2011-2012年高考数学 真题分类汇编（含解析）（打包22套）
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2011-2012年高考数学 真题分类汇编（含解析）（打包22套）,年高,数学,分类,汇编,解析,打包,22
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1 选修 4 系列 1.(2012 北京高考卷 分 ) 如图 . 0， 点 D，以 直径的圆与 ) A. B=B B. B=B C. B= B= 【答案】 A 【解析】在 中， 0 ， B 于点 D， 所以 2 ,由切割线定理的2 ,所以 B=B 。 2.（ 2012 湖北高考卷 分） （选修 4何证明选讲） 如图，点 的弦 移动， 4，连接 点 D 作 垂线交 O 于点 C，则 . 【答案】 2 【解析】 （由于 , 因此 22 ,线段 为定值， 即需求解线段 度的最小值，根据 弦中点到圆心的距离最短，此 时 D 为 中点，点 C 与点 B 重合，因此 2|21| 3.（ 2012 湖南高考卷 分） 在直角坐标系 ，已知曲线1C： 1,12(与曲线2C： 3 ( 为参数， 0a ) 有一个公共点在 _a . C B A D O . 第 15 题图 2 【答案】 32【解析】曲线1C： 1,12直角坐标方程为 32 ，与 x 轴交点为 3( ,0)2； 曲线2C： 3 直角坐标方 程为 222 19，其与 x 轴交点为 ( , 0), ( , 0)， 由 0a ，曲线1轴上，知 32a. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等 出与 x 轴交点，即可求得 . 4.（ 2012 新课标卷 0 分） 选修 4何证明选讲 如图， ,边 ,C 的中点，直线 的外接圆于 , /B ，证明： （ 1） C ； （ 2） B C D G B D 【答案】 /B ， / / / / / /D F B C C F B D A D C D B F /C F A B A F B C B C C D （ 2） /B C G F B G F C B D /B C G F G D E B G D D B C B D C B C D G B D 5. （ 2012 新课标卷 0 分） 选修 4 4；坐标系与参数方程 已知曲线 1C 的参数方程是 )(3 s c o 参数 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴 为极轴建立坐标系，曲线 2C 的坐标系方程是 2 ，正方形 顶点都在 2C 上， 3 且 , , ,A B C D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为 (2, )3（ 1）求点 , , ,A B C D 的直角坐标； （ 2）设 P 为 1C 上任意一点，求 2 2 2 2P A P B P C P D 的取值范围 . 【答案】 （ 1）点 , , ,A B C D 的极坐标为 5 4 1 1( 2 , ) , ( 2 , ) , ( 2 , ) , ( 2 , )3 6 3 6 点 , , ,A B C D 的直角坐标为 (1 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 ) （ 2）设00( , )P x y；则 002 c o s ()3 s i 为 参 数2 2 2 2 224 4 4 0t P A P B P C P D x y 25 6 2 0 s i n 5 6 , 7 6 6. （ 2012 新课标卷 0 分） 选 修 45 ：不等式选讲 已知函数 ( ) 2f x x a x （ 1）当 3a 时，求不等式 ( ) 3的解集； （ 2）若 ( ) 4f x x的解集包含 1,2 ，求 a 的取值范围 . 【答案】（ 1）当 3a 时， ( ) 3 3 2 3f x x x 23 2 3 或 233 2 3 或 33 2 3 1x或 4x （ 2）原命题 ( ) 4f x x 在 1,2 上恒成立 24x a x x 在 1,2 上恒成立 22x a x 在 1,2 上恒成立 30a 7.（ 2012陕西高考卷 分） A.（不等式选做题）若存在实数 x 使 | | | 1 | 3x a x 成立，则实数 a 的取值范围是 . 4 【答案】 42 a . 【解析】不等式 3|1| 以表示数轴上的点 x 到点 a 和点 1的距离之和小于等于 3，因为数轴上的点 x 到点 a 和点 1 的距 离之和最小时即是 x 在点 a 和点 1 之间时，此时距离和为 |1| a ，要使不等式 3|1| 解，则 3|1| a ，解得 42 a . 8. （ 2012 陕西高考卷 分） （几何证明选做题）如图，在圆 径 足为 E， B ，垂足为 F，若 6， 1，则 B . 【答案】 5. 【解析】 5,1,6 D，则 ，, 5 又 , ,即 52 9. （ 2012陕西高考卷 分） （坐标系与参数方程）直线 2 与圆 2 相交的弦长为 . 【答案】 3 . 【解析】直线 1 与圆 的普通方程为 1)1(12 22 ，圆心到直线的 距离为21211 ，所以弦长为 3)21(12 2 . 10.（ 2012上海高考卷 分） 函数1s 值域是 。 【答案】 23,25 【解析】函数 s o ss ，因为 12 x ，所以212s x，232s x，即函数 )(值域为 23,25 。 11.（ 2012上海高考卷 分） 5 如 图 ， 在 极 坐 标 系 中 ， 过 点 )0,2(M 的 直 线 l 与 极 轴 的 夹 角6，若将 l 的极坐标方程写成 )( f 的形式，则 )(f 。 【答案】)6【解析】设直线上的任一点为 P ),( ,因为6以 6根据正弦定理得 O P s ,即)6s 2)6s ，即)6s 1)6s 6s 。 12.（ 2012 江西高考卷 分） （坐标系与参数方程选做题）曲线 角坐标方程为 ，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 _。 【命题立意】本题考查参数方程，考查极坐标与平面直角坐标系之间的转化。 【解析】因为 c o s,222 所以代入直角坐标方程整理得 0 ，所以 0 ，即极坐标方程为 。 【答案】 13.（ 2012辽宁高考卷 0 分） 选修 4 1：几何证明选讲 如图， O 和 /O 相交于 , A 作两圆的切线分别交两圆于 C， 接 6 。证明 () A C B D A D A B ； () E 。 【 答案】 【点评】 本题主要考查圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形相似这一知识点考查本题属于选讲部分，涉及到 圆的性 质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多，在练习时，要有所侧重 14.（ 2012 辽宁高考卷 0 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标 ，圆 221 :4C x y，圆 222 : ( 2 ) 4C x y 。 () 在以 别写出圆12,求出圆12,用极 坐标表示 )； () 求出12 【答案】 7 【点评】 本题主要考查直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极坐标系的组成本题要注意圆 221 :4C x y的圆心为 )0,0( 半径为 21r ，圆222 : ( 2 ) 4C x y 的圆心为 )0,2( 半径为 22 r ，从而写出它们的极坐标方程；对于两圆的公共弦，可以先求出其代数形式，然后化成参数形式，也可以直接根据直线的参数形式写出。对于极坐标和参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主 15. （ 2012 辽宁高考卷 0 分） 选修 4 5：不等式选讲 已知 ( ) | 1 | ( )f x a x a R ，不等式 3)( 解集为 12 () 求 () 若 )2(2)(恒成立，求 【答案】 8 【点评】 本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，考查分类讨论思想在解题中的灵活运用，第 () 问，要真对 a 的取值情况进行讨论，第 () 问要真对)2(2)( 的正负进行讨论从而用分段函数表示，进而求出 题属于中档题，难度适中平时复习中，要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用。 16.（ 2012 江西高考卷 分） （不等式选做题）在实数范围内，不等式|2|2x+1|6 的解集 为 _。 【答案】 2323 题立意】本题考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论的数学思想。 【解析】原不等式等价为 32121 法 （ 1）讨论： 当21等式等价为 3)21()21( 32 x ，23x， 此时 2123 x； 当2121 等式等价为 3)21()21( 31 ，恒成 立， 此时 2121 x； 当21等式等价为 3)21()21( 32 x ，23x， 此时 2321 x， 9 综上不等式的解为2323 x，所以不等式的解集为 2323 方法（ 2）利用绝对值的几何意义，不 等式 32121 轴上的点 x 到点21,21的距离之和小于等于 3 的解。当232121 以32121 解为 2323 x ，所以不等 式的解集为 2323 17.（ 2012 湖南高考卷 分） 不等式 |2x+1|-2|0的解集为 _. 【答案】 14【解析】令 ( ) 2 1 2 1f x x x ，则由 () ( )214 1 , ( 1 )23 , ( 1 ) 得 () 的解集为 14. 【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组） . 18.（ 2012 湖南高考卷 分 ）如下图所示，过点 P 的直线与圆 O 相交于 A， B 两点 A=1， ， ，则圆 _. 【答案】 6 【解析】设 圆 ， D，如图，设圆的半径为 R，由割线定理知 , 1 (1 2 ) ( 3 - ) ( 3 ) , 6 P B P C P D r r r 即 0 【点评】本题考 查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知 P A P B P C P D ，从而求得圆的半径 . 19.（ 2012 湖北高考卷 分） （选修 4标系与参数方程）在直角坐标系 原点 立极坐标系 . 已知射线 4与曲线21,( 1)（ 相交于 A， 线段 . 【答案】 )25,25(P【解析】 4在直角坐标系下的一般方程为 )( ，将参数方程21,( 1)（ 化为直角坐标系下的一般方程为 222 )2()11()1( 示一条抛物线，联立上面两个方程消去 y 有 0452 设 两点及其中点 P 的横坐标分别为0A 、，则 有韦达定理2520 BA 由于点 P 点在直线 上，因此中点 )25,25(P. 20.（ 2012 北京高考卷 分） 直线 12 为参数 )与曲线 (参数 )的交点个数为 _。 【答案】 2 【解析】直线的普通方程 01 圆的普通方程为 922 可以直线圆相交，故有 2个交点。 21.（ 2012广东高考卷 分） 不等式 |x+2|-|x|1 的解集为 _ 【答案】 21| 1 【解析】2,202,220,2)(当 0x 时， 12 不成立；当 02 x 时， 122 x；当 2x 时， 12 恒成立，故不 等式的解集为 21| 22. （ 2012广东高考卷 分） （几何证明选讲选做题）如图所示，圆 ，A、 B、 足 0 ，过点 A 做圆 C 的延长线交于点 P， 则 _ 【点评】本题考查几何证明选讲内容与余弦定理，意在考查学生的思维能力、运算求解能力 【答案】 3 【解析】法一：连接 60 ，所以 ， ， 所以 31)2(2 所以 3 法二：延长 圆于点 D，连接 30因为 D，所以 30O ,又因为 ,所以 30303090180P ，所以D，在 中，由余弦定理得， 3120c o 2 故3 23.（ 2012 安徽高考卷 4 分） 在极坐标系中，圆 4 的圆心到直线()6 R的距离是 _ 【答案】 3 【命题立意】本题考查极坐标中的点与直线的距离。 12 【解析】圆 224 s i n ( 2 ) 4 的圆心 (0,2)C ， 直线 : ( ) 3 06l R x y ；点 C 到直线 l 的距离是 0 2 3 32 24.（ 2012 天津高考卷 分） 已知抛物线的参数方程为 2 （ t 为参数） ,其中 p0，焦点为 F，准线为 l . 过抛物线上一点 M作 l 的垂线，垂足为 E. 若 |点，则 p = _. 【答案】 2 【解析】消去参数 t 得抛物线方程为 2 ，准线方程为2，因 M 为抛物线上一点，所以有 ,又 ,所以三角形 等边三角形，则23)2(32 ，解得 2p 。 25.（ 2012 天津高考卷 分） 如图，已知 圆的两条弦，过点 B 作. 过点 ，与 交于点F， ， ， 3，则线段 长为 _. 【答案】34【解析】如图连结 1=2 ， 2=A 1A ，又 B=B ， ， ,代入数值得 ，又由平行线等分线段定理得,解得 4. 26.（ 2012 江苏高考卷 0 分） 选修 4 - 1：几何证明选讲 （ 10分） 如图， 3 是圆 O 的直径， ,B 异侧的两点，连结 延长至点 C ，使 C ，连结 ,E 求证： 【答案】 证明：连接 圆 O 的直径， 090（直径所对的圆周角是直角）。 D （垂直的定义）。 又 C ， 线段 中垂线（线段的中垂线定义）。 C （线段中 垂线上的点到线段两端的距离相等）。 （等腰三角形等边对等角的性质）。 又 ,B 异侧的两点， （同弧所对圆周角相等）。 （等量代换）。 【考点】 圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。 【解析】 要证 ，就得找一个中间量代换，一方面考虑到 和 是同弧所对圆周角，相等；另一方面由 圆 O 的直径和 C 可知 线段 中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到 。从而得证。本题还可连接 利用三角形中位线来求证 。 27.（ 2012 福建高考卷 分） 选修 4阵与变换 设曲线 2xy+在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为 x2+. （ ）求实数 a， （ ）求 【答案】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查基本运算能力，以及化归与转化思想 . 14 28. （ 2012 福建高考卷 分） 选修 4标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点 知直线 l 上两点 M， 2,0）， ，圆 （ ）设 N 的中点，求直线 （ ）判断直线 l 与圆 【答案】 29. （ 2012 福建高考卷 分） 选修 4等式选讲 已知函数 f（ x） =m-| mR ，且 f（ x+2） 0 的解集为 . （ ）求 （ ）若 a， b， cR ，且 【答案】 本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查基本运算能力，以及化归与转化思想 . 15 30.（ 2012 江苏高考卷 0 分） 选修 4 - 2：矩阵与变换 （ 10分） 已知矩阵 A 的逆矩阵 113441122A ，求矩阵 A 的特征值 【 解 】 1A A=E ， 11 A= A 。 113441122A ， 11 2 32 1 A = A。 矩阵 A 的特征多项式为 22 3= = 3 42 1 f 。 令 =0f ，解得矩阵 A 的特征值 12= 1 = 4 ， 。 【考点】 矩阵的运算，矩阵的特征值。 【解 析】 由矩阵 A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵 A ，从而求出矩阵 A 的特征值。 31. （ 2012 江苏高考卷 0 分） 选修 4 - 4：坐标系与参数方程 （ 10 分） 在极坐标中，已知圆 C 经过点 24P ，圆心为直线 3s i 与极轴的交 点，求圆 【 解 】 圆 C 圆心为直线 3s i 与极轴的交 点， 在 3s i 中令 =0 ，得 1 。 圆 C 的圆心坐标为（ 1， 0）。 圆 C 经过点 24P ， 16 圆 C 的半径为 2 22 1 2 1 2 c o s = 14 。 圆 C 经过极点。 圆 C 的极坐标方程为 =2。 【考点】 直线和圆的 极坐标方程。 【解析】 根据圆 C 圆心为直线 3s i 与极轴的交 点求出的圆心坐标；根据 圆 24P ，求出圆 C 的半径。从而得到圆 C 的极坐标方程。 32. （ 2012 江苏高考卷 0 分） 选修 4 - 5：不等式选讲 （ 10分） 已知实数 x，11| | | 2 |36x y x y ， ，求证： 5|18y 【考点】 绝对值不等式的基本知识。 【解析】 根据绝对值不等式的性质求证。 【 证明 】 3 | | = | 3 | = | 2 2 | 2 2y y x y x y x y x y ， 由题设 11| | | 2 |36x y x y ， ， 1 1 53 | | =3 6 6y 。 5|18y 。 33.（ 2011 年福建） 本题设有（ 1）、（ 2）、（ 3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2题做答，满分 14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所 选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （ 1）（本小题满分 7分）选修 4阵与变换 设矩阵00 （其中 a 0， b 0） （ I）若 a=2， b=3，求矩阵 （ 曲线 C： x2+在矩阵 ： 12 ，求 a， （ 2）（本小题满分 7分）选修 4标系与参数方程 在直接坐标系 ，直线 =0，曲线 x 3 c o sy s i n （ 为 参 数 ） （ I）已知在极坐标（与直角坐标系 以原点 O 为极点，以 7 半轴为极轴）中，点 坐标为（ 4， 2 ），判断点 （ 点 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值 （ 3）（本小题满分 7分）选修 4等式选讲 设不等式 11 的解集为 M （ I）求集合 M； （ a， bM ，试比较 与 a+ （ 1）选修 4 2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分 7分。 解：（ I）设矩阵 ，则1 又2003M ，所以11222 0 1 00 3 0 1 ， 所以 1 1 2 2 1 1 2 2112 1 , 2 0 , 3 0 , 3 1 , , 0 , 0 , ,23x y x y x y x y 即 故所求的逆矩阵11 02 （ 曲线 , )P x y ， 它在矩阵 线性变换作用下得到点 ( , )P x y ， 则00,x x a x xy y b y y 即 又点 ( , )P x y 在曲线 C 上， 所以2 2 14x y, 18 则22 22 14ax 为曲线 又已知曲线 , 故 又2,0 , 0 , 所 以 （ 2）选修 4 4：坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分 7分。 解：（ I）把极坐标系下的点 (4, )2P 化为直角坐标，得 P（ 0， 4）。 因为点 0， 4）满足直线 l 的方程 40， 所以点 l 上， （ 为点 上，故可设点 3 c o s , s i n )， 从而点 l 的距离为 2 c o s ( ) 4| 3 c o s s i n 4 | 62 c o s ( ) 2 2622d ， 由此得，当 c o s ( ) 16 时， ，且最小值为 2. （ 3）选修 4 5：不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分 7分。 解：（ I）由 | 2 1 | 1 1 2 1 1 , 0 1 .x x x 得 解 得 所以 | 0 1 .M x x （ （ I）和 ,a b M 可 知 0a1,0b1， 所以 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 0 .a b a b a b 19 故 a b 34.（ 2011 年辽宁） 在平面直角坐标系 线 参数方程为 为参数），曲线 0 为参数），在以 系中 ，射线 l： = 与 =0时，这两个交点间的距离为 2，当 =2 时，这两个交点重合 （ I）分别说明 什么曲 线，并求出 a与 （ 当 =4 时， l 与 交点分别为 = 4 时， l 与 交点为 四边形 解： （ I） 圆， 椭圆 . 当 0 时，射线 l 与 点的直角坐标分别为（ 1， 0），（ a， 0），因为这两点间的距离为 2，所以 a=3. 当 2 时，射线 1， 0， 1），（ 0， b），因为这两点重合，所以 b=1. （ 普通方程分别为22 2 21 1 y y 和 当 4 时，射线 1交点 2x ，与 点 3 10 当 4 时，射线 l 与 2， 1， 此， 四边形 20 故四边形 2 2 ) ( ) 2 x x x 35.（ 2011年 辽宁）选修 4等式选讲 已知函数 )(| （ I）证明： 3 )(3 ； （ 不等式 )( x+15的解集 解： （ I）因为 D，所以 因为 A， B， C， 以 故 所以 （ （ I）知， E，因为 G，故 从而 连结 故 又 所以 所以 80. 故 A， B， G， 解： （ I）3 , 2 ,( ) | 2 | | 5 | 2 7 , 2 5 ,3 , 5 x x x x 当 2 5 , 3 2 7 3 时 所以 3 ( ) 3 （ （ I）可知， 当 22 , ( ) 8 1 5x f x x x 时 的解集为空集； 当 22 5 , ( ) 8 1 5 | 5 3 5 x f x x x x x 时 的 解 集 为； 当 25 , ( ) 8 1 5 | 5 6 x f x x x x x 时 的 解 集
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