由 211,得: 221 2 1x a x ,即 2 20a x a, 解之得 200 ,由于1 2 3 0a a a ,故120 x a ;选 . 【 高考考点 】二次不等式的解法及恒成立知识 【易错点】: 不能准确理解恒成立的含义而导致错误。 【 全品备考提示 】: 不等式恒成立问题是历年高考 的一个重点,要予以高度重视 8、设等比数列 q ,前 n 项和为42 ( ) A. 2 B. 4 172【标准答案】 : 【试题 解析 】 : 由于 4141122 , 1 512 a 412115 1522;选; 【 高考考点 】等比数列的通项公式及求和公式的综合应用 【易错点】: 不能准确掌握公式而导致错误。 【全品备考提示】: 等差数列及等比数列问题一直是高中数学的重点也是高考的一个热点, 要予以高度重视 9、平面向量 a , b 共线的充要条件是( ) A. a , b 方向相同 B. a , b 两向量中至少有一个为零向量 C. R , D. 存在不全为零的实数1,2,120【标准答案】 : 【试题 解析 】 : 若 ,显然符合题意,且存在不全为零的实数12,使得120 ;若 0a ,则由两向量共线知,存在 0 ,使得 , 即 0 ,符合题意,故选 【 高考考点 】向量共线及充要条件等知识。 【易错点】: 考虑一般情况而忽视了特殊情况 【全品备考提示】: 在解决很多问题时考虑问题必须要全面,除了考虑一般性外, 还要注意特殊情况是否成立。 10、点 P( x, y)在直线 4x + 3y = 0 上,且满足 14 x y 7, 则点 P 到坐标原点距离的取值范围是( ) A. 0, 5 B. 0, 10 C. 5, 10 D. 5, 15 【标准答案】 : 【试题 解析 】 : 根据题意可知点在线段 4 3 0 6 3x y x 上,有线段过原点,故点 到原点最短距离为零,最远距离为点 6,8P 到原点距离且距离为,故选; 【 高考考点 】直线方程及其几何意义 【易错点】: 忽视了点的范围或搞错了点的范围而至错。 【全品备考提示】: 随着三大圆锥曲线的降低要求,直线与圆的地位凸现,要予以重视。 11、函数 ( ) c o s 2 2 s i nf x x x的最小值和最大值分别为( ) A. 3, 1 B. 2, 2 C. 3, 32D. 2, 32【标准答案】 : 【试题 解析 】 : 22 131 2 s i n 2 s i n 2 s i x x x x 当 1时, 2当 x 时, ;故选; 【 高考考点 】三角函数值域及二次函数值域 【易错点】: 忽视正弦函数的范围而出 错。 【全品备考提示】: 高考对三角函数的考查一直以中档题为主,只要认真运算即可。 12、已知平面平面, = l,点 A, A l,直线 l,直线 l,直线 m, m,则下列四种位置关系中, 不一定 成立的是( ) A. m B. m C. D. 【标准答案】 : 【试题 解析 】 :容易判断、三个答案都是正确的,对于,虽然 AC l , 但 不一定在平面 内,故它可以与平面 相交、平行,故不一定垂直; 【 高考考点 】线面平行、线面垂直的有关知识及应用 【易错点】: 对有关定理理解不到位而出错。 【全品备考提示】: 线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点,要重点掌握。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13、已知 等差数列, 22, 7,则 _ 【标准答案】 : 【试题 解析 】 :由于 3 8 5 6a a a a 5 3 8 6 2 2 7 1 5a a a a 【 高考考点 】等差数列有关性质及应用 【易错点】: 对有关性质掌握不到位而出错。 【全品备考提示】: 等差数列及等比数列“足数和定理”是数列中的重点内容, 要予以重点掌握并灵活应用。 14、一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 _ 【标准答案】 : 43V【试题 解析 】 正六边形周长为,得边长为 12,故其主对角线为,从而球的直径 2 22 3 1 2R 1R 球的体积 43V 【 高考考点 】正六棱柱及球的相关知识 【易错点】: 空间想象能力不强,不能画出直观图而出错。 【全品备考提示】: 空间想象能力是立体几何中的一个重要能力之一,平时要加强培养。 15、过椭圆 22154的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、 B 两点, O 为坐标原点,则 面积为 _ 【标准答案】 : 53【试题 解析 】 : 将椭圆与直线方程联立: 224 5 2 0 021 ,得交点 540 , 2 , ,33 ; 故121 1 4 5122 2 3 3O A F y y ; 【 高考考点 】直线与椭圆的位置关系 【易错点】: 不会灵活地将三角形面积分解而导致运算较繁。 【全品备考提示】: 对于圆锥曲线目前主要以定义及方程为主,对于直线与圆锥曲线的 位置关系只要掌握直线与椭圆的相关知识即可。 16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位: 结果如下: 甲品种: 271 273 280 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 328 331 334 337 352 乙品种: 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图 根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ; . 【试题 解析 】 :参考答案()乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度; ()甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散(或乙品种棉花的纤维长度较 甲品种棉花的纤维长度更集中)。 ()甲品种棉花的纤维长度的中位数为 品种棉花的纤维长度的中位数为 ()乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近),甲品种 棉花的纤维长度 除一 个特殊值( )外,也大致对称,其 分布较均匀 ; 【 高考考 点 】统计的有关知识 【易错 点】: 不会对数据作出统计 分析。 【全品备 考提示】: 对数据的处理是 新高考的一个新要求,此 类问题今后仍然会出现 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 17、(本小题 12 分)如图, 等边三角形, 等腰直角三角形, 0, E, 。( 1)求 值;( 2)求 【试题 解析 】 : .(1)因为 0 0 09 0 6 0 1 5 0 ,B C D C B A C C D 所以 015, 00 62c o s c o s 4 5 3 04C B E (2)在 中, 2,故由正弦定理得 0 0 0 02s i n 4 5 1 5 s i n 9 0 1 5,故 00122 s i n 3 0 2 62c o s 1 5 624 【 高考考点 】正弦定理及平面几何知识的应用 【易错点】: 对有关公式掌握不到位而出错。 【全品备考提示】: 解三角形一直是高考的重点内容之一,不能轻视。 18、(本小题满分 12 分)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位: ( 1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;( 2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;( 3)在所给直观图中连结 证明: 面 18. 【试题 解析 】 (1)如图 B D D ()所求多面体的体积 31 1 2 8 44 4 6 2 2 23 2 3V V V c m 正长 方 体 三 棱 锥()证明:如图,在长方体 A B C D A B C D 中,连接 则 因为,分别为 ,D 中点,所 以 从而 又 B C E F G 平 面 , 所以 平面; 【 高考考点 】长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识 【易错点】: 对三视图的相关知识掌握不到位,求不出有关数据。 【全品备考提示】: 三视图是新 教材中的新内容,故应该是新高考的热点之一, 要予以足够的重视。 19、(本小题满分 12 分)为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况,调查部门对某校 6 名学生进行问卷调查, 6 人得分情况如下: 5, 6, 7, 8, 9, 10。把这 6 名学生的得分看成一个总体。( 1)求该总体的平均数;( 2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 概率。 19. 【试题 解析 】 ()总体平均数为 1 5 6 7 8 9 1 0 7 . 56 ()设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 从总体中抽取个个体全部可能的基本结果有: (5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10),共个基本结果。 事件包含的基本结果有: (5,9), (5,10), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9),共有个基本结果; 所以所求的概 率为 715 高考考点 】统计及古典概率的求法 【易错点】: 对基本事件分析不全面。 【全品备考提示】: 古典概率的求法是一个重点,但通常不难,要认真掌握。 20、(本小题满分 12 分)已知 m R,直线 l: 2( 1 ) 4m x m y m 和圆 C: 22 8 4 1 6 0x y x y 。 ( 1)求直线 l 斜率的取值范围; ( 2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 12的两段圆弧?为 什么? 【试题 解析 】 ()直线 l 的方程可化为22411,此时斜率2 1mk m 因为 21 12,所以2112mk m ,当且仅当 1m 时等号成立 所以,斜率 k 的取值范围是 11,22; ()不能 知 l 的方程为 4y k x,其中 12k; 圆的圆心为 4, 2C ,半径 2r ;圆心到直线 l 的距离221d k 由 12k ,得 4 15d ,即2从而,若 l 与圆相交,则圆截直线 l 所得 的弦所对的圆心角小于 23,所以 l 不能将圆分割成弧长的比值为 12的两端弧; 【 高考考点 】直线与圆及不等式知识的 综合应用 【易错点】: 对有关公式掌握不到位而出错。 【全品备考提示】: 本题不是很难,但需要大家有扎实的功底,对相关知识都要受熟练掌握; 21、(本小题满分 12 分)设函数 () bf x ,曲线 ()y f x 在点 (2, (2)f 处的切线方程为 7 4 1 2 0 。( 1)求 ()y f x 的解析式;( 2)证明:曲线 ()y f x 上任一点处的 切线与直线 0x 和直线 所围成的三角形面积为定值,并求此定值。 . 【试题 解析 】 )方程 7 4 1 2 0 可化为 7 34,当 2x 时, 12y; 又 2bf x a x ,于是1222744 ,解得 13,故 3f x ()设 00,P x 231y x 知曲线在点 00,P x y 处的切线方程为 002031y y x ,即 00200331y x x 令 0x ,得06y x ,从而得切线
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