2022年云南省昆明市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022年云南省昆明市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.f(x)在x=0有二阶连续导数，则f(x)在x=0处()。A.取极小值B.取极大值C.不取极值D.以上都不对

2.A.f(1)－f(0)

B.2[f(1)－f(0)]

C.2[f(2)－f(0)]

D.

3.

4.

5.设y=f(x)在(a，b)内有二阶导数，且f"＜0，则曲线y=f(x)在(a，b)内()．A.A.凹B.凸C.凹凸性不可确定D.单调减少

6.

7.A.A.仅为x=+1B.仅为x=0C.仅为x=-1D.为x=0，±1

8.

9.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是（）A.A.椭球面B.锥面C.柱面D.平面

10.

11.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.以上都不对

12.

13.

14.

15.

16.A.A.

B.x2

C.2x

D.2

17.

18.

19.设曲线y=x-ex在点(0，-1)处与直线l相切，则直线l的斜率为()．A.A.∞B.1C.0D.-1

20.

二、填空题(20题)21.

22.微分方程y"-y'=0的通解为______．

23.

24.设y=ex，则dy=_________。

25.设z=x3y2，则

26.

27.

28.29.设，则y'=______．30.31.设区域D由曲线y=x2，y=x围成，则二重积分

32.

33.设z=x2y2+3x,则34.微分方程y''+y=0的通解是______.35.36.

37.

38.

39.二元函数z=x2+3xy+y2+2x，则=________。

40.

三、计算题(20题)41.证明：42.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．43.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．44.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．45.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．46.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

47.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

48.

49.

50.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

52.53.

54.

55.求曲线在点(1，3)处的切线方程．56.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．57.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则58.求微分方程的通解．59.60.

四、解答题(10题)61.求z=x2+y2在条件x+y=1下的条件极值．

62.

63.

64.

65.66.67.

68.

69.将展开为x的幂级数．

70.

五、高等数学(0题)71.下列命题不正确的是()。

A.两个无穷大量之和仍为无穷大量

B.上万个无穷小量之和仍为无穷小量

C.两个无穷大量之积仍为无穷大量

D.两个有界变量之和仍为有界变量

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.B；又∵分母x→0∴x=0是驻点；；即f""(0)=一1<0，∴f(x)在x=0处取极大值

2.D本题考查的知识点为定积分的性质；牛顿－莱布尼茨公式．

可知应选D．

3.C

4.D

5.A本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．

由于在(a，b)区间内f"(x)＜0，可知曲线y=f(x)在(a，b)内为凹的，因此选A．

6.D

7.C

8.A

9.B对照二次曲面的标准方程可知，所给曲面为锥面，因此选B．

10.B

11.D极限是否存在与函数在该点有无定义无关.

12.C解析：

13.B解析：

14.A

15.A

16.D本题考查的知识点为原函数的概念．

可知应选D．

17.D

18.D

19.C本题考查的知识点为导数的几何意义．

由于y=x-ex，y'=1-ex，y'|x=0=0．由导数的几何意义可知，曲线y=x-ex在点(0，-1)处切线斜率为0，因此选C．

20.B

21.

22.y=C1+C2exy=C1+C2ex

解析：本题考查的知识点为二阶级常系数线性微分方程的求解．

特征方程为r2-r=0，

特征根为r1=0，r2=1，

方程的通解为y=C1+C2ex．

23.

解析：

24.exdx25.12dx+4dy；本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分．

由于z=x3y2可知，均为连续函数，因此

26.（-35）（-3，5）解析：

27.

28.本题考查的知识点为定积分的换元法．

29.解析：本题考查的知识点为导数的四则运算．

30.31.本题考查的知识点为计算二重积分．积分区域D可以表示为：0≤x≤1，x2≤y≤x，因此

32.1/233.2xy(x+y)+3本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

由于z=x2y2+3x，可知

34.y=C1cosx+C2sinx微分方程y''+y=0的特征方程是r2+1=0，故特征根为r=±i，所以方程的通解为y=C1cosx+C2sinx.35.(－1，1)。

本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间。

所给级数为不缺项情形。

(－1，1)。注《纲》中指出，收敛区间为(－R，R)，不包括端点。本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误。

36.

37.22解析：

38.11解析：39.因为z=x2+3xy+y2+2x，

40.

41.

42.

列表：

说明

43.

44.

45.函数的定义域为

注意

46.

47.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

48.

49.

50.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

51.

52.53.由一阶线性微分方程通解公式有

54.55.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

56.由二重积分物理意义知

57.由等价无穷小量的定义可知

58.

59.

60.

则

61.构造拉格朗日函数

可解得唯一组解x=1/2,y=1/2.所给问题可以解释为在直线x+y=1上求到原点的距离平方最大或最小的点．由于实际上只能存在距离平方的最小值，不存在最大值，因此(1/2,1/2)为所给问题的极小值点．极小值为

本题考查的知识点为二元函数的条件极值．

通常的求解方法是引入拉格朗日函数，当求出可能极值点之后，往往利用所给问题的实际意义或几何意义判定其是否为极值点．

62.

63.

64.65.解如图所示，将积分区域D视作y-型区域，即

66.67.本题考查的知识点为二重积分的计算(极坐标系)．

利用极坐标，区域D可以表示为

0≤0≤π，0≤r≤2，

如果积分区域为圆域或圆的－部分，被积函数为f(x2＋y2)的二重积分，通常利用极坐标计算较方便．

使用极坐标计算二重积分时，要先将区域D的边界曲线化为极坐标下的方程表示，以确定出区域D的不等式表示式，再将积分化为二次积分．

本题考生中常见的错误为：

被积函数中丢掉了r．这是将直角坐标系下的二重积分化为极坐标下的二次积分时常见的错