2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.5空间直线平面的平行8.5.3第2课时平面与平面平行的性质学案含解析新人教A版必修第二册202011181212.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包55套新人教A版必修第二册
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第2课时平面与平面平行的性质目标 1.理解并能证明两个平面平行的性质定理；2.能利用性质定理解决有关的平行问题重点 平面与平面平行的性质定理及应用难点 线线平行、线面平行、面面平行关系的转化 要点整合夯基础 知识点平面与平面平行的性质定理填一填答一答1两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？提示：一定平行于另一个平面因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行2如果，a，那么如何在平面内作出与a平行的直线？提示：利用面面平行的性质定理，可在平面内任取一点a，然后作出a和直线a所确定的平面，确定平面和的交线b，则ab.3若，a，b，下列几种说法中正确的是(c)ab；a与内无数条直线平行；a.abc d解析：a，b，则a与b可能平行，也可能异面，故错误；过a且与相交的平面有无数个，因此会有无数条交线，a与这些交线都平行，因此正确；因为a，所以a，因此正确综上所述，说法正确的是. 典例讲练破题型 类型一面面平行性质定理的理解 例1(1)平面平面，直线a，直线b，下面三种情形：ab；a与b异面；a与b相交，其中可能出现的情形有()a1种 b2种c3种 d0种(2)给出三种说法：若平面平面，平面平面，则平面平面；若平面平面，直线a与相交，则a与相交；若平面平面，p，pq，则pq.其中正确说法的序号是_解析(1)因为平面平面，直线a，直线b，所以直线a与直线b无公共点当直线a与直线b共面时，ab；综上知，都有可能出现，共有2种情形故选b. (2)正确证明如下：如图(1)，在平面内取两条相交直线a、b，分别过a、b作平面，使它们分别与平面交于两相交直线a、b，因为，所以aa，bb.又因为，同理在平面内存在两相交直线a，b，使得aa，bb，所以aa，bb，所以.正确若直线a与平面平行或直线a，则由平面平面知a与无公共点或a，这与直线a与相交矛盾，所以a与相交正确如图(2)，过直线pq作平面，a，b，由得ab.因为pq，pq，所以pqb.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线pq重合因为a，所以pq.答案(1)b(2)面面平行的性质定理是由面面平行证明线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面.变式训练1与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(d)a都平行 b在这两个平面内c都相交 d至少与其中一个平面平行解析：当直线在其中一个平面内时，直线与另一平面平行，当直线不属于任一平面内时，直线与两个平面都平行类型二平面与平面平行性质定理的应用例2如图所示，两条异面直线ba，dc与两平行平面，分别交于b，a点和d，c点，m，n分别是ab，cd的中点求证：mn平面.分析利用三角形的中位线及面面平行的性质证明证明如图，过点a作aecd交于e，取ae的中点p，连接mp，pn，be，ed，ac.aecd，ae，cd确定平面aedc，则平面aedc平面de，平面aedc平面ac，acde.又p，n分别为ae，cd的中点，pnde，pn，de，pn.又m，p分别为ab，ae的中点，mpbe，且mp，be，mp.平面mpn平面.又mn平面mpn，mn.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤变式训练2如图，平面四边形abcd的四个顶点a、b、c、d均在平行四边形abcd所确定的一个平面外，且aa、bb、cc、dd互相平行求证：四边形abcd是平行四边形证明：在abcd中，abcd，因为ab平面cddc，cd平面cddc，所以ab平面cddc.同理aa平面cddc.又aaaba，所以平面abba平面cddc.因为平面abcd平面abbaab，平面abcd平面cddccd，所以abcd.同理adbc.所以四边形abcd是平行四边形类型三平行关系的综合应用例3在三棱柱abca1b1c1中，点d为ac的中点，点d1是a1c1上的一点(1)当等于何值时，bc1平面ab1d1?(2)当bc1平面ab1d1时，求证：平面bc1d平面ab1d1.解(1)1时，bc1平面ab1d1，理由如下：如图，此时d1为线段a1c1的中点，连接a1b交ab1于o，连接od1.由棱柱的定义知四边形a1abb1为平行四边形，所以点o为a1b的中点在a1bc1中，点o，d1分别为a1b，a1c1的中点，所以od1bc1.又因为od1平面ab1d1，bc1平面ab1d1，所以bc1平面ab1d1.所以当1时，bc1平面ab1d1.(2)证明：由(1)知，当bc1平面ab1d1时，点d1是线段a1c1的中点，则有add1c1，且add1c1，所以四边形adc1d1是平行四边形所以ad1dc1.又因为dc1平面ab1d1，ad1平面ab1d1，所以dc1平面ab1d1.又因为bc1平面ab1d1，bc1平面bc1d，dc1平面bc1d，dc1bc1c1，所以平面bc1d平面ab1d1.(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.变式训练3如图，在正方体abcda1b1c1d1中，点n在bd上，点m在b1c上，且cmdn.求证：mn平面aa1b1b.证明：如图，作mpbb1交bc于点p，连接np，mpbb1，.bdb1c，dncm，b1mbn，npcdab.np平面aa1b1b，ab平面aa1b1b，np平面aa1b1b.mpbb1，mp平面aa1b1b，bb1平面aa1b1b，mp平面aa1b1b.又mp平面mnp，np平面mnp，mpnpp，平面mnp平面aa1b1b.mn平面mnp，mn平面aa1b1b. 课堂达标练经典 1已知a，b表示直线，、表示平面，下列推理正确的是(d)aa，babba，abb且bca，b，a，bd，a，bab2如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是 (a)a平行 b相交c平行或相交 d以上都不对解析：根据两个平面平行的性质可知，这两个平面平行3已知平面平面，p是，外一点，过点p的直线m与，分别交于点a，c，过点p的直线n与，分别交于点b，d，且pa6，ac9，pd8，则bd的长为24或.解析：由得abcd，若p在，的外侧，则，pb，bd；若p在，之间，则有，pb16，bd24.4如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形efgh为截面，则四边形efgh的形状为平行四边形解析：平面abfe平面cdhg，又平面efgh平面abfeef，平面efgh平面cdhghg，efhg.同理ehfg，四边形efgh的形状是平行四边形5如图所示，p是abc所在平面外一点，平面平面abc，分别交线段pa，pb，pc于点a，b，c.若，求的值解：平面平面abc，平面pab平面ab，平面pab平面abcab，abab.同理可证bcbc，acac.bacbac，abcabc，acbacb，abcabc.又paaa23，papa25.abab25，sabcsabc2252，即.本课须掌握的两大问题1对面面平行性质定理的理解(1)面面平行的性质定理的条件有三个：；a；b.三个条件缺一不可(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义2线与面、面与面平行性质定理的综合应用(1)线与面、面与面平行的性质定理的主要作用是证明线线平行问题而在空间平行的判定与证明时，应注意线与线、线与面、面与面平行关系的相互转化，这也是对基础知识的掌握程度和综合能力的提升体现，应灵活把握(2)线线、线面、面面平行关系的转化过程可总结如下：学科素养培优精品微课堂证明平行关系因推理不严密致误开讲啦 空间中的平行关系包括线线平行、线面平行和面面平行，其中证明线面平行常采用如下两种方法：(1)利用直线与平面平行的判定定理，即由“线线平行”推出“线面平行”；(2)利用面面平行的性质定理，即由“面面平行”推出“线面平行”证明面面平行的方法主要有：(1)面面平行的判定定理；(2)证明两个平面垂直于同一条直线总之，将空间问题转化为平面问题是解决立体几何问题的重要策略，其关键在于选择或添加适当的平面或辅助线典例如右图所示，已知e，f分别是正方体abcda1b1c1d1的棱aa1，cc1上的点，且aec1f.求证：四边形ebfd1是平行四边形错解因为平面a1add1平面b1bcc1，平面a1add1平面bfd1ed1e，平面b1bcc1平面bfd1ebf，所以d1efb.同理可得d1feb，所以四边形ebfd1是平行四边形错因分析错解中盲目地认为e，b，f，d1四点共面，由已知条件并不能说明这四点共面，同时条件aec1f也没有用到正解在棱bb1上取一点g，使得b1gc1fae，连接a1g，gf，则gf綉b1c1綉a1d1，所以四边形gfd1a1为平行四边形，所以a1g綉d1f.因为a1eaa1aeb1bb1gbg，所以a1e綉bg，所以四边形ebga
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