【精品】导数专题之函数零点与方程问题教师版(2)

1、导数专题之函数零点与方程问题函数y= f(x)也可以看作二元方程 f(x) y= 0通过方程进行研究就中学数学而言，函数思想在解题中的应 用主要 表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，到达化难为易，化繁为简的目的许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决函数与方程的思想是中学数学的根本思想，也是各地模考和历年高考的重点1有关函数零点的结论(1) 假设连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，

2、那么f(x)至多有一个零点.(2) 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3) 连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.2. 三个等价关系方程f(x) = 0有实数根？函数y= f(x)的图象与x轴有交点？函数y = f(x)有零点.3. (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数 图象的交点个数.函数零点情况求参数的步骤判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组);解不等式(组)，即得参数的取值范围.(4) 函数零

3、点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.a = f(x)有解型问题，可以通过求函数y= f(x)的值域解决.2x 2, x w 0,例1.函数f (x)=的零点个数是 .2x 6+ In x, x0解析：当x0时，f (x)1=2+ 0恒成立，所以f(x)在(0,+8)上是增函数.又因为 f(2) = 2+ In 2v 0, f (3) = In 3 0，所以f (x)x在(0,+s)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.类型二、求参数的值或范围例2.假设函数f (x) = xln x a有两个零点，那么实数 a的取值范围为 .IS析；令矿3二JTlnjj Z

4、(jr) = a,那么问题可转化成函数血)与力g的函象肓两个交為 i (jrJ = lnjr+lj 令/ (x) 0j 即 1口/加)丄可解得 0JTi , BrtAi 当 时，L /eeee IXI1Fd/国數虜3单调递减當才?-时，国数圧单调递曙；由此可知兰1北=-时，出3卩ree二-2 .在同一坐标系中作出丞I数童3和方O)的简蔑如團所示1S團可得一 -,qe类型三、研究函数图像的交点个数例3、函数f (x) = x3 3x2+ ax+ 2，曲线y= f (x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为一2.(1) 求a; (2)证明：当k0.当 x0, g(x)单调递增，g( 1) =

5、 k 10时，令 h(x) = x 3x + 4，那么 g(x) = h(x) + (1 k)xh(x) . h(x) = 3x 6x= 3x(x 2),h( x)在(0,2)单调递减，在(2 ,+a)单调递增，所以g(x)h(x) h(2) = 0.所以g( x) = 0在(0，+a)没有实根.综上，g(x) = 0在R上有唯一实根，即曲线y= f (x)与直线y = kx 2只有一个交点.m 例 4.设函数 f (x) = In x+ -，m R.xx(1)当m= e(e为自然对数的底数)时，求f (x)的极小值；(2)讨论函数g(x) = f (x) 3零点的个数；exe解析：由题设，当

6、m= e时，f (x) = ln x+ -，那么f( x)=厂,xx当 x (0 , e), f (x) v 0, f(x)在(0 , e)上单调递减，当 x (e ,+a), f(x) 0, f(x)在(e ,+a)上单调递增，e x= e时，f (x)取得极小值f(e) = ln e + -= 2,. f (x)的极小值为2.en,x 1 m x人,口1 3(2)由题设 g( x) = f(x) 3=x x2 3(x0)，令 g(x) = 0,得 m= 3x + x(x 0).1 3 2设 0 (x) = 3X + x(x 0)，那么 0 (x) = x + 1 = (x 1)( x+ 1

7、),当 x (0,1)时，0 (x) 0, 0 (x)在(0,1)上单调递增；当 x (1 ,+a )时，0 (X)V 0,0 (x)在(1 ,+a )上单调递减. x= 1是0 (x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x = 1也是0 (x)的最大值点,2 0 (x)的最大值为 0 (1) = 3.又0 (0) = 0，结合y= 0 (x)的图象(如图)，可知当m2g( x)有且只有一个零点.例3.(1)(2)解析综上所述，当m,函数g(x)无零点;有一个零点；当0v m 3时，函数g(x)有两个零点.(2021全国1理21)函数 f xae2x讨论f x的单调性;假设f x有两个零点，求a的

8、取值范围.(1)由于 f xae2xa 2 exx ,所以 f2当m= 3或m在1, 1上恒成立，且f(- )f( )在1, 1上恒成立，所以得函数 在区间1,1上单调递斤弓丿卅丿ffx)增，又因为，所以函数在区间内至少有一个零点；由于函数在区间1, 1上单调递增，所以函数在区间1, 1内有唯一的零点。答案选Co2函数在上有三个零点，贝U 的取值范围是.丿 I厂/ *1他刃(75丿(討呵廿叫A.B.C.D.【答案】Da 0q 0【解析】当 时，函数恒成立，不合题意，所以，1 H Ifv = u = axx 7点，记，在上递减，在递增，故，故 时，两图象有两个f(x =- qx a 门(T+交点

9、；故假设函数有三个不同零点，贝U,的取值范围是，应选D.f(x) = ax3 - 2x + J f(x)xq Xn 时，g (X)递减；当V XV 0, Ov X V 时，g (X)递增.作出g(X)的图象，可得g (X)的极大值为g ()=，由题意 可得当a时，f(X)存在唯一的零点Xo,且X0V0,应选：D. 2x 1X 14. (2021全国3理11)函数f x x 2x a e e有唯一零点，那么 a ().111A.B .C.D .1232解析由条件f X2 X2xa(ex1 x 1e )，得：f(22X) (2 x)2(2x)a(e2X 1(2 x) 12e) x 4x14 4 2

10、x a(eXX 1、e )2 XX 12x a(eex1).所以f 2x f x，即x 1为f x的对称轴，由题意，f x有唯一零点，故f X的零点只能为x 1，即f (1) 122 1 a(e1 1 e 1 1) 0 ,解得a 1 .应选C.e , x 0,5函数f (X)g(x) f(x) x a .假设g (X)存在2个零点，贝u a的取值范围是 In x, x 0,-,+m)6.函数f(x) = ex, x R. (1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程；1 2(2) 证明：曲线y= f (x)与曲线y = x+ x + 1有唯一公共点.2解析：1云的反酬卩二130 f

11、 ,设所求切的斜率为匕,sf f二L1二1,于是在点10辿切线方程为ry-1+2 证明；曲线尸与严斗十工十1,公共点的个魏等于的数 竝=一看点 的个数.T盘=1-工=0).牛存在零点工=。沪&0仅当时等号成茁?.-毎在K单调递増的，:毎在R上有唯一的霍点，Kx) = alnx + bx7函数的图像过点1且在.处取得极值故曲结尸砖尸+E 有唯的公共点.x (0. + f(x Mmm(1) 假设对任意 有恒成立，求实数的取值范围；k E Ry-fM +k(2) 当，试讨论函数的零点个数fl - JI【详解】 (1)点在函数 f(x) 图像上，所以-3=al n1+b,所以b=-3.所以当X时(or

12、-!-t +所以函数在上为增函数，在为减函数因为；丿=ln|-J =-lnJ-J.+ l33所以-In3-1，即实数m的取值范围为1J 02-h k 0 In?+ -k2,当,即J，函数有3个零点-In2 - 当+或-2 代或k = 24,即*，函数有2个零点.1个零点-ln2- + k0k2当即，函数有8.(全国卷II理21)函数f(x) ex ax2 .(1) 假设 a 1，证明：当 x 0 时，f(x) 1 ;(2) 假设f (x)在(0,)只有一个零点，求 a .【解析】(1 )当a 1时，f (x)1等价于(x21)e x 10 .设函数g(x) (x21)ex 1 ,那么g(x)

13、(x2 2x 1)e x (x 1)2e x .当 x 1 时，g(x) 0 ,所以 g(x)在(0,)单调递减.而 g(0) 0，故当 x 0 时，g(x) 0，即 f(x) 1 .(2)设函数 h(x) 1 ax2e x.f (x)在(0,)只有一个零点当且仅当 h(x)在(0,)只有一个零点.(i)当a 0时，h(x) 0, h(x)没有零点；(ii)当 a 0时，h(x) ax(x所以h(x)在(0, 2)单调递减，在4a故h(2)1专是h(x)在0,e2)e x 当 x (0,2)时，h(x) (2,)单调递增.)的最小值.假设h(2)0，即a0 ；当 x (2,)时，h(x)0 .

14、e2,h(x)在(0,)没有零点;假设h(2)0，即a2e,h(x)在(0,)只有一个零点;假设h(2)0，即a -，由于h(0)1，所以4h(x)在(0,2)有一个零点,由(1)知，当x 0时，ex x2，所以h(4a)故h(x)在(2,4 a)有一个零点，因此h(x)在(0,2e4综上，f(x)在(0,)只有一个零点时，a第二课时2 1例 1.函数 f (x) In (x2 1),g(x) x彳 16a16a314122e (e )有两个零点.-a求方程f (x)g(x)的根的个数.1睥：令 =- 3=诚2+1)-/h -13x0.Du(L+a:)B h 去 W1)h(时，机巧-，-3?,

15、当耳T-rt,叫力- 皿hjCTYtrL fi(X)-*4-X3x-#-l-B 1 .挝巧T+廿4 7机戶方理曰3个科1印国AlRh星予函的&(2)方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的个数问题其实质也是方程根的问题。2例 2. f (x ) In x ax bx .(1) 假设a 1，函数f (x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；(2) f (x)的图象与 x轴交于 A(X1,0),B(X2,0)(X1 X2)两点,AB 中点为 C(x。，0)，求证：f(x。) 0 .2试题解析：(1)依题意：f (x) ln x axbx.f (X)1 2x bX1分-

16、f(x)在(0,)上递增，- f (x)- 2x bx0对X(0,)恒成立，即b12x对x (0,)恒成立，只需b1(-2x)min .3分xxT x10 , -2x 2.2，当且仅当x -2时取a ?54分x2 b2,2, b的取值范围为(，2&.6分(2)由得f (x1) ln 捲 ax1 bx1lnX12ax1bx1两式相减，得f (x2)ln x2 ax2 bx2lnX22ax2bx2心a(x, x2)(x, x2) b(x,x2)lnx1(X1X2)a(xX2)b.8分xX2由 f (x)2ax b 及 2xo xi X2，得1f (x0)2 ax0xo2ba(x2)XiX2X2Xi

17、n仝x2 x210分X1X2XX2XX1X2(1)xX，(t)(t1)2八20t(t1)，二(t)在(0,1)上递减,x12(丄 1)1 r2(xX2) 1 x 11 r x2. x.In In x2xx2冷 x1x2x2X2, (t)2t 2t 1In t (0 t 1)(t)(1) 0 2(生 1)X220，即 2(X1X2)In -0，又 XX2,鱼1X2XX2X2X2f (X0)0 .【针对性练习】1 设函数，其中 ，假设存在唯一的整数使得，那么一的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【详解】令-，那么-使得的整数即是使得八 的整数mm,当时他“恋单调递减，当r时3何乂咖单调递增，

18、且当a时回.作出函数-和.的图象如下图由图可知，当_ 一时，使得-的整数有很多个当S一时，要使得，的整数唯一，那么gg(- 1) h(- 1)g解得那么if1f#1 /应选.f(x) = x (Jinx - J ) - ax * o a 02设函数，其中 ，假设仅存在两个正整数 使得砌 伽丿 0 a使得，那么的取值范围是4ln2-2 4n2. - 2a - 2.C.D.【答案】Agfx) = 2xnx -xfh(x) = ax - axG f(x0) 0【解析】令-因为仅存在两个正整数 使得，即仅有两个整数使得令？闵 解得且当厂 /从。.当l 科刃所以且,所以当时，! ,另一个满足条件的整数为

19、2(g(2) h(2)|4ln2-2o所以L*，代入解得l-3ln3_l综上,4ln2-2ai Jln3-的取值范围为所以选Affxj = f2x + 3Jex*J - ax - a a Kfft) 0口3 设函数M ,，假设存在唯一的整数，使得川，那么实数 的取值范围为 详解：设，“:那么由题意可知，存在唯一的整数,使函数-的图象在函数吨H的图象的下方.曲ST，.当L；丿时，価函数我单调递减，当时，函数单调递增,的最小值为(g-2) 刚 g(i)=令 ga)= 0, xJ wu - ?*i 0 . Et? i w 0工，Q,岂工童可吋，S(x)0/列町在七，I)单调诬眉兰工二冲吋，E顾1嵋戚

20、?-ijll貳叫 = m- Jwbi JT； -2uc =DX I r?-ffi - 0PTIJ. 2nfln i; + mil - m = 0 恆旳 *4 0 所以,2ki x；1=0x)识跚拭曰二也工+“1医內当上巧 帆力邑葩尉.瞅g = B豁育一辭-5.设函数 f(x) cl nx x bx(b,c R,c 0)，且 x 1 为 f (x)的极值点.( i )假设x 1为f (x)的极大值点，求f (x)的单调区间(用c表示)；( n )假设f (x)0恰有两解，求实数 c的取值范围.2解：f (x) c X b，又 f(1)0,所以 f (x) (x 1)(x c)且 c 1, b c 10xxx(I)因为x 1为f (x)的极大值点，所以c 1当 0x1 时，f(X)0 ；当 1 x c时，f (x)0 ；当xc时，f (x)0所以f(x)的递增区间为(0,1),(c,)；递减区间为(1,c).(II )假设c 0，那么f(x)在(0,1)上递减，在(1,)上递增1f(x) 0恰有两解，贝y f(1)0，即2 b 0,所以1 -c 20 ；1 2 1 假设 0 c 1，那么 f极大(x) f (c) clnc c bc , f极小