福建省福州市江洋林业中学高三数学理上学期期末试题含解析

福建省福州市江洋林业中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱所在的直线成异面直线的概率为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：A2.已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠?，则b等于（）A．1 B．2 C．3 D．1或2参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出B中不等式的整数解确定出B，根据A与B的交集不为空集，求出b的值即可．【解答】解：由B中不等式解得：0＜x＜3，x∈Z，即B={1，2}，∵A={0，b}，且A∩B≠?，∴b=1或2，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（

）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1参考答案：C【分析】考查不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，∴应增加的项数为2k．故选C．【点评】本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．4.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把图像上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图像所表示的函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，是以F2P为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B6.点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为(

)A．7π B．14π C． D．参考答案：B【考点】球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．7.执行右边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝（

）.（A）4

（B）3

（C）2

（D）1参考答案：A略8.

已知

是（）上是增函数，那么实数的取值范围是（

）A．(1,+)

B．

C．

D．(1,3)参考答案：C9.已知函数 (a>0)的最小值为2，则实数a=A.2

B.4

C.8

D.16参考答案：B由得，故函数的定义域为，易知函数在上单调递增，所以，解得。选B。

10.已知的部分图象如图所示，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】由图像知：

又

因为所以令k=1，得=。

故答案为：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线过圆C：的圆心C，且与直线OC垂直，则直线的极坐标方程为

．参考答案：（或）略12.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为2，2，3，则此球的表面积为

．

参考答案：略13.设=（1，2），=（﹣1，﹣x），若⊥，则x=．参考答案：﹣【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】平面向量及应用．【分析】由⊥，可得?=0，解出即可得出．【解答】解：∵⊥，∴?=﹣1﹣2x=0，解得x=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.在中，则=________.参考答案：115.命题“”的否定是

▲

．参考答案：略16.坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线与直线的两个交点之间的距离为_________.参考答案：把曲线方程化为直角坐标方程为：，把直线方程转化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离为：，所以弦长为，即两个交点之间的距离为。17.函数满足,若,则的最大值为.参考答案：答案:

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P（1，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F2，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得?=﹣恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：见解析【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的性质及等差数列性质得出a=c，把P点坐标代入椭圆方程列方程组解出a，b得出椭圆方程；（2）设Q（m，0），当直线斜率为0时，求出A，B坐标，列方程解出m，当直线斜率不为0时，设AB方程为x=ty+1，联立方程组得出A，B坐标的关系，根据?=﹣列方程解出m．【解答】解：（1）∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，即2a=4c，∴a=．∴，解得．∴椭圆方程为．（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立．①当直线l的斜率为0时，A（﹣，0），B（，0）．∴=（﹣﹣m，0），=（﹣m，0）．∴=m2﹣2=﹣，解得或m=﹣．②若直线l斜率不为0，设直线AB的方程为x=ty+1．联立方程组，消元得：（t2+2）y2+2ty﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=﹣．∴x1+x2=t（y1+y2）+2=，x1x2=（ty1+1）（ty2+1）=t2y1y2+t（y1+y2）+1=．∵=（x1﹣m，y1），=（x2﹣m，y2）．∴=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2﹣m（x1+x2）+m2+y1y2=﹣+m2﹣==﹣．∴，解得m=．综上，Q点坐标为（，0）．19.(本题满分l4分)已知函数，其中N*，aR，e是自然对数的底数．(1)求函数的零点；(2)若对任意N*，均有两个极值点，一个在区间(1，4)内，另一个在区间[1，4]外，求a的取值范围；(3)已知k，mN*，k<m，且函数在R上是单调函数，探究函数的单调性．参考答案：（1），设,①当时，函数有一个零点：

……………1分②当时，函数有两个零点：………2分③当时，函数有两个零点：…………3分④当时，函数有三个零点：

…………………4分（2）……5分设，的图像是开口向下的抛物线.由题意对任意有两个不等实数根，且则对任意,即,

…………7分又任意关于递增,,故所以的取值范围是

………………9分（3）由(2)知,存在，又函数在上是单调函数，故函数在上是单调减函数,

…10分从而即…11分

所以由知

…………………13分

即对任意故函数在上是减函数.

……14分20.已知命题：函数为上单调减函数,实数满足不等式.命题：当，函数。若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围。参考答案：解：设命题P,Q所对应的集合分别为A,B，对于命题P：由函数为上单调减函数得，解得，所以A=；对于命题Q：由，sinx∈[0,1]，=∈[a，a+1]，所以B=[a，a+1]，因为命题是命题的充分不必要条件，所以得解得.略21.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：，，，，，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品，且视频率为概率，回答下列问题：(Ⅰ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设为合格产品的数量，求的分布列和数学期望；

(Ⅱ）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率．参考答案：解：（Ⅰ）由样本的频率分布直方图得，合格产品的频率为

．

………………2分所以抽取的40件产品中，合格产品的数量为．……………3分则可能的取值为0,1,2，

…………4分所以,,，因此的分布列为012……7分故数学期望．

…9分(Ⅱ）因为从流水线上任取1件产品合格的概率为，

……………10分所以从流水线上任取3件产品，恰有2件合格产品的概率为．

……………13分略22.（本小题共13分）

如图，矩形ABCD中，平面ABE，BE=BC，F为CE上的点，且平面ACE。

（1）求证：平面BCE；

（2