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高考 数学 二轮 复习 温习 轻松 打包 18

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1 三角函数的图象与性质 一、选择题 1 (2013 青岛调研 )函数 y 2 3 )(0 x9) 的最大值与最小值之和为 ( ) A 2 3 B 0 C 1 D 1 3 【解析】 0 x9 ， 3 6x 3 76 ， 6x 3) 32 ， 1 y 3， 2， 2 3. 【答案】 A 2 (2013 四川高考 )函数 f(x) 2x ) 0， 2 0)， 2 ， 2. 由五点作图法可知当 x 512 时， x 2 ，即 2 512 2 ， . 2 【答案】 A 3若 1 4，则 的值 ( ) 解析】 1 4，得 4， 4 1，则 12. 【答案】 D 4已知 0，函数 f(x) x 4)在 ( 2 ， ) 上单调递减，则 的取值范围是 ( ) A 12， 54 B 12， 34 C (0， 12 D (0,2 【解析】 由 2 2 x 4 2 32 ， k Z，且 0，得 1 (2 4 ) x 1(2 54) 取 k 0，得 4 x 54 . 又 f(x)在 ( 2 ， ) 上单调递减， 4 2 ，且 54 ，解得 12 54. 【答案】 A 5 (2013 杭州模拟 )把函数 y x 1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍 (纵坐标不变 )，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平 移 1 个单位长度，得到的图象是( ) 3 【解析】 y x 1 横坐标伸长 2倍纵坐标不变 y x 1 向左平移 1个单位长度 y x 1) 1 向下平移 1个单位长度 y x 1) 平移后函数 y x 1)的最小正周期为 2 ，其图象可由余弦曲线向左平移一个单位长度得到 A 适合 【答案】 A 二、填空题 6 (2013 江西高考 )函数 y x 2 3最小正周期 T 为 _ 【解析】 由于 y x 2 3x 3(1 x) x 3x 3 2 2x 3 3， T 22 . 【答案】 7 (2013 浙江高考改编 )已知 2 102 ，则 _. 【解析】 由条件得 ( 2 )2 52， 即 3 8 3 0， 3 8 3 0， 3 或 13， 代入 21 34. 【答案】 34 8函数 y x ( 0)与直线 y a 相交于 A、 B 两点，且 |小值为 ，则函数 f(x) 3x x 的单调增区间 是 _ 【解析】 由函数 y x ( 0)的图象可知，函数的最小正周期为 ，则 1， 故 f(x) 3x x 2x 6) 4 由 2 2 x 6 2 2(k Z)得 2 3 x2 23 (k Z)所以 f(x)的单调增区间为 2 3 ， 2 23 (k Z) 【答案】 2 3 ， 2 23 (k Z) 三、解答题 9 (2013 北京高考 )已知函数 f(x) (21)x 12x. (1)求 f(x)的最小正周期及最大值； (2)若 2 ， ，且 f( ) 22 ，求 的值 【解】 (1)因为 f(x) (21)x 12x x 12x 12(x x) 22 4x 4 ， 所 以 f(x)的最小正周期为 T 2 ，最大值为 22 . (2)因为 f( ) 22 ，所以 4 4 1. 因为 2 ， ， 所以 4 4 94 ， 174 . 所以 4 4 52 ，故 916. 10设函数 f(x) x )(其中 A 0， 0， ) 在 x 6 处取得最大值 2，其图象与 x 轴的相邻两个交点的距离为 2 . (1)求 f(x)的解析式； (2)求函数 g(x) 61f x 6的值域 5 【解】 (1)由题设条件知 f(x)的周期 T ，即 2 ，解得 2. 因为 f(x)在 x 6 处取得最大值 2，所以 A 2. 从而 6 ) 1，所以 3 2 2 k Z. 又由 ，得 6. 故 f(x)的解析式为 f(x) 2x 6) (2)g(x) 61x 2 622x 2x 2x2x 321(12) 因 0,1，且 12， 故函数 g(x)的值域为 1， 74) (74， 52 11 (2013 西安调研 ) 已知函数 f(x) x )(x R， 0,0 2)的部分图象如图 2 1 4 所示 图 2 1 4 (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 g(x) f(x 12) f(x 12)的单调递增区间 【解】 (1)由题设图象知，周期 T 2(1112 512) ， 所以 2T 2. 因为点 (512 ， 0)在函数图象上， 6 所以 512 ) 0， 即 6 ) 0. 又因为 0 2 ，所以 56 56 43 . 从而 56 ，即 6. 又点 (0,1)在函数图象上，所以 6 1，解得 A 2. 故函数 f(x)的解析式为 f(x) 2x 6) (2)g(x) 2(x 12) 6 2(x 12) 6 2x 2 2x 3 2x 2(12x 32 x) x 3x 2x 3) 由 2 2 2 x 3 2 2 ， 得 12 x 512 ， k Z. 所以 g(x)的 增区间是 12， 512 ， k Z. 1 三角恒等变换与解三角形 一、选择题 1在 ， b a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边 )，则 形状为 ( ) A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 【解析】 b 1 2 b 1 b 化简得 直角三角形故选 B. 【答案】 B 2 (2013 湖南高考 )在锐角 ，角 A， B 所对的边长分别为 a， 3b，则角 A 等于 ( ) 【解析】 在 ， a 2， b 2(R 为 外接圆半径 ) 2 3b， 2 3. 32 锐角三角形， A 3. 【答案】 D 3 (2013 青岛质检 )7 707 ( ) A 32 B 12 D. 32 【解析】 原式 707 07 07 707 077 0 12. 【答案】 C 4 (2013 山东高考 ) 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 B 2A， a 1，b 3，则 c ( ) A 2 3 B 2 2 C. 2 D 1 【解析】 由正弦定理得 ： ， B 2A， a 1， b 3， 132. A 为三角形的内角， 0. 32 . 又 0 A ， A 6 ， B 2A 3. C A B 2 ， 直角三角形 由勾股定理得 c 12 3 2 2. 【答案】 B 5 (2013 天津高考 )在 ， 4 ， 2， 3，则 ( ) A. 1010 B. 105 010 D. 55 【解析】 由余弦定理可得 2 2 9 2 23 22 5， 于是由正弦定理可得 于是 225 3 1010 . 【答案】 C 二、填空题 6 (2013 课标全国卷 改编 )已知锐 角 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，且 23A 0， a 7， c 6，则 b _. 【解析】 由 23A 2321 0， 125，则 15. 3 由 2，得 72 62 12b 15， 解之得 b 5(舍去负值 ) 【答案】 5 7已知 三边长成公比为 2的等比数列，则其最大角的余弦值为 _ 【解析】 设 三边 a， b， c 成公比为 2的等比数列， b 2a， c 2a. 则 2424 . 【答案】 24 8 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 b 2， B 6 ， C 4 ，则 _ 【解析】 B 6 ， C 4 ， A B C 6 4 712 . 由正弦定理 ，得 2 6 4， 即 212 c 2 2. S 12 1222 212 3 1. 【答案】 3 1 三、解答题 9在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， ， B， C 成等差数列 (1)求 的值； (2)边 a， b， c 成等比数列，求 的值 【解】 (1)由 A、 B、 C 成等差数列，则 2B A C. 又 A B C ， B 3 ，故 12. (2)由已知， 12. 根据余弦定理，得 4 12， a c. 因此 A C B 3 ，故 34. 10 (2013 天津高考 )在 ，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， 3， a 3， 23. (1)求 b 的值； (2)求 B 3)的值 【解】 (1)在 ，由 ，可得 . 又由 3，可得 a 3c，又 a 3，故 c 1. 由 2， 23，可得 b 6. (2)由 23，得 53 ，进而得 B 21 19， B 24 59 ， 所以 B 3) 3 4 5 318 . 11 (2013 四川高考 )在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 2B2 B) C) 35. (1)求 的值； (2)若 a 4 2， b 5，求向量 向上的投影 【解】 (1)由 2B2 B) C) 35，得 B) 1 B) 35， 即 B) B) 35， 5 则 B B) 35，即 35. (2)由 35， 0b，则 AB，故 B 4. 根据余弦定理，有 (4 2)2 52 25 c 35 ， 解得 c 1 或 c 7(舍去 ) 故向量 向上的投影为 | 22 . 1 函数与方程及函数的应用 一、选择题 1 (2013 济南模拟 )函数 y y 12 x 2图象的交点为 (a， b)，则 a 所在的区间是( ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) 【解析】 设 f(x) 12 x 2，则 f(1) 1 12 1 1 2 1 0， f(2) 23 12 0 7 0，从而 f(1)f(2) 0，故选 B. 【答案】 B 2已知函数 f(x) (15)x 实数 f(x) 0 的解，且 00 时， f(x) (15)x 减函数， 又 f(x) 0 的根，即 f( 0. 当 0f( 0. 【答案】 C 3 (2013 广州模拟 )已知函数 f(x) x b 的零点 (n， n 1)(n Z)其中常数 a， b 满足 2a 3,3b 2，则 n 的值是 ( ) A 2 B 1 C 0 D 1 【解析】 2a 3,3b 2， a1,00， f(x)在 ( 1,0)内有唯一零点，取 n 1. 【答案】 B 4 (2013 黄冈模拟 )已知定义域为 R 的函数 f(x)既是奇函数，又是周期为 3 的周期函数，当 x 0， 32 时， f(x) x， f 32 0，则函数 f(x)在区间 0,6上的零点个数是 2 ( ) A 3 B 5 C 7 D 9 【解析】 对 R 上的奇函数 f(x)，有 f(0) 0；又 f(1) 0； 再由 T 3， f(3) f(0 3) f(0) 0； f(6) f(3 3) f(3) 0； f(4) f(1 3)f(1) 0； f( 2) f( 2 3) f(1) 0， f(2) f( 2) 0； f(5) f(2 3) f(2) f 32 0，所以 f 92 f 32 3 f 32 f(x)在区间 0,6上的零点为 0,1， 32，2,3,4， 92， 5,6，共 9 个，故选 D. 【答案】 D 5 (2013 烟台模拟 )已知函数 f(x) 1 x0 ，f x 1， x 0， 若函数 g(x) f(x) x 的零点按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的通项公式为 ( ) A n n2 B n(n 1) C n 1 D 2n 2 【解析】 g(x) f(x) x x 1 x0 ，f x x 1 x 0， 当 1 x0 时，由 x 0 得 x 0，则 x 0 是函数 g(x)的一个零点 当 0 x1 时， 1 x 10 ，则 g(x) f(x 1) x 1 (x 1)3 x 1 令 g(x) 0，即 (x 1)3 (x 1) 0 得 x 1，即 x 1 是函数 g(x)的一个零点 当 1 x2 时， 0 x 11 ， 1 x 20 ， g(x) f(x 1) x 1 f(x 2) x 2 (x 2)3 (x 2) 令 g(x) 0，即 (x 2)3 (x 2) 0 得 x 2，即 x 2 是函数 g(x)的一个零点 同理可依次得到函数的零点分别为 4,5,6 ，故选 C. 【答案】 C 二、填空题 6若函数 f(x) 2 |x 1| m 有零点，则实数 m 的取值范围是 _ 【解析】 令 f(x) 0，得 m (12)|x 1|， |x 1|0 ， 00， f(2) f(3)0. f(x)的零点 (2,3) 取 52， f(52) 2 1 2 ln f 114 f 52 0) (1)若 g(x) m 有零点，求 m 的取值范围； (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x) f(x) 0 有两个相异实根 【解】 (1) g(x) x 2e(x0)， 5 当且仅当 x 当 x e 时， g(x)有最小值 2e. 因此 g(x) m 有零点，只需 m2e. 当 m 2e， ) 时， g(x) m 有零点 (2)若 g(x) f(x) 0 有两个相异实根 则函数 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点 如图所示，作出函数 g(x) x x0)的大致图象 f(x) 2m 1 (x e)2 m 1 其对称轴 x e， f(x)m 1 若函数 f(x)与 g(x)的图象有两个交点 必须有 m 1 e，即 m 2e 1. 即 g(x) f(x) 0 有两个相异实根 m 的取值范围是 ( 2e 1， ) 11某创业投资公 司 拟投资开发某种新能源产品，估计能获得 10 万元到 1 000 万元的投资利益现准备制定一个对科研课题组 的奖励方案：资金 y(单位：万元 )随投资收益 x(单位：万元 )的增加而增加，且资金不超过 9 万元，同时奖金不超过收益的 20%. (1)请分析函数 y 2 是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因； (2)若该公司采用函数模型 y 10x 32 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数 【解】 (1)对于模型 y f(x) 2， 当 x 10,1 000时， f(x)是增函数 f(x)f(1 000) 1 000150 2 203 2105 ， 不满足 f(x) 故函数模型 y 2 不符合公司要求 6 (2)对于模型 y g(x) 10x 32 10 3a 20x 2 . 当 3a 200，即 a 203 时函数递增， 为使 g(x)9 对于 x 10,1 000恒成立， 即要 g(1 000)9,3 a 181 000 ，即 a 9823 . 为使 g(x) x 10,1 000恒成立， 即要 10x 32 48x 15a0 恒成立 即 (x 24)2 15a 5760( x 10,1 000)恒成立 又 24 10,1 000， 故只需 15a 5760 即可，所以 a 1925 . 综上， a 1925 ，故最小的正整数 a 的值为 39. 1 函数的图象与性质 一、选择题 1 (2013 课标全国卷 )设 a b c ( ) A a c b B b c a C c b a D c a b 【解析】 根据函数的图象知 1， 1， c a b. 【答案】 D 2 (2013 湖南高考 )函数 f(x) 2ln x 的图象与函数 g(x) 4x 5 的图象的交点个数为 ( ) A 3 B 2 C 1 D 0 【解析】 g(x) 4x 5 (x 2)2 1， 又当 x 2 时， f(x) 2 1， 在同一直角坐标系内画出函数 f(x) 2ln x 与 g(x) 4x 5 的图象，如图所示，可知 f(x)与 g(x)有两个不同的交点故选 B. 【答案】 B 3当 04 2， 12因此 22 a1. 【答案】 B 4 (2013 宜昌模拟 )定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x 6) f(x)，当 3 x 1 时， 2 f(x) (x 2)2，当 1 x 3 时， f(x) x. 则 f(1) f(2) f(3) f(2 012) ( ) A 335 B 338 C 1 678 D 2 012 【解析】 f( 3) 1， f( 2) 0， f( 1) 1， f(0) 0， f(1) 1， f(2) 2，而函数的周期为 6， f(1) f(2) f(2 012) 335(1 2 1 0 1 0) f(1) f(2) 335 3338. 【答案 】 B 5 (2013 佛山模拟 )将边长为 2 的等边三角形 x 轴正方向滚动，某时刻 P 与坐标原点重合 (如图 1 2 1)，设顶点 P(x， y)的轨迹方程是 y f(x)，关于函数 y f(x)的有下列说法： 图 1 2 1 f(x)的值域为 0,2； f(x)是周期函数； f( f() f(2 013)； 06f(x)92. 其中正确的说法个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 【解析】 当点 P 在原点时，向右滚动，得到点 P 的运动轨迹，如图所示： 由图象知， 正确， 且 f(x)的周期为 6. 则 f( f( f(2 013) f(3)， 由图象知， f( f(且函数 f(x)在 3,4上是增函数 从而 f(3) f() f(即 f(2 013) f() f( 故 错 由定积分的几何意义知， 06f(x)2322 34 4 83 3，故 错 3 【答案】 C 二、填空题 6 (2013 北京高考 )函数 f(x) 的值域为 _ 【解析】 当 x1 时， 21 0， 当 x1 时， f(x)0. 当 x1 时， 02x21，即 0f(x)f(x)的值域为 ( ， 2) 【答案】 ( ， 2) 7 (2013 江苏高考 )已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f(x) 4x，则不等式 f(x) x 的解集用区间表示为 _ 【解析】 设 x 0，则 x 0，于是 f( x) ( x)2 4( x) 4x，由于 f(x)是R 上的奇函数，所以 f(x) 4x，即 f(x) 4x，且 f(0) 0，于是 f(x) 4x， x 0，0， x 0， 4x， x 0.当 x 0 时，由 4x x 得 x 5；当 x 0 时，由 4x x 得5 x 0，故不等式的解集为 ( 5,0) (5， ) 【答案】 ( 5,0) (5， ) 8设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1上， f(x) 1， 1 x 0，2x 1 ， 0 x1 ，其中 a， b R，若 f 12 f 32 ，则 a 3b 的值为 _ 【解析】 由题意 f 12 f 32 f 12 ， 所以232 12a 1， 32a b 1. 又 f( 1) f(1)， b 2a， 解 得 a 2， b 4， a 3b 10. 【答案】 10 三、解答题 9已知 x 满足 2 4(0 a 1)，函数 y a2(值域为 18， 0 ，求 a 的值 【解】 由 2 4(0 a 1) 4 (0 x 2,4 y 12 22 18. y 18， 0 ，即 18 12 22 180 ， 2 1. 2 x4,0 a 1， 单调减函数， 1 且 2a 12. 10已知函数 f(x) 22 b(a0) 在区间 2,3上有最大值 5，最小值 2. (1)求 a， b 的值； (2)若 b 1， g(x) f(x) 2 2,4上单调，求 m 的取值 范围 【解】 (1)f(x) a(x 1)2 2 b a. 当 a 0 时， f(x)在 2,3上为增函数， 故 f 5f 2 9a 6a 2 b 54a 4a 2 b 2 a 1，b 0. 当 a 0 时， f(x)在 2,3上为减函数 故 f 2f 5 9a 6a 2 b 24a 4a 2 b 5 a 1，b 3. (2) b 1， a 1， b 0，即 f(x) 2x 2， g(x) 2x 2 2m x (22m)x 2. 若 g(x)在 2,4上单调，则 2 22 或2m 22 4 ， 2m2 或 2m6 ，即 m1 或 m6. 11已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x 4) f(x) (1)求 f(2 012)的值； (2)求证：函数 f(x)的图象关于直线 x 2 对称； (3)若 f(x)满 足在区间 0,2上是增函数的条件，且 f(2) 1，求函数 f(x)的值域 【解】 (1)因为 f(x 4) f(x)， f(x) f(x 4) f(x 4) 4 f(x 8)， 故可知函数 f(x)的周期为 T 8. 所以 f(2 012) f(2518 4) f(4) f(4 4) f(0) 5 又 f(x)为定义 在 R 上的奇函数， f(0) 0，故 f(2 012) 0. (2) f(x) f(x 4)， f(x 2) f(x 2) 4) f(x 2) f(2 x)，知函数f(x)的图象关于直线 x 2 对称 (3)又 f(x)在 0,2上是增函数，且 f(x)在 R 上为奇函数，所以 f(x)在 2,2上为增函数 当 x 2,2时， f( 2) f(x) f(2) 又 f(2) 1， f( 2) f(2) 1， 1 f(x)1 ，而 f(x)的图象关于直线 x 2 对称，故在 2,6上的值域亦为 1,1，根据周期性知 x R 时 1 f(x)1 ， 故值域为 1,1 1 平面向量 一、选择题 1 (2013 辽宁高考 )已知点 A(1,3)， B(4， 1)，则 与向量 方向的单位向量为 ( ) A. 35， 45 B. 45， 35 C. 35， 45 D. 45， 35 【解析】 (4， 1) (1,3) (3， 4)， 与 方向的单位向 量为 35， 45 . 【答案】 A 2 (2013 西安质检 )设 a (1， )与 b ( 1,2 )垂直，则 的值等于 ( ) A. 22 C 0 D 1 【解析】 a b， 1( 1) 2 0，即 2 1 0， 故 2 1 0. 【答案】 C 3设 x， y R，向量 a (x,1)， b (1， y)， c (2， 4)，且 a c， b c，则 |a b| ( ) A. 5 B. 10 C 2 5 D 10 【解析】 a (x,1)， b (1， y)， c (2， 4)， 由 a c 得 a c 0，即 2x 4 0， x 2. 由 b c 得 1( 4) 2y 0， y 2. a (2,1)， b (1， 2) a b (3， 1)， |a b| 32 2 10. 【答案】 B 4 (2013 长沙质检 )在 ， 2， 3， 1，则 ( ) 2 A. 3 B. 7 C 2 2 D. 23 【解析】 1，且 2， 1 | B)， | 12. 在 ， | | | 2|BC|， 即 9 4 | 22( 12) | 3. 【答案】 A 5 (2013 广东高考 )设 a 是已知的平面向量且 a0. 关于向量 a 的分解，有如下四个命题： 给定向量 b，总存在向量 c，使 a b c； 给定向量 b 和 c，总存在实数 和 ，使 a b c； 给定单位向量 b 和正数 ，总存在单位向量 c 和实数 ，使 a b c； 给 定正数 和 ，总存在单位向量 b 和单位向量 c，使 a b c. 上述命题中的向量 b， c 和 a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 【解析】 显然命题 是正确的 对于 ，以 a 的终点作长度为 的圆，这个圆必须和向量 b 有交点，这个不一定能满足， 是错的，对于命题 ，若 1， |a| 2 时，与 |a| |b c| b| |c| 2矛盾，则 不正确 【答案】 B 二、填空题 6 (2013 课标全国卷 )已知两个单位向量 a， b 的夹角为 60 ， c (1 t)b，若 b c 0，则 t _. 【解析】 c (1 t)b，且 a， b 60 ， cb tab (1 t) t110 (1 t)1 2 0， 则 1 12t 0， t 2. 【答案】 2 7 (2013 南京调研 )如图 2 3 2 所示，在矩形 ， 2， 2，点 E 为 3 中点，点 F 在边 ，若 2，则 值是 _ 图 2 3 2 【解析】 以 A 为坐标原点， 在直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)， B( 2， 0)， E( 2， 1)， F(x,2)故 ( 2， 0)， (x,2)， ( 2， 1)， (x 2， 2) ( 2， 0)( x,2) 2， 则 2x 2， x 1. 因此 ( 2， 1)(1 2， 2) 2. 【答案】 2 8 (2013 浙江高考 )设 零向量 b x， y R.若 6 ，则 |x|b|的最大值等于 _ 【解析】 根据题意，得 |x|b|2 22 63 11 3122 14. 因为 (32 )2 14 14，所以 0 |x|b| 24 ，所以 0 |x|b|2. 故 |x|b|的最大值为 2. 【答案】 2 三、解答题 9设过点 P(x， y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A， B 两点，点 Q 与 4 点 P 关于 y 轴对称 ， O 为坐标 原点，若 2且 1，求 P 点的轨迹方程 【解】 设 A()()， B(0， )， P(x， y)与 Q 关于 y 轴对称， Q( x， y)， 由 2即 (x， y 2(x， y)， 可得 23y(x， y0) 又 ( x， y)， ( ( 32x,3y) 1， 3231(x0， y0) 点 P 的轨迹方程为 3231(x0， y0) 10已知向量 a (2x， 2x)， b ( 且 x 0， 2求： (1)ab 及 |a b|； (2)若 f(x) ab 2 |a b|的最小值为 32，求正实数 的值 【解】 (1)ab 2x2x. a b (2x 2x |a b|2 (2x (2x 2 2(22 2 2x 4 x 0， 2， x0 ， 因此 |a b| 2x. (2)由 (1)知 f(x) x 4 x 24 x 1， f(x) 2(x )2 1 2 2， x 0,1 若 01，则当 x 1 时， f(x)有最小值 1 4 32， 解得 58与 1 矛盾 综合 知， 12为所求 11 (2013 济南模拟 )在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且满足 22 55 ， 3. (1)求 面积； (2)若 c 1，求 a， 的值 【解】 (1) 21 2( 2 55 )2 1 35， 而 | 353， 5. 又 A (0， ) ， 45， 面积 S 12 125 45 2. (2)由 (1)知 5，而 c 1， b 5. 2 52 12 215 35 20， a 2 5. 又 ， ba 52 5 45 2 55 . 1 推理与证明 一、选择题 1 (2013 潍坊模拟 )如下图 3 3 2 所示将若干个点摆成三角形图案，每条边 (包括两个端点 )有 n(n 1， n N*)个点，相应的图案中总的点数记为 999 91213 ( ) 图 3 3 2 102 011 112 012 122 013 132 012 【解析】 由图案的点数可知 3， 6， 9， 12，所以 3n 3， n2 ，所以 91 9n n 1n n 1n 1 1n，所以 999 91213 1 12 12 13 12 011 12 012 2 0112 012，选 B. 【答案】 B 2观察下列分解式： 23 3 5,33 7 9 11,43 13 15 17 19，若 1，则 自然数 m ( ) A 5 B 6 C 7 D 8 【解析】 由 2n 1 31 得 n 15，又 2 3 4 5 14， m 6. 【答案】 B 3如图 3 3 3 所示的三角形数阵叫 “ 莱布尼兹调和三角形 ” ，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为 1n(n2) ，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 11 12 12， 12 13 16， 13 14 112， ，则第 7 行第 4 个数 (从左往右数 )为 ( ) 2 图 3 3 3 A. 1140 B. 1105 解析】 由 “ 第 n 行有 n 个数且两端的数均为 1n” 可知，第 7 行第 1 个数为 17，由 “ 其余每个数是它下一行左右相邻两数的和 ” 可知，第 7 行第 2 个数为 16 17 142，同理，第 7行第 3 个数 130 142 1105，第 7 行第 4 个数为 160 1105 1140. 【答案】 A 4 (2013 开封模拟 )观察下列各式： 55 3 125,56 15 625， 57 78 125， ，则 52 014的末四位数字为 ( ) A 3 125 B 5 625 C 0 625 D 8 125 【解析】 由题意可得： 58 390 625,59 1 953 125，经观察易知，每个数的末四位数呈周期变化， T 4，又因为 2 014 4503 2，所以 52 014的末四位数字为 5 625. 【答案】 B 5 (2013 西安模拟 )已知结论：在正三角形 ，若 D 是边 中点， G 是三角形重心，则 该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体 中心为 M，四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等，则 ) A 1 B 2 C 3 D 4 【解析】 设四面体内部一点 O 到四面体各面都相等的距离为 d，则由题意知 d 各个面的面积为 S，则由等体积法得： 4 13S 13S 4而 1 3. 3 【答案】 C 二、 填空题 6 (2013 陕西高考 )观察下列等式： 12 1， 12 22 3， 12 22 32 6， 12 22 32 42 10， ， 照此规律，第 n 个等式可为 _ 【解析】 12 1， 12 22 (1 2)， 12 22 32 1 2 3， 12 22 32 42 (1 2 3 4)， ， 12 22 32 42 ( 1)n 1( 1)n 1(1 2 n) ( 1)n 1n n2 . 【答案】 12 22 32 42 ( 1)n 1 ( 1)n 1n n2 7公差为 d(d0) 的等差数列 ， 前 n 项和，则数列 40 是等差数列，且公差为 100d，类比上述结论，相应地在公比为 q(q1) 的等比数列 ，若 前 n 项积，则有 _ 【解析】 (0 比为 【答案】 比为 (2013 东城模拟 )定义映射 f： A B，其中 A (m， n)|m， n R， B R，已知对所有的有序正整数对 (m， n)满足下述条件： f(m,1) 1， 若 n m， f(m， n) 0； f(m 1， n) nf(m， n) f(m， n 1)，则f(2,2) _； f(n,2) _. 【解析】 根据定义得 f(2,2) f(1 1,2) 2f(1,2) f(1,1) 2f(1,1) 21 2. 4 f(3,2) f(2 1,2) 2f(2,2) f(2,1) 2(2 1) 6 23 2， f(4,2) f(3 1,2) 2f(3,2) f(3,1) 2(6 1) 14 24 2， f(5,2) f(4 1,2) 2f(4,2) f(4,1) 2(14 1) 30 25 2，所以根据归纳推理可知 f(n,2) 2n 2. 【答案】 2 2n 2 三、解答题 9已知 a0 且 a1 ， f(x) 1a. (1)求值： f(0) f(1)， f( 1) f(2)； (2)由 (1)的结果归纳概括对所有实数 x 都成立的一个等式，并加以证明； (3)若 n N*，求和： f( (n 1) f( (n 2) f( 1) f(0) f(1) f(n) 【解】 (1)f(0) f(1) 11 a 1a a 1a f( 1) f(2) 1a 1 a 1a 1a (2)由 (1)归纳得到对一切实数 x， 有 f(x) f(1 x) 证明如下 f(x) f(1 x) 1a 1x a 1a a a a 1a (3)设 S f( (n 1) f( (n 2) f( 1) f(0) f(1) f(n)， 又 S f(n) f(n 1) f(2) f(1) f(0) f( (n 1)， 两式相加，得 (由 (2)的结论 ) 2S 2n S n 10等差数列 前 n 项和为 1 2， 9 3 2. (1)求数列 通项 n 项和 (2)设 n N*)，求证：数列 任意不同的三项都不可能成为等比数列 【解】 (1)由已知得 2 1，33d 9 3 2， d 2， 5 故 2n 1 2， n(n 2)， n N*. (2)证明 由 (1)得 n 2. 假设数列 存在三项 br(p， q， r 互不相等 )成等比数列，是 即 (q 2)2 (p 2)(r 2) ( (2q p r) 2 0. p， q， r N*， 0，2q p r 0， p (p r)2 0， p r. 与 p r 矛盾 所以数列 任意不同的三项都不可能成等比数列 11设同时满足条件： 221； 3n 13n 2 23n 1 21，所以满足 ， 6 (或作差：因为122 1153n 213n 123n 20，所以1221也成立 ) 13n13，故存在 M13，所以满足 ， 故 1 “ 好数列 ” 1 数列求和及数列的综合应用 一、选择题 1数列 前 n 项和为 1， 1 3Sn(n1) ，则 ( ) A 34 4 B 34 4 1 C 44 D 44 1 【解析】 因为 1 3以 31(n2) ， 两式相减得： 1 3 即 14(n2) ， 所以数列 构成以 333 为首项，公比为 4 的等比数列，所以 4 34 4. 【答案】 A 2 (2013 昆明模拟 )已知数列 足 1， 1 2an 则其前6 项之和是 ( ) A 16 B 20 C 33 D 120 【解析】 22， 1 3， 26， 1 7， 214， 所以 1 2 3 6 7 14 33. 【答案】 C 3在数列 ， 2， 1 1 1n ，则 ( ) A 2 ln n B 2 (n 1)ln n C 2 n D 1 n ln n 【解析】 由已知得 1 1n ln(n 1) ln n. 于是 ( ( (1) 2 ( ) ( ) ln n ln(n 1) 2 ln n. 【答案】 A 4若数列 足 11 1d(n N*， d 为常数 )，则称数列 “ 调和数列 ” 已知正项数列 1 “ 调和数列 ” ，且 90，则 ) 2 A 10 B 100 C 200 D 400 【解析】 由已知得 111 11d，即 1 d， 等差数列，由 90，得 990， 10， 20，又 ，所以 2 100，当且仅当 10 时，等号成立 【答案】 B 5 (2013 青岛模拟 )已知函数 f(n) ，且 f(n) f(n 1)，则 ( ) A 0 B 100 C 100 D 10 200 【解析】 f(n) f(n 1)， f(1) f(2) f(100) f(2) f(101) 又 f(n) ， f(1) f(2) f(100) 12 22 32 42 992 1002 (22 12) (42 32) (1002 992) 3 7 199 50 3 1992 5 050， f(2) f(101) 22 32 42 992 1002 1012 (22 32) (42 52) (1002 1012) 5 9 201 50 5 2012 5 150， 所以 f(1) f(2) f(100) f(2) f(101) 5 1