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2008年全国各地高考数学试卷及详解37套,全国各地,高考,数学试卷,详解,37
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绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学（文史类） 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 祝考试顺利 注间事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效 . 米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效 . 结束，请将本试题卷和答题卡一并上交 . 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 2 ) , ( 2 )a b c a b c 则 A.( 15,12) . 321(2 )2x x 的展开式中常数项是 1, 2 , 3 , 4 , 0 5 , ,P Q x x x R 则 A. “ ”是“ ”的充分条件但不是必要条件 B. “ ”是“ ”的必要条件但不是充分条件 C. “ ”是“ ”的充要条件 D. “ ”既不是“ ”的充分条件也不是“ ”的必要条件 的平面去截面面积为 ，则球的体积为 D. 823，满足不等式组 ,1的点 ( , )集合用阴影表示 为下列图中的 ) 上是奇函数，且 2( 4 ) ( ) , ( 0 , 2 ) ( ) 2 , ( 7 )f x f x x f x x f 当 时 ， 则 )的图象 F 向右平移3个单位长度得到图象 F，若 F的一条对称轴是直线 ,1x 则 的一个可能取值是 A. 512B. 512. 11128. 函数 221( ) 1 ( 3 2 ) 3 4f x n x x x 的定义域为 A. ( , 4 2 , ) B. ( 4, 0) (0,1) C. 4, 0)(0,1 D. 4, 0) (0,1 名男生和 5 名女生中选 3 人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆形轨道绕月飞行，若用12 和的焦距，用12 和的长轴的长，给出下列式子： 1 1 2 2 ;a c a c 1 1 2 2 ;a c a c 1 2 1 2 ;c a a c中正确式子的序号是 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案 填在答题卡相应位置上 . 000 名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为 50 的样本，已知某部门有 200 名员工，那么从该部门抽取的工人数是 . ， a， b， c 分别是角 A， B， C 所对的边，已知 3 , 3 , 3 0 ,a b c 则 A . 23x x 的实数解的个数为 . 了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是 闹钟准时响的概率是 两个闹钟至少有一准时响的概率是 . 4 c o s , ()2 4 s i 为 参 数的圆心坐标为 ，和圆 C 关于直线0对称的圆 C的普通方程是 . 三、解答题：本大题共 6 分小题，共 75 分，解答应写出文字说明 ，证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满 12 分） 已知函数 2( ) s i n c o s c o s 2 2x x （）将函数 ()s i n ( ) ( 0 , 0 , 0 , 2 ) )A x B A 的形式，并指出() （）求函数 17( ) , 12在上的最大值和最小值 17.（本小题满分 12 分） 已知函数 3 2 2( ) 1f x x m x m x （ m 为常数，且 m0）有极大值 9. （）求 m 的值； （）若斜率为 直线是曲线 ()y f x 的切线，求此直线方程 . 18.（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱1 1 1A B C A B C中，平面1）求证： ;C （）若1A A A C a，直线 平面1 ，二面角1 ,. 2A B C A 的 大 小 为 求 证 ：19.（本不题满分 12 分） 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 18000周空白的宽度为 10栏之间的中缝空白的宽度为 5样确定广告的高与宽的尺寸（单位： 能使矩形广告面积最小？ 20（本小题满分 13 分） 已知双同线 22: 1 ( 0 , 0 )a 的两个焦点为 : ( 2 , 0 ) , : ( 2 , 0 ) , ( 3 , 7 )F F P 点 的曲线 C 上 . （）求双曲线 C 的方程； （）记 O 为坐标原点，过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、 F，若面积为 2 2, 求直线 l 的方程 21.（本小题满分 14 分） 已知数列1 2 , 1 3n n xa b a a n a 和 满 足 ： 4 , ( 1 ) ( 3 2 1 )nn n nn b a n ,其中 为实数， n 为正整数 . （）证明：当 1 8 时 ， 数 列 是 等 比 数 列 ；（）设n 项和，是否存在实数 ，使得对任意正整数 n，都有 12?若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由 . 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（文史类）试题参考答案 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算 分，满分 50 分 . 、填 空题：本题考查基础知识和基本运算，第小题 5 分，满分 25 分 . 或6） 5.（ 3， 2），（ x 2） 2（ y 3） 2 16（或 4x 6y 3 0） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 2 ) , ( 2 )a b c a b c 则 A.( 15,12) C. 3 D. 11 解： 2 ( 1 , 2 ) 2 ( 3 , 4 ) ( 5 , 6 ) ， ( 2 ) ( 5 , 6 ) ( 3 , 2 ) 3a b c ，选 C 2. 3 1021(2 )2x x 的展开式中常数项是 ： 3 1 0 1 0 3 2 0 21 1 0 1 0211( 2 ) ( ) 2 ( )22r r r r r r r x C ，令 3 2 0 2 0 得 4r 所以常数项为 4 4 1 0 45 1 0 1 1 0 52 ( )22 1, 2 , 3 , 4 , 0 5 , ,P Q x x x R 则 A. “ ”是“ ”的充分条件但不是必要条件 B. “ ”是“ ”的必要条件但不是充分条件 C. “ ”是“ ”的充要条件 D. “ ”既不是“ ”的充分条件也不是“ ”的必要条件 解： x P x Q 反之不然故选 A 的平面去截面面积为 ，则球的体积为 D. 823解：截面面积为 截面圆半径为 1，又与球心距离为 1 球的半径是 2 ， 所以根据球的体积公式知 34 8 233，故 案 ，满足不等式组 ,1的点 ( , )集合用阴影表示为下列图中的 解：在坐标系里画出图象， C 为正确答案。也可取点坐标检验判断。 ) 上是奇函数，且 2( 4 ) ( ) , ( 0 , 2 ) ( ) 2 , ( 7 )f x f x x f x x f 当 时 ， 则 A. 2 B. 2 C. 98 解：由题设 2( 7 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 1 2f f f f )的图象 F 向右平移3个单位长度得到图象 F，若 F的一条对称轴是直线4x 则 的一个可能取值是 A. 512B. 512. 1112解： 平移得到 图象 F， 的解析式为 3 s i n ( ) 33 , 对称轴方程 ()32x k k Z ， 把4x 带入得 75( 1 ) ( )1 2 1 2k k k Z ，令 1k ， 5128. 函数 221( ) 1 ( 3 2 ) 3 4f x n x x x 的定义域为 A. ( , 4 2 , ) B. ( 4, 0) (0,1) C. 4, 0)(0,1 D. 4, 0) (0,1 解：函数的定义 域必须满足条件： 222203 2 0 4 , 0 ) ( 0 , 1 )34403 2 3 0x x 名男生和 5 名女生中选 3 人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 ： 10 人中任选 3 人的组队方案有 310 120C ，没有女生的方案有 35 10C ， 所以符合要求的组队方案数为 110 种。 嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行，之后卫星在 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在 为 圆形轨道绕月飞行，若用12 和的焦距，用12 和的长轴的长，给出下列式子： 1 1 2 2 ;a c a c 1 1 2 2 ;a c a c 1 2 1 2 ;c a a c中正确式子的序号是 A. B. C. D. 解： 由焦点到顶点的距离可知正确，由椭圆的离心率知正确，故应选 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡相应位置上 . 000 名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为 50 的样本，已知某部门有 200 名员工，那么从该部门抽取的工人数是 . 解： 由分层抽样方法可知 从该部门抽取的工人数满足 1 0 0 0 2 0 0 , 1 050 a， b， ， B， 知 3 , 3 , 3 0 ,a b c 则 A . 解： 由余弦定理可得 2 3 9 2 3 3 c o s 3 0 3c , 3 3 0 ( )6c a A C 23x x 的实数解的个数为 . 解：画出 2 与 23 的 图象 有两个交点，故 方程 223x x 的实数解的个数为 2个。 了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是 闹钟准时响的概率是 两个闹钟至少有一准时响的概率是 . 解：两个闹钟都不准时响的概率是 (1 0 . 8 ) (1 0 . 9 ) 0 . 0 2 ， 4 c o s , ()2 4 s i 为 参 数的圆心坐标为 ， 和圆 C 关于直线0对称的圆 C的普通方程是 . 解：由题设 22( 3 ) ( 2 ) 1 6 ，圆心坐标 (3, 2) ；关于直线 0对称的圆 C圆心为 ( 2,3) ，半径相等，所以方程是 22( 2 ) ( 3 ) 1 6 三、解答题：本大题共 6 分小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满 12 分） 已知函数 2( ) s i n c o s c o s 2 2x x （）将函数 ()s i n ( ) ( 0 , 0 , 0 , 2 ) )A x B A 的形式，并指出() （）求函数 17( ) , 12在上的最大值和最小值 解： ( ) 1 1 c o s 1 3 2 3( ) s i n 2 ( s i n c o s ) s i n ( )2 2 2 2 2 4 2xf x x x x x . 故 ()k k Z 且 k 0 . ( )由 x1217 ，得 35445 f(x)23)4s 2 45, 上是减函数，在 1217,45 上是增函数 . 故当 x=45时， f(x)有最小值2 23；而 f( )= 2， f(1217 )4 66 2， 所以当 x= 时， f(x)有最大值 2. 17.（本小题满分 12 分） 已知函数 3 2 2( ) 1f x x m x m x （ m 为常数，且 m0）有极大值 9. （）求 m 的值； （）若斜率为 直线是曲线 ()y f x 的切线，求此直线方程 . 解： ( ) f(x) 3x+m)(3x m)=0,则 x= m 或 x=31m, 当 x 变化时， f(x)与 f(x)的变化情况如下表： x ( , m) m ( m, ) f(x) + 0 0 + f (x) 极大值 极小值 从而可知，当 x= m 时，函数 f(x)取得极大值 9， 即 f( m) m3+m3+=9, m 2. ( )由 ( )知， f(x)=4x+1, 依题意知 f(x) 34x 4 5， x 1 或 x31. 又 f( 1) 6， f(31)2768， 所以切线方程为 y 6 5(x 1),或 y2768 5(x31)， 即 5x y 1 0，或 135x 27y 23 0. 18.（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱1 1 1A B C A B C中，平面1）求证： ;C （）若1A A A C a，直线 平面1 ，二面角1 ,. 2A B C A 的 大 小 为 求 证 ：解： ( )证明：如右图，过点 A 在平面 D D，则 由平面 面 平面 面 得 面 C 平面 以 因为三棱柱 则 面 以 又 ,从而 面 又 面 故 ( )证法 1：连接 由 ( )知 是 直线 平面 成的角， 1 A 的颊角，即 ， . 于是在 ， ,在 于 与 是锐角，所以 又由 1， 2，故 2. 证法 2：由 ( )知，以点 B 为坐标原点，以 x 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . 设 AB=c（ c a，则 B(0,0,0)， A(0,c,0)， C( 0,0,22 ), ,c,a)，于是 )0,0,( 22 ， 1（ 0， c,a） , )0,( 22 1c,a设平面 一个法向量为 n=(x,y,z), 则由,0,0221 可取 n（ 0， a， c），于是 n 0， n 的夹角 为锐角 ,则 与 互为余角 222222222)()0,(),0(| , ,),0,0(),0(| 22221 1 所以 2),又 0 ， 2，所以 +=2. 19.（本不题满分 12 分） 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 18000周空白的宽度为 10栏之间的中缝空白的宽度为 5样确定广告的高与宽的尺寸（单位： 能使矩形广告面积最小？ 解： 解法 1：设矩形栏目的高为 a 为 b 000. 广告的高为 a+20，宽为 2b+25，其中 a 0， b 0. 广告的面积 S (a+20)(2b+25) 20b+25a+500 18500+25a+40b 18500+2 025 =18500+ 当且仅当 25a 40b 时等号成立，此时 b= 入式得 a=120，从而 b=75. 即当 a=120， b=75 时 ,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 为 175 ，可使广告 的面积最小 . 解法 2：设广告的高为宽分别为 x y 每栏的高和宽分别为 x 20， ,22520， y 25 两栏面积之和为 2(x 20) 180002 25 y,由此得 y= ,252018000 =xy=x( 252018000 x) 252018000 整理得 S= 0(2520360000 x 20 0，所以 S 2 5 0 01 8 5 0 0)20(25203 6 0 0 0 0 20(252036 000 0 此时有 (x 20)2 14400(x 20)，解得 x=140，代入 y=2018000x+25,得 y 175， 即当 x=140， y 175 时， S 取得最小值 24500， 故当广告的高为 140 为 175 ，可使广告的面积最小 . 20（本小题满分 13 分） 已知双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a 的两个焦点为 : ( 2 , 0 ) , : ( 2 , 0 ) , ( 3 , 7 )F F P 点 的曲线 C 上 . （）求双曲线 C 的方程； （）记 O 为坐标原点，过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、 F，若面积为 2 2, 求直线 l 的方程 解： ( )解法 1：依题意，由 a2+，得双曲线方程为 14 2222 0 4）， 将点（ 3， 7 ）代入上式，得 14 79 22 8（舍去）或 2， 故所求双曲线方程为 解法 2：依题意得，双曲线的半焦距 c=2. 2a=| | ,22)7()23()7()23( 2222 ， b2=. 双曲线 C 的方程为 ( )解法 1：依题意，可设直线 l 的方程为 y=，代入双曲线 C 的方程并整理， 得 (1 k2)46=0. 直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、 F, ,33,10)1(64)4(,01222， k ( 1,3 ) (1, 3 ). 设 E(x1,F(x2,则由式得 x1+,1 6,1 4 2212 于是 | 2212221221 )(1()()( =|1|32214)(1222212212 而原点 O 到直线 l 的距离 d212k, .|1|322|1|32211221|21222222 若 22 ，即 ,0222|1|322 2422 得 k= 2 , 满足 l 有两条，其方程分别为 y= 22 x 和 解法 2：依题意，可设直线 l 的方程为 y=,代入双曲线 C 的方程并整理， 得 (1 k2)46 0. 直线 l 与比曲线 C 相交于不同的两点 E、 F， 0)1(64)4(,01222， k ( 1,3 ) (1, 3 ). 设 E(x1,F(x2,则由式得 |1|322|1|4)( 22221221 . 当 E、 F 在同一支上时（如图 1 所示）， | |21|21 2121 ； 当 E、 F 在不同支上时（如图 2 所示）， .|2
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