大学高等应用数学基础-李先明-PPT文稿资料课件PPT
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总体,样品,统计推断,样本值,抽样,测量,总体规律,第10章 参数估计与假设检验,教学要求: 掌握参数的矩估计法、最大似然估计法、区间估计法. 掌握假设检验的基本思想,会使用常见的检验法则.,统计的发展可追溯到几千年以前。最初它是情况的记录和描述，如一个国家有多少人、男女比例如何等。社会的进化，尤其是科技的进步，给统计提出了一系列新的问题。资本主义的商业竞争，要对市场的变化作出迅速的反映，抽样调查的理论和方法就有了很快的进展；农业品种的改良、工业技术的更新，需要试验、要探讨变量之间的关系，回归分析、实验设计等也就随之形成。,1946年克拉美出版了统计学的数学方法一书，把勒贝格(Henry Lebesquel8751941)代数作为统计的工具，比较完整地给出了数理统计的全貌。 数理统计的特点是应用面广,分支较多。 数理统计是研究怎样收集资料、如何分析、处理资料的学科。所谓资料，除了数据之外，还包括一些情况、图表、等原始材料。本书的内容只限于数据的分析，不论述如何收集资料。,基本概念,一般说来，要考察研究的对象，它们的指标可以分成以下几类： 1.计量的。如身高、体重、温度、湿度等，它可以取到某一区间内各个实数的值。 2.计数的。如一个班上优秀生的人数，一个月中下雨的天数、一批产品中不合件数等，它可以取整数值。 3.有序的。如医生诊断眼睛结膜炎，常用“+”，“+”，“+”表示，不能计量，但可以表示出轻微、中等、严重等不同的程度，它是有序的。 4.名义的。如不同的地区用不同的编码表示；此时码值大小已无意义，码仅仅代号。 一个统计问题总有它明确的研究对象，研究对象的全体就是总体，总体中的每成员就是个体。然而统计问题所关心的只是个体的某一特性或某些特性。 要了解总体的情况，常用的一个方法就是抽样，从总体中随机地抽取一个个体，它就是样品。样品与个体不同，个体是确定的，样品是不确定的。 若干个样品就构成一个样本。总体中个体的数量一般都较多，抽取的样品又很少，这样第一个样品抽取后不会改变总体的分布，第二个样品与第一个样品的分布相同，彼此可以认为是独立的。 一个样品取到的值就是样品值，一个样本取到的值就是样本值。统计是从手中已有的资料样本值，去推断总体的情况总体分布F(x)的性质，样本是联系两者的桥梁，总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律而可以从样本值去推断总体。 统计量：不含末知参数的样本函数。,设,是从样本X中抽取的一个样本,样本均值,样本方差,常用统计量及分布,来自总体N(,2)的一个样本,来自正态总体N(,2),U 、T统计量及分布,分布,来自正态分布N(0,1),来自正态分布N(,2),卡方统计量及分布,两个样本独立,概率分布的上分位点简介,F统计量及分布,，其中和,求和2的估计值。,矩估计,步骤： (1)由总体分布导出样本的联合概率函数（或联合密度）； （2）把样本联合密度中自变量看成常数，而把参数看成自变量得到似然函数； （3）求似然函数的最大值点； （4）在最大值点的表达式中用样本值代入就得参数的估计值。,最大似然估计,例 设 来自正态总体 ，求和2的最大似然估计。,联合密度为,便于求导,如果参数的估计值,满足,则称 为参数的无偏估计。,有效性,若1，2 都是的无偏估计，而且D(1) D(2 ),则称1比2 有效。,无偏估计,步骤：明确问题，参数相应的点估计量，由它导出与参数有关的分布，利用这个分布给出区间估计。,为置信度，,置信区间为,区间估计,2已知,2未知,从正态分布N(,1)中抽取容量为4的样本，样本均值为13.2，求的置信度为0.95的置信区间。,解,例1,用某仪器测量温度,重复5次,测得1250,1265, 1245,1260,1275,设测得数据服从正态分布,试求温度真值所在得范围（=0.005）。,解,例2,(1)将实际问题用统计的术语叙述成一个假设检验的问题；明确原假设H0和对立假设H1的内容和它们的实际意义，要注意正确选用H0;,(2)寻找与命题H0有关的统计量; 通常用t(x1,x2,xn)表示，说明它是由样本x1,x2,xn确定的函数,(3)求得在H0成立时，t(x1,x2,xn)的分布,假设检验步骤,(4)确定显著性水平，对给定的,去查统计量t 相应的分位点的值，这个值就是判断H0是否成立的临界值。,(5)由样本值去计算统计量t 的数值、将它与临界值比较，从而作出判断。,这五个步骤中，(2)与(3)是数理统计学者们研究解决的，它涉及较多的数学推导和理论分析，实际工作者只需注意(1)、(4)、(5)这三步，把问题提清楚，在书上找到有关的统计量及相应的表，查表后对给定的显著性水平确定临界值，再计算统计量的值来判断H0是否成立。,判别 满足,则接受H0 ，拒绝H1,例 已知某钢铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从N(4.55,0.1102),现测得9炉铁水，其含碳量分别为： 4.27 4.32 4.52 4.44 4.51 4.55 4.35 4.28 4.45，如果标准差没有改变，总体均值是否有显著变化？,解 （1）建立零假设H0和对立假设H1,(2)选择统计量,U检验法,（3）选择显著性水平，查临界值1-/2,(4)判断得出结论,含碳量与原来相比有显著差异。,例 由于工业排水引起附近水质污染，测得鱼的蛋白质中含汞的浓度（p.p.m）为: 0.37 0.266 0.135 0.095 0.101 0.213 0.228 0.167 0.766 0.054 ,从过去大量的资料判断,鱼的蛋白质中含汞的浓度服从正态分布,并且从工艺过程分析可以推算出理论上含汞的浓度为0.10,问从这组数据来看,实测值与理论值是否符合?,T检验法,解,实测值与理论值是相等的。,例 某车间生产铜丝，生产一向比较稳定，今从产品中任意抽取10根检查折断力，得数据如下(单位：kg)：578 572 570 568 572 570 572 596 584 570，问：是否可相信该车间生产的铜丝的折断力的方差为64？,2检验,解,可相信该车间生产的铜丝的折断力的方差为64,说明： （1）假设检验的依据是小概率原理（在一次试验中可以认为基本上不可能发生），如果在一次试验中，小概率事件没有发生，则接受零假设H0；否则，就拒绝零假设H0,（2）检验要检验假设H0 是否正确，是根据一次试验得到的样本作出的判断，因此无论拒绝H0还是接受H1，都要承担风险。,（3）假如H0本来是真的，因为一次抽样，发生小概率事件，而拒绝H0 ，这就犯了所谓的“弃真错误”(又称第一类错误)。 假如H0本来是假的，因为一次抽样没有发生小概率事件，而接受H0 ，这就犯了所谓的“存伪错误”(或称第二类错误)。,总体样品统计推断样本值抽样测量总体规律第10章 参数估计与假设检验 教学要求:掌握参数的矩估计法、最大似然估计法、区间估计法.掌握假设检验的基本思想,会使用常见的检验法则. 统计的发展可追溯到几千年以前。最初它是情况的记录和描述，如一个国家有多少人、男女比例如何等。社会的进化，尤其是科技的进步，给统计提出了一系列新的问题。资本主义的商业竞争，要对市场的变化作出迅速的反映，抽样调查的理论和方法就有了很快的进展；农业品种的改良、工业技术的更新，需要试验、要探讨变量之间的关系，回归分析、实验设计等也就随之形成。 1946年克拉美出版了统计学的数学方法一书，把勒贝格(Henry Lebesquel8751941)代数作为统计的工具，比较完整地给出了数理统计的全貌。 数理统计的特点是应用面广,分支较多。 数理统计是研究怎样收集资料、如何分析、处理资料的学科。所谓资料，除了数据之外，还包括一些情况、图表、等原始材料。本书的内容只限于数据的分析，不论述如何收集资料。 基本概念 一般说来，要考察研究的对象，它们的指标可以分成以下几类： 1.计量的。如身高、体重、温度、湿度等，它可以取到某一区间内各个实数的值。 2.计数的。如一个班上优秀生的人数，一个月中下雨的天数、一批产品中不合件数等，它可以取整数值。 3.有序的。如医生诊断眼睛结膜炎，常用“+”，“+”，“+”表示，不能计量，但可以表示出轻微、中等、严重等不同的程度，它是有序的。 4.名义的。如不同的地区用不同的编码表示；此时码值大小已无意义，码仅仅代号。 一个统计问题总有它明确的研究对象，研究对象的全体就是总体，总体中的每成员就是个体。然而统计问题所关心的只是个体的某一特性或某些特性。 要了解总体的情况，常用的一个方法就是抽样，从总体中随机地抽取一个个体，它就是样品。样品与个体不同，个体是确定的，样品是不确定的。 若干个样品就构成一个样本。总体中个体的数量一般都较多，抽取的样品又很少，这样第一个样品抽取后不会改变总体的分布，第二个样品与第一个样品的分布相同，彼此可以认为是独立的。 一个样品取到的值就是样品值，一个样本取到的值就是样本值。统计是从手中已有的资料样本值，去推断总体的情况总体分布F(x)的性质，样本是联系两者的桥梁，总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律而可以从样本值去推断总体。 统计量：不含末知参数的样本函数。 设是从样本X中抽取的一个样本样本均值样本方差常用统计量及分布来自总体N(,2)的一个样本U 、T统计量及分布分布卡方统计量及分布两个样本独立概率分布的上分位点简介F统计量及分布，其中和求和2的估计值。矩估计步骤： (1)由总体分布导出样本的联合概率函数（或联合密度）； （2）把样本联合密度中自变量看成常数，而把参数看成自变量得到似然函数； （3）求似然函数的最大值点； （4）在最大值点的表达式中用样本值代入就得参数的估计值。 最大似然估计联合密度为 便于求导有效性若1，2 都是的无偏估计，而且D(1)D(2 ),则称1比2 有效。无偏估计步骤：明确问题，参数相应的点估计量，由它导出与参数有关的分布，利用这个分布给出区间估计。置信区间为区间估计2已知2未知从正态分布N(,1)中抽取容量为4的样本，样本均值为13.2，求的置信度为0.95的置信区间。解 例1用某仪器测量温度,重复5次,测得1250,1265,1245,1260,1275,设测得数据服从正态分布,试求温度真值所在得范围（=0.005）。解例2 (1)将实际问题用统计的术语叙述成一个假设检验的问题；明确原假设H0和对立假设H1的内容和它们的实际意义，要注意正确选用H0; (2)寻找与命题H0有关的统计量;通常用t(x1,x2,xn)表示，说明它是由样本x1,x2,xn确定的函数 (3)求得在H0成立时，t(x1,x2,xn)的分布 假设检验步骤 (4)确定显著性水平，对给定的,去查统计量t 相应的分位点的值，这个值就是判断H0是否成立的临界值。 (5)由样本值去计算统计量t 的数值、将它与临界值比较，从而作出判断。 这五个步骤中，(2)与(3)是数理统计学者们研究解决的，它涉及较多的数学推导和理论分析，实际工作者只需注意(1)、(4)、(5)这三步，把问题提清楚，在书上找到有关的统计量及相应的表，查表后对给定的显著性水平确定临界值，再计算统计量的值来判断H0是否成立。判别 满足则接受H0 ，拒绝H1例 已知某钢铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从N(4.55,0.1102),现测得9炉铁水，其含碳量分别为： 4.27 4.32 4.52 4.44 4.51 4.55 4.35 4.28 4.45，如果标准差没有改变，总体均值是否有显著变化？解 （1）建立零假设H0和对立假设H1(2)选择统计量U检验法（3）选择显著性水平，查临界值1-/2(4)判断得出结论含碳量与原来相比有显著差异。例 由于工业排水引起附近水质污染，测得鱼的蛋白质中含汞的浓度（p.p.m）为: 0.37 0.266 0.135 0.095 0.101 0.213 0.228 0.167 0.766 0.054 ,从过去大量的资料判断,鱼的蛋白质中含汞的浓度服从正态分布,并且从工艺过程分析可以推算出理论上含汞的浓度为0.10,问从这组数据来看,实测值与理论值是否符合?T检验法解 实测值与理论值是相等的。例 某车间生产铜丝，生产一向比较稳定，今从产品中任意抽取10根检查折断力，得数据如下(单位：kg)：578 572 570 568 572 570 572 596 584 570，问：是否可相信该车间生产的铜丝的折断力的方差为64？2检验解可相信该车间生产的铜丝的折断力的方差为64说明：（1）假设检验的依据是小概率原理（在一次试验中可以认为基本上不可能发生），如果在一次试验中，小概率事件没有发生，则接受零假设H0；否则，就拒绝零假设H0（2）检验要检验假设H0 是否正确，是根据一次试验得到的样本作出的判断，因此无论拒绝H0还是接受H1，都要承担风险。 （3）假如H0本来是真的，因为一次抽样，发生小概率事件，而拒绝H0 ，这就犯了所谓的“弃真错误”(又称第一类错误)。 假如H0本来是假的，因为一次抽样没有发生小概率事件，而接受H0 ，这就犯了所谓的“存伪错误”(或称第二类错误)。第11章 数学建模初步,掌握建立数学模型的基本方法和步骤; 掌握库存模型、人口预测模型、市场价格模型、混合溶液模型 、振动模型 、投入产出模型等,教学要求,数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。,什么是数学模型,建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征。建模的一般方法有机理分析和测试分析方法。 机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。 测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。 测试分析方法也叫做系统辩识。 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。,数学建模的一般方法和步骤,在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致可见右图。,建模过程示意图,机理分析建模过程,数学建模基本步骤,符合实际,不符合实际,交付使用，从而可产生经济、社会效益,实际问题,抽象、简化、设 确定变量、参数,建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数,用实际问题的实测数据等来检验该数学型,数学模型的分类： 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。,数学模型及其分类,摘要:问题、模型、方法、结果 问题重述 模型假设 分析与建立模型 模型求解 模型检验 模型推广 参考文献 附录,怎样撰写数学建模的论文？,（1）成批到货，不允许短缺的库存模型,t,t,t,当批量,时，总费用最小,库存问题模型,（2）陆续到货，不允许短缺的模型,t,t,t,由极值的必要条件和充分条件，容易算得，经济批量,这时，库存总费用的最小值,（3）成批到货，允许短缺的模型,由二元函数极值存在的必要条件，有,可得存货总费用的最小值：,（1）指数增长模型（马尔萨斯人口模型）： 英国人口学家马尔萨斯（Malthus17661834）于1798年提出。,（2）阻滞增长模型（Logistic模型）,（3）更复杂的人口模型 随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等,可见数学模型总是在不断的修改、完善使之能符合实际情况的变化。,人口预测模型,市场价格模型,设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.,这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为,混合溶液的数学模型,（1）无阻尼自由振动,（2）有阻尼自由振动,（3）无阻尼强迫振动,振动模型,第11章 数学建模初步掌握建立数学模型的基本方法和步骤;掌握库存模型、人口预测模型、市场价格模型、混合溶液模型 、振动模型 、投入产出模型等教学要求 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。什么是数学模型 建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征。建模的一般方法有机理分析和测试分析方法。 机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。 测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。 测试分析方法也叫做系统辩识。 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。数学建模的一般方法和步骤 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致可见右图。建模过程示意图机理分析建模过程数学建模基本步骤符合实际不符合实际交付使用，从而可产生经济、社会效益实际问题抽象、简化、设 确定变量、参数建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数用实际问题的实测数据等来检验该数学型数学模型的分类： 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。数学模型及其分类摘要:问题、模型、方法、结果问题重述模型假设分析与建立模型模型求解模型检验模型推广参考文献附录怎样撰写数学建模的论文？（1）成批到货，不允许短缺的库存模型 ttt当批量时，总费用最小库存问题模型（2）陆续到货，不允许短缺的模型 ttt由极值的必要条件和充分条件，容易算得，经济批量 这时，库存总费用的最小值（3）成批到货，允许短缺的模型 由二元函数极值存在的必要条件，有可得存货总费用的最小值：（1）指数增长模型（马尔萨斯人口模型）： 英国人口学家马尔萨斯（Malthus17661834）于1798年提出。（2）阻滞增长模型（Logistic模型）（3）更复杂的人口模型 随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等 可见数学模型总是在不断的修改、完善使之能符合实际情况的变化。人口预测模型市场价格模型 设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型. 这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为 混合溶液的数学模型（1）无阻尼自由振动 （2）有阻尼自由振动 （3）无阻尼强迫振动 振动模型,第12章 数学实验,MATLAB的名称源自MatrixLaboratory,是一门计算语言，它专门以矩阵的形式处理数据 MATLAB将计算与可视化集成到一个灵活的计算机环境中，并提供了大量的内置函数,可以在广泛的工程问题中直接利用这些函数获得数值解 用MATLAB编写程序，犹如在一张草稿纸上排列公式和求解问题一样效率高，因此被称为“演算纸式的”科学工程算法语言 在高等数学的学习过程中，结合MATLAB软件，做一些简单的编程应用，在一定程度上弥补我们常规教学的不足，这也是探索高职高专数学课程改革迈出的一步,计算功能：MATLAB以矩阵作为数据操作的基本单位，还提供了十分丰富的数值计算函数；MATLAB和著名的符号计算语言Maple相结合，使得MATLAB具有符号计算功能。 绘图功能：MATLAB提供了两个层次的绘图操作，一种是对图形句柄进行的低层绘图操作，另一种是建立在低层绘图操作之上的高层绘图操作。 编程语言：MATLAB具有程序结构控制、函数调用、数据结构、输入输出、面向对象等程序语言特征，而且简单易学、编程效率高。 工具箱：MATLAB包含基本部分和各种可选的工具箱两部分；ATLAB工具箱分为功能性工具箱和学科性工具箱两大类。,MATLAB的主要功能,例12.1 绘制正弦曲线和余弦曲线 x=0:0.5:360*pi/180; plot(x,sin(x),x,cos(x); 例12.2 求方程 3x4+7x3 +9x2-23=0的全部根 p=3,7,9,0,-23; %建立多项式系数向量 x=roots(p) %求根 例12.3 求积分 quad(x.*log(1+x),0,1) 例12.4 求解线性方程组 a=2,-3,1;8,3,2;45,1,-9; b=4;2;17; x=inv(a)*b,初识MATLAB,当MATLAB安装完毕并首次启动时，展现在屏幕上的界面为MATLAB的默认界面，如右图所示。,MATLAB 6.5集成环境,启动MATLAB后，将进入MATLAB 6.5集成环境包括: MATLAB主窗口 命令窗口(Command Window) 工作空间窗口(Workspace) 命令历史窗口(Command History) 当前目录窗口(Current Directory) 启动平台窗口(Launch Pad)。,主窗口,菜单栏 在MATLAB 6.5主窗口的菜单栏，共包含File、Edit、View、Web、Window和Help 6个菜单项。 工具栏 MATLAB 6.5主窗口的工具栏共提供了10个命令按钮。这些命令按钮均有对应的菜单命令，但比菜单命令使用起来更快捷、方便。 命令窗口 命令窗口是MATLAB的主要交互窗口，用于输入命令并显示除图形以外的所有执行结果。 MATLAB命令窗口中的“”为命令提示符，表示MATLAB正在处于准备状态。在命令提示符后键入命令并按下回车键后，MATLAB就会解释执行所输入的命令，并在命令后面给出计算结果。,如果一个命令行很长，一个物理行之内写不下，可以在第一个物理行之后加上3个小黑点并按下回车键，然后接着下一个物理行继续写命令的其他部分。3个小黑点称为续行符，即把下面的物理行看作该行的逻辑继续。在MATLAB里，有很多的控制键和方向键可用于命令行的编辑。,工作空间窗口,工作空间是MATLAB用于存储各种变量和结果的内存空间。在该窗口中显示工作空间中所有变量的名称、大小、字节数和变量类型说明，可对变量进行观察、编辑、保存和删除。 当前目录窗口:当前目录是指MATLAB运行文件时的工作目录，只有在当前目录或搜索路径下的文件、函数可以被运行或调用。 在当前目录窗口中可以显示或改变当前目录，还可以显示当前目录下的文件并提供搜索功能。 将用户目录设置成当前目录也可使用cd命令。例如，将用户目录c:mydir设置为当前目录，可在命令窗口输入命令：cd c:mydir MATLAB的搜索路径:当用户在MATLAB命令窗口输入一条命令后,MATLAB按照一定次序寻找相关的文件。基本的搜索过程是： (1) 检查该命令是不是一个变量。(2) 检查该命令是不是一个内部函数。(3) 检查该命令是否当前目录下的M文件。(4) 检查该命令是否MATLAB搜索路径中其他目录下的M文件。用户可以将自己的工作目录列入MATLAB搜索路径，从而将用户目录纳入MATLAB系统统一管理。,进入帮助窗口可以通过以下3种方法： (1) 单击MATLAB主窗口工具栏中的Help按钮。 (2) 在命令窗口中输入helpwin、helpdesk或doc。 (3) 选择Help菜单中的“MATLAB Help”选项。,MATLAB帮助系统,MATLAB基本运算符及表达式,说明 所有运算定义在复数域上对于方根问题，运算只返回处于第一象限的解 MATLAB用左斜杠或右斜杠分别表示“左除”或“右除”运算对于标量而言，这两者的作用没有区别；但对矩阵来说，“左除”和“右除”将产生不同的影响 表达式由变量名、运算符和函数名组成 表达式将按与常规相同的优先级自左至右执行运算 优先级的规定是：指数运算级别最高，乘除运算次之，加减运算级别最低 括号可以改变运算的次序,MATLAB变量命名规则,变量名、函数名的字母大小表示不同 变量名的第一个字符必须是英文字母，最多可包含31个字符（英文、数字和下划线） 变量名中不得包含空格、标点，但可以包含下划线,MATLAB数值计算结果显示格式的类型列于表中用户在MATLAB指令窗中，直接输入相应的指令，或者在菜单弹出框中进行选择，都可获得所需的数值计算结果显示格式,数值计算结果的显示格式,数据显示格式的控制指令,formatshort显示格式是缺身默认的显示格式 该表中实现的所有格式设置仅在MATLAB的当前执行过程中有效,为确保指令正确执行，以上符号一定要在英文状态下输入因为MATLAB不能识别中文标点,MATLAB指令行中的标点符号,MATLAB指令窗的常用控制指令,常见的通用操作指令,数学函数,1.函数 sin、sinh 功能 正弦函数与双曲正弦函数 格式 Y = sin(X) Y = sinh(X) 2.函数 asin、asinh 功能 反正弦函数与反双曲正弦函数 格式 Y = asin(X) Y = asinh(X) 3.函数 cos、cosh 功能 余弦函数与双曲余弦函数 格式 Y = cos(X) Y = sinh(X) 4.函数 acos、acosh 功能 反余弦函数与反双曲余弦函数 格式 Y = acos(X) Y = asinh(X) 5.函数 tan、tanh 功能 正切函数与双曲正切函数 格式 Y = tan(X) Y = tanh(X),6.函数 cot、coth 功能 余切函数与双曲余切函数 格式 Y = cot(X) Y = coth(X) 7.函数 acot、acoth 功能 反余切函数与反双曲余切函数 格式 Y = acot(X) Y = acoth(X) 8.函数 sec、sech 功能 正割函数与双曲正割函数 格式 Y = sec(X) Y = sech(X) 9.函数 asec、asech 功能 反正割函数与反双曲正割函数 格式 Y = asec(X) Y = asech(X) 10.函数 csc、csch 功能 余割函数与双曲余割函数 格式 Y = csc(X) Y = csch(X),求极限,通常在MATLAB软件中，用limit函数来求极限，其用法如下表：,例题1,syms x % 把字符x定义为符号 limit(cos(x)-exp(x2)/2)/4) ans= 1/8,求导数,MATLAB软件提供求函数导数的指令是diff，具体使用格式如下： （1）diff(f,x)表示对f（这里f是一个函数表达式）求关于符号变量x的一阶导数若x缺省，则表示求f对预设独立变量的一阶导数 （2）diff(f,x,n)表示对f求关于符号变量x的n阶导数若x缺省，则表示求f对预设独立变量的n阶导数,例题2 求一元函数导数,求 的一阶、二阶导数,syms a b c x f=a*x3+b*x2+c f=a*x3+b*x2+c diff(f,x) ans= 3*a*x2+2*b*x diff(f,2) ans= 6*a*x+2*b,例题3 求多元函数偏导数,syms x y z=(x2+y2)*exp(x2+y2)/(x*y) z= (x2+y2)*exp(x2+y2)/(x*y) diff(z,x) ans=2*exp(x2+y2)/y+2*(x2+y2)*exp(x2 +y2)/y-(x2+y2)*exp(x2+y2)/x2/y diff(z,x,2) ans= 8*x*exp(x2+y2)/y+4*(x2+y2)*x*exp(x2+y2)/y-2/x*exp(x2+y2)/y-2*(x2+y2)*exp(x2+y2)/x/y+2*(x2+y2)*exp(x2+y2)/x3/y,diff(diff(z,x),y) ans= 8*x*exp(x2+y2)/y+4*(x2+y2)*x*exp(x2+y2)/y-2/x*exp(x2+y2)/y-2*(x2+y2)*exp(x2+y2)/x/y+2*(x2+y2)*exp(x2+y2)/x3/y diff(diff(z,x),y) ans= 8*exp(x2+y2)-2*exp(x2+y2)/y2+4*(x2+y2)*exp(x2+y2)-2*(x2+y2)*exp(x2+y2)/y2-2*exp(x2+y2)/x2-2*(x2+y2)*exp(x2+y2)/x2+(x2+y2)*exp(x2+y2)/x2/y2,求积分,MATLAB软件提供求函数积分的指令是int，具体使用格式如下： （1）int(f)返回f对预设独立变量的积分值； （2）int(f,v)返回f对独立变量v的积分值； （3）int(f,a,b)返回f对预设独立变量的积分值，积分区间为a,b，a和b为数值式； （4）int(f,v,a,b)返回f对独立变量的积分值，积分区间为a,b，a和b为数值式； （5）int(f,m,n)返回f对预设变量的积分值，积分区间为m,n，m和n为符号式；,例题4 求不定积分,syms x f=sym(x3*exp(-x2)%或int(x3*exp(-x2) f=x3*exp(-x2) int(f) ans= -1/2*x2/exp(x2)-1/2/exp(x2) int(1/(x*sqrt(x2+1) ans= -atanh(1/(x2+1)(1/2),例题5 求定积分,syms x I=int(x/sin(x)2,x,pi/4,pi/3) I= -1/9*pi*3(1/2)-1/2*log(2)+1/2*log(3)+1/4*pi int(sin(x)4*cos(x)2,x,0,pi/2) ans= 1/32*pi syms x I=int(2+x2)/(1+x2),x,0,1) I = 1+1/4*pi,求二重积分,syms x y f=x*sin(x); int(int(f,x,y,sqrt(y),y,0,1) ans= 5*sin(1)-4*cos(1)-2 说明 在用MTALAB软件来求不定积分时，求出的结果没有加上积分常数C；,例题6 求二重积分,求常微分方程（组）的解析解,MATLAB软件解常微分方程的函数为:dsolve(equation,condition) 其中，equation代表常微分方程（组），condition为初始条件，如果初始条件没有给出，则给出通解形式 在函数dsolve所包含的equation中，用字母D来表示求微分，D的数字表示几重微分，D后的变量为因变量，并默认所有这些变量都是对自变量t求导如”Dny”表示y的n阶导数,例题6 求微分方程的解,dsolve(Dy=2*x+y,x) ans= -2*x-2+exp(x)*C1,dsolve(D2y=1+Dy,y(0)=1,Dy(0)=0) ans= -t+exp(t),求线性方程组的解,eq1=sym(x+y+z=10); eq2=sym(x-y+z=0); eq3=sym(2*x-y-z=-4); x,y,z=solve(eq1,eq2,eq3) x= 2 y= 5 z= 3,积分变换与级数（1）,命令1:Fourier积分变换 函数 fourier 格式 F = fourier(f) 说明 对符号单值函数f中的缺省变量x（由命令findsym确定）计算Fourier变换形式. 若f = f(w)，则fourier(f)返回变量为t的函数：F= F(t). F = fourier(f,v) 对符号单值函数f中的指定变量v计算Fourier变换形式：,F = fourier(f,u,v) 令符号函数f为变量u的函数，而F为变量v的函数：,例题7 求傅氏变换,syms x w u v f = sin(x)*exp(-x2); F1 = fourier(f) g = log(abs(w); F2 = fourier(g) h = x*exp(-abs(x); F3 = fourier(h,u) syms x real k = cosh(-x2*abs(v)*sinh(u)/v F4 = fourier(k,v,u) 计算结果为： F1 = -1/2*i*pi(1/2)*exp(-1/4*(w-1)2)+1/2*i*pi(1/2)*exp(-1/4*(w+1)2) F2 = fourier(log(abs(w),w,t) F3 = -4*i/(1+u2)2*u F4 = sinh(u)*(1/2*fourier(1/v*exp(x2*abs(v),v,u)-i*atan(u/x2),积分变换与级数（2）,命令2: Laplace变换 函数 laplace 格式 L = laplace(F) 说明 输出参量L = L(s)为有缺省符号自变量t的标量符号对象F的Laplace变换.即：F = F(t) L = L(s).若F = F(s)，则fourier(F)返回变量为t的函数L.,例题8 求拉氏变换,syms x s a t v f1= sqrt(t); L1 = laplace(f) f2 = 1/sqrt(s); L2 = laplace(f2) f3 = exp(-a*t); L3 = laplace(f3,x) f4 = 1 - sin(t*v); L4 = laplace(f4,v,x) 计算结果为： L1 = 1/(s-1/s2) L2 = (pi/t)(1/2) L3 = 1/(x+a) L4 = 1/x-t/(x2+t2),积分变换与级数（3）,命令3 符号函数的Taylor级数展开式 函数 taylor 格式 r = taylor(f,n,v) %返回符号表达式f中的、指定的符号自变量v（若表达式f中有多个变量时）的n-1阶的Maclaurin多项式（即在零点附近v=0）近似式，其中v可以是字符串或符号变量. r = taylor(f) %返回符号表达式f中的、符号变量v的6阶的Maclaurin多项式（即在零点附近v=0）近似式，其中v=findsym(f). r = taylor(f,n,v,a) %返回符号表达式f中的、指定的符号自变量v的n-1阶的Taylor级数（在指定的a点附近v=a）的展开式.其中a可以是一数值、符号、代表一数字值的字符串或未知变量.我们指出的是，用户可以以任意的次序输入参量n、v与a，命令taylor能从它们的位置与类型确定它们的目的.,例题9 求泰勒级数,syms x y a pi m m1 m2 f = sin(x+pi/3); T1 = taylor(f) T2 = taylor(f,9) T3 = taylor(f,a) T4 = taylor(f,m1,m2) T5 = taylor(f,m,a) T6 = taylor(f,y) T7 = taylor(f,y,m) % 或taylor(f,m,y) T8 = taylor(f,m,y,a) T9 = taylor(f,y,a),计算结果为： T1 = 1/2*3(1/2)+1/2*x-1/4*3(1/2)*x2-1/12*x3+1/48*3(1/2)*x4+1/240*x5 T2 = 1/2*3(1/2)+1/2*x-1/4*3(1/2)*x2-/12*x3+1/48*3(1/2)*x4+1/240*x5-1/1440*3(1/2)* x6-1/10080*x7+1/80640*3(1/2)*x8 T3 = sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)2-1/6*cos(a+1/3*pi)* (x-a)3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)5 T4 = sin(m2+1/3*pi)+cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)-1/2*sin(m2+1/3*pi)*(x-m2)2-1/6* cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)3+1/24*sin(m2+1/3*pi)*(x-m2)4+1/120* cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)5,T5 = sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)2-1/6*cos(a+1/3*pi)* (x-a)3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)5 T6 = sin(y+1/3*pi)+cos(y+1/3*pi)*(x-y)-1/2*sin(y+1/3*pi)*(x-y)2-1/6*cos(y+1/3*pi) *(x-y)3+1/24*sin(y+1/3*pi)*(x-y)4+1/120*cos(y+1/3*pi)*(x-y)5 T7 = sin(m+1/3*pi)+cos(m+1/3*pi)*(x-m)-1/2*sin(m+1/3*pi)*(x-m)2-1/6*cos(m+1/3*pi) *(x-m)3+1/24*sin(m+1/3*pi)*(x-m)4+1/120*cos(m+1/3*pi)*(x-m)5 T8 = sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)2-1/6*cos(a+1/3*pi)* (x-a)3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)5 T9 = sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)2-1/6*cos(a+1/3*pi)* (x-a)3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)5,统计与检验,正态分布的参数估计 函数 normfit 格式 muhat,sigmahat,muci,sigm
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