2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理学案含解析新人教A版必修第二册202011181241.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包55套新人教A版必修第二册
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6.3 平面向量基本定理及坐标表示63.1平面向量基本定理目标 1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用重点 平面向量基本定理难点 平面向量基本定理的应用 要点整合夯基础 知识点平面向量基本定理填一填(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)若e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底答一答1基底有什么特点？平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线，这是基底的最大特点平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底2如图，设oa、ob、oc为三条共端点的射线，p为oc上一点，能否在oa、ob上分别找一点m、n，使？提示：能. 过点p作oa、ob的平行线，分别与ob、oa相交，交点即为n、m.3若向量a，b不共线，且c2ab，d3a2b，试判断c，d能否作为基底提示：设存在实数使得cd，则2ab(3a2b)，即(23)a(21)b0.由于a，b不共线，从而23210，这样的是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底. 典例讲练破题型 类型一基底的概念例1下面说法中，正确的是()一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量；对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使ae1e2成立的实数对一定是唯一的a bc d解析因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故正确，不正确；由平面向量基本定理知正确综上可得正确答案b根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底.变式训练1设e1，e2是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(b)ae1e2和e1e2 b3e14e2和6e18e2ce12e2和2e1e2 de1和e1e2解析：在b中，因为6e18e22(3e14e2)，所以(3e14e2)(6e18e2)所以3e14e2和6e18e2不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底类型二用基底表示向量例2如图所示，在oab中，a，b，m、n分别是边oa、ob上的点，且a，b，设与交于点p，用向量a、b表示.分析利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定1，2.解，设m，n，则mam(ba)(1m)amb，n(1n)bna.a与b不共线，ab.将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转化，直至用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.变式训练2如图所示，已知在平行四边形abcd中，e、f分别是bc、dc边上的中点，若a，b，试以a，b为基底表示、.解：四边形abcd是平行四边形，e、f分别是bc、dc边上的中点，2，2，b，a.babab.ba.类型三平面向量基本定理的应用例3如图所示，在abc中，ab2，bc3，abc60，ad为bc边上的高，m为ad的中点，若，则的值为()a. b.c. d.解析在abc中，ab2，bc3，abc60，ad为bc边上的高，在abd中，bdab1.又bc3，bdbc，.m为ad的中点，.，.答案d应用平面向量基本定理解题时，关键在于选取合适的基底，要注意与已知条件的联系.变式训练3如图，在abc中，点m是bc的中点，点n在ac上，且an2nc，am与bn相交于点p，求appm与bppn的值解：设e1，e2，则3e2e1，2e1e2.因为点a，p，m和点b，p，n分别共线，所以存在实数，使得e13e2，2e1e2.故(2)e1(3)e2.又2e13e2，由平面向量基本定理，得解得所以，所以appm41，bppn32. 课堂达标练经典 1下列说法中，正确说法的个数是(c)在abc中，可以作为基底；能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；零向量不能作为基底a0 b1c2 d3解析：正确，错误2如图，设o是abcd两对角线的交点，有下列向量组：与；与；与；与.其中可作为该平面内所有向量基底的是(b)a bc d解析：与不共线，与不共线，则可以作为该平面内所有向量的基底3已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则xy3.解析：e1、e2不共线，解得xy3.4.如图所示，向量，的长度分别是2，1.aob120，aoc150，则().解析：不妨设mn，则m0，n0.如图，构建oacb，其中，且，则aoc30，boc90，于是|tan60|，|sin60|，所以|，|，所以|，|，从而m，n.5在平行四边形abcd中，m为dc的中点，n为bc的中点，设b，d，m，n.(1)以b，d为基底，表示；(2)以m，n为基底，表示.解：如图所示(1)()()bd.(2)md，nd，由消去d，得nm.本课须掌握的两大问题1平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是下一节学习向量坐标表示的理论依据，是一个承前启后的重要知识点2根据平面向量基本定理，任何一组基底
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