第三章 水动力学理论基础(1)

1、水动力学理论基础水动力学理论基础水静力学重要内容回顾n静水压强的两个重要特性n水静力学的基本方程n平面静水总压力计算方法n曲面静水总压力计算方法2211pzpzhpp0CCCDyJyy本章纲要：n第一节第一节 描述液体运动的两种方法描述液体运动的两种方法n第二节第二节 欧拉法的几个基本概念欧拉法的几个基本概念n第三节第三节 恒定一元流的连续性方程恒定一元流的连续性方程n第四节第四节 理想液体及实际液体恒定元流的能量方程理想液体及实际液体恒定元流的能量方程n第五节第五节 实际液体恒定总流的能量方程实际液体恒定总流的能量方程n第六节第六节 总水头线和测压管水头线的绘制总水头线和测压管水头线的绘制n

2、第七节第七节 实际液体恒定总流的动量方程实际液体恒定总流的动量方程关于液体平衡的规律关于液体平衡的规律，它研究液体处于静，它研究液体处于静止（或相对平衡）状止（或相对平衡）状态时，作用于液体上态时，作用于液体上的各种力之间的关系的各种力之间的关系。水静力学水静力学关于液体运动的规律，关于液体运动的规律，它研究液体在运动状它研究液体在运动状态时，作用于液体上态时，作用于液体上的力与运动要素之间的力与运动要素之间的关系，以及液体的的关系，以及液体的运动特性与能量转换运动特性与能量转换等等。等等。水动力学水动力学第一节第一节 描述液体运动的两种方法描述液体运动的两种方法n液体运动时，表征运动特征的运

3、动要素一般随液体运动时，表征运动特征的运动要素一般随时空而变，而液体又是众多质点组成的连续介质时空而变，而液体又是众多质点组成的连续介质 n 怎样描述整个液体的运动规律呢？怎样描述整个液体的运动规律呢？一、拉格朗日法一、拉格朗日法以液体质点为研究对象，跟踪每一个质点，研究各个质点的运动要素随时间的变化规律。质点系法图图 拉格朗日法拉格朗日法 zxyOabct0Mxyzt 设某一液体质点在设某一液体质点在t0 时刻占据起始坐标（时刻占据起始坐标（a，b，c），在），在t 时刻时刻 质点运动到空间坐标（质点运动到空间坐标（x，y， z）（a，b，c，t）= 拉格朗日变量拉格朗日变量 ),( ),(

4、),(tcbazztcbayytcbaxx以起始时刻的坐标来区分质点，作为质点标签。质点运动的轨迹线就叫迹线对于同一质点，（a, b, c）是不随时间变化的，而对于不同的质点，起始坐标各不相同。 ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxx问题问题：由运动坐标如何求质点运动的速度和加速度？对上式求导，得到某质点任意时刻的速度 对速度求导，得到某质点任意时刻的加速度 txuxtyuytzuz22txax22tyay22tzaz得到组成流场的典型质点的运动规律因此，除在波浪运动中，实际工程中多采用欧拉法。因此，除在波浪运动中，实际工程中多采用欧拉法。 问题问题 每质点运动轨迹复杂，跟踪

5、每个液体质点研究其运每质点运动轨迹复杂，跟踪每个液体质点研究其运动规律，存在很大的困难。动规律，存在很大的困难。 实用上，不需要知道每个液体质点的运动规律。实用上，不需要知道每个液体质点的运动规律。二、欧拉法二、欧拉法以固定空间点为研究对象，研究流场中某些固定空间点上的运动要素随时间的变化规律，而不直接追究给定质点在某时刻的位置及其运动状况。流场法l在流场中取固定空间点（在流场中取固定空间点（x, y, z），在），在t t1 1时刻，位于该空间时刻，位于该空间点的质点为点的质点为M M1 1，该质点的流速为，该质点的流速为u u1 1，压强为，压强为p p1 1，在在t2时刻，时刻，位于该空

6、间点的质点为位于该空间点的质点为M2，该质点的流速为，该质点的流速为u2，压强为，压强为p2，欧拉法的实质是不追究位于该空间点的质点是欧拉法的实质是不追究位于该空间点的质点是M1或或M2，只，只关心反映在该空间点上的运动要素的变化规律。关心反映在该空间点上的运动要素的变化规律。l采用欧拉法，可将流场中任何一个运动要素表示为空间坐采用欧拉法，可将流场中任何一个运动要素表示为空间坐标（标（x, y, z）和时间）和时间t 的函数。的函数。（ x, y, z, t ）= 欧拉变量欧拉变量（ ux, uy, uz）= 通过固定点的流速分量通过固定点的流速分量),(),(),(tzyxuutzyxuut

7、zyxuuzzyyxx假如某一质点在t 时刻占据的空间坐标为（x,y,z），则其运动要素可表示为空间坐标和时间的函数。当（当（x，y，z） 给定，给定，t 为变量时，得到：为变量时，得到： 同一固定空间点上，不同液体质点在不同时刻同一固定空间点上，不同液体质点在不同时刻通过该点的流速变化通过该点的流速变化（x，y，z）为）为 变量，给定时刻：如变量，给定时刻：如t = t0 时刻：时刻： 同一时刻，不同空间点上液体质点的流速分布，同一时刻，不同空间点上液体质点的流速分布，即流场。即流场。 ),(),(),(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx比较(a, b, c) : 质点起始坐标

8、质点起始坐标 (x, y, z) : 质点运动的位置坐标质点运动的位置坐标t : 任意时刻任意时刻(a, b, c , t ) : 拉格朗日变量拉格朗日变量(x, y, z) : 空间固定点空间固定点t : 任意时刻任意时刻(x, y, z , t ) : 欧拉变量欧拉变量拉格朗日法拉格朗日法欧拉法欧拉法着眼于液体质点着眼于液体质点，跟，跟踪质点描述其运动历踪质点描述其运动历程程着眼于空间点着眼于空间点，研究，研究质点流经空间各固定质点流经空间各固定点的运动特性点的运动特性是描述液体运动是描述液体运动常用的一种方法。常用的一种方法。在欧拉法中，如何求质点运动的加速度？注意：质点在运动过程中，不

9、同时刻占据不同的注意：质点在运动过程中，不同时刻占据不同的空间点，以此空间点，以此x,y,z不是独立变量，而是不是独立变量，而是t的函数。的函数。),(),(),(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx利用复合函数求导法，将（利用复合函数求导法，将（x,y,z）看成是时间看成是时间 t 的函数，则的函数，则dtdzzudtdyyudtdxxutudtduaxxxxxzuuyuuxuutuayzyyyxyyzuuyuuxuutuazzzyzxzzzuuyuuxuutuxzxyxxx),(),(),(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx从数学上分析，利用复合函数求导的方法，将

10、（x,y,z）看成是时间t的函数，则有加速度分量的表达式 zuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxd),(dd),(dd),(d 当地加速度当地加速度 迁移加速度迁移加速度l 迁移加速度（位变加速度）迁移加速度（位变加速度）同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度l 当地加速度（时变加速度）当地加速度（时变加速度） 同一空间点，不同时刻，流速不同，而产生的加速度同一空间点，不同时刻，流速不同，而产生的加速度从欧拉法来看，不

11、同空间位置上的液体流速可以不同；从欧拉法来看，不同空间位置上的液体流速可以不同；在同一空间点上，因时间先后不同，流速也可不同。在同一空间点上，因时间先后不同，流速也可不同。因此，加速度分为因此，加速度分为用欧拉法描述液体运动时，质点加速度是当地加速度和迁移加速度之和。同一时刻，沿射流抛射同一时刻，沿射流抛射轨迹，不同位置处的流轨迹，不同位置处的流速不同，因此，沿抛射速不同，因此，沿抛射轨迹，有迁移加速度。轨迹，有迁移加速度。t0U0u1u20 suuss落地水流流速方落地水流流速方向和大小随时间向和大小随时间变化有当地加速度。变化有当地加速度。t0t2t1u0u1u2u2u1u0孔口出口流速大

12、孔口出口流速大小随时间变化小随时间变化 举例举例第二节第二节 欧拉法的几个基本概念欧拉法的几个基本概念一、恒定流与非恒定流一、恒定流与非恒定流若流场中所有空间点上的一切运动要素都不随时间变化，称为恒定流；否则，称之为非恒定流。恒定流中，一切运动要素只是空间位置坐标的函数而与时间t无关。恒定流的当地加速度为零，但迁移加速度可以不为零。00tptututuzyx若水箱中的水位不恒定，管中各点的运动要素随t 变化，为非恒定流；若补水使水箱中的水位恒定，则管中水流可为恒定流。水库水库t0时刻t1时刻l迹线是液迹线是液体质点运体质点运动的轨迹动的轨迹线线，是与拉格朗日观点相对应的概念二、流线与迹线二、流

13、线与迹线l流线是流速场的矢量线，是指某一瞬时，在流场中绘出的一条光滑的矢量曲线（或直线），其上所有各点的速度向量都与该线相切。有了流线，流场的空间分布情况就得到了形象化的描述。24 2s1s3s(M1)(M2)(M3)(M4)25 25 流线绘制方法如下：流线绘制方法如下： 设在某时刻t1流场中有一点A1，该点的流速向量为u1，在这个向量上取与A1 相距为 的点A2；在同一时刻，A2点的流速向量设为u2，在向量u2上取与A2点相距为 的点A3；若该时刻A3点的流速向量为u3，在向量u3上再取与A3相距为 的点A4，如此继续，可以得出一条折线A1A2A3A4，若让所取各点距离 趋近于零，则折线变

14、成一条曲线，这条曲线就是t1时刻通过空间点A1的一条流线。2s1s3ss一般情况下，流线不能相交，且流线只能是一条光滑的曲线或直线。流场中每一点都有流线通过，流线充满整个流场，这些流线构成某一时刻流场的流谱。在恒定流条件下，流线的形状及位置以及流谱不随时间发生变化，且流线与迹线重合。对于不可压缩液体，流线的疏密程度反映了流场中各点的速度大小，流线密的地方流速大，反之，流速小。流线的特性：否则在交点或非光滑处存在两个切线方向，这意味着同一时刻、同一质点具有两个运动方向，显然是不可能的。27 2s1s3s(M1)(M2)(M3)(M4)28 假定A1A2A3A4 近似代表一条流线，在t1时刻M1质

15、点从A1点开始运动， t2时刻运动到达A2；但因恒定流流线形状和位置不变，此时 M1质点的流速仍与t1相同，仍然为u2方向，于是M1质点从A2点沿u2方向运动， t3时刻又到达 A3，如此继续下去， M1质点所走的轨迹完全与流线重合。 l迹线和流线最基本的差别是：迹线和流线最基本的差别是： 迹线是同一液体质点在不同时刻的位移曲线迹线是同一液体质点在不同时刻的位移曲线( (与与拉格朗日观点对应拉格朗日观点对应);); 流线是同一时刻、不同液体质点速度矢量与之流线是同一时刻、不同液体质点速度矢量与之相切的曲线相切的曲线( (与欧拉观点相对应与欧拉观点相对应) )。问题：流线与迹线的区别？三、流管、

16、元流、总流、过水断面、三、流管、元流、总流、过水断面、流量、断面平均流速流量、断面平均流速l在流场中画出任一封闭曲线L，它所围的面积无限小，经该曲线上各点做流线，这些流线所构成的管状物称为流管。L流管流线1.流管因流线不能相交，流体不能穿越管壁2.元流（微小流束）l充满流管的一束液流。元流的面积很小，同一断面上各点运动要素相等。3.总流l由无数个元流组成的具有一定大小尺寸的实际液流。4.过水断面l与元流或总流的流线正交的横断面，有时是平面，有时是曲面。l被液体湿润的固体边界称为湿周 。l过水断面积与湿周之比称为水力半径。R对于元流，dt时段通过断面d的液体体积为：5.流量l单位时间内通过某一过

17、水断面的液体体积，用Q表示，单位：m3/s或l/s 。udtduddtudtddQuddQQ不均匀分布断面平均流速vxudQvvdQ6.断面平均流速l若过水断面上各点的流速都相等（等于v），此时通过的流量与实际流速为不均匀分布时通过的流量相等，v就叫做断面平均流速。QvvvdudQ四、均匀流与非均匀流四、均匀流与非均匀流流线为相互平行的直线？流线为相互平行的直线？均匀流均匀流非均匀流非均匀流均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相互平行的直线。问题：问题：1、直径不变的圆管中的水流是均匀流吗？、直径不变的圆管中的水流是均匀流吗？2、均匀流的当地加速度为零吗？、均匀

18、流的当地加速度为零吗？1.均匀流均匀流的特性均匀流过水断面为平面，且形状、尺寸沿程不变。均匀流同一流线上不同点的流速相等，从而各过水断面上的流速分布相同，断面平均流速相等。均匀流同一过水断面上各点的动水压强符合静水压强分布规律。即同一过水断面上各点的测压管水头为一同一过水断面上各点的测压管水头为一常数；常数；cpzOO11()pzCg22()pzCgdndz dzz在均匀流，与流线正交的在均匀流，与流线正交的n n方向上无加速度，所以有方向上无加速度，所以有0nF Gpdddpp)(dzddndGcoscos0)(即dzdpdddpp：0 dzdp积分得：积分得：cpzpp+dpnn适用条件2

19、.非均匀流渐变流渐变流急变流急变流是否接近是否接近均匀流均匀流？是是否否l流线虽不平行，但夹角较小流线虽有弯曲，但曲率较小流线是近似平行的直线，近似认为cpzl流线间夹角较大；流线弯曲的曲率较大。流线不平行或弯曲程度很大，cpz流线图流线图均匀流均匀流均匀流均匀流非均匀流非均匀流均匀流均匀流非均匀流非均匀流均匀流均匀流非均匀流非均匀流非均匀流非均匀流渐变流渐变流急变流急变流急变流急变流急变流急变流五、一元流、二元流、三元流五、一元流、二元流、三元流一元流二元流三元流运动要素是一个空间坐标的函数运动要素是二个空间坐标的函数运动要素是三个空间坐标的函数l元流、引入断面平均流速的总流，均是一元流。断

20、面上各点的流速相同，只是沿程发生变化。),(),(tspptsuusuutudtdua任何实际流动从本质上都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化抽象，以便分析处理总结：水流的分类总结：水流的分类按按运动要素运动要素是否随时间变化是否随时间变化表征液体运动的物理量，如流速、加速度、动水压强等恒定流恒定流非恒定流非恒定流按运动要素随空间坐标的变化按运动要素随空间坐标的变化一元流一元流二元流二元流三元流三元流按流线是否为相互按流线是否为相互平行的直线平行的直线均匀流均匀流非均匀流非均匀流渐变流渐变流急变流急变流第三节第三节 恒定总流的连续性方程恒定总流的连续性方程2

21、11212u11du22d（1）恒定流时，元流的形状和位置不变。（2）无液体经侧面流进、流出。（3）连续介质无空隙。 依据：质量守恒原理质量守恒原理依质量守恒定律依质量守恒定律, ,流流入液体的质量等于入液体的质量等于流出液体的质量。流出液体的质量。对于不可压缩液体的恒定流，各断面通过的流量相等对于不可压缩液体的恒定流，各断面通过的流量相等（适用于理想（适用于理想 、实际液体，适用于边界固定的非恒定流、实际液体，适用于边界固定的非恒定流的同一时刻）。的同一时刻）。对于不可压缩液体，21元流的连续性方程元流的连续性方程2211dududQ积分得：221121dududQ恒定总流的连续性方程恒定总

22、流的连续性方程2211vvQ222111dudu连续性方程l对于不可压缩液体，根据连续性方程，很容易理解流线的疏密反映了速度大小。2211vvQQ1Q2Q3123QQQQ1Q2Q3132QQQ在有分流汇入或分出的情况下，连续性方程应作相应变化。质量的总流入=质量的总流出。依据：动能定理动能定理l运动液体的动能增量等于作用在它上面各力做功的代数和。第四节第四节 理想液体和实际液体恒定元流的能量方程理想液体和实际液体恒定元流的能量方程连续性方程说明了流速与过水断面的关系，是运动学方程；水流能量方程则是从动力学的观点讨论水流各运动要素之间的关系，是能量守恒在水流运动中的具体表现。一、理想液体恒定元流

23、的能量方程一、理想液体恒定元流的能量方程(伯诺里方程）伯诺里方程）2121uuuEEdE1122uuEE 21112221uuuuEEEE动能增量222221222122uudmudmudmgugudQdtuudQdt222221222122d1d2dl1dl211oou2u1z1z21122222211ddlddldm2211dtdudtdudmdQdtdm重力做功 重力做功等于势能的改变量即 段的势能减去 段的势能。112221zzdmgdAG21zzgdQdt21zzdQdtd1d2dl1dl211112222oou2u1z1z2压力做功222111dldpdldpdAPdtudpdtu

24、dp22211121ppdQdt 做正功； 做负功；侧面上的动水压强不做功；11dp22dpd1d2dl1dl211112222oou2u1p1p2z1z2理想液体无切应力2121212222ppdQdtzzdQdtgugudQdt2121212222ppzzgugugupzgupz2222222111Cgupz22PGudAdAdE理想液体恒定元理想液体恒定元流的能量方程流的能量方程Or理想液体恒定元理想液体恒定元流的伯诺里方程流的伯诺里方程根据动量定理根据动量定理由于元流的过水面积无限小，流线是元流的极限状态，所以也同样适用于同一流线上的任意两点。二、理想液体元流能量方程的物理意义和几何意

25、义二、理想液体元流能量方程的物理意义和几何意义1.物理意义：单位重量液体所具有的位能（重力势能）； z：单位重量液体的压能（压强势能）；p：单位重量液体具有的动能。gu22重量为mg，高度为z的液体质点的重力势能是mgz。pap/Mp压强具有做功的能力，压强做功可以使质量为dm的液体质点增加的势能为rpdmg/质量为m的物体以速度u运动时，所具有的动能为mu2/2，则单位重量流体所具有的动能为u2/(2g) 即(mu2/2)/(mg)= u2/(2g)单位总能量单位总能量单位动能单位动能单位压能单位压能单位位能单位位能zpgu22单位势能单位势能pz gupz22 对于不可压缩的理想液体的恒定

26、元流，在流动过程中，单位重量液体所具有的机械能是守恒的。001Z2Z12位置水头位置水头压强水头压强水头流速水头流速水头测压管水头测压管水头总水头总水头对于不可压缩的理想液体的恒定元流，在流动过程中，总水头保持不变。2.几何意义gupzgupz2222222111 毕托管测速原理图 3.应用毕托管22pgup uhppgu22ughppgu2)(2修正后：ughu2由实验确定由于实际液体具有粘滞性，在流动的过程中，一定要消耗一部分能量克服摩擦力做功，液体的机械能沿程减少，即存在着机械能损失。三、实际液体恒定元流的能量方程三、实际液体恒定元流的能量方程gupzgupz22222221112222

27、211122whgupzgupz 元流的水头损失。 单位重量液体从1-1断面流至2-2断面的机械能损失。wh001Z2Z12wh第五节第五节 恒定总流的能量方程恒定总流的能量方程 一、推导一、推导单位时间通过元流过水断面的全部液体的能量关系为单位时间通过元流过水断面的全部液体的能量关系为dQhdQgupzdQgupzw2222211122均匀流或渐变流过水断面上CpzdQhQwQwdQh取平均的hwQhw动能修正系数,1.051.1dQhdgudupzdgudupzQw2322222131111122112)(2)(udpzQpzudpzdugdgu332233vduQgvvg2223whgv

28、pzgvpz222222221111二、总流能量方程各项的物理意义和几何意义二、总流能量方程各项的物理意义和几何意义gv2/2：过水断面某点相对于基准面的位置高度-位置水头 ：对应点的压强水头； ：测压管水头； ：平均流速水头； ：总水头； ：总流的水头损失。 z/p/pz gvpz2/2whgv2/2：总流过水断面上某点单位重量液体所具有的位能； ：对应点处单位重量液体所具有的压能； ：单位重量液体所具有的势能； ：过水断面上单位重量液体所具有的平均动能； ：单位重量液体所具有的总机械能。 ：流动过程中单位重量液体的平均机械能损失。 z/p/pz gvpz2/2whwhgvpzgvpz222

29、222221111三、应用能量方程的条件和注意事项三、应用能量方程的条件和注意事项1.条件水流是不可压缩液体的恒定流。作用在液体上的质量力只有重力。所选取的两个过水断面，水流为均匀流或渐变流。在两断面之间，可以不是渐变流。当两过水断面之间有流量的集中汇入或分出时，可分别对每一支建立能量方程。当两过水断面间有能量的输入或输出时，方程为：Q1Q2Q31122332-2与3-31-1与2-21-1与3-3wthgvpzHgvpz222222221111tH ：表示水力机械对水流做功（正功或负功）使单位重量液体增加或减小的那一部分机械能。水泵用加号。（后面详细讲）2.注意事项计算断面应选择在已知参数较

30、多的断面，并使能量方程中包含所求的未知量。基准面可以任意选取，但在计算不同断面的位置水头 值时，必须选取同一基准面。能量方程中 一项，可以用相对压强，也可以用绝对压强，但对同一问题必须采用相同的标准。在计算过水断面的测压管水头时，可以选取过水断面上的任意点来计算。对于管道一般选在管轴中心处，对于明渠一般选在自由液面上。不同过水断面上的动能修正系数 严格讲不相等，且不等于1，实用上大多数情况取 /pz1212203.解题步骤1.选择计算断面，并在计算断面上确定计算点。3.建立方程，求解未知量。2.选择基准面whgvH2222whgvgvH20020222211 水箱中的水由直管流出，若需要一个恒定的流量，问高差H？以0-0为基准面，建立1-1与2-2能量方程。=0四、流途中有能量输入或输出的能量方程四、流途中有能量输入或输出的能量方程扬程提水高度水轮机管路系统有人认为均匀流和渐变流一定是恒定流，急变流一定是非恒定流？思考题对