2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定学案含解析新人教A版必修第二册202011181216.doc
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86.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定目标 1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小；2.理解两平面垂直的定义；3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题重点 两个平面垂直的判定定理及应用难点 二面角及其平面角的定义的理解；求二面角 要点整合夯基础 知识点一 二面角及其平面角填一填1二面角2二面角的平面角(1)满足条件：如图，射线oa和ob构成的aob叫做二面角的平面角，则平面角aob应满足的条件为：ol；oal；obl.(2)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角(3)取值范围：二面角的平面角的取值范围是0180.答一答1二面角是一个角吗？其平面角是否只有一个？提示：不是，二面角是从一条直线出发的两个半平面构成的空间图形不是，其平面角有无数个知识点二 平面与平面垂直填一填1定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直平面与垂直，记作.2画法：两个互相垂直的平面，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直如下图(1)(2)所示3判定定理文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直符号语言：l，l.图形语言：如图所示答一答2面面垂直的判定定理的条件有几个，减少一个条件定理是否还成立？提示：判定定理有两个条件，若去掉一个条件，则定理不一定成立3当开启房门时，为什么房门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？提示：因为房门无论转到什么位置，都始终经过与地面垂直的门轴，根据两个平面垂直的判定定理知，门所在平面都与地面垂直4过一点有多少个平面与已知平面垂直？为什么？提示：过一点有无数个平面与已知平面垂直，虽然过一点有且只有一条直线和已知平面垂直，但是经过这条垂线的所有平面都和已知平面垂直 典例讲练破题型 类型一 二面角的概念及求法例1如图，四边形abcd是正方形，pa平面abcd，且paab.(1)求二面角apdc平面角的度数；(2)求二面角bpad平面角的度数；(3)求二面角bpac平面角的度数分析(1)证明平面pad平面pcd；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平面角的定义，最后在三角形中求角的大小解(1)pa平面abcd，pacd.又四边形abcd为正方形，cdad.paada，cd平面pad.又cd平面pcd，平面pad平面pcd.二面角apdc平面角的度数为90.(2)pa平面abcd，abpa，adpa.bad为二面角bpad的平面角又由题意知bad90，二面角bpad平面角的度数为90.(3)pa平面abcd，abpa，acpa.bac为二面角bpac的平面角又四边形abcd为正方形，bac45，即二面角bpac平面角的度数为45.清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”.变式训练1如图，在正方体abcda1b1c1d1中，求二面角ba1c1b1的正切值解：如图，取a1c1的中点o，连接b1o、bo.由题意知b1oa1c1，又ba1bc1，o为a1c1的中点，所以boa1c1，所以bob1即是二面角ba1c1b1的平面角因为bb1平面a1b1c1d1，ob1平面a1b1c1d1，所以bb1ob1.设正方体的棱长为a，则ob1a.在rtbb1o中，tanbob1，所以二面角ba1c1b1的正切值为.类型二 平面与平面垂直的判定例2如图所示，四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是直角梯形，abad，cdad.求证：平面pdc平面pad.证明pa平面abcd，cd平面abcd，pacd.又cdad，paada，cd平面pad.又cd平面pdc，平面pdc平面pad.判定两平面垂直的常用方法：(1)定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.变式训练2如图，在长方体abcda1b1c1d1中，adaa12，ab4，e为ab的中点求证：平面dd1e平面cd1e.证明：在矩形abcd中，e为ab的中点，ad2，ab4，所以dece2，因为cd4，所以cede，因为d1d平面abcd，所以d1dce，因为d1dded，所以ce平面d1de，又ce平面ced1，所以平面dd1e平面cd1e.类型三 线面垂直、面面垂直的综合应用例3如图所示，已知三棱锥pabc，acb90，cb4，ab20，d为ab的中点，且pdb是正三角形，papc.(1)求证：平面pac平面abc；(2)求二面角dapc的正弦值；(3)若m为pb的中点，求三棱锥mbcd的体积分析本题的题设条件有三个：abc是直角三角形，bcac；pdb是正三角形；d是ab的中点，pddb10.解答本题(1)，只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直，对于(2)首先应找出二面角的平面角，然后求其正弦值，解答(3)小题的关键是用等体积法求解解(1)证明：d是ab的中点，pdb是正三角形，ab20，pdab10，pab为直角三角形且apb90，appb.又appc，pbpcp，ap平面pbc.又bc平面pbc，apbc.又acbc，apaca，bc平面pac.又bc平面abc，平面pac平面abc.(2)papc，且papb，bpc是二面角dapc的平面角由(1)知bc平面pac，则bcpc，sinbpc.(3)d为ab的中点，m为pb的中点，dmpa，故dm5，由(1)知pa平面pbc，dm平面pbc.sbcmspbc2，vmbcdvdbcm5210.本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直线面垂直面面垂直.变式训练3如图，在三棱锥pabc中，pc平面abc，abbc，d，e分别是ab，pb的中点(1)求证：de平面pac；(2)求证：abpb；(3)若pcbc，求二面角pabc的大小解：(1)证明：因为d，e分别是ab，pb的中点，所以depa.又因为pa平面pac，de平面pac，所以de平面pac.(2)证明：因为pc平面abc，ab平面abc，所以pcab.又因为abbc，pcbcc，所以ab平面pbc，又因为pb平面pbc，所以abpb.(3)由(2)知，abpb，abbc，所以pbc即为二面角pabc的平面角，因为pcbc，pcb90，所以pbc45，所以二面角pabc的大小为45. 课堂达标练经典 1自二面角棱l上任选一点o，若aob是二面角l的平面角，则必须具有条件(d)aaobo，ao，bobaol，bolcabl，ao，bodaol，bol，且ao，bo2正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，则二面角ab1d1b的余弦值为(a)a. b. c. d.解析：如图所示，连接ac交bd于点o，取b1d1的中点e，连接ae，oe，则aeb1d1，oeb1d1，所以aeo是二面角ab1d1b的平面角又正方体的棱长为1，所以b1d1b1aad1，所以ae.又oebb11，所以cosaeo，即二面角ab1d1b的余弦值为，故选a.3在空间四边形abcd中，若adbc，bdad，那么有(d)a平面abc平面adcb平面abc平面adbc平面abc平面dbcd平面adc平面dbc解析：adbc，adbd，bcbdb，ad平面bcd.又ad平面adc，平面adc平面dbc.4.在三棱锥pabc中，已知papb，pbpc，pcpa，如右图所示，则在三棱锥pabc的四个面中，互相垂直的面有3对解析：papb，papc，pbpcp，pa平面pbc.pa平面pab，pa平面pac，平面pab平面pbc，平面pac平面pbc.同理可证：平面pab平面pac.5如图，在四面体abcd中，bda，abadcbcdaca，求证：平面abd平面bcd.证明：如图，取bd的中点e，连接ae，ce.由abadcbcd，知aebd，cebd，所以aec为二面角abdc的平面角在abe中，aba，bebda，所以ae2ab2be2a2，同理ce2a2，所以ae2ce2a2ac2，所以aec90.所以平面abd平面bcd.本课须掌握的三大问题1证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直2证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的3求二面角的大小关键是要找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角证明计算学科素养培优精品微课堂不能正确找出二面角的平面角而致错开讲啦 求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧，如：线面的垂直，图形的对称性，与棱垂直的面等典例在四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，pa平面abcd，且pa，ab1，bc2，abc60，求二面角pcdb的大小分析抓信息，找思路错解如图所示，过a在底面abcd内作aecd于e，连接pe，ac.pa平面abcd，cd平面abcd，pacd.又paaea，cd平面pae.又pe平面pae，cdpe，pea为二面角pcdb的平面角(以下略)错因分析点e的位置应首先由已知的数量关系确定，而不是盲目地按垂线法直接作出在找二面角的平面角时，一般按照先找后作的原则，避免盲目地按垂线法作二面角的平面角正解过
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