2022年山东省泰安市岱岳区、高新区中考数学一模试卷（解析版）

2022年山东省泰安市岱岳区、高新区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，满分48分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记0分）。1．|﹣3|的相反数是（）A．﹣3 B．3 C． D．﹣2．下列运算中，正确的是（）A．a6÷a3＝a2 B．2﹣2＝﹣4 C．÷＝ D．3a+2a2＝5a23．如图，AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠AEC＝40°，则∠B为（）°．A．40 B．50 C．130 D．1404．实验中学选择10名青少年志愿者参加读书日活动，年龄如表所示：这10名志愿者年龄的众数和中位数分别是（）年龄12131415人数2341A．14，13 B．14，14 C．14，13.5 D．13，145．华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的，则每次降价的百分比是（）A．10% B．15% C．20% D．25%6．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．若∠DAB＝58°，求∠ATC的度数是（）A．51° B．58° C．61° D．58°7．图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若∠ABC＝α，AB＝1，则CD的长为（）A．sinα﹣cosα B． C．cosα﹣sinα D．8．若关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（）A．8＜m≤12 B．8＜m＜12 C．8＜m≤12 D．8≤m＜129．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣510．如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝4，∠CAB＝75°，则AB的长是（）A．8 B．4 C．8 D．411．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．如图，A点坐标（0，4），B为x轴上一动点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到BC，连接OC，则B在运动过程中，线段OC的最小值是（）A．4 B．4 C．2 D．2二、填空題（本大题共6小题，满分24分，只要求写最后结果，每小题填对得4分）13．第24届奥林匹克冬季运动会于2022年2月4号至20号在北京举行，在中国已经有3亿人参与了冰雪运动．根据预测，中国冬季运动的市场价值在2025年将会达到1500亿美元，这也会给全世界的冬季运动带来巨大的推动作用．1500亿美元用科学记数法表示是美元．14．计算（π﹣3）0﹣|﹣3|﹣2cos30°＝．15．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，AE切⊙O于点A，且AE＝AC，AC＝6，阴影部分的面积是．16．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与直线AB交于点A（2，4），直线AB与x轴交于点B（4，0），过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是．17．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则△BEF的面积是．18．²²如图，△ABC中，∠B＝45°，BC＝4，BC边上的高AD＝1，点P1、Q1、H1分别在边AD、AC、CD上，且四边形P1Q1H1D为正方形，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为正方形，…按此规律操作下去，则线段CQ2022的长度为．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要得文字说明、证明过程或推演步骤）19．先化简，再求值：（+2）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．20．目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．（1）根据图中信息求出m＝，n＝；（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？（4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．21．如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点的坐标；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是等腰三角形，求所有满足条件的m的值．22．北京冬奥会、冬残奥会期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，为双奥的成功举办做出巨大贡献．同时，“绿色办奥”是北京冬奥会、冬残奥会四大办奥理念之一．期间，节能与清洁能源车辆占全部赛事保障车辆的84.9%，为历届冬奥会最高．冬奥会开幕式当天，北京大学组织本校全体参与开幕式活动的志愿者统一乘车去国家体育场鸟巢，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．（1）计划调配36座新能源客车多少辆？北京大学共有多少名志愿者？（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？23．如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．（1）求证：CE平分∠BED；（2）取BC的中点M，连接MH，求证：MH∥BG；（3）若BC＝2AB＝4，求CG的长．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），二次函数y＝x2+bx﹣2的图象经过C点．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是抛物线的一个动点且在x轴的下方，则当点P运动至何处时，恰好使△PBC的面积等于△ABC的面积的两倍．（3）若点Q是抛物线上的一个动点，则当点Q运动至何处时，恰好使∠QAC＝45°？请你求出此时的Q点坐标．25．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．（1）求证：PE•PF＝PC2．（2）如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，求证：△POC∽△AEC．（3）PE＝，OE＝，求EF的长及菱形的边长．

参考答案一、选择题（本大题共12小题，满分48分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记0分）。1．|﹣3|的相反数是（）A．﹣3 B．3 C． D．﹣【分析】根据绝对值定义得出|﹣3|＝3，再根据相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数作答．解：∵|﹣3|＝3，∴3的相反数是﹣3．故选：A．2．下列运算中，正确的是（）A．a6÷a3＝a2 B．2﹣2＝﹣4 C．÷＝ D．3a+2a2＝5a2【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及二次根式的除法运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．解：A．a6÷a3＝a3，故此选项不合题意；B.2﹣2＝，故此选项不合题意；C.÷＝，故此选项符合题意；D.3a+2a2，无法合并，故此选项不合题意．故选：C．3．如图，AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠AEC＝40°，则∠B为（）°．A．40 B．50 C．130 D．140【分析】由平行线的性质可求解∠A的度数，∠DEB＝∠B，利用垂线的定义可求解∠AEB＝90°，再根据平角的定义的性质可求解．解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠A，∠DEB＝∠B，∵∠AEC＝40°，∴∠A＝40°，∵BE⊥AF，∴∠AEB＝90°，∵∠CAE+∠AEB+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，∴∠B＝50°．故选：B．4．实验中学选择10名青少年志愿者参加读书日活动，年龄如表所示：这10名志愿者年龄的众数和中位数分别是（）年龄12131415人数2341A．14，13 B．14，14 C．14，13.5 D．13，14【分析】根据中位数、众数的意义求解即可．解：这10名志愿者年龄出现次数最多的是14，因此众数是14，将这10名志愿者年龄从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝13.5，因此中位数是13.5，故选：C．5．华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的，则每次降价的百分比是（）A．10% B．15% C．20% D．25%【分析】设每次降价的百分比是x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分比）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设每次降价的百分比是x，依题意得：（1﹣x）2＝，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．故选：C．6．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．若∠DAB＝58°，求∠ATC的度数是（）A．51° B．58° C．61° D．58°【分析】连接OT，根据切线的性质可得OT⊥CT，结合已知条件即可求出∠ATC的度数．解：如图，连接OT，∵CT为⊙O的切线，∴OT⊥CT，∵TC⊥AC，∴OT∥AC，∴∠DAT＝∠OTA，∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA，∴∠DAT＝∠OAT＝DAB＝29°，∵TC⊥AC，∴∠ACT＝90°，∴∠ATC＝90°﹣29°＝61°，故选C．7．图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若∠ABC＝α，AB＝1，则CD的长为（）A．sinα﹣cosα B． C．cosα﹣sinα D．【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的的定义求出AC，BC的长，即可解答．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝α，AB＝1，∴AC＝ABsinα＝sinα，BC＝ABcosα＝cosα，由题意得：AC＝BD＝tanα，∴CD＝BD﹣BC＝sinα﹣cosα，故选：A．8．若关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（）A．8＜m≤12 B．8＜m＜12 C．8＜m≤12 D．8≤m＜12【分析】先解关于x的不等式，再根据不等式有三个正整数解可得关于m的不等式组，解不等式组即可得．解：解不等式4x+m≥0得：x≥﹣，∵关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，一定是﹣1和﹣2，根据题意得：﹣3＜﹣≤﹣2，解得：8≤m＜12．故选D．9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5【分析】由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点C的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线顶点坐标，易得抛物线解析式．解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣4x+5．故选：A．10．如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝4，∠CAB＝75°，则AB的长是（）A．8 B．4 C．8 D．4【分析】过D点作DH⊥BC于H，连接BD，如图，先根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，∠BDC＝∠CAB＝75°，再证明△ABD和△CDH都为等腰直角三角形，则AB＝BD，DH＝2，然后利用三角形内角和计算出∠DBC＝60°，则在Rt△BDH中可计算出BD＝4，从而得到AB＝BD＝8．解：过D点作DH⊥BC于H，连接BD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∴△ABD和△CDH都为等腰直角三角形，∴AB＝BD，DH＝CD＝×4＝2，∵∠BDC＝∠CAB＝75°，∴∠DBC＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，在Rt△BDH中，BH＝DH＝×2＝2，∴BD＝2BH＝4，∴AB＝BD＝×4＝8．故选：C．11．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】证出DE是△ABC的中位线，则DE＝BC；①正确；证出DF＝BC，则四边形DBCF是平行四边形；②正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝BD，则CF＝CD，得出∠CFE＝∠CDE，证∠CDE＝∠EGF，则∠CFE＝∠EGF，得出EF＝EG，③正确；作EH⊥FG于H，由等腰三角形的性质得出FH＝GH＝FG＝1，证△EFH∽△CEH，则＝，求出EH＝2，由勾股定理的EF＝，进而得出BC＝2，④正确．【解答】解；∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴AE＝CE，DE＝BC；①正确；∵EF＝DE，∴DF＝BC，∴四边形DBCF是平行四边形；②正确；∴CF∥BD，CF＝BD，∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB的中线，∴CD＝AB＝BD，∴CF＝CD，∴∠CFE＝∠CDE，∵∠CDE+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°，∴∠CDE＝∠EGF，∴∠CFE＝∠EGF，∴EF＝EG，③正确；作EH⊥FG于H，如图所示：则∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，FH＝GH＝FG＝1，∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，∴△EFH∽△CEH，∴＝，∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，∴EH＝2，∴EF＝＝＝，∴BC＝2DE＝2EF＝2，④正确；故选：D．12．如图，A点坐标（0，4），B为x轴上一动点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到BC，连接OC，则B在运动过程中，线段OC的最小值是（）A．4 B．4 C．2 D．2【分析】设B（m，0），作CD⊥x轴于点D，然后通过△ABO≌△BCD得出BD和CD，再根据勾股定理得出OC关于m的函数关系，在根据函数的性质去顶OC的最小值．解：设B（m，0），则OB＝|m|，作CD⊥x轴于点D，如图：∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠CBD＝90°，∴∠BAO＝∠CBD，在△ABO于△BCD中，，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴BD＝OA＝4，CD＝OB＝|m|，∴OD＝OB+BD＝|m|+4，∴OC2＝OD2+DC2＝（|m|+4）2+m2＝2m2+8|m|+16，当m≥0时，OC2＝2m2+8m+16＝2（x+2）2+8，∵2＞0，对称轴为x＝﹣2，∴当x＝0时，OC2最小，最小为16，∴OC最小为4，当m≤0时，OC2＝2m2﹣8m+16＝2（x﹣2）2+8，∵2＞0，对称轴为x＝2，∴当x＝0时，OC2最小，最小为16，∴OC最小为4．故选：A．二、填空題（本大题共6小题，满分24分，只要求写最后结果，每小题填对得4分）13．第24届奥林匹克冬季运动会于2022年2月4号至20号在北京举行，在中国已经有3亿人参与了冰雪运动．根据预测，中国冬季运动的市场价值在2025年将会达到1500亿美元，这也会给全世界的冬季运动带来巨大的推动作用．1500亿美元用科学记数法表示是1.5×1011美元．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．解：1500亿＝150000000000＝1.5×1011．故答案为：1.5×1011．14．计算（π﹣3）0﹣|﹣3|﹣2cos30°＝﹣2．【分析】化简零指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后算乘法，再算加减．解：原式＝1﹣（3﹣）﹣2×＝1﹣3+﹣＝﹣2，故答案为：﹣2．15．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，AE切⊙O于点A，且AE＝AC，AC＝6，阴影部分的面积是6﹣2π．【分析】连接OA、AD，可求得∠ACE＝∠AEC＝30°，可证明△AOD为等边三角形，由直角三角形的性质可得到OA＝2，AE＝6，再根据圆的面积公式和扇形面积公式即可求解．解：连接OA、AD，如图，∵CD为⊙O的直径，∴∠DAC＝90°，又∵∠ADC＝∠B＝60°，∴∠ACE＝30°，又∵AE＝AC，OA＝OD，∴△ADO为等边三角形，∴∠AEC＝30°，∠ADO＝∠DAO＝60°，∴∠EAD＝∠E＝30°，∵AE＝AC，∴AE＝AC＝6，∴OA＝2，∴阴影部分的面积为＝6．故阴影部分的面积为6﹣2π．故答案为：6﹣2π．16．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与直线AB交于点A（2，4），直线AB与x轴交于点B（4，0），过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是（2，2）或（2，6）或（6，﹣2）．【分析】先把A点坐标代入y＝中求出k得到反比例函数解析式为y＝，再利用反比例函数解析式确定C（4，2），讨论：当AB为边或AB为对角线，利用平行四边形的性质和点平移的坐标规律确定D点坐标．解：把A（2，4）代入y＝得k＝2×4＝8，∴反比例函数解析式为y＝，当x＝4时，y＝＝2，则C（4，2），当A点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到B点，则C点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到D点，D点坐标为（6，﹣2）；当B点先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到A点，则C点先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到D点，D点坐标为（2，6）；当C点先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到A点，则B点先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到D点，D点坐标为（2，2）；综上所述，D点坐标为（2，2）或（2，6）或（6，﹣2）．17．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则△BEF的面积是2．【分析】过点E作EH⊥BF于H．利用三角形的中位线定理以及直角三角形斜边中线定理证明△BFE是顶角为120°的等腰三角形即可解决问题．解：过点E作EH⊥BF于H．∵AD＝AC，∠DAC＝90°，CD＝8，∴AD＝AC＝4，∵DF＝FC，AE＝EC，∴EF＝AD＝2，EF∥AD，∴∠FEC＝∠DAC＝90°，∵∠ABC＝90°，AE＝EC，∴BE＝AE＝EC＝2，∴EF＝BE＝2，∵∠BAD＝105°，∠DAC＝90°，∴∠BAE＝105°﹣90°＝15°，∴∠EAB＝∠EBA＝15°，∴∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝30°，∴∠FEB＝90°+30°＝120°，∴∠EFB＝∠EBF＝30°，∵EH⊥BF，∴EH＝EF＝，FH＝EH＝，∴BF＝2FH＝2，∴S△EFB＝•BF•EH＝×2×＝2．故答案为2．18．²²如图，△ABC中，∠B＝45°，BC＝4，BC边上的高AD＝1，点P1、Q1、H1分别在边AD、AC、CD上，且四边形P1Q1H1D为正方形，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为正方形，…按此规律操作下去，则线段CQ2022的长度为．【分析】先求得BD，DC，AC的长，设P1D＝x，P1Q1＝H1Q1＝H1D＝P1D＝x，根据正方形的性质可得AD∥Q1H1，所以△ADC∽△CH1Q1，然后求得其相似比，同理求得△CH1Q1和△CH2Q2的相似比是，△ADC和△CH2Q2的相似比是（）2，依此类推：△ADC和△CH2020Q2020的相似比是（）2022，进而可得结果．解：∵BC边上的高AD＝1，∠B＝45°，∴BD＝1，∴DC＝BC﹣BD＝4﹣1＝3，∵AD⊥DC，∴AC＝，设P1D＝x，则AP1＝AD﹣P1D＝1﹣x，P1Q1＝H1Q1＝H1D＝P1D＝x，∵四边形P1Q1H1D为正方形，∴AD∥Q1H1，∴△ADC∽△CH1Q1，∴，∴，解得x＝，∴P1Q1＝H1Q1＝H1D＝P1D＝，∴，∴△ADC和△CH1Q1的相似比是，同理：△CH1Q1和△CH2Q2的相似比是，∴△ADC和△CH2Q2的相似比是（）2，依此类推：△ADC和△CH2022Q2022的相似比是（）2022，∴，∴，∴．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要得文字说明、证明过程或推演步骤）19．先化简，再求值：（+2）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的除法运算法则化简，进而解不等式组求出x的取值范围，把符合题意的一个x的值代入求出答案．解：原式＝•＝•＝，，解①得：x＞﹣4，解②得：x≤，故不等式组的解集为：﹣4＜x≤，当x＝﹣2，﹣1，0时，分式无意义，故当x＝﹣3时，原式＝＝．20．目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．（1）根据图中信息求出m＝100，n＝35；（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？（4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，根据概率公式计算可得．解：（1）∵被调查的总人数m＝10÷10%＝100人，∴支付宝的人数所占百分比n%＝×100%＝35%，即n＝35，故答案为：100、35；（2）网购人数为100×15%＝15人，微信对应的百分比为×100%＝40%，补全图形如下：（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%＝800（人）；答：大约有800人最认可“微信”这一新生事物．（4）列表如下：共有12种等可能情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种；所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为P＝＝．21．如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点的坐标；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是等腰三角形，求所有满足条件的m的值．【分析】（1）把点A坐标代入直线AB的解析式中，求出a，求出点B坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式中求出k；（2）①确定出点D（5，4），得到求出点E坐标；②先表示出点C，D坐标，再分三种情况：当BC＝CD时，判断出点B在AC的垂直平分线上，即可得出结论，当BC＝BD时，表示出BC，用BC＝BD建立方程求解即可得出结论，当BD＝AB时，m＝AB，根据勾股定理计算即可．解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，∴a＝4，∴B（2，4），将B（2，4）代入反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y＝，当m＝3时，将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴D（2+3，4），即D（5，4），∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，∴E（5，）；②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，∵A（0，8），B（2，4），∴C（m，8），D（m+2，4），当BC＝CD时，BC＝AB，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，当BC＝BD时，B（2，4），C（m，8），∴BC＝，∴＝m，∴m＝5，当BD＝AB＝CD时，m＝AB＝＝2，综上所述，△BCD是等腰三角形，满足条件的m的值为4或5或2．22．北京冬奥会、冬残奥会期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，为双奥的成功举办做出巨大贡献．同时，“绿色办奥”是北京冬奥会、冬残奥会四大办奥理念之一．期间，节能与清洁能源车辆占全部赛事保障车辆的84.9%，为历届冬奥会最高．冬奥会开幕式当天，北京大学组织本校全体参与开幕式活动的志愿者统一乘车去国家体育场鸟巢，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．（1）计划调配36座新能源客车多少辆？北京大学共有多少名志愿者？（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，北京大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，根据“若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位”，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，根据调配的车辆正好每人有座且每车不空座，列出m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出结论．解：（1）设计划调配36座新能源客车x辆，北京大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，依题意，得：，解得：，答：计划调配36座新能源客车6辆，北京大学共有218名志愿者．（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，依题意，得：36m+22n＝218，∴n＝，又∵m，n均为非负整数，∴，答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．23．如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．（1）求证：CE平分∠BED；（2）取BC的中点M，连接MH，求证：MH∥BG；（3）若BC＝2AB＝4，求CG的长．【分析】（1）根据旋转的性质得到CB＝CE，求得∠BEC＝∠BCE，根据平行线的性质得到∠BCE＝∠DEC，可证得结论；（2）过点C作BE的垂线CN，根据角平分线的性质得到CN＝BG，求得CG＝BQ，根据全等三角形的性质得到CH＝GH，根据三角形的中位线定理即可得到结论；（3）过点G作BC的垂线GR，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE，∵AD∥BC，∴∠BCE＝∠DEC，∴∠BEC＝∠DEC，∴CE平分∠BED；（2）证明：过点C作CN⊥BE于N，如图：∵CE平分∠BED，CD⊥DE，CN⊥BE，∴CD＝CN，∴BG＝AB＝CD＝CN，∵∠BHG＝∠NHC，∠GBH＝∠CNH＝90°，BG＝CN，∴△BHG≌△NHC（AAS），∴GH＝CH，即点H是CG中点，∵点M是BC中点，∴MH是△BCG的中位线，∴MH∥BG；（3）解：过点C作CN⊥BE于N，过G作GR⊥BC于R，如图：∵BC＝2AB＝4，∴BG＝AB＝CD＝CN＝2，∴CN＝BC，∴∠NBC＝30°，∵∠GBE＝90°，∴∠GBR＝60°，∴BR＝BG＝1，GR＝BR＝，在Rt△GRC中，CG＝＝＝2，∴CG的长为2．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），二次函数y＝x2+bx﹣2的图象经过C点．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是抛物线的一个动点且在x轴的下方，则当点P运动至何处时，恰好使△PBC的面积等于△ABC的面积的两倍．（3）若点Q是抛物线上的一个动点，则当点Q运动至何处时，恰好使∠QAC＝45°？请你求出此时的Q点坐标．【分析】（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，设直线BC的解析式为y＝mx+n，由待定系数法求出直线BC的解析式，设P（x，x2﹣2x﹣2），则H（x，﹣x+2），表示出PH，由三角形面积公式求出x的值，则可得出答案；（3）①作B关于AC的对称点为N，连接CN，作∠CAN的角平分线AH交CN于点H，交抛物线于点Q，由等腰直角三角形的性质求出直线AH的解析式，则可求出答案；②如图，同理可得，当AH平分∠BAC时，射线AH与抛物线交点Q满足∠QAC＝45°．求出AH的解析式即可．解：（1）如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD＝90°．∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OAB+∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD．∵在△AOB与△CDA中，，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴OD＝OA+AD＝3，∴C（3，1）．∵点C（3，1）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，∴1＝9+3b﹣2，解得：b＝﹣2．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣