天津柳滩中学高三数学理月考试卷含解析

天津柳滩中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》有这样一个问题：今有子女善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（

）A．6

B．9C．12

D．15参考答案：D2.若，且，，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B3.复数等于

A．

B．

C．

D．参考答案：B4.有下列说法：（1）“”为真是“”为真的充分不必要条件；（2）“”为假是“”为真的充分不必要条件；（3）“”为真是“”为假的必要不充分条件；（4）“”为真是“”为假的必要不充分条件。其中正确的个数为（

）A.

1

B.

2

C.

3

D.

4参考答案：B（1）“”为真是“”为真的充分不必要条件，正确；（2）“”为假是“”为真的充分不必要条件，错误；（3）“”为真是“”为假的必要不充分条件；正确；（4）“”为真是“”为假的必要不充分条件，错误。因此正确的个数为2。5.一个单位有职工人，其中具有高级职称的人，具有中级职称的人，具有初级职称的人，其余人员人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是(

)12,24,15,9

9,12,12,7

8,15,12,5

8,16,10,6参考答案：D6.已知集合，若实数满足：对任意的，都有，则称是集合的“和谐实数对”。则以下集合中，存在“和谐实数对”的是(

▲

)A． B．C． D．

参考答案：C7.已知复数,是它的共轭复数,则（

）A．

B．

C．1

D．参考答案：A本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力.因为,所以.8.下列命题中的假命题是（

）A．

B.

C．

D．参考答案：C略9.（多选题）定义：若函数F(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b]，则称区间[a,b]是函数F(x)的“完美区间”，另外，定义区间F(x)的“复区间长度”为，已知函数，则（

）A.[0,1]是f(x)的一个“完美区间”B.是f(x)的一个“完美区间”C.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为D.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为参考答案：AC【分析】根据定义，当时求得的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、D，讨论与两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.【详解】对于A，当时，，则其值域为，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；对于B，因为函数，所以其值域为，而，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；对于C，由定义域为，可知，当时，，此时，所以在内单调递减，则满足，化简可得，即，所以或，解得（舍）或，由解得或（舍），所以，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；当时，①若，则，此时.当在的值域为，则，因为，所以，即满足，解得，（舍）.所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；②若，则，，此时在内单调递增，若的值域为，则，则为方程的两个不等式实数根，解得，，所以，与矛盾，所以此时不存在完美区间.综上可知，函数的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；故选：AC.【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.10.如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A．84 B．35 C．26 D．10参考答案：B【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=1时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=1，k=3；当k=3时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=10，k=5；当k=5时，不满足退出循环的条件，执行循环后，S=35，k=7；当k=7时，满足退出循环的条件，故输出的S值为35，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列命题中，正确的命题有．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号．参考答案：②④【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据回归直线恒过样本点的中心，不一定过样本点判断①错误；根据方差是表示数据波动大小的量，判断②正确；用相关指数R2刻画回归效果时，R2越接近1说明模型的拟合效果越好判断③错误；根据系统抽样原理求出第1组中抽取的号码值，判断④正确．【解答】解：对于①，回归直线恒过样本点的中心，不一定过任一样本点，∴①错误；对于②，因为方差是表示数据波动大小的量，将一组数据的每个数都加一个相同的常数后，方差不变，∴②正确；对于③，用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，∴③错误；对于④，根据系统抽样原理，样本间隔为=8，第16组抽出的号码为15×8+a0=126，解得a0=6，即第1组中抽取的号码为6号，④正确．综上，正确的命题序号是②④．故答案为：②④．12.

计算(lg－lg25)÷100－＝________.参考答案：－2013.已知，则的值为 ．参考答案：．试题分析：考点：倍角的正切．14.已知变量满足约束条件，则的最大值为________。参考答案：2略15.已知x和y是实数，且满足约束条件的最小值是

.参考答案：略16.曲线

参考答案：

答案：17.满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积为．参考答案：1【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（2，3），∴|BC|=2，A到BC所在直线的距离为1．∴可行域面积为S=．故答案为：1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.几何证明选讲 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD//AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF·EC. （I）求证：CE·EB=EF·EP； （II）若CE颐BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长.

参考答案：

解：（I）证明：∵DE2=EF?EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA∴△EDF∽△EPA．∴，∴EA?ED=EF?EP．又∵EA?ED=CE?EB，∴CE?EB=EF?EP.-------------------------------------------------（5分）（II）∵DE2=EF?EC，DE=3，EF=2．∴32=2EC，∴．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由（I）可知：CE?EB=EF?EP，∴，解得EP=，∴BP=EP﹣EB=．∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB?PC，∴，解得．----------------------------------（10分）

略19.已知函数(m、n为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是．

(Ⅰ)求m、n的值；

(Ⅱ)求f(x)的最大值；

(Ⅲ)设(其中为f(x)的导函数)，证明：对任意x>0，都有．

(注：)参考答案：(Ⅰ)解：由，得 2分

由已知得，解得m=n 3分

又，∴n=2，m=2． 4分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得：

当x∈(0，1)时，；当x∈(1，＋∞)时，

∴当x∈(0，1)时，；当x∈(1，＋∞)时， 6分

∴f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)

∴x=1时，． 8分(Ⅲ)证：

对任意x>0，等价于

令，则

由得：

∴当x∈(0，)时，，p(x)单调递增

当x∈(，＋∞)时，，p(x)单调递减

所以p(x)的最大值为，即 10分

设，则

∴当x∈(0，＋∞)时，q(x)单调递增，q(x)>q(0)=0

故当x∈(0，＋∞)时，，即 11分

∴

∴对任意x>0，都有． 12分

20.（本题满分12分）如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥D—BCE的体积.参考答案：（Ⅰ）证明：取中点，连结．

在△中，分别为的中点，所以∥，且．

由已知∥，，所以∥，且．

…………2分

所以四边形为平行四边形．所以∥．

…………3分

又因为平面，且平面，

所以∥平面．

………4分（Ⅱ）证明：在正方形中，．

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面．

因为平面，所以．

………6分

在直角梯形中，，，可得．

在△中，，所以．所以．又因为，平面．

…………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

所以又因为平面又=

…………12分21.已知函数f（x）=lnx+ax，a∈R．（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）的两个零点为x1，x2，且，求证：．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；构造法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）=lnx+ax，a∈R的定义域与导数，通过a≥0，a＜0，利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可．（Ⅱ）利用lnx1+ax1=0，lnx2+ax2=0，推出lnx2﹣lnx1=a（x1﹣x2），通过化简所证明的不等式，结合，，构造函数，利用导函数的单调性，推出?（t）在[e2，+∞）上单调增，推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax，a∈R的定义域为{x|x＞0}，，（1）a≥0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调增；在上单调增；在上单调减．…（Ⅱ）∵lnx1+ax1=0，lnx2+ax2=0，∴lnx2﹣lnx1=a（x1﹣x2）=令，令，则令，令，则，∴?（t）在[e2，+∞）上单调增，…