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2008年全国各地高考数学试卷及详解37套,全国各地,高考,数学试卷,详解,37
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上海市教育考试院 保留版权 数学（理） 2008第 1页（共 10页） 得 分 评 卷 人 2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 上海 数学试卷 (理工农医类 ) 考生注意： 1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚 . 2. 本试卷共有 21道试题，满分 150分考试时间 120分钟 . 请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 . 一 . 填空题（本大题满分 44分）本大题共有 11题，只要求直接 填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分 1不等式 11 x 的解集是 . 2若集合 2 满足 2 ，则实数 a =_. 3若复数 z 满足 )2(i （ i 是虚数单位），则 z =_. 4若函数 )(反函数为 21 )( （ 0x ），则 )4(f . 5若向量 a 、 b 满足 1a ， 2b ，且 a 与 b 的夹角为3，则 =_. 6函数 s 的最大值是 . 7在平面直角坐标系中，从六个点： )0,0(A 、 )0,2(B 、 )1,1(C 、 )2,0(D 、 )2,2(E 、 )3,3(F 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示 ). 8设函数 )(定义在 R 上的奇函数 . 若当 ),0( x 时， ，则满足 0)( x 的取值范围是 . 9已知总体的各个体的值由小到大依次为 2， 3， 3， 7， a ， b ， 12， 20，且 总体的中位数为 若要使该总体的方差最小，则 的取值分别是 . 数学（理） 2008第 2页（共 10页） 得 分 评 卷 人 10某海域内有一孤岛 . 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界 是长轴长为 短轴长为 椭圆 . 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 、1h 2h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上 . 现有船只经过该海 域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的 仰角分别为 21 、 ，那么 船只已进入该浅水区的判别条件是 . 11方程 122 的解可视为函数 2 图像与函数的图像交点的 横坐标 . 若方程 044 各个实根 )4(, 21 k 所对 应的点 (ii , )（ i = k,2,1 ）均在直线 的同侧，则实数 a 的取值范围是 . 二 . 选择题（本大题满分 16分）本大题共有 4 题，每题都给出 代号为 A、 B、 C、 中有且只有一个结论 是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得 4分，不选、选 错或者选出的代号超过一个（不论 是否都写在圆括号内），一律得零分 12. 组合数 Z,1( 恒等于 答 ( ) (A) 1111 (B) 11)1)(1( (C) 11 (D) 1113. 给定空间中的直线 l 及平面 . 条件 “ 直线 l 与平面 内无数条直线都垂直 ” 是 “ 直 线 l 与平面 垂直 ” 的 答 ( ) (A) 充要条件 . (B) 充分非必要条件 . (C) 必要非充分条件 . (D) 既非充分又非必要条件 . 14. 若数列 首项为 1，公比为23 项的和为 a ，则 a 的值是 答 ( ) (A) 1. (B) 2. (C) 21. (D) 45. 15. 如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别相切于点 C 、 D 的定圆所围成的区域（含边界）， 、 是该 圆的四等分点 . 若点 ),( 点 , 满足 且 ， 则称 P 优于 P . 如果 中的点 Q 满足：不存在 中的其它点优 于 Q ，那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣 弧 答 ( ) (A) . (B) . (C) . (D) . C A 数学（理） 2008第 3页（共 10页） 得 分 评 卷 人 三 . 解答题（本大题满分 90分）本大题共有 6题，解答下列各题必须写出必要的步骤 16.（本题满分 12分） 如图，在棱长为 2 的正方体 1111 中， 1中点 . 求直线 平面 成角的大小（结果用反三角函数值表示） . 解 数学（理） 2008第 4页（共 10页） 得 分 评 卷 人 17.（本题满分 13分） 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处，且小区里有一条平行于 小路 已知某人从 C 沿 到 D 用了10分钟，从 D 沿 到 A 用了 6分钟 . 若此人步行的速度为每分钟 50米，求该扇形的半径 长（精确到 1米） . 解 数学（理） 2008第 5页（共 10页） 得 分 评 卷 人 18.（本题满分 15分）本题共有 2个小题，第 1小题满 分 6分，第 2小题满分 9分 已知双曲线 14: 22 P 是 C 上的任意点 . （ 1）求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （ 2）设点 A 的坐标为 )0,3( ，求 |最小值 . 证明 （ 1） 解 （ 2） 数学（理） 2008第 6页（共 10页） 得 分 评 卷 人 19.（本题满分 16分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 8分，第 2 小题满分 8分 已知函数|212)(. （ 1）若 2)( 求 x 的值； （ 2）若 0)()2(2 于 2,1t 恒成立，求实数 m 的取值范围 . 解 （ 1） （ 2） 数学（理） 2008第 7页（共 10页） 得 分 评 卷 人 20.（本题满分 16分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 3分，第 2 小题满分 5分，第 3小题满分 8分 设 )0(),( 平面直角坐标系 的点， l 是经过 原点与点 ),1( b 的直线 是直线 l 与抛物线 2 )0( p 的异于原点的交点 . （ 1）已知 2,2,1 求点 Q 的坐标； （ 2）已知点 )0(),( 椭圆 14 22 ，1. 求证：点 Q 落在双曲线 144 22 ； （ 3）已知动点 ),( 足 01. 若点 Q 始终落在一条关于 x 轴对称的抛物线上，试问动点 P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由 . 解 （ 1） 证明 （ 2） 数学（理） 2008第 8页（共 10页） 解 （ 3） 数学（理） 2008第 9页（共 10页） 得 分 评 卷 人 21.（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 3分，第 2小题满分 7分，第 3小题满分 8分 已知以 1a 为首项的数列 足： 3,1 （ 1）当 11a ， 3,1 ，求数列 通项公式； （ 2） 当 10 1 a ， 3,1 ，试用 1a 表示数列 100项的和 100S ； （ 3）当0 1 （ m 是正整数），正整数 时，求证：数列2 , ma m 123 ，ma m 126 ，ma m 129 成等比数列当且仅当 . 解 （ 1） （ 2） 证明 （ 3） 数学（理） 2008第 10页（共 10页） 2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 上海数学试卷 (理工农医类 )答案要点及评分标准 说明 果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分 坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部 分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分 解答 一、（第 1题至第 11题） 1. )2,0( . 2. 2 . 3. 1 i . 4. 2 . 5. 7 . 6. 2. 7. 43. 8. ),1()0,1( . 9. 10. co t 2211 . 11. ),6()6,( . 二、（第 12题至第 15题） 题 号 12131415代 号D C B D 三、（第 16题至第 21题） 16 解 过 E 作 ，交 F ，连接 面 ， 是直线 平面 成的角 . 4分 由题意，得 121 1 121 5 8分 ， 55 . 10分 故 直线 平面 成角的 大小是55 12分 17. 解 法一 设 该扇形的半径 为 r 米 . 连接 2分 由题意，得 500（米）， 300（米）， 60 4分 数学（理） 2008第 11页（共 10页） 在 ， 222 60c o ， 6分 即 22221)3 0 0(5 0 02)3 0 0(5 0 0 ， 9分 解得 445114900 r（米） . 答：该扇形的半 径 长约为 445米 . 13分 解法二 连接 作 ，交 H . 2分 由题意，得 500（米）， 300（米）， 120 4分 在 ， 120c o 213 0 05 0 023 0 05 0 0 22 2700 ， 700米） ， 6分 14112c o D. 9分 在直角 ， 350米），1411 445114900c o s H A ） . 答：该扇形的半径 长约为 445米 . 13分 18. 解 （ 1） 设 11, 双曲线上任意一点， 该双曲线的 两条 渐近线方程 分别是 02 02 2分 点 11, 两条 渐近线的距离分别是52 11 和52 11 ， 4分 它们的 乘积是54545252 21211111 点 P 到双曲线 C 的 两条渐近线的距离 的 乘积是一个常数 . 6分 （ 2）设 P 的坐标为 ),( 则 222 )3(| 8分 数学（理） 2008第 12页（共 10页） 14)3(22 54512452 x . 11分 2| x ， 13分 当5122|最小值为54， 即 |最小值为552. 15分 19. 解 （ 1）当 0x 时， 0)( 当 0x 时，12)( . 2分 由条件可知 2212 01222 2 解得 212 x . 6分 02 x ， 21 x . 8分 （ 2）当 2,1t 时， 02122 122 22 m， 10分 即 1212 42 012 2 t ， 12 2 13分 5,1721,2,1 2 ， 故 m 的 取值 范围 是 ),5 . 16分 20. 解 （ 1） 当 2,2,1 ， 解 方程 组,2,42得 ,16,8 即点 Q 的坐标为 16,8 . 3分 证明 （ 2） 由 方程 组,12得 ,1即点 Q 的坐标为 . 5分 数学（理） 2008第 13页（共 10页） P 是椭圆上的点， 即 14 22 114414 2222 因此 点 Q 落在双曲线 144 22 . 8分 （ 3）设 Q 所在抛物线 的 方程为 )(22 ， 0q . 10分 将 Q 代入方程，得 222 ， 即 22 22 . 12分 当 0， 2 ，此时 点 P 的 轨迹 落在 抛物线 上； 当21224121 ，此时 点 P 的 轨迹 落在 圆 上； 当 021124121222 时 点 P 的 轨迹 落在 椭圆 上； 当 0， 124121222 时 点 P 的 轨迹 落在双 曲线 上 . 16分 21. 解 （ 1）由题意得 n,3,3,13,2,23,1 . 3分 （ 2）当 10 1 a 时， 112 213 314 1315 2316 3317 ， 13 1113 kk 23 113 kk 33 1113 kk 6分 数学（理） 2008第 14页（共 10页） 6363663 311111110099987654321100 3363 13113 3111 83 11121 131 a. 10分 （ 3）当 时，12 ； 131113 333113 mm m 13 123 ； 16116 333313 mm m 19 2126 ； 1921219 393319 mm m 127 3129 . 12 1 ，m 31 123 ，2126 91 m ，3129 271 m . 综上所述， 当 时， 数列2 ，ma m 123 ，ma m 126 ，ma m 129 是公比为比数列 . 13分 当 13 ， m 1,03123 ， m 13,333126 ， m 1,03316， 3,131333129 m . 15分 由于 0123 ma m， 0126 ma m， 0129 ma m， 故 数列2 ，ma m 123 ，ma m 126 ，ma m 129 不 是 等比数列 . 所以，数列2 ，ma m 123 ，ma m 126 ，ma m 129 成 等比 数列 当且仅当 . 18分 数学（理） 2008第 15页（共 10页） 1| 1x 的解集是 . 【答案】 (0,2) 【解析】由 1 1 1 0 2 . x|x 2、 B x|x a满足 A B 2，则实数 a . 【答案】 2 【解析】由 2 , 2 2A B A B a 只 有 一 个 公 共 元 素. z i(2 则 z . 【答案】 1i 【解析】由 2( 2 ) 11 iz i z z . f(x)的反函数为 f 1(x) x 0），则 f(4) . 【答案】 2 【解析】令 12( 4 ) ( ) 4 4 ( 0 ) 2f t f t t t t . a 、 b 满足 |a | 1， |b | 2，且 a 与 b 的夹角为 3 ，则 |a +b | . 【答案】 7 【解析】 2 2 2| | ( ) ( ) 2 | | | | 2 | | | | c o s 7 | | 73a b a b a b a a b b a b a b a b a b . f(x) 3x +2+x)的最大值是 . 【答案】 2 【解析】由m a x( ) 3 s i n c o s 2 s i n ( ) ( ) 26f x x x x f x . 六个点： A(0,0)、 B(2,0)、 C(1,1)、 D(0,2)、 E(2,2)、 F(3,3)中任取三个，这三点能 构成三角形的概率是 （结果用分数表示） . 【答案】 34【解析】已知 A C E F B C D、 、 、 共 线 ； 、 、 共 线 ；六个无共线的点生成三角形总数为：数学（理） 2008第 16页（共 10页） 36C ； 可构成三角形的个数为： 3336 4 3 15，所以所求概率为： 3336 4 336 34 ； f(x)是定义在 当 x (0,+ )时， f(x) lg x， 则满足 f(x) 0的 . 【答案】 ( 1, 0 ) (1, ) 【解析】 0 ( ) 0 1 ( ) 0 0 1 x f x x f x x 当 时 ， ； ；由 f(x)为奇函数得： 0 ( ) 0 1 0 ( ) 0 1 x f x x f x x 当 时 ， ； 结 论 ； ,3,3,7,a,b,12， 20，且总体的中位数为 若要使该总体的方差最小，则 a 、 b 的取值分别是 . 【答案】 1 0 1 0 【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须 1 0 1 0 时，总体方差最小； 四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为 2a，短轴长为 2知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 1、 2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 【答案】1 1 2 2c o t c o t 2h h a 【解析】依题意， 12| | | | 2M F M F a1 1 2 2c o t c o t 2h h a ； 2x 1 0的解可视为函数 y x+ 2的图像与函数 y 1 x4+4 0的各个实根 ， k 4)所对应的点 (4 i 1,2, ,k）均在直线 y 则实数 . 【答案】 ( , 6 ) ( 6 , ) 【解析】方程的根显然 0x ，原方程等价于 3 4，原方程的实根是曲线 数学（理） 2
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