初中数学华东师大九年级上册（2023年新编）第24章 解直角三角形第24章 解直角三角形

1、第24章解直角三角形241测量利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三角形的边角关系重点探索测量距离的几种方法难点解决实际问题时学生对数学实践活动的原理的理解和对方法的掌握一、情境引入当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题，但如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？二、探究新知教师利用多媒体展示教材100页“试一试”，引导学生分析学习本节内容如图，站在离旗杆BE底部10 m处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角BAC34，并已知目高AD为 m，现在请你按1500

2、的比例将ABC画在纸上，并记为ABC，用刻度尺量出纸上BC的长度，便可以算出旗杆的实际高度你知道计算的方法吗？分析：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等解：ABCABC，ACACBCBC5001.只要用刻度尺量出纸上BC的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度若量得BCa cm，则BC500a cm5a m故旗杆高5a)m.教师再用课件展示例题，可由学生自主完成，最后教师点评例2为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO6 m，OD m，CD m；图(b)

3、中CD1 m，FD m，EB m；图(c)中BD9 m，EF m，此人的臂长为 m.(1)说明其中运用的主要知识；(2)分别计算出旗杆的高度(a)(b)(c)【分析】图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质解：(1)AOBCOD，eq f(AB,CD)eq f(OB,OD)，即eq f(AB,eq f(6,，AB3(m)(2)同一时刻物高与影长成正比，eq f(AB,BE)eq f(CD,DF)，即eq f(AB,eq f(1,，AB3(m)(3)CEFCAB，CFGCBD，eq f(EF,AB)eq f(CF,CB)eq f(FG

4、,BD)，eq f,AB)eq f,9)，AB3(m)教师点评：测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似图形的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度三、练习巩固教师利用课件展示习题，引导学生独立完成，点名上台展示，教师点评1已知小明同学身高 m，经太阳光照射，在地面的影长为2 m，若此时测得一塔在同一地面的影长为60 m，则塔高为()A90 mB80 mC45 mD40 m2如图，A，B两点被池塘隔开，在点A，B外任选一点C，连结AC，BC，分别取其三等分点M，N，量得MN38 m，则AB的长为()A76 m B104 m C114 m D152 m3

5、在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？4某同学想测旗杆的高度，他在某一时刻测得1 m长的竹竿竖起时的影长为 m，同一时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9 m，留在墙上的影长为2 m，求旗杆的高度四、小结与作业小结这节课你学到了哪些测量物体高度的方法？布置作业从教材相应练习和“习题”中选取本课时从学生身边所熟悉的测量旗杆的高度入手，通过探究设计各种测量方案，让学生学会利用所学的相似三角形、勾股定理的有关知识来解决问题，经历测量过程从而获

6、得成功的体验，懂得数学来源于生活实际并用之于实际的道理，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力242直角三角形的性质1掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用2继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律重点直角三角形斜边上的中线性质定理的应用难点直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法一、情境引入复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？学生回答：(1)在直角三角形中，两个锐角互余；(2)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)二、探究新知除了刚才同学们回答的性质外

7、，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！1实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片(1)量一量边AB的长度；(2)找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线；(3)量一量斜边上的中线的长度让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系2提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3证明命题：你能否用演绎推理证明这一猜想？已知，如图，在RtABC中，ACB90，CD是斜边AB上的中线求证：CDeq f(1,2)AB.【分析】可“倍长中线”，延长CD至点E，使DECD，易证四边形ACBE是矩形，CEAB2CD.思考还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线4应用：例如图，在RtA

8、CB中，ACB90，A30.求证：BCeq f(1,2)AB.【分析】构造斜边上的中线，作斜边上的中线CD，易证BDC为等边三角形，所以BCBDeq f(1,2)AB.【归纳结论】直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半三、练习巩固教师利用课件展示练习题，可由学生小组讨论完成，教师归纳1如图，CD是RtABC斜边上的中线，CD4，则AB_2三角形三个角度数比为123，它的最大边长是4 cm，那么它的最小边长为_cm.3如图，在ABC中，AD是高，CE是中线，DCBE，DGCE，点G为垂足求证：(1)点G是CE的中点；(2)B2BCE.第3题图第4题图4如图，在ABC中，ABAC，C30，

9、ABAD，AD2 cm，求BC的长四、小结与作业小结1直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半3有斜边上的中点，要考虑构造斜边上的中线或中位线布置作业从教材相应练习和“习题”中选取本课从复习已学过的直角三角形的性质入手，通过实验操作、猜想、证明、探究直角三角形斜边上的中线性质定理，培养学生识图的能力，提高分析和解决问题的能力，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识和综合意识243锐角三角函数24锐角三角形函数第1课时锐角三角函数1使学生掌握锐角的三种三角函数的定义2使学生掌握锐角三角函数的取值范围重点三角函数的定义及三角函数值的求法难点引入参数

10、三角函数值一、情境引入教师展示课件，提出问题，引导学生进入本节学习内容1含30角的直角三角形，有什么性质？答：30角的直角三角形中，30角所对的直角边与斜边的比值为eq f(1,2).2上述结论与所选取的直角三角形的大小有关吗？答：无关3含45角的直角三角形中，45角所对的直角边与斜边的比值为多少？这个比值与所选取的直角三角形的大小有关吗？答：eq f(r(2),2)，无关4一般地，在RtABC中，A为其一个锐角，当A取一个固定的值时，A所对的直角边和斜边的比值固定吗？答：固定不变，如下图在RtAB1C1，RtAB2C2，RtAB3C3中，A的对边和斜边的比值分别为eq f(B1C1,AB1)

11、，eq f(B2C2,AB2)，eq f(B3C3,AB3).B1C1B2C2B3C3，RtAB1C1RtAB2C2RtAB3C3，eq f(A的对边,斜边)eq f(B1C1,AB1)eq f(B2C2,AB2)eq f(B3C3,AB3)是一个固定值我们把这个固定的比值，称为A的正弦，记作sinA，当A看作变量时，sinA常称为A的正弦函数，正弦函数是三角函数的一种，今天我们就来研究锐角三角函数二、探究新知(一)锐角三角函数的定义如图，在RtABC中，C90.A的正弦：sinAeq f(A的对边,斜边)eq f(BC,AB)eq f(a,c)，A的余弦：cosAeq f(A的邻边,斜边)e

12、q f(AC,AB)eq f(b,c)，A的正切：tanAeq f(A的对边,A的邻边)eq f(BC,AC)eq f(a,b).【教学说明】这三个三角函数的书写和含义，特别是不能看成是乘法的关系，另外角的符号也常常省略提问：你能按定义写出B的三个三角函数来吗？(二)锐角三角函数的取值范围在RtABC中，A为其一锐角，有0ac，0bc，0sinA1，0cosA0.(三)利用锐角三角函数定义求三角函数值1直接利用定义求三角函数值例1如图，在RtABC中，C90，AC15，BC8，试求出A的三个三角函数值解：ABeq r(BC2AC2)eq r(289)17，sinAeq f(BC,AB)eq f

13、(8,17)，cosAeq f(AC,AB)eq f(15,17)，tanAeq f(BC,AC)eq f(8,15).2已知直角三角形的两边的比，求三角函数值例2在RtABC中，C90，ab23，求sinA，cosA.解：设a2k，b3k，由勾股定理得ceq r(a2b2)eq r(13)k，sinAeq f(a,c)eq f(2k,r(13)k)eq f(2r(13),13)，cosAeq f(b,c)eq f(3k,r(13)k)eq f(3r(13),13).3已知某锐角三角函数值，求三角函数值例3在RtABC中，C90，sinAeq f(2,3)，求A的另外两个三角函数值解：sinA

14、eq f(a,c)eq f(2,3)，设a2k，c3k，由勾股定理得beq r(c2a2)eq r(5)k，cosAeq f(b,c)eq f(r(5)k,3k)eq f(r(5),3)，tanAeq f(a,b)eq f(2k,r(5)k)eq f(2r(5),5).三、练习巩固教师利用课件展示练习题，可由学生独立完成练习1，2，3，由学生抢答第4题教师适当点拨：过点A作ADBC构造直角三角形学生小组内交流，教师点评1在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2，4)，O为原点，OP与x轴的夹角为，则sin_2在RtABC中，C90，eq f(a,c)eq f(5,13)，则cosA_3在RtABC

15、中，C90，tanAeq f(1,3)，则sinA_，cosA_4如图，在ABC中，ABC60，ABBC25，求tanC的值四、小结与作业小结1锐角三角函数的定义：的正弦：sineq f(的对边,斜边)，的余弦：coseq f(的邻边,斜边)，的正切：taneq f(的对边,的邻边).2锐角三角函数的取值范围：当为锐角时，0sin1；0cos0.3利用定义求锐角三角函数值布置作业从教材相应练习和“习题”中选取本课时遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等

16、多方面得到进步和发展第2课时特殊角的三角函数值1熟记30，45，60角的三角函数值2让学生经历30，45，60角的三角函数值推导过程，从而掌握特殊角的三角函数的运用方法重点熟记30，45，60角的三角函数值难点根据函数值说出对应的锐角度数一、情境引入教师利用课件展示例题，复习上节内容上节课我们学习了锐角三角函数的定义复习如图，在RtDEC中，E90，DE6，CD10，求D的三个三角函数值(sinDeq f(4,5)，cosDeq f(3,5)，tanDeq f(4,3)二、探究新知你能否根据锐角三角函数的定义求出30角的三个三角函数值？1探究如图，在RtABC中，C90，A30.思考：(1)B

17、C_eq f(1,2)_AB；(2)由勾股定理可得AC2_AB2_BC2_，ACeq r(AB2BC2)_eq f(r(3),2)_AB，sin30eq f(BC,AB)eq f(f(1,2)AB,AB)eq f(1,2)，cos30eq f(AC,AB)eq f(f(r(3),2)AB,AB)eq f(r(3),2)，tan30eq f(BC,AC)eq f(f(1,2)AB,f(r(3),2)AB)eq f(r(3),3).问：如何求60角的三角函数值？sin60eq f(AC,AB)_eq f(r(3),2)_，cos60eq f(BC,AB)_eq f(1,2)_，tan60eq f(

18、AC,BC)_eq r(3)_2做一做在RtABC中，C90，A45，根据锐角三角函数的定义求出A的三角函数值思考：(1)ACBC；(2)由勾股定理可知ABeq r(AC2BC2)_eq r(2)_AC.归纳：sin45_eq f(r(2),2)_，cos45_eq f(r(2),2)_，tan45_1_3填表sincostan30eq f(1,2)45160eq f(1,2)思考：(1)sin随着的增大而_增大_；(2)cos随着的增大而_减小_；(3)tan随着的增大而_增大_例求值：sin30tan30cos60tan60.解：原式eq f(1,2)eq f(r(3),3)eq f(1,

19、2)eq r(3)eq f(2r(3),3).三、练习巩固教师利用课件展示练习，可由学生独立完成，教师点名展示，教师点评：第1题的计算，注意理清运算顺序；第2题可构造直角三角形，再运用锐角三角函数的知识解决，注意两种情况；第3题可先求出的三角函数值，再根据其值求角的度数1计算：(1)|3eq r(12)|(eq f(r(6),2r(2)0cos2304sin60；(2)eq r(2)(2cos45sin60)eq f(r(24),4)；(3)(sin30)120230|4eq r(3)|tan60.2直线ykx4与y轴相交所成的锐角的正切值为eq f(1,2)，则k的值为_3求下列锐角的大小：

20、(1)4cos23eq r(2)sin450；(2)tan2(eq r(3)1)taneq r(3)0.4如图，在ABC中，B45，C60，AB6，求BC的长(结果保留根号)四、小结与作业小结本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？布置作业从教材相应练习和“习题”中选取本节从复习锐角三角函数的定义入手，提出求解30角的三角函数值，让学生动手探究45，60角的三角函数值，加以归纳总结，并学会应用在教学上充分体现以学生为主体的思想，在教学中以调动学生的思维为主，充分培养学生的自主性和创造性24用计算器求锐角三角函数的值经历用计算器由已知锐角求它的三角函数值，及由已知的三角函数值求锐角的过程，进一步体会

21、三角函数的意义，学会应用方法重点用计算器求任意角的三角函数值难点用计算器求锐角三角函数值时要注意按键顺序一、情境引入同学们，前面我们学习了特殊角30，45，60的三角函数值，但一些非特殊角(如17，56，89等)的三角函数值又怎么求呢？这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务二、探究新知拿出计算器，熟悉计算器的用法下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角1求已知锐角的三角函数值例1求sin635241的值(精确到解：先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：eq x(SHIFT)eq x(MODE)(SETUP)eq x(3)，显示eq x(D).再按下列顺序

22、依次按键：eq x(sin)eq x(6)eq x(3)eq x()eq x(5)eq x(2)eq x()eq x(4)eq x(1)eq x()eq x()显示结果为.所以sin635241.注意：SETUP是键eq x(MODE)的第二功能，启用第二功能，需先按eq x(SHIFT)键例2求tan1915的值(精确到解：在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示eq x(D)，按下列顺序依次按键：eq x(tan)eq x(1)eq x(9)eq x()eq x(1)eq x(5)eq x()eq x()显示结果为.所以tan1915.2由锐角三角函数值求锐角例3已知tanx，求锐角x.(

23、精确到1)解：在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示eq x(D)，按下列顺序依次按键：eq x(SHIFT)eq x(tan)(tan1)eq x(0)eq x(.)eq x(7)eq x(4)eq x(1)eq x(0)eq x()，显示结果为.再按键eq x()，显示结果为3632.所以x3632.三、练习巩固教师利用课件展示练习，可由学生独立完成，小组内交流1用计算器求sin28，cos27，tan26的值，它们的大小关系为_2已知tanA，则A约为_3升国旗时，某同学站在离国旗20 m处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同学视线的仰角为42，若双眼离地面 m，求旗杆AB的高度(精确到

24、m)第3题图第4题图4如图，一名患者体内器官后面有一肿瘤，在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤，已知肿瘤在皮下 cm的A处，射线从肿瘤右侧 cm的B处进入身体，求CBA的度数四、小结与作业小结1本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数2本节学习的数学方法：培养学生一般化意识，认识特殊和一般都是事物属性的一个方面3求锐角的三角函数值时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键因此使用计算器时一定先要弄清楚输入顺序布置作业从教材相应练习和“习题”中选取本课时让学生经历

25、用计算器进行三角函数值计算的过程，体会三角函数的意义，培养学生应用现代化学习工具的能力，激发学生的学习兴趣244解直角三角形第1课时解直角三角形1使学生理解解直角三角形的意义2能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形重点用直角三角形的三个关系式解直角三角形难点用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题一、情境引入前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例题来看看大家掌握得怎么样例在RtABC中，C90，AB5，BC3，求A的各个三角函数值二、探究新知教师利用课件引入例1，引导学生分析，使学生在讨论过程中理解三角形中“元素”的内涵，至于“元素”的定义不作深究把握好直角三角形

26、边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的实际问题了例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5 m处折断倒下，树顶落在离树根12 m处，则大树在折断之前高多少？例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗？学生讨论得出“解直角三角形”的含义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形问：上面例子中，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出来吗？学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余【探索新知】问：上面的例子是给了两条边那么，如果给出一个角和一条边，能

27、不能求出其他元素呢？例2如图，东西两炮台A，B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到1米)解：在RtABC中，CAB90DAC50，eq f(BC,AB)tanCAB，BCABtanCAB2000tan502384(米)eq f(AB,AC)cos50，ACeq f(AB,cos50)eq f(2000,cos50)3111(米)答：敌舰与A，B两炮台的距离分别约为3111米和2384米问：AC还可以用哪种方法求？学生讨论得出各种解法，分析比较，得出：使用题目中原有的条件，可使结果更精确问

28、：通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？(几个学生展示)学生讨论分析，得出结论问：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？学生交流讨论归纳：解直角三角形，只有下面两种情况：(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角三、练习巩固教师利用课件展示练习，可由学生独立完成，教师点名上台展示，再点评1在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2海船以海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距

29、离最短，求灯塔Q到B处的距离(画出图形后计算，精确到海里)四、小结与作业小结1“解直角三角形”是求出直角三角形的所有元素2解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两条边或已知一条边和一个锐角3解直角三角形的方法布置作业从教材相应练习和“习题”中选取通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况通过讨论交流得出解直角三角形的方法，并学会把实际问题转化为直角三角形的问题给出一定的情景内容，引导学生自主探究，通过例题的实践应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力第2课时俯角和仰角的问题1理解仰角、俯角的含义

30、，准确运用这些概念来解决一些实际问题2培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力重点理解仰角和俯角的概念难点能解与直角三角形有关的实际问题一、情境引入教师展示课件，引出问题如图，为了测量旗杆的高度BC，小明站在离旗杆10米的A处，用高米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角52，然后他很快就算出旗杆BC的高度了(精确到米)你知道小明是怎样算出的吗？二、探究新知教师结合展示的引例，结合图片，引导学生观察，分析，归纳仰角、俯角的概念想要解决刚才的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的【分析】在RtCDE中，已知一个角和一条边，利用解直角三角形的知识即可求出C

31、E的长，从而求出CB的长解：在RtCDE中，CEDEtanABtan10tan52，BCBECEDACE(米)答：旗杆的高度约为米教师再展示例题，引导学生思考、分析，关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决例如图，两建筑物的水平距离为 m，从点A测得点D的俯角为3512，测得点C的俯角为4324，求这两个建筑物的高(精确到 m)解：过点D作DEAB于点E，则ACB4324，ADE3512，DEBC.在RtABC中，tanACBeq f(AB,BC)，ABBCtanACBtan4324(m)在RtADE中，tanADEeq f(AE,DE)，AEDEtan

32、ADEtan3512(m)DCBEABAE(m)答：两个建筑物的高分别约为 m， m.三、练习巩固教师利用多媒体展示练习题，可由学生自主完成，小组交流，代表上台展示，教师点评1如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星达到点A时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6 km，仰角为43，1 s后火箭到达B点，此时测得BR的距离是 km，仰角为，这个火箭从点A到点B的平均速度是多少？(精确到 km/s)2如图，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45；如果小华向后退米到B处，这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30，求小华的眼睛到地面的距离(结果精确到米，参考数据：eq r

33、(3)四、小结与作业小结1这节课你学到了什么？你有何体会？2这节课你还存在什么问题？布置作业从教材相应练习和“习题”中选取本节课从学生接受知识的最近发展区出发，创设了学生最熟悉的旗杆问题情境，引导学生发现问题、分析问题在探索活动中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，养成交流与合作的良好习惯让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学数学的信心第3课时坡度问题1使学生掌握测量中坡角、坡度的概念2掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题重点解决有关坡度的实际问题难点解决有关坡角的实际问题一、情境引入教师展示图片，引出问题读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或