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1、三次型函数的最值问题一、合理赋值，解决三次型函数最值问题：例1：已知定义在上的函数满足对任意整数有，且.（1）求的表达式（）；（2）若对任意整数，有恒成立，试求的最大值.思路分析：第（1）小问难点有两个，其一，是如何合理对赋值求出的表达式，常规策略是保留一个变量，对另一变量赋值，根据条件，可以将另一变量赋予值1；其二，不一定是正整数。第（2）小问处理三次函数恒成立问题时我们经常利用导数这一工具求解，通过本题求解可以反思一下：一定要求导吗？解：（1）令，得1 当为正整数时，以上个式子相加，得.2 当时，令，得3 当为负整数时，为正整数，由题设，则.综上，.（2）由（1）得 对任意整数，恒成立，即

2、恒成立，亦即恒成立，由，知，于是恒成立，从而.的最大值为3.练习1：已知对任意实数均有成立，求.思路分析：本题的最大难度如何处理中的和，可以联系函数的奇偶性通过恰当赋值逼出和的值.解：令，考察，易得，又，则，解得，代入得，又，可得.练习2：设，当取遍所有实数时，求的最小值.解：令，则原问题等价于，令，则.因此，此时.不难得到，此时.故的最小值为.二、抓住主元，解决三元最值问题：例2已知且，求的最大值和最小值.思路分析：本题最大值通过放缩较易下手，问题在求解最小值时难以控制.可以考虑扣住最高次，利用条件化三元为二元，再抓主元得到原问题最小值的求解策略.解：（1），当且仅当时取等号.（2）求的最小值，考虑运用逐步调整法，即假设为定值，则，有，对求导数有，所以当时，有最小值，此时，故的最小值，而，所以，在处取到的最小值即为在区间上最小值.，当且仅当时成立.综上，.练习1：设，并且存在，使得.求的最小值.解：，由抽屉原理，可知三个实数中至少有两个相等.（1） 三个实数完全相等，则必有，从而.（2） 三个数不全相等，不妨设，则必有，从而当时，当且仅当时取等号.综上，.练习2：已知是满足的正数，求函数的最小值.解：.（此不等式也可直接作差因式分解得到）故，即.同

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