2020_2021学年新教材高中数学第13章立体几何初步13.2基本图形位置关系13.2.2.2异面直线课时素养评价含解析苏教版必修第二册20210121284.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册素养评价含解析打包52套苏教版必修第二册
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2020_2021学年新教材高中数学全一册素养评价含解析打包52套苏教版必修第二册,文本
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课时素养评价 二十七异 面 直 线 (20分钟35分)1.在正方体abcd-a1b1c1d1中,与直线aa1垂直的棱有()a.2条b.4条c.6条d.8条【解析】选d.在正方体abcd-a1b1c1d1中与aa1垂直的棱为a1b1,b1c1,c1d1,d1a1, ab,bc,cd,da,共8条.2.如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,与ad1异面且与ad1所成的角为90的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有()a.2条b.1条c.3条d.4条【解析】选b.与ad1异面的面对角线分别为:a1c1,b1c,bd,ba1,c1d,其中只有b1c和ad1所成的角为90.3.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是()a.梯形 b.矩形c.平行四边形 d.正方形【解析】选d.连接ac,bd.因为e,f,g,h分别为各边中点,如图.所以fgehbd,hgefac,所以四边形efgh是平行四边形,又因为bdac且bd=ac,所以fghg且fg=hg,所以四边形efgh为正方形.4.点e,f分别是三棱锥p-abc的棱ap,bc的中点,ab=6,pc=8,ef=5,则异面直线ab与pc所成的角为_.【解析】如图,取pb的中点g,连接eg,fg,则egab,gfpc,则egf(或其补角)即为ab与pc所成的角,在efg中,eg=ab=3,fg=pc=4,ef=5,所以egf=90.答案:905.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:abef;ab与cm所成的角为60;ef与mn是异面直线;mncd.以上结论正确的为_.(填序号)【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知,abef,ef与mn是异面直线,abcm,mncd,只有正确.答案:6.如图所示,在正方体abcd-efgh中,o为侧面adhe的中心,求:(1)be与cg所成的角;(2)fo与bd所成的角. 【解析】(1)因为cgbf,所以ebf(或其补角)为异面直线be与cg所成的角,又在bef中,ebf=45,所以be与cg所成的角为45.(2)如图,连接fh,因为hdea,eafb,所以hdfb,又hd=fb,所以四边形hfbd为平行四边形.所以hfbd,所以hfo(或其补角)为异面直线fo与bd所成的角.连接ha,af,易得fh=ha=af,所以afh为等边三角形,又知o为ah的中点.所以hfo=30,即fo与bd所成的角为30. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在正方体abcd-a1b1c1d1中,cd的中点为m,aa1的中点为n,则异面直线c1m与bn所成角为()a.30 b.60c.90d.120【解析】选c.如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,cd的中点为m,aa1的中点为n,取ab的中点p,连接b1p,则b1pc1m,易得b1pbn,所以异面直线c1m与bn所成的角为90.2.如图,点p,q分别是正方体abcd-a1b1c1d1的面对角线ad1,bd的中点,则异面直线pq和bc1所成的角为()a.30b.45c.60d.90【解析】选c.连接ac,d1c.由p,q分别为ad1,bd的中点,知q为ac中点,得pqcd1.又bc1ad1,所以ad1c为异面直线pq和bc1所成的角.因为acd1为等边三角形,所以ad1c=60.即异面直线pq和bc1所成的角为60.3.如图,在棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1中,o是底面abcd的中心,e,f分别是cc1,ad的中点.那么异面直线oe和fd1所成的角的余弦值等于()a.b.c.d.【解析】选b.取bc的中点g,连接gc1,则gc1fd1,再取gc的中点h,连接he,oh,因为e是cc1的中点,所以gc1he,所以oeh为异面直线oe和fd1所成的角.在oeh中,oe=,he=,oh=,由余弦定理可得cosoeh=.4.在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,侧面都是矩形,底面四边形abcd是菱形,且ab=bc= 2,abc=120,若异面直线a1b和ad1所成的角是90,则aa1的长度是()a.b.c.2d.2【解析】选b.连接cd1,ac,由题意得,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,a1d1=bc,a1d1bc,所以四边形a1bcd1是平行四边形,所以a1bcd1,所以ad1c(或其补角)为a1b和ad1所成的角,因为异面直线a1b和ad1所成的角为90,所以ad1c=90,因为在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,ab=bc=2,abc=120,所以ac=2sin 602=6,所以ad1=ac=3,所以aa1=.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图,三棱柱abc-a1b1c1中,底面三角形a1b1c1是正三角形,e是bc的中点,则下列叙述正确的是()a.直线cc1与直线b1e相交b.cc1与ae共面c.ae与b1c1是异面直线d.ae与b1c1垂直【解析】选acd.因为ceb1c1且ce=b1c1,所以四边形ceb1c1为梯形,cc1与b1e必相交,a正确.由几何图形可知b错误,c正确.ae与b1c1所成的角就是ae与bc所成的角,又e为bc的中点,abc为正三角形,所以aebc,即ae与b1c1所成的角为90,选项d正确.6.在正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别是ad,c1d1的中点,o为正方形abcd的中心,则下列结论错误的是()a.直线ef,od1是异面直线,且ef=od1b.直线od1,b1b是异面直线且od1b1bc.直线ef,od1是相交直线,且ef=od1d.直线od1,b1b是相交直线且od1=b1b【解析】选abd.因为正方体abcd-a1b1c1d1中,点e,f分别是ad,c1d1的中点,o为正方形abcd的中心,如图,四边形d1eof是矩形,直线ef,od1是相交直线,a错误,直线od1,b1b是相交直线,b错误;ef=od1,od1b1b,d错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,在三棱锥a-bcd中,e,f,g分别是ab,bc,ad的中点,gef=120,则bd和ac所成角的度数为_.【解题指南】求异面直线所成的角要找到它们的平行线,已知条件中的角会给解题提供方向.【解析】依题意知,egbd,efac,所以gef或其补角即为异面直线ac与bd所成的角,又gef=120,所以异面直线bd与ac所成的角为60.答案:608.如图,长方体abcd-a1b1c1d1(侧棱垂直于底面内的所有直线),其中abcd是正方形且边长为2,高为4,则异面直线bd1与aa1所成角的正弦值为_,异面直线bd1与ad所成角的正弦值是_.【解析】因为aa1dd1,所以dd1b即为异面直线bd1与aa1所成的角,连接bd,在rtd1db中,sin dd1b=.因为adbc,所以d1bc即为异面直线bd1与ad所成的角(或其补角),连接d1c,在d1bc中,因为长方体abcd-a1b1c1d1的底面边长为2,高为4,所以d1b=2,bc=2,d1c=2,d1b2=bc2+d1c2,所以d1cb=90,所以sind1bc=,故异面直线bd1与ad所成角的正弦值是.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在空间四边形abcd中,ad=bc=2,e,f分别是ab,cd的中点.若ef=.求证:adbc.【证明】取bd的中点h,连接eh,fh,因为e是ab的中点,且ad=2,所以ehad,eh=1.同理fhbc,fh=1,所以ehf(或其补角)是异面直线ad,bc所成的角,又因为ef=,所以eh2+fh2=ef2,所以efh是等腰直角三角形,ef是斜边,所以ehf=90,即ad,bc所成的角是90.故adbc.10.如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,m,n分别是棱cd,cc1的中点.求异面直线a1m与dn所成的角的大小.【解析】如图,过点m作medn交cc1于点e,连接a1e,则a1me为异面直线a1m与dn所成的角(或其补角).设正方体的棱长为a,则a1m=a,me=a,a1e=a,所以a1m2+me2=a1e2,所以a1me=90,即异面直线a1m与dn所成的角为90.1.如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,aa1与ac,ab所成的角均为60,bac=90,且ab=ac=aa1,e是b1c1的中点,则直线ae与bc所成的角为_,直线a1b与ac1所成角的余弦值为_.【解析】如图所示,连接ab1,由三棱柱的性质可得ac1=ab1,又因为e是b1c1的中点,所以aeb1c1,又bcb1c1,所以aebc,即直线ae与bc所成的角为90.如图所示,把三棱柱补为四棱柱abdc-a1b1d1c1,连接bd1,a1d1,ad,由四棱柱的性质知bd1ac1,则a1bd1就是异面直线a1b与ac1所成的角(或其补角).设ab=a,因为aa1与ac,ab所成的角均为60,且ab=ac=aa1,所以a1b=a,bd1=ac1=2aa1cos 30=a.又bac=90,所以在矩形abdc中,ad=a,所以a1d1=a,所以a1+a1b2=b,所以ba1d1=90,所以在rtba1d1中cosa1bd1=.答案:902.如图所示,在等腰直角三角形abc中,bac=90,bc=,daac,daab,若da=1,且e为da的中点,求异面直线be与cd所成角的余弦值.【解析】取ac的中点f
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