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期末总复习典型题苏教版八年级上册

期末总复习典型题1第一章全等三角形第三章勾股定理CONTENT目录第二章轴对称图形第四章实数第五章平面直角坐标系第四章一次函数第一章全等三角形第三章勾股定理CONTENT目录第二章2

第一章

全等三角形

第一章

全等三角形3全等形全等三角形性质判定应用HL全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等解决问题SSSSASASAAAS一般三角形直角三角形知识结构图全等形全等三角形性质判定应用HL全等三角形对应边相等全等三角4三角形全等判定方法1用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)知识梳理:FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF三角形全等判定方法1用符号语言表达为：在△ABC与△DEF5∠A=∠D（已知）AB=DE（已知）∠B=∠E（已知）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）

有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。用符号语言表达为：FEDCBA三角形全等判定方法2知识梳理:∠A=∠D（已知）在△ABC和△DEF中∴△ABC≌6

三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。ABCDEF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：三角形全等判定方法3知识梳理:三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边7知识梳理:

思考:在△ABC和△DFE中,当∠A=∠D,∠B=∠E和AC=DF时,能否得到△ABC≌△DFE?三角形全等判定方法4

有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）。知识梳理:思考:在△ABC和△DFE中,当∠8知识梳理:ABDABCSSA不能判定全等ABC知识梳理:ABDABCSSA不能判定全等ABC9ABCA′B′C′知识梳理:直角三角形全等判定：HLABCA′B′C′知识梳理:直角三角形全等判定：HL10用符号语言表达为：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中∠C=∠C'=90̊AB=A'B'AC=A'C'∴△ABC≌△A'B'C'（HL)用符号语言表达为：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中∠C=11二、几种常见全等三角形基本图形平移二、几种常见全等三角形基本图形平移12旋转旋转13翻折翻折14ACDEFG找找复杂图形中的基本图形设计意图：知道了这几种基本图形，那么在解决全等三角形问题时，就容易从复杂的图形中分解出基本图形，解题就会变得简便。ACDEFG找找复杂图形中的基本图形设计意图：知道了这几种基15典型题型1、证明两个三角形全等2、证明两个角相等3、证明两条线段相等典型题型1、证明两个三角形全等16一、全等三角形性质应用1：如图，△AOB≌△COD，AB=7,∠C=60°则CD=

,∠A=

.ABCDO760°一、全等三角形性质应用1：如图，△AOB≌△COD，AB=717一、全等三角形性质应用2：已知△ABC≌△DEF，∠

A=60°,∠C=50°则∠E=

.70̊解析；全等三角形对应角相等一、全等三角形性质应用2：已知△ABC≌△DEF，∠A=18一、全等三角形性质应用3：如图，△ABC≌△DEF，DE=4，AE=1，则BE的长是（）A．5 B．4 C．3 D．2C解析；全等三角形对应边相等。既AB=ED,BE=AB-AE一、全等三角形性质应用3：如图，△ABC≌△DEF，DE=4191、证明两个三角形全等例1：如图,点B在AE上,∠CAB=∠DAB,要使ΔABC≌ΔABD,可补充的一个条件是

.分析：现在我们已知

A→∠CAB=∠DAB①用SAS,需要补充条件AD=AC,

②用ASA,需要补充条件∠CBA=∠DBA,

③用AAS,需要补充条件∠C=∠D,④此外,补充条件∠CBE=∠DBE也可以(?)

SASASAAASS→AB=AB(公共边).AD=AC∠CBA=∠DBA∠C=∠D∠CBE=∠DBE1、证明两个三角形全等例1：如图,点B在AE上,∠CAB=202.已知：如图，AB=AC,∠1=∠3,请你再添一个条件，使得∠E=∠D？为什么？1.已知：如图，AB=AC,AD=AE,请你再添一个条件，使得∠E=∠D？为什么？

2、证明两个角相等变式题：2.已知：如图，AB=AC,∠1=∠3,请你再添一个条件21∵BE=EB(公共边)又∵AC∥DB(已知)∠DBE=∠CEB(两直线平行,内错角相等)例3:如图,AC∥DB,AC=2DB,E是AC的中点,求证:BC=DE证明:∵AC=2DB,AE=EC(已知)∴DB=ECDB=ECBE=EB∴ΔDBE≌ΔCEB(SAS)∴BC=DE(全等三角形的对应边相等)3、证明两条线段相等∵BE=EB(公共边)又∵AC∥DB(已知)∠DBE=22例4如图,A,E,B,D在同一直线上,AB=DE,AC=DF,AC∥DF,在ΔABC和ΔDEF,(1)求证:ΔABC≌ΔDEF;(2)你还可以得到的结论是

.(写出一个,不再添加其他线段,不再表注或使用其他字母)(1)证明:∵AC∥DF(已知)∴∠A=∠D(两直线平行,内错角相等)AB=DE(已知)∠A=∠D(已证)AC=DF(已知)∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)在ΔABC和ΔDEF中综合题：例4如图,A,E,B,D在同一直线上,AB=DE,AC23（2）解:根据”全等三角形的对应边(角)相等”可知:②∠C=∠F,③∠ABC=∠DEF,④EF∥BC,⑤AE=DB等①BC=EF,（2）解:根据”全等三角形的对应边(角)相等”可知:②∠C=24综合题:如图,A是CD上的一点,⊿ABC,⊿ADE都是正三角形,求证CE=BDBACDEFG分析:证⊿ABD≌⊿ACE综合题:BACDEFG分析:证⊿ABD≌⊿ACE25变式1:在原题条件不变的前提下,可以探求以下结论:(1)求证:AG=AF;(2)求证:⊿ABF≌⊿ACG;(3)连结GF,求证⊿AGF是正三角形;(4)求证GF//CD变式2:在原题条件下,再增加一个条件,在CE,BD上分别取中点M,N,求证:⊿AMN是正三角形如图,A是CD上的一点,⊿ABC,⊿ADE都是正三角形,求证CE=BDACDEFGB变式1:在原题条件不变的前提下,可以探求以下结论:(1)求证26变式3:如图,点C为线段AB延长线上一点,⊿AMC,⊿BNC为正三角形,且在线段AB同侧,求证AN=MBABCNM分析:此中考题与原题相比较,只是两个三角形的位置不同,此图的两个三角形重叠在一起,增加了难度,其证明方法与前题基本相同,只须证明⊿ABN≌⊿BCM变式3:如图,点C为线段AB延长线上一点,⊿AMC,⊿BNC27变式4:如图,⊿ABD,⊿ACE都是正三角形,求证CD=BEABCDE分析:此题实质上是把题目中的条件B,A,C三点改为不共线,证明方法与前题基本相同.变式4:如图,⊿ABD,⊿ACE都是正三角形,求证CD=BE28变式6:如图,分别以⊿ABC的边AB,AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG,连结CE,BG.求证BG=CEABCFGED分析:此题是把两个三角形改成两个正方形而以,证法类同变式6:如图,分别以⊿ABC的边AB,AC为一边画正方形AE291.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法

2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时

①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。③有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角

小结:3.注意正确地书写证明格式(顺序和对应关系).1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判30例题一:

已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件求证:ΔABC≌ΔDEFDEFABC(1)若要以“SAS”为依据，还缺条件

＿＿＿＿＿；

AB=DE(2)若要以“ASA”为依据，还缺条件＿＿＿＿；∠ACB=∠DFE(3)若要以“AAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿

∠A=∠D(4)若要以“SSS”为依据，还缺条件＿＿＿

AB=DEAC=DF(5)若∠B=∠DEF=90°要以“HL”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿AC=DF例题一:已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件求证31例2、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是拿()去配.例2、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻32证明题的分析思路：①要证什么②已有什么③还缺什么④创造条件注意1、证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法

2、全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时

①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。②有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。证明题的分析思路：①要证什么注意1、证明两个三角形全33==__ABCDP例3已知：如图,P是BD上的任意一点AB=CB,AD=CD.求证:PA=PC①要证明PA=PC可将其放在ΔAPB和ΔCPB或ΔAPD和ΔCPD考虑②已有两条边对应相等（其中一条是公共边）

③还缺一组夹角对应相等

若能使∠ABP=∠CBP或∠ADP=∠CDP即可。

创造条件

分析：==__ABCDP例3已知：如图,P是BD上的任意一点AB=34==__ABCDP例3已知：P是BD上的任意一点AB=CB,AD=CD.求证PA=PC证明：在△ABD和△CBD中

AB=CBAD=CDBD=BD∴△ABD≌△CBD(SSS)∴∠ABD=∠CBD

在△ABP和△CBP中

AB=BC∠ABP=∠CBPBP=BP∴△ABP≌△CBP(SAS)∴PA=PC==__ABCDP例3已知：P是BD上的任意一点AB=CB,35例4。已知:如图AB=AE,∠B=∠E，BC=ED

AF⊥CD求证：点F是CD的中点分析：要证CF=DF可以考虑CF、DF所在的两个三角形全等，为此可添加辅助线构建三角形全等，如何添加辅助线呢?已有AB=AE,∠B=∠E，BC=ED

怎样构建三角形能得到两个三角形全等呢？连结AC,AD

添加辅助线是几何证明中很重要的一种思路

例4。已知:如图AB=AE,∠B=∠E，BC=EDAF36证明：连结ＡＣ和ＡＤ∵在△ＡＢＣ和△ＡＥＤ中，ＡＢ＝ＡＥ，∠B=∠E，ＢＣ＝ＥＤ∴△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ（ＳＡＳ）∴ＡＣ＝ＡＤ（全等三角形的对应边相等）∵ＡＦ⊥ＣＤ∴∠AFC=∠AFD=90°，在Ｒt△AFC和Ｒt△AFD中ＡＣ＝ＡＤ（已证）ＡＦ＝ＡＦ（公共边）∴Ｒt△AFC≌Ｒt△AFD（ＨＬ）∴ＣＦ＝ＦＤ（全等三角形的对应边相等）∴点F是CD的中点证明：连结ＡＣ和ＡＤ37如果把例4来个变身，聪明的同学们来再试身手吧！已知:如图AB=AE,∠B=∠E，BC=ED，点F是CD的中点

(1)求证：AF⊥CD(2)连接BE后，还能得出什么结论？（写出两个)如果把例4来个变身，聪明的同学们来再试身手吧！已知:如图AB38小结：1、全等三角形的定义，性质，判定方法。2、证明题的方法

①要证什么②已有什么③还缺什么④创造条件

3、添加辅助线小结：39

第二章

轴对称图形

第二章

轴对称图形40一、知识概况

本章着重研究轴对称的概念，性质，轴对称的作图，应用，以及轴对称图形和几个常见的轴对称图形的性质和判定。一、知识概况本章着重研究轴对称的概念，性质，轴41

如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

（一）轴对称和轴对称图形1、概念如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形422、轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等；如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。2、轴对称的性质：43（二）几个轴对称图形的性质：1、线段、射线、直线。

线段是轴对称图形，它有两条对称轴，它的对称轴是它所在的直线，和线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。（二）几个轴对称图形的性质：1、线段、射线、直线。442、角：角是轴对称图形，它的对称轴是它的角平分线所在的直线。

角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。3、等腰三角形→等边三角形2、角：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的45二、重、难点剖析1、轴对称和轴对称图形的区别和联系。区别：轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。对称轴只有一条。轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。对称轴可能会有多条。二、重、难点剖析1、轴对称和轴对称图形的区别和联系。区别：46

联系：两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。联系：472、轴对称的性质和几个简单的轴对称图形的性质，是这部分的重点知识，应引起足够的重视。3、轴对称的实际应用应提高到足够的地位。4、用对称的眼光看问题，解决问题，指导辅助线的添加。2、轴对称的性质和几个简单的轴对称图形的性质，是这部分48例1：如图，如果△ACD的周长为17cm，△ABC的周长为25cm，根据这些条件，你可以求出哪条线段的长?思路点拨：（1）△ACD的周长＝AD＋CD＋AC＝17；（2）△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝25；（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；所以AD＋CD＝AD＋BD＝AB。（4）由（2）－（1）得BC＝8cm.例1：如图，如果△ACD的周长为17cm，△ABC的周长为249小结点评：（2）当条件中有线段的垂直平分线时，要主动去寻找相等线段。（1）分析题意时，要将复杂条件简单化、具体化。小结点评：（2）当条件中有线段的垂直平分线时，要主动去寻找相50例2：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，把△ADC沿直线AD折过来，C落在C′的位置，（1）在图中找出点C′，连结BC′；（2）如果BC＝4，求BC′的长。例2：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，把△AD51思路点拨：

由于翻折后的图形与翻折前的图形关于折痕对称；所以C、C′关于直线AD对称，AD垂直平分CC′，C′

又处于对称位置的元素（线段、角）对应相等，这为问题解决提供了条件。思路点拨：由于翻折后的图形与翻折前的图形关于折痕对称52C′解：（1）画CO垂直AB，并延长到C′，使得OC′＝OC，点C′即为所求。O（2）连结C′D，由对称性得CD＝CD′，∠CDA＝∠CDA＝60°；所以∠BDC＝60°，所以，△C′BD是等边三角形，所以，BC′＝BD＝2。C′解：（1）画CO垂直AB，并延长到C′，使得OC′＝O53C′小结点评：1、翻折变换后得到的图形与原图形关于折痕对称；对应点的连线段被折痕垂直平分；2、解决翻折问题，要注意隐含在图形中的相等线段、相等角，全等三角形；因为一切处于对称位置的线段相等，角相等，三角形全等。3、从对称角度完善图形，让隐含条件显现出来，这是这部分题目添加辅助线的一个重要规律。C′小结点评：1、翻折变换后得到的图形与原图形关于54练习2．如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q。若击打小球P经过球台的边AB反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准AB边上的（）A、O1点B、O2点C、O3点D、O4点B练习2．如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q。55最新苏教版八年级数学课件56

第三章

勾股定理

第三章

勾股定理571.如图，已知在△ABC

中，∠B

=90°，一直角边为a，斜边为b，则另一直角边c满足c2

=

.【思考】为什么不是？答案：因为∠B

所对的边是斜边.答案：（一）知两边或一边一角型题型一勾股定理的直接应用考题分类1.如图，已知在△ABC中，∠B=90°，一直角边为a，58

2.在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）如果a=3，b=4，则c=

；（2）如果a=6，c=10，则b=

；（3）如果c=13，b=12，则a=

；（4）已知b=3，∠A=30°，求a，c.585（一）知两边或一边一角型答案:（4）a=

，c=.2.在Rt△ABC中，∠C=90°.585（一）知两边或一591.如图，已知在△ABC中，∠B=90°，若BC＝4，AB＝x

，AC=8-x，则AB=

,AC=

.2.在Rt△ABC中,∠B=90°，b=34,a:c=8:15,则a=

,c=

.3.（选做题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12,c-b=8,求b,c.答案：3.b=5，c=13.351630（二）知一边及另两边关系型1.如图，已知在△ABC中，∠B=90°，若BC＝4，601.对三角形边的分类.

已知一个直角三角形的两条边长是3cm和4cm，求第三条边的长．注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，所以4cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论．答案：5cm或

cm.（三）分类讨论的题型1.对三角形边的分类.答案：5cm或cm.（三61已知：在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm，求S△ABC．答案：第1种情况：如图1，在Rt△ADB和Rt△ADC中，分别由勾股定理，得BD＝9，CD＝5，所以BC＝BD+CD＝9+5＝14．故S△ABC＝84（cm2）．第2种情况，如图2，可得：S△ABC=24（

cm2）．

2.对三角形高的分类.图1图2（三）分类讨论的题型已知：在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高A62【思考】本组题，利用勾股定理解决了哪些类型题目？注意事项是什么？

利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段的长度.注意没有图形的题目，先画图，再考虑是否需分类讨论.【思考】本组题，利用勾股定理解决了哪些类型题目？注意事项是什631.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）A．一定不会 B．可能会 C．一定会 D．以上答案都不对A题型二用勾股定理解决简单的实际问题1.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在642.如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？AECBD答案：解：设AE的长为x

米，依题意得CE=AC-x,∵AB=DE=2.5,BC=1.5,∠C=90°，∴AC=2.∵BD=0.5,∴AC=2.∴在Rt△ECD中，CE=1.5.∴2-x=1.5，x=0.5.即AE=0.5.答：梯子下滑0.5米．2.如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB65思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？Zx```xk答案：1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角形.2.在直角三角形中找出直角边，斜边.3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？Zx``661．证明线段相等.已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12.求证：△ABC是等腰三角形.答案：证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵在Rt△ADB中，AB=10，AD=8，∴BD=6.∵BC=12,∴DC=6.∵在Rt△ADC中，AD=8，∴AC=10，∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.

分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段AC的长，最后得出AB=AC，即可.题型三会用勾股定理解决较综合的问题1．证明线段相等.答案：证明：∵AD是△ABC的高，∴∠AD67【思考1】由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？请在图中标出来.答案：AD=10，DC=8.2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.【思考1】由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？请在682．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.【思考2】

在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？请在图中标出来.答案：

DF=6.2．解决折叠的问题.【思考2】在Rt△DFC中，你可以求出692．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.答案：AF=4.【思考3】

由DF的长，你还可以求出哪条线段长？请在图中标出来.2．解决折叠的问题.答案：AF=4.【思考3】由DF的702．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.【思考4】

设BE=x，你可以用含有x的式子表示出哪些线段长？请在图中标出来.答案：EF=x，AE=8-x，CF=10.2．解决折叠的问题.【思考4】设BE=x，你可以用含有712．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.Z```xxk【思考5】

你在哪个直角三角形中，应用勾股定理建立方程？你建立的方程是

.答案：直角三角形△AEF,∵∠A=90°,AE=8-x，

∴

.2．解决折叠的问题.【思考5】你在哪个直角三角形中，应用勾722．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.【思考6】

图中共有几个直角三角形？每一个直角三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？答案：四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化，一个用来知二求一，最后一个建立方程.2．解决折叠的问题.【思考6】图中共有几个直角三角形？每一732．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.【思考7】

请把你的解答过程写下来.答案：

设BE=x，折叠，∴△BCE≌△FCE，

∴BC=FC=10.令BE=FE=x，长方形ABCD，∴AB=DC=8，AD=BC=10，∠D=90°，∴DF=6,AF=4，∠A=90°,AE=8-x

，

∴，解得x=5.∴BE的长为5.2．解决折叠的问题.【思考7】请把你的解答过程写下来.答案743.做高线，构造直角三角形.已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2.求（1）BC的长；（2）S△ABC

.

分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以添加BC边上的高这条辅助线，就可以求得BC及S△ABC

.3.做高线，构造直角三角形.分析75答案：过点A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=2，∴AD=BD=.∵在△ABD中，∠ADC=90°，∠C=60°，AD=，∴CD=,∴BC=，S△ABC

=1+3.做高线，构造直角三角形.已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2.求（1）BC

的长；（2）S△ABC

.

答案：过点A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°.76思考

：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？

解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三角形，利用勾股定理解决问题.思考：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？77思考：利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造直角三角形.将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中.利用勾股定理列出方程.解方程，求线段长，最后完成解题.思考：利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？画图与标图，根781．下列线段不能组成直角三角形的是（）

A．a=8，b=15，c=17B．a=9，b=12，c=15C．a=，b=，c=D．a：b：c=2：3：42.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（）Ａ．CD,EF,GHＢ．AB,EF,GHＣ．AB,CD,GHＤ．AB,CD,EFCEBHDFAGDB题型四勾股定理的逆定理的应用1．下列线段不能组成直角三角形的是（）CEBHDFA79已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC.求四边形ABCD的面积.分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理的逆定理判定△ADC的形状为直角三角形，再利用勾股定理解题.答案：连接AC,∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°.∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC=.∵CD=2，AD=3,∴△ACD是直角三角形；∴四边形的面积为1+.已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，A80由形到数实际问题(直角三角形边长计算)勾股定理勾股定理的逆定理实际问题(判定直角三角形)由数到形互逆定理复习归纳由形到数实际问题勾股定理勾股定理的逆定理实际问题由数到形互逆81勾股定理勾股定理的逆定理题设在Rt△ABC

中,∠C=900在△ABC

中,三边a,b,c满足a2+b2=c2结论a2+b2=c2∠C=900作用1.用勾股定理进行计算2.证明与平方有关的问题3.解决实际问题1.判断某三角形是否为直角三角形2.解决实际问题联系1.两个定理都与“三角形的三边关系a2+b2=c2”有关;2.都与直角三角形有关；3.都是数形结合思想的体现.勾股定理勾股定理的逆定理题设在Rt△ABC中,∠C=900821.有四个三角形，分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个角之比为3：4：5；③三边之比分别为7、24、25；④三边之比分别为5：12：13其中直角三角形有（）A.1个B.2个C.3个D.4个C课后演练1.有四个三角形，分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角832.观察下列图形，正方形1的边长为7，则正方形2、3、4、5的面积之和为.493.折叠矩形ABCD的一边AD，折痕为AE，且使D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,则点F的坐标是

，点E的坐标是

。第2题图第3题图（6，0）（0,3）2.观察下列图形，正方形1的边长为7，则正方形2、3、4、5844.4.85最新苏教版八年级数学课件86最新苏教版八年级数学课件87

第四章

实数

第四章

实数881.平方根的定义:

如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.符号表示为：若r2=a

；r=.2.平方根的性质:(1)一个正数有2个平方根，它们互为相反数；(2)0的平方根与算术平方根都是0；(3)负数没有平方根。1.平方根的定义:如果有一个数r，使得r2=893.算术平方根的定义:

如果有一个数r(r>0)，使得r2=a，那么我们把r叫作a的算术平方根.4.算术平方根的性质:一个非负数的算术平方根是非负数。一个数的算术平方根的平方等于这个数本身。一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。3.算术平方根的定义:如果有一个数r(r>090-代数式的意义

代数式的表达a的算术平方根a的负平方根a的平方根5.平方根的表示方法:（设a≥0）求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.6.开平方:开平方平方互逆-代数式的意义代数式的表达a的算术平方根917.平方根与算术平方根之间的区别与联系区别

定义个数符号表示法等于本身的数平方根

算术平方根

如果那么叫做的平方根。如果那么叫做的算术平方根12±+00、1⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个；⑵存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根；⑶0的平方根和0的算术平方根都是0。7.平方根与算术平方根之间的区别与联系区别92即一个非负数的算术平方根是非负数。即一个数的绝对值是非负数。即一个数的平方是非负数。8.非负性：如果几个非负数相加和为0，则这几个非负数都等于0.即一个非负数的算术平方根是非负数。即一个数的绝对值是非负数。93课堂练习一.求下列各式的平方根与算术平方根：一般地，求一个数的平方根的方法有两种：1.根据乘方意义求平方根;2.用计算器求平方根.课堂练习一.求下列各式的平方根与算术平方根：一般地，求一个数94二.

用计算器求下列各式的值：三.用计算器求下列各式的近似值（精确到0.001）解：解二.用计算器求下列各式的值：三.用计算器求下列各951.4的平方根是

；算术平方根是_____±22四.填空：2.若x2=3，则x=

，若=3，则 x=

；±33.若（x-1）2=4，则x=

，3或－14.若一个数的一个平方根为-7，则另一个平方根为

，这个数是

。7495.若一个正数的两个平方根为2a-6、3a+1，则a=

，这个正数为

；1161.4的平方根是；算术平方根是_____±22四.填96。

的算术平方根等于）（23.6-。

），则（若7=-=-25x245x2.256。的算术平方根为时，

当8a3a9a.2≥0-5互为相反数11.一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算术平方根是______.10.的算术平方根的相反数是_____.-1612.一个自然数的平方b,那么比这个自然数大1的数是____7450000。的算术平方根等于）（23.6-。），则（若7971.的平方根是±4.()2.一定是正数.()3.a2的算术平方根是a.()4.若,则a=-5.()5..()6.-6是(-6)2的平方根.()7.若x2=36,则x=()8.如果两个数的平方相等,那么这两个数也相等（）×××××√√×五.判断：9.平方根是本身的数有0,1()×1.的平方根是±4.981.下列各数中，不一定有平方根的是（）（A）x2+1（B）|x|+2（C）（D）|a|-1D2.已知有意义,则x一定是()

（A）正数（B）负数（C）非负数（D）非正数 D六.选择:1.下列各数中，不一定有平方根的是（）D2.已99

如果一个数b，使得b3=a，那么我们把b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根.a的立方根记作

，读作“立方根号a”或“三次根号a”．

用符号表示为：若b3=a，则b=.9.立方根的定义：如果一个数b，使得b3=a，那么我们把b叫作a的一个100立方根的符号与被开方数的符号相同。(1)一个正数有一个立方根，是正数；(2)0的立方根是0；(3)一个负数有一个立方根，是负数。10.立方根的性质（唯一性）：一个数的立方根的立方等于这个数本身。一个数的立方的立方根等于这个数本身。

若两个数互为相反数，那么这两个数的立方根也互为相反数。立方根的符号与被开方数的符号相同。101代数式的意义

代数式的表达12.立方根的表示方法：求一个数的立方根的运算，叫作开立方.11.开立方:开立方立方互逆代数式的意义代数式的表达12.立方根的表102联系：(1)0的平方根、立方根都是0.(2)平方根、立方根都是开方的结果.

定义表示法被开方数a的取值范围正数0负数平方根立方根如果b3=a，那么b叫作a的一个立方根，

如果r2=a，那么r叫作a的一个平方根，

非负数

任何实数2个平方根1个平方根

无1个立方根1个立方根1个立方根区别13.平方根与立方根的区别与联系：联系：定义表示法被开方数a的取值范围正数0负数103一.求下列各式的立方根：课堂练习一般地，求一个数的立方根的方法有两种：1.根据乘方意义求立方根;2.用计算器求立方根.一.求下列各式的立方根：课堂练习一般地，求一个数的立方根的方104二.

用计算器求下列各数的立方根：解：三.用计算器求下列各数的近似值（精确到0.001）解：-1000，216，-3.375.二.用计算器求下列各数的立方根：解：三.用计算器105(1)平方根是它本身的数是____．(2)算术平方根是其本身的数是__________．(3)立方根是其本身的数是_________．(4)的立方根为

.(5)的平方根为

.(6)的立方根的相反数为

.00，1，-10，1，±22-2四.求下列各式的立方根：(7)若x²=16，则12-x的立方根是________.

(8)若4a+1的平方根是±5，求2a²-8的立方根。

(9)已知(b-2)²+|c+5|=0，求c-a-b的立方根。(10)已知y=+-3，求xy的立方根。(1)平方根是它本身的数是____．(4)106五.判断正误：（7）的立方根是（9）0的平方根与立方根都是0的立方根是（10）（5）负数没有立方根（6）4的平方根是2（8）负数有一个平方根√×√×××√×√×五.判断正误：（7）的立方根是（9）0的平方根与立方根都是0107按定义分：按正负分：13.实数的分类：实数有理数整数正整数(自然数)零负整数分数正分数负分数无理数正无理数负无理数负无理数负分数负整数负有理数负实数零正无理数正分数正整数正有理数正实数实数(自然数)按定义分：按正负分：按定义分：按正负分：13.实数的分类：实数有理数整数正整数(108１．圆周率∏及一些化简之后含有∏的数２．开不尽方的数及化简之后含根号的数３．有一定的规律，但不循环的无限小数注意:带根号的数不一定是无理数,如例如：2+∏，∏-3，5∏……例如：0.1010010001…，-2.7878878887……无限不循环小数叫做无理数(强调:无限,不循环.)无理数常见的3种典型:１．圆周率∏及一些化简之后含有∏的数２．开不尽方的数及化简之109一.判断：（1）任何一个无理数的绝对值都是正数;（2）带根号的数都是无理数；（3）实数可以分为正实数和负实数两类；××（4）有理数与数轴上的点一一对应;×(5)实数不是有理数就是无理数;(6)无理数都是无限小数。一.判断：（1）任何一个无理数的绝对值都是正数;（2）带110（7）有理数与无理数之和一定是无理数；（8）有理数与无理数之差一定是无理数；（9）有理数与无理数之积一定是无理数；（10）有理数与无理数之商一定是无理数；××（11）无有理数与无理数之和一定是无理数；（12）无理数与无理数之差一定是无理数；（13）无理数与无理数之积一定是无理数；（14）无理数与无理数之商一定是无理数；××××（7）有理数与无理数之和一定是无理数；（8）有理数与无理1112.把下列各数填入相应的集合内：有理数集合：无理数集合：整数集合：分数集合：实数集合：2.把下列各数填入相应的集合内：有理数集合：无理数集合：整数1121.的相反数是

，倒数是

．2.绝对值小于的整数是

，3.一个数的绝对值是，则这个数是

.三.填空：4.a、b互为相反数，c与d互为倒数,则a+1+b+cd=

。25.倒数是它本身的数是_______。1或-17.若3，ｍ，5为三角形三边，化简：=2m-101.的相反数是，倒数是113

①无理数都是无限小数；②无理数都是开方开不尽的数；③带根号的都是无理数；④无限小数都是无理数。A.1个；B.2个；C.3个；D.4个。1.下列说法中，错误的个数是（）C四.判断：2.已知a与互为倒数，则满足条件的实数a的个数是()A.0个 B.1个 C.2个D.3个C3.若|a-3|-3+a＝０，则a的取值范围是（）

A.a≥3B.a<3C.a≤3D.a>3C①无理数都是无限小数；②114

第五章

平面直角坐标系

第五章

平面直角坐标系115知识梳理①垂直②有公共原点确定平面内点的位置建立平面直角坐标系点坐标（有序数对）

P（x，y）画两条数轴本章学习了哪些知识？它们之间的联系是什么？知识梳理①垂直确定平面内点的位置建立平面直角坐标系点坐标（有116123-1-2-3yx123-1-2-3-4O在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，构成了平面直角坐标系.123-1-2-3yx123-1-2-3-4O在平面内有公共117xO123-1-2-312-1-2-3yAA点的坐标记作A(2，1)一：由点找坐标规定：横坐标在前,

纵坐标在后二：由坐标找点B(3，-2)？由坐标找点的方法：先找到表示横坐标与纵坐标的点，然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线，垂线的交点就是该坐标对应的点。BxO123-1-2-312-1-2-3yAA点的坐标记作A(118第四象限123-1-2-3yx123-1-2-3-4O若点P（x，y）在第一象限，则x＞

0，y＞

0若点P（x，y）在第二象限，则x＜

0，y＞

0若点P（x，y）在第三象限，则x＜

0，y＜

0若点P（x，y）在第四象限，则x＞

0，y＜

0三：各象限点坐标的符号第一象限第三象限第二象限第四象限123-1-2-3yx123-1-2-3-4O若点P1191.点Ｐ的坐标是（２，－３），则点Ｐ在第

象限．四一或三3.若点Ｐ（x，y）的坐标满足xy﹤０，且在x轴上方，则点Ｐ在第

象限．二练一练注：判断点的位置关键抓住象限内点的

坐标的符号特征.4.若点A的坐标为(a2+1,-2–b2),则点A在第____象限.2.若点Ｐ（x，y）的坐标满足xy﹥０，则点Ｐ在第象限；四1.点Ｐ的坐标是（２，－３），则点Ｐ在第120第四象限123-1-2-3yx123-1-2-3-4O第一象限第三象限第二象限A(3,0)在第几象限?注：坐标轴上的点不属于任何象限。四：坐标轴上点的坐标符号第四象限123-1-2-3yx123-1-2-3-4O第一象121练一练1.点P(m+2,m-1)在x轴上,则点P的坐标是

.(3,0)2.点P(m+2,m-1)在y轴上,则点P的坐标是

.(0,-3)3.点P(x,y)满足xy=0,则点P在

.x轴上或y轴上4.若

，则点p(x,y)位于

＿＿y轴(除（0，0））上注意：1.x轴上的点的纵坐标为0，表示为（x，0），

2.

y轴上的点的横坐标为0，

表示为（0，y）。原点（0，0）既在x轴上，又在y轴上。练一练1.点P(m+2,m-1)在x轴上,则点P的坐标是122(2).若AB∥

y轴,

则A(m,y1),B(m,y2

)(1).若AB∥x轴,

则A(x1,n),B(x2,n

)五：与坐标轴平行的两点连线1.

已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且直线AB∥x轴，则m的值为

。-１2.

已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且直线AB∥y轴，则m的值为

。3已知点A（10，5），B（50，5），则直线AB的位置特点是（）A.与x轴平行B.与y轴平行C.与x轴相交，但不垂直D.与y轴相交,但不垂直A(2).若AB∥y轴,则A(m,y1),123(1).若点P在第一、三象限角的平分线上,则P(m,m).(2).若点P在第二、四象限角的平分线上则P(m,-m).六：象限角平分线上的点3.已知点M（a+1，3a-5）在两坐标轴夹角的平分线上，试求M的坐标。2.已知点A（2a+1，2+a）在第二象限的平分线上，试求A的坐标。1.已知点A（2，y),点B（x，5）,点A、B在一、三象限的角平分线上,则x=____,y=____；52（—1,1）变式：到两坐标轴的距离相等（4,4）或（2，—2）（4,4）或（2，—2）(1).若点P在第一、三象限角的平分线上,则P(m,124

（1）点(a,b)关于X轴的对称点是（）a,

-b-a,

b-a,-b（2）点(a,b)关于Y轴的对称点是（）（3）点(a,b)关于原点的对称点是（）七:关于坐标轴、原点的对称点1.已知A、B关于x轴对称，A点的坐标为（3，2），则B的坐标为

。（3，-2）2.若点A(m,-2),B(1,n)关于y轴对称,m=

,n=.-１-２3.已知点A（3a-1，1+a）在第一象限的平分线上，试求A关于原点的对称点的坐标。关于谁谁不变另一个互为相反数关于原点横纵坐标都互为相反数（1）点(a,b)关于X轴的对称点是（1251.点(x,y)到x轴的距离是2.点(x,y)到y

轴的距离是八:点到坐标轴的距离1.若点Ａ的坐标是(-3,5)，则它到x轴的距离是

，到y轴的距离是

．５３2．若点Ｂ在x轴上方，y轴右侧，并且到x轴、y轴距离分别是２,４个单位长度，则点Ｂ的坐标是

．（4，2）3．点Ｐ到x轴、y轴的距离分别是２,１，则点Ｐ的坐标可能为

.

(1,2)、(1,-2)、(-1,2)、(-1,-2)到x轴的距离是纵坐标的绝对值到y轴的距离是横坐标的绝对值1.点(x,y)到x轴的距离是2.点(126平面直角坐标系的应用１.确定点的位置２.求平面图形的面积３.用坐标表示平移平面直角坐标系的应用１.确定点的位置２.求平面图形的面积127商场小卖部学校医院宾馆火车站文化宫体育馆例1

下图是某地区的简图（图中小正方形的边长代表100m长），请建立适当的平面直角坐标系，并写出各地点的坐标.商场小卖部学校医院宾馆火车站文化宫体育馆例1下图是某地区的128商场小卖部学校医院宾馆火车站文化宫体育馆yx解：以火车站为原点，东西向为横轴，建立如图所示的坐标系.商场小卖部学校医院宾馆火车站文化宫体育馆yx解：以火车站为原129体育馆（-400，400）文化宫（-300，200）宾馆（300，300）商场（600，400）医院（-200，-200）小卖部（300，-300）学校（100，-400）体育馆（-400，400）文化宫（-300，200）宾馆（130（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定横轴、纵轴的正方向；（2）根据具体问题确定单位长度；（3）在坐标系内写出各地点的坐标．归纳（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原归纳131例2、海上救护中心收到一艘遇难船只的求救信号后发现该船位于点A（5，-4），同时发现在点B（5，2）和点C（-1，-4）处各有一艘救护船，如果救护船行使的速度相同，问救护中心应派哪条船前去救护可以在最短时间内靠近遇难船只？xyO-4-3-2-11234-12341-2-3A（5，-4）B（5，2）C（-1，-4）例2、海上救护中心收到一艘遇难船只的求救信号后发现该船位于点132例3三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（2，-1），B（1，-3），C（4，-3.5）．把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标．例3三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（2，-1），B（1133解：设点A1的坐标为（x，y），将点A1两次平移后得到的点的坐标是（x+4，y－3）,根据题意得x+4=2，y－3=-1．由此可求出点A1的坐标为（-2，2）．同理可求B1（-3，0），C1（0，-0.5）．解：设点A1的坐标为（x，y），将点A1两次平移后得到的点的1341.下列说法不正确的是()

A.若x+y=0,则点P(x,y)一定在第二.四象限角平分线上

B.在x轴上的点纵坐标为0.

C.点P(-1,3)到y轴的距离是1.

D.点A(-a2-1,|b|)一定在第二象限3.已知点A(1,2),AC∥X轴,AC=5,则点C的坐标是_____________.

D(-4,2)或(6,2)2.已知点P在第四象限,点P到x轴的距离为2，到y轴的距离是3,则点P的坐标是_____________.(3,-2)练一练1.下列说法不正确的是()

A.若x+y=0,1354.点P(3,0)在.5.点P(x,y)满足xy=0,则点P在6.点A(-1,-3)关于x轴对称点的坐标是.关于原点对称的点坐标是.7.若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称,则m=,n=.X轴的正半轴上坐标轴上（—1，3）（1，3）2—14.点P(3,0)在1368.

在平面直角坐标系中，有一点P（-4，2），若将P：(1)向左平移2个单位长度，所得点的坐标为______；(2)向右平移3个单位长度，所得点的坐标为______；(3)向下平移4个单位长度，所得点的坐标为______；(4)先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得坐标为_______。（-6，2）（-1，2）（-4,-2）（1，5）8.在平面直角坐标系中，有一点P（-4，2），若将P：(11379、点P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则P点的坐标是

。10、点Ａ（２，３）到x轴的距离为

；点Ｂ（-４，０）到y轴的距离为

；点C到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第三象限，则C点坐标是

。11、直角坐标系中，在y轴上