五年级下册奥数专题牛吃草问题

1、牛吃草问题知识要点一、定义英国大科学家牛顿在他所著通算术一中曾提出一个有趣的数学问格为牧 场面积单位有三片牧场 , 场上的草长得一样密 并且长的速度一样快 , 它的面积分别是三又三分之 一格尔、 尔和 24 格尔。第一片牧场的草饲养 头可以吃 4 个期第片牧场的草 饲养 头牛可以吃 个星问在第三片牧场上放多少头牛可以吃 个星期？这个问题被人们称为牛顿问题,也就是我们平常说的牛吃草问题。二、特点牛吃草问题其实就是消长问题问题的主要特征是：同一数量一方面增,另一方面减 少 朝个方向同时变化。如牛吃草问中 ,草长使草量匀速增加 牛草却使草量逐渐减 少。在“牛吃草”问题中因为草每天都在生,草的数量在不

2、断变,也就是说这类问题的 工作总量是不固定的一在均匀变化。数量关系分析：在牛吃草问题中我们一般把一头牛一天的吃草量看作一个单位的草,为牧草的计量 单位。在这个问题中主要研究牧场原有草量、每日新增草量（即牧草生长速度饲养数 量、饲养时这四个数量之间的关系。一头牛一天吃一个单位的草量。如果养牛头数等于或小于每日新增草,无需动用牧场原有草量,这个牧场就会像个聚 宝盆一样供这些牛永远吃下去草远不完；如果养牛头数大于每日新增草,们可以理解为,日新增的草先喂养了同等数量的, 而多出的牛则需要吃牧场原有的牧场中原有的草以供这些多出的牛吃多少这个牧场 草就可以供这些牛吃多少天有草吃完,增草未生长,就理解为牧场

3、的草吃完了此类问题中的基本数量关系有：牛的头数对的吃的天数总草量；牛的头数每日新增草量数多出牛的头数；每日新增草量（较长时间总草量同一牧场较短时间总草量相差天数；原有草量对应总草量每日新增草天；吃的天数原有草量多出牛头数；牛的头数原有草量天数日新增草量数。【解题方法介绍上面牛顿提出的牛吃草问,比较复三面积不同的牧场需要进行几次转化解。 本讲只学习较简单的牛吃草问题（同一片牧场）,及量关系、解题方法与之相似的消长问 题。解题时,般要先根据题中的条件（每日消耗数量等先出每日新增数量和原数, 再根据上面的数量关求出对应的时间个体数量。典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变 ,同头数的牛吃光

4、同一片草地 所需的天数各不相同求干头牛吃这片草地可以吃多少。由于吃的天数不草又是天天 在生长所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。式设定一头牛一天吃草量为1” 草生长速=（对应的牛头数吃的较多的数相应的牛头数吃的较少的天数） （吃的较多的天数吃得较少的天数） 有草=牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数 的天=原有草量（牛头数草的生长速度） 头数=有草量吃的天数+的生长速度由于牛在吃草的过程,是不断生长所以解决消长问题的重点要想办法从变化中 找到不变量。牧场上原有的草是不变的 ,新长草虽然在变化 ,但于是匀速生长 以每天 新长出的草量应该是不变的。正由于这个不变才能导出上面的四个基本式。牛吃草的问题

5、经常给出不同头数的牛吃同一片草地 ,这既有原有的草 ,又有每天新长出的 草。由于吃草的牛头数不,若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题的关键弄楚已知条件,进行对比分,而求出每日新长草的数再求出草地 里原有的草进而解答问题。解决多块草地的方法多块草地的“牛吃草”问题 ,一情况下找多块草地的最小公倍数 ,这可以减少运算难度 , 但如果数据较大我们一般把面积统一1相对简单些。精解名题例 1 牧场长满牧草,每天都匀速生长。这片牧场可供 27 头牛 6 天或 23 头吃 9 天问 可供 头牛几天？【分析片场上的牧草的数每天在变化题的关键应找到不变量即原 来的牧草数量因总草量可以成两部分有的草与新长出的

6、草新长出的草虽然 在变,但应注意到它是匀速生长,而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。举一反三【思考 1】一片草地,每天都匀长出青,如果可供 24 头吃 天或 头牛 10 天,那 么可供 18 头牛几天？例 2 因天寒,牧场上的草不不生,反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草 可供 头牛 5 天可 头吃 6 照此计算这个牧场可供多少头牛吃 10 天【分析 1 不的,不但没新长出的,而且原有的草还在匀速减,但是 我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量举一反三【思考 2】由于天气逐渐变冷,牧上的草每天以固定的速度在减,经计算牧上的草可 供 头牛 吃 5 天或供 16 头

7、牛吃 天。么可供 11 头吃几天？总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的 ,新长的草虽然在变化 , 但是因为是匀速生长,所以每天长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天 新长出的草问就会迎刃而解。知识衍变例 3 两只牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下,只蜗牛的爬行速度是不同的 一只每天爬行 20 分米另只每天爬行 分米往下两只蜗牛滑行的速度却是相同 的结一只蜗牛恰好用了 5 个昼夜到达井,一只恰好用了 6 个夜到达井底。那,井 深多少米？例 4 一条有一个漏洞水均的速度漏进船,发现时船舱内已进了一些水。如果用 10 人舀水3 小舀完。如果只有 个舀,要 8 小才

8、能舀完。现在要想在 2 小舀完, 需要多少人舀水？【分析】典型的“牛吃草”问,找出“牛”和“草”是解题的关键解析： 把人每小时舀水量作一份。船内 8 小时总水量与 3 小总水量之差,是多出 小进船的水。先求出船内每小时 进水量：（）（83）2份再用 小时后船内总水,减去 时的进水,求出发现漏水时船内已有进水量：23（份最后用 2 小时后船内总水量除以时间 2 小,求出安排舀水的人数：（24）2（人举一反三【思考 4一个水池,池底有泉水断涌,用 10 抽水机 20 小可以把水抽,用 15 部 同的抽水机 10 小时把水抽干。那么用 25 部这的抽水机多少小时可以把水抽干？例 5 有一场长满牧草,

9、牧草每匀速生这个牧场可供 17 牛吃 30 天可 19 头吃 24 天现有若干头牛在吃, 天后4 头死余下的牛吃了 2 天草吃完问来有牛 多少头？【分析吃”问题的特点是随时间的增,研究的量也等量地增加。解答,要抓住 这个关键问,也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。举一反三【思考 5】一个牧场上的青草每都匀速生长。这片青草可供 27 头吃 6 天或 23 头 吃 9 天现一群牛吃了 4 天后掉 头,余下的牛又吃了 天将草吃完牛来有多少 头？25 头头每天的吃草量为 1 份新生的草量） =15 份,原有的草量为（27-15）6=72 份如两头牛不卖,群牛在 4+4=8 天内草 量 份。所以

10、这群牛原来有 2008=25 头例 6 有三草,面积分别为 5 公,6 公顷 公顷地公顷的草量相同而且长的一 样快,第一块草地可供 11 头牛吃 10 天第二块草地可供 12 牛吃 14 天第三块草地可供 19 头牛吃多少天？【分析】由题目可知,这是三块积不同的草,为了解决这个问题首先要将这三块草地的 面积统一起来。备选例题、 画展馆 9 时开门,是早有人前来排队等候入从第一个观众到,分钟来的观众人 数一样多如果开 3 个场, 时 分就不再有人排队果 5 个入场口9 时 分就没有 人排队问第一个观众到达的时间是几时几分？【解析把每分钟每个入场口的人流量看作一份。 入场口 分入场总人数与 个场口

11、 5 分入场总人数的差就多出 钟新增 加的人数。先求出展馆门口每分钟新增人数：（55（9）（再求出开门时已有人数：9322.5（份最后求出展馆门口累计 份人数的时间：（分钟 时45 分 时 分所以第一个观众到达的时间是 8 时 分。、 某库建有 10 个泄,现在水库的水位已经超过安全警戒,上游的河水还 在按一不变的速度增加防,需开闸泄洪每个闸门泄洪的速度相,经测算 若打开一个泄洪闸,30 小水位降到安全,若开两个泄洪,10 小时位降到安全 线。现在抗洪指挥部要求在 5.5 时内使水位降到安全,问：至少要同时打开几个闸 门？4 个设 1 泄洪闸 1 时的泄水量为 1 份。（1）水库中每时增加的上

12、游河水量（130-210）（30-10 （份）（2）水库中原的超过安全线的水量为：（份）（3）在 小时内共泄出的水是： 17.75（份）（4）至少要开闸门个数为：17.755.54（个（采用“进 1”法值）巩固练习1.一块牧场长满了草,每天均匀长。这块牧场的草可供 10 头牛吃 天供 15 头牛吃 20 天可供 头牛吃天。 （ A. 10 B. 5 C. 20A）假设 1 头牛 天吃草的量 1 份。每天新的草量为 (1040-1520)（40-20）=5份 那么愿草为： （份）排 5 头牛专门吃每天新长出的草 块牧场可供 25 头 牛吃：（25-5 ）=10 （天2.一块草地上的草以均匀的速度

13、,如果 20 只羊 5 天以将草地上的草和新长出 的草全部吃,而 14 只羊则要 10 天光。那么想用 天时,把这块草地的草吃光需要只羊。（B）A. 22 B. 23 C. 24假设 1 只羊 1 天吃草的量为 1 份。每天新生草量是（1410-205）（10-5 ）=8 （份）原草 量是：份）安排 8 只羊专门吃每新长出来的草,4 天时吃光这块草地共需羊： 23（只3经测算地上的资源可供 100 人生活 100 年或 可 80 亿生活 年 假设地球新生成的资源增长速度是一样的为了满足人类不断发展的要,地球最 多只能养活（ 70 ）亿人。设 1 人 1 所消耗资源为 1 份那么地球每年新生成的

14、资源量 ）（300-100）=70份）只有当地每年新生资源不少于耗点的资源时 地球上的资源才不于逐渐减 ,能满足人 类不断发的需要。所以地球最只能养活： 亿人）4. 快中慢车同时从 A 地发追赶一辆正在行驶的自行车三车的速度分别 是每小时 24 千、 千、 千。快车追上自行车用了 6 小时中车追上自行车用 了 10 小,慢车追上自行车用（ 12 ）时。自行车的度是（2010-246）（10-6）=14 （千米时）三车出发自行车距 A ）6=60 （千米）慢车追上行车所用的时间为：（19-14 （小时）5. 一池中原有一些水 ,装一根进水管 ,若干抽水管。进水管不断进水 ,若用 24 根抽水管抽

15、水,6 小时可以把中的水抽那么用 根水管（ 18 ）时 可将可将水池中的水抽干。设 1 抽水管每小时抽水量为 。（1）进水管每时卸货量是（218-246）（8-6 ）=12（份）（2）水池中原的水量为：72 （份）（3）16 根抽水 ,要将水池中水全部抽干需： 72 ）=18 （时）6. 某头剖不断有货轮卸下货,又不断用汽车把货物运,用 9 辆汽, 小 时可以把它们运完,如用 8 辆车16 小时以把它们运完。如果开始只用 3 辆 车10 小后增加若干,再过 时也能运那么后来增加的汽车是（ 19 ） 辆。设每两汽每小时运的货物为 1 份。（1）进水管每时的进水量为（816-912（16-12 ）

16、=5份）（2）码头原有物量是： （份）（3）3 辆汽车运 10 小时后还有货物是： 48+ （5-3）10=68（份）（4）后来增加汽车辆数是（68+45 （辆）7有一片草地,每都在匀速生这片草可供 16 头吃 20 ,可供 80 只羊 12 天。如果一头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草,那么 牛与 60 只一起吃可以吃多 少天？ （1）按牛的吃量来计算 ,80 只羊相当于 804=20 头）牛。（2）设 1 牛 1 的吃草量为 。（3）先求出这草地每天新生长的草量（1620-2012（20-12（份）（4）再求出草上原有的草量： （份）（5）最后求出 头牛与 60 只一起吃的数：120 ）=8

17、（天）8. 现速度不变的甲、乙两,果甲车以现在速度的 去追乙车,5 小时后能 追上,如果甲车以现在的速度去乙,3 小时能追上。那么甲车以现在的速度去, 几小时后能追上乙车15 小时设甲车现的速度为每小时行单“ 1么乙车的速度为： ）=0.5乙车原来甲车的距离为：7.5所以甲车现在的速度去追 ,追及的时间为：（1-0.5 （小时）自我测试1、牧场上的牧草每天均匀生,这草地可供 头牛吃 6 ,可供 13 头吃 12 天 多少头牛 4 天草地的草吃?2、有牧场,21 头 20 天可草吃,25 头则 15 天可将草吃,现有牛若干,吃 6 天后卖了 4 头余的牛再吃 2 天将草吃问原有牛多少?3、22

18、头,吃 33 公亩牧场的草 54 夭可吃, 17 头吃同样牧场 28 公的, 天 可吃尽请问几头牛吃同样牧场 40 公亩的,24 天可吃?4、某火车站检票口在票开始前已有些人排,检票开始后每分钟有 10 人来 队检票检票口每分钟能让 25 检票进站如果只有个检票口检开始 分钟后就没有人排队；如果有两个检票,么检票开始后多少分钟就没有人排?5、甲乙丙三个仓库各放着同数量的大,甲仓库用皮带输送机台和 12 个 人 5 小时把甲仓库搬空,乙仓库用皮带输送机台和 28 个人 3 小把乙仓库搬 空仓库有皮带输送机 2 台如要 2 小把丙仓库搬同时还需要多少名工?6、牧场上片牧草,可供 27 只羊吃 ；或者供 23 只吃 9 天如果牧草每周匀速生 长可 21 只羊吃几天7、片牧草每生长的速度相同现在这片牧草可供 16 头吃 20 天或可供 80只羊吃 12 天如 l 头的吃草量等于 4 只的吃草,么 头牛 60 只 起吃可以吃多少天?8、陕北某村有块草场 ,假每天草都均匀生长 这片草场经过测算可供 100 只羊吃 200 天或供 150 只吃 100 天问：如果放牧 250 只羊以吃多少天?放牧这么 多羊对吗?为防止草场沙化,这片地最多可以放牧多少只