主理想整环与欧几里得整环

1、目录后页返回1 1前页 定理4.4.3 定理4.4.1 定理4.4.2 例44.44.4 主理想整环与欧几里得整环主理想整环与欧几里得整环 一、主理想整环一、主理想整环 定义4.4.1 定义4.4.2 -欧几里得整环 例1 例2 二、欧几里得整环二、欧几里得整环 例5 定理4.4.4 -最大公因子的存在表示定理 例6 三、欧几里德整环、三、欧几里德整环、主理想整环及惟一分解主理想整环及惟一分解整环的关系整环的关系 定理4.4.5 例3 四、整环的辗转相四、整环的辗转相除法除法目录后页返回2 2前页一、主理想整环的定义及性质一、主理想整环的定义及性质我们知道, 在整数环中, 如果 , 则存在 (

2、 , )da b , 使, s tZ.asbtd即在整数环中, 任何两个元素的最大公因子可表示为 与 的一个线性组合. 如果我们把这一条性质加以推 ab广, 就得到下面的定义:目录后页返回3 3前页定义定义4.4.1 设 为整环, 如果 的每一个理想都 DD是主理想, 则称 为主理想整环主理想整环( principal ideal Ddomain), 记作: PIDPID.目录后页返回4 4前页例例1 1 整数环 是主理想整环.Z例例2 在 中, 不是主理想. xZ,2x证证 首先, ,2 ( )( ) 2|( ), ( ) ( )2 |( ) ,xf xxg xf x g xxf xxn f

3、 xx nZZZ所以 .,2 xx Z另一方面, 如果存在 , 使 . ( ) d xxZ,2( )xd x目录后页返回5 5前页 则在 中, 有 且 . 由 知, xZ( )|d xx( )| 2d x( )| 2d x . 于是 . 又 , 所以 . deg ( )0d x ( )d xaZ|a x1a 从而 ,21 ,xx Z与前一结论矛盾, 所以 不是主理想. ,2x由例2知, 不是主理想整环. 下一节将证明 xZ 是惟一分解整环. 这说明, 惟一分解整环不一定是 xZ主理想整环. 但我们却可以证明:目录后页返回6 6前页定理定理4.4.14.4.1 每一个主理想整环都是惟一分解整环.

4、为了证明这个定理, 我们先给出主理想整环的几 个性质.目录后页返回7 7前页定理定理4.4.2 设 为主理想整环, 则 上每一个真因DD子链都有限.证证 设12,na aa(4.4.1)为 的一个真因子链. 则有 D12naaa令iiIa目录后页返回8 8前页则 为 的理想. 因为 是主理想整环, 所以 是主理想. IDDI设 , 则 , 因此必有 , 使 , 从而 IddIk Nkda . 另一方面, , 所以 kdakaId.kdad从而.kda由此知, 真因子链(4.4.1)仅有 项. k目录后页返回9 9前页定理定理4.4.3 设 为主理想整环, 是 的一个非 DaD零非单位的元素.

5、则下列条件等价: (1) 是素元;a(2) 是不可约元;a(3) 是极大理想;a(4) 是素理想.a证证 (1) (2) 见定理 4.3.3。(2) (3) 因为 不是单位, 所以 为 的真理想. aaD目录后页返回1010前页设 . 又因为 是主理想整环, 所以存在 aIDD , 使 . 于是 . 则存在 , 使 . bDIbabcDabc因 不可约, 所以 中至少有一个为单位. 而 , a, b cab所以 , 从而 为单位. 由此得 . 所以 ab不相伴于bbD 极大. a(3) (4) 见第三章定理3.4.3.(4) (1) 设 , 则 , 因 为素理想,故|a bcbcaa必有 或

6、, 即有 或 . 所以 为素元 baca|a b|a ca目录后页返回1111前页定理定理4.4.14.4.1的证明的证明: : 由定理4.4.2, 主理想整环的每一个真因子链都有限. 又由定理4.4.3, 主理想整环的每一个不可约元 都是素元. 从而由定理4.3.7知, 主理想整环是惟一分 解整环. 目录后页返回1212前页二、欧几里德整环的定义及性质二、欧几里德整环的定义及性质我们知道, 在惟一分解整环中, 任意两个元素 , a b都有最大公因子. 为了应用标准分解式求得它们的最 大公因子, 我们必须首先将这两个元素因式分解. 但 即使在整数环中, 因式分解也不是一件轻而易举的事 情. 所

7、以希望通过因式分解来了解它们的最大公因子 是不现实的. 但在主理想整环中, 我们却可以象在整 数环中那样, 把 的最大公因子表示为它们的一个线 , a b目录后页返回1313前页性组合. 目录后页返回1414前页定理定理4.4.4(最大公因子的存在表示定理) 设 为 D主理想整环. 则对任意的 , 存在 ,使, a bD, u vDgcd( , ).a baubv证证 令 , 则 , 从而存在 , ,da b,da b, u vD使.aubvd(1) 因 , 所以 , 即 是 ,a ba bd| ,|d a d bd, a b的一个公因子. (2) 设 为 的任一公因子, 则 , 从而 c,

8、a b| , |c a c b目录后页返回1515前页 .所以 为 的最大公因子. 由此即得.|c aubvdd, a b结论目录后页返回1616前页我们自然要问, 如何求出 , 使 , u vgcd( , )a baubv？回想在整数环中, 我们可借助于所谓的辗转相除 法具体求出这个表示. 看下面的例子:目录后页返回1717前页例例3 求187与143的最大公因数 , 并求 (187,143) ,使, u vZ(187,143)187143 .uv解解 应用辗转相除法:ba11q 14313218714334q 211r 144 44r 23q30r 目录后页返回1818前页1871 143

9、441433 4411444 11111433 44 1433 (1871 143) 187( 3)143 4. 由此得:(187,143)11,且11187( 3)1434. 目录后页返回1919前页这个例子说明, 在整数环中, 我们可以应用辗转 相除法, 通过有限的步骤具体算出 , 并把它表示成( , )a b( , )aubva b的形式. 这个算法也叫做欧几里德算法欧几里德算法(Euclidean algorithm). 进一步的研究发现, 整数环中有辗转相除法, 关键在于整数环中有所谓的带余除法定理带余除法定理:目录后页返回2020前页设 . 则存在 ,使,0a bbZ,0q rrb

10、Z.abqr把这加以推广, 就得到目录后页返回2121前页定义定义4.4.24.4.2 设 是整环. 如果存在映射D: 00,D N使对任意的 , 存在 , 使 ,0a bD b, q rD,abqr其中 或 .则称 为一个欧几里德整环欧几里德整环 0r ( )( )rbD( Euclidean domain), 记作: EDED注注 定义4.4.2中的映射 通常称为欧氏映射.目录后页返回2222前页例例4 整数环 是欧几里德整环. 的欧氏映射 就 ZZ是取绝对值.目录后页返回2323前页三、欧几里德整环、主理想整环三、欧几里德整环、主理想整环 及惟一分解整环的关系及惟一分解整环的关系下面的定

11、理揭示了欧几里德整环与主理想整环以 及惟一分解整环之间的关系.定理定理4.4.5 每一个欧几里德整环都是主理想整环, 因而也是惟一分解整环.证证 设 为欧几里德整环 的任一理想, 为欧氏 ID映射.目录后页返回2424前页(1) 如果 , 则 .0I 0I (2) 如果 , 则集合0I ( )|,0aaI a 是非负整数集的一个非空子集, 所以 中有最小数. 设 , 使 最小. 0dI( )d下证: .Id显然有 . 又对任意的 , 因为dI,0aI a , 所以存在 , 使0d , q rD目录后页返回2525前页,adqr其中 或 . 从而 . 如果 , ,0r ( )( )rdradqI

12、0r 则 , 与 的选取矛盾. 所以 , 从而 ( )( )rdd0r , 于是 . 由此得 . 因而 , adqadIdId即 为 的主理想. ID注：这个定理的逆是不成立的. 例如, 可以证明整 环1 | , (119),2aba bZZ是主理想整环, 但却不是欧几里德整环(参见1).目录后页返回2626前页例例5 高斯整环 是欧几里德整环, 因而也是主理 Z i想整环与惟一分解整环.证证 对任意的 , 令 ,0abiabZ ii22()().abN ababii则 . ()abiN设 . 在 中, 令, ,0 Z iC, ,xy x yiQ.目录后页返回2727前页则存在 , 使 . 取

13、 , a bZ11,22xayb,()() .qab rxaybii则 ,() qZrabiiZ i且.qr如果 , 则 0r 目录后页返回2828前页22( )( )()()( )11 ()( )( ).44rN rxaybNN 所以 为欧几里德整环. Z i注注 由代数数论可知, 当 时, 1, 1,2,3,6,7,11,19d 为欧几里德整环. 又当 dZ 时, 如记 3, 7, 11,5,13,17,21,29,33,37,41,57,73d , 则 也是欧几里德整环. 并且, 在二次1122d Z整数环中, 只有上述整环才是欧几里德整环(参见2).目录后页返回2929前页例例 6 设

14、 为域. 则 为欧几里德整环, 因而也 F F x是主理想整环及惟一分解整环.证证 令 : 00 ( )deg( ).F xf xf x N设 . 令( ), ( ) , ( )0f x g xF x g x ( )( ) ( )| ( ) ,f xg x h xh xF x 则因为 , 所以 .( )0g x 0 目录后页返回3030前页如果 , 则有 , 使 0( ) h xF x0( )( ) ( ).f xg x h x取 , 则有( )0, ( )( )r xq xh x( )( ) ( ).f xg x q x如果 , 则 . 取 , 使 为0deg ( )1g x ( )r x

15、( )r x 中次数最小的多项式. 则有 , 使 ( ) q xF x( )( )( ) ( ).r xf xg x q x所以 ( )( ) ( )( )f xg x q xr x目录后页返回3131前页下面用反证法证明: . deg ( )deg ( )r xg x假设 . 设deg ( )deg ( )r xg x10101010( ),0,1,( ),0.nnnmmmg xa xa xa anr xb xb xb b因为 , 所以 . 令deg ( )deg ( )r xg xmn001100( )( 0, ( )( )( ).m nm nbbq xq xxr xr xg xxaa00

16、1100( )( 0, ( )( )( ).m nm nbbq xq xxr xr xg xxaa则 , 于是 . 因为 , 11( )( )( )( )f xg x q xr x1( )r x 0目录后页返回3232前页所以 , 从而 . 这与 的选 1( )0rx 1deg ( )deg ( )r xr x( )r x取矛盾. 由此知 .deg ( )deg ( )r xg x这就证明了 为欧氏映射, 所以 是欧几里德 F x整环. 目录后页返回3333前页四、整环的辗转相除法四、整环的辗转相除法下面讨论欧几里德整环中的辗转相除法.设 为欧几里德整环, 为 的欧氏映射. 对 DD 且 ,

17、则存在 , 使, a bD0b 11,q rD11,abqr其中 或 .10r 1( )( )rb如果 , 则又有 或 , 10r 222,0q rD r21( )( )rr使122.brqr目录后页返回3434前页依次类推, 有111221233111,kkkkabqrbrqrrr qrrr qr(4.4.2)我们有12( )( )( )krrr目录后页返回3535前页因为 , 所以必有 ,使 .从而()0irNnN10nr1121gcd( , )gcd( , )gcd( , )gcd(,),nnna bb rr rrrr且 212321213 () (1) .nnnnnnnnnnnnnnr

18、rr qrrrqqrqqrqaubv(4.4.3)由此可知, 在欧几里德整环 中, 对任意的 D目录后页返回3636前页 必存在, 并且如果 不全为零, 则可 ,gcd( , )a bDa b, a b通过辗转相除法求得 , 使 ., u vgcd( , )a baubv注意在(4.4.3)中, 为了求得 , 我们必须将 与 , u viq 一次次地往回代, 计算量很大. 为了简化计算, 我们 ir可按下列的递归法求 . , u v目录后页返回3737前页定理定理4.4.6 设 如（4.4.2），令12,nq qq0121132211121,1,.nnnnnnppqpqppqpppq pp(4.4.4)（只要表示出来就易证）11( 1),( 1).nnnnupvp 则目录后页返回3838前页例例7 7 在 中, ,求 ,使 Z i838 ,117abii, u vgcd( , ).a baubv解解 应用辗转相除法.ba122q i117106ii838836ii31q i1i22ii235qi0目录后页返回3939前页则 , 并由(4.4.4)得2n 1n iq 35 22iiip1 35 174ii 所以 . 于是(35 ),174iuv i(838 ,117 )1, iii且