2011届数学高考复习全套精品课件：第03单元第2节 指数与指数函数

1、第二节 指数与指数函数根底梳理1. 整数指数幂(1)整数指数幂概念: . ; .1(2)整数指数幂的运算性质 = . = .2021届高考迎考复习更多资源请点击： :/高中教学网 = (m,nZ,a0); = (nZ).a的n次实数方根.2. 分数指数幂一般地,如果一个实数x满足，那么称x为 .当n是奇数时, . 当n是偶数时 .= . .a3. 有理指数幂的运算性质 ,其中s,tQ,a0,b0.4. 指数函数的定义一般地，函数 叫做指数函数.y=ax(a0,a1)5. 指数函数的图象与性质y=axa10a0时, ;当x0时, ;当x10y10y1R(0,1)(0,+)典例分析题型一 指数的运

2、算【例1 】化简或计算以下各式.(3)a,b是方程 的两个根，且ab0，求 的值分析 有理指数幂的运算应注意“化小数位分数、“化根式为分数指数幂的原那么。解 (1)原式= (2)原式=（3）由条件知a+b=6，ab=4,又ab0，所以学后反思 1当条件给出小数或根式形式时，一般要化小数为分数，化根式为分数指数幂。(2)对于计算结果，如果条件用分数指数幂给出，结果一般也用分数指数幂的形式给出；如果条件用根是形式给出，结果也往往采用根是形式。(3)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。举一反三1.计算：(1)(2)(3)若 ，求 的值。解析 1原式=2原式=(3)题型二 指数

3、函数图象的应用【例2】已知函数 ,(1)作出函数图象;(2)指出该函数的单调递增区间;(3)求值域.分析 此题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函数的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间和最值.解 (1)由函数解析式可得其图象分成两部分:一部分是 的图象,由下列变换可得到: 向左平移2个单位 另一部分 的图象,由下列变换可得到: 向左平移2个单位如图为函数 的图象.(2)由图象观察知函数在(-,-2 上是增函数.(3)由图象观察知,x=-2时,函数 有最大值,最大值为1,没有最小值.故其值域为(0,1 .向左平移2个单位学后反思 （1）本例也可以不考虑去调绝对值符号，而是直接

4、用图像变换（平移、伸缩、对称）作为，作为如下： 保留x0部分，将它沿y轴翻折得x0的部分（2）y=f(x) y=保留y轴右边图像，并做其关于y轴对称图像去掉y轴左边图像保留x轴上方的图像将x轴下方图像翻折上去举一反三2. 指数函数 的图象如图所示,则二次函数 的顶点横坐标的取值范围是_解析 由图可知指数函数 是减函数,所以0 1,而二次函数 的顶点横坐为 ,所以 ,即二次函数的顶点横坐标的取值范围是答案：题型三 指数函数性质的应用【例3】求下列函数的定义域和值域。分析 指数函数 的定义域为R，所以 的定义域与f(x)定义域相同；值域则要应用其单调性来求，复合函数则要注意“同增异减”的原则。解

5、（1）定义域为R，因为-x+10,所以 ，所以值域为（2）因为 恒成立，所以定义域为R，又因为 ，而 ，所以 ，所以，因此值域为（0，1） (3)由 ，解得-4x 1，所以函数y= 的定义域为-4,1,设 易得u在 是取得最大值 ,在x=-1或1时，取最小值0， 即 。所以函数 的值域为，即函数的值域为即函数 的值域为学后反思 弄清复合函数的复合过程，利用“同增异减结论，准确判断其单调性。举一反三3.下列函数中值域为正实数集的是 。 解析 对， 的值域为正实数集，而1-xR, 的值域为正实数集; 中，当x=0时， 中，y取不到1；的值域为0,1)答案： 题型四 指数函数性质的综合应用【例4】(

6、14分)已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x(0,1)时(1)求f(x)在 -1,1 上的解析式;(2)求证:f(x)在(0,1)上是减函数.分析 求f(x)在 -1,1 上的解析式,可以先求f(x)在(-1,0上的解析式,再去关注x=1,0三点时的函数值,要注意应用奇偶性和周期性;利用单调性定义来证明.解 (1)当x(-1,0)时,-x(0,1),f(x)是奇函数, 2由f(0)=-f(0),且f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(1)=0.4在区间 -1,1 上,有6 (2)证明：当x(0,1)时, 设 ,8则 f(x)在(0,1)上是

7、减函数.14学后反思 本题以指数运算、指数函数的性质为基础进行整合,考查了指数函数及其性质.第(1)问求f(x)的解析式时,易漏掉对x=-1,0,1的讨论;第(2)问对 的证明易忽视.举一反三4.(2009无锡质检）已知函数 是奇函数（aR)（1）求实数a的值；（2）试判断函数f(x)在(-,+)上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的tR，不等式 恒成立，求实数m的取值范围.解析 （1）由题意可得 f(x)是奇函数，f(-x)=f(x)即 ，整理得a-2=-a,即a=1f(x)=1-(2)设 是区间（-，+）内的任意两个值，且则 ，即 f(x)是（-，+）上的增函数。（3）由(2)知，f(x)是(-,+)上的增函数，且是奇函数。即 对任意tR恒成立只需解得-6m-2易错警示【例】求函数 的值域错解 设 ，则3，故 ，从而 的值域为-3,+)考点演练10.求函数 的单调递增区间 解析 设当x(-,3时，u(x)为减函数，又 为减函数所以函数 在(-,3上为增函数11.函数 的定义域为集合A，关于x的不等式 的解集为B，求使AB=A的实数a的取值范围解析 由 ，得1x 2 ,即A=x10,即a 时，又AB