2024北师大版八年级数学上册《二元一次方程组》教案

北师大版（2024）八年级上册数学第五章二元一次方程组教案

本章教材分析

一、本章相关内容分析

（-）单元地位与作用

1.承前启后的纽带：以七年级“一元一次方程”为基础，拓展到含两个未知数的方程，

体现了从“单一变量”到“多个变量”的数学建模进阶。为学习“函数””方程（组）”“不等

式”奠定核心基础。

2.实际应用价值：解决实际问题中的双变量问题，培养学生从数学的视角分析复杂关系

的能力。

3.培养核心思维：训练消元思想和模型模型转化能力，系统性的训练多元问题解决策略

的关键。

（-）评价建议

1.关注学生在解决实际问题、探索等量关系等活动中的参与程度和思维水平.

在本章的学习中，学生将用较多的时间经历模型化和知识的形成与应用过程.对上述活动

过程的考查，可以从以下方面来进行:一是学生在具体活动中的投入程度一-能否积极主动地

从事各项活动，向同学解释自己的想法，听取他人的意见和建议.二是学生在活动中的表现一

能否在活动中进行主动思考，面对实际问题时，尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻

求解决问题的策略，能否正确地找出实际问题中的各种数量的意义及其相互关系，并能用数

学式子把这种关系表示出来。

2.关注学生对知识与技能的埋解和应用.

对知识与技能的评价，应重视学生的理解和在新情境中的应用。如考查学生能否根据实际

问题正确地建立模型，能否选择恰当的方法解二元一次方程组，解方程组正确与否，能否检

验求得结果的合理性.

3.关注学生列方程解决实际问题的意识和水平，

教学中，还要关注学生在学习过程中的表现，注重培养学生的应用意识.例如，让学生以

小组合作学习的形式分析一些开放性的问题，并说出心得体会，在学生的交流中对其进行评

价:让学生自主地观察生活实际,并据此编制有关应用问题，从学生所编制的应用问题中评判

其应用意识和应用水平.

1认识二元一次方程组

新课导入设计

【悬念激趣】

播放多媒体：姚明和刘翔的合影照片.已知姚明比刘翔高37刘翔身高的2倍比姚

第1页共101页

明高152cm＞则他们的身高分别是多少?

假设姚明的身高为xc/〃，刘翔的身高为y5，，你能得到怎样的方程？能列几个？

教学设计

课题1认识二元一次方程组授课人

1.通过实例了解二元一次方程、二元一次

方程组及其解等概念.

素养目标

2♦用数学的思维判断一组数是不是某个

二元一次方程组的解.

对二元一次方程、二元一次方程组及其

教学重点

解的概念的理解.

教学难点二元一次方程及二元一次方程组的解.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.单项式2mn的次数是

2•下列哪些方程是一元一次方

程？你的判断依据是什么？回顾旧知，为学习新知做好准

回顾

(l)3x+l=5；备.

(2)2x+y=16；

(3)xy+6=12；

(4)^=x+3.

第2页共101页

3•x=5是方程3x+5=20的解

吗？

续表

教学步骤师生活动设计意图

【课堂引入】

小明和小颖参加课外种植实

践活动，他们分别栽种了若干

株绿植.已知小明栽种的爆植

比小颖多2株，如果将小颖栽

种的绿植减少1株，将小明栽

种的绿植增加1株，那么小明

栽种的绿植数量是小颖的2

倍.

(1)这个情境涉及哪些量？这

根据学生的生活实际和认知

些量之间有怎样的等量关

实际，创设具体的问题情境，

系？

活动一：创设情境、导入新课让学生经历建模的同时，调节

(2)设小明栽种了x株绿植，

心情，以相对轻松的状态进入

小颖栽种了y株绿植，由比你

后面的学习.

能得到怎样的方程？

周末，小亮一家和朋友们到公

园徒步锻炼，他们一共8人，

买门票花了34元.已知每张

成人票5元每张学生票3元.

(1)这个情境涉及哪些量？这

些量之间有怎样的等量关

系？

(2)设他们中有成人x人、学

生y人，由此你能得到怎样的

第3页共101页

方程？

【探究新知】

1•二元一次方程的概念

上面两个问题中，我们分别得

到方程X—y=2，x+l=2（y

一1）和x+y=8,5x+3y=34.

（1）观察以上几个方程，它们

各含有儿个未知数？含未知

数的项的次数是多少？与一

元一次方程有何异同？

1.学生通过类比学习，抓住二

（2）能否仿照一元一次方程的

元一次方程的关键特征，归

定义给这几个方程起个名？

纳、概括得出二元一次方程的

归纳：

概念.

二元一次方程的概念：含有两

2•通过分组讨论得到二元一

个未知数，并且含有未知数的

活动二：实践探究,交流新知次方程组的概念，提高学生学

项的次数都是1的方程叫作

习的积极性，同时增强学生的

二元一次方程.

语言组织能力.

它有3个特征；（1）含有两个

3•深刻理解二元一次方程

未知数；（2）含有未知数的项

（组）的解的概念，体会二元一

的次数都是1：（3）方程的两边

次方程的解的不唯一性.

都是整式.

教学说明：先让学生通过观察

归纳其中的共性，并用自己的

语言进行描述，然后再组织学

生交流.

2•二元一次方程组的概念

对于公园门票问题：x+y=8

和5x+3y=34这两个方程，

其中x的含义是什么？y呢？

第4页共101页

两个方程中X，y的含义一样

吗？

总结：两个方程中x，y的含

义是一样的.

x，y必须同时满足两个方程，

所以我们把它们联立起来，在

前面加一个大括号，组成方程

x+y=8，

组

5x+3y=34.

共含有两个未知数的两个一

次方程所组成的一组方程，叫

作二元一次方程组.

教学说明：总结归纳出二元一

次方程组的定义后，注意引导

学生理解未知数x和y表示的

意义相同，并规范方程组的表

示方法，最后让学生尝试自己

举例.

3・二元一次方程(组)的解

做一做：

(l)x=6，y=2满足方程x+y

=8吗？x=5，y=3呢？x=

4，y=4呢？你还能找到其他

x，y的俏满足方程x+y—8

吗？

续表

教学步骤师生活刃设计意图

活动二：实践探究、交流新知(2)x=5，y=3满足方程5x+

第5页共101页

3y=34吗？x=2，y=8呢？

(3)你能找到一组x，y的值，同时

满足方程x+y=8和5x+3y=34

吗？

总结：使一个二元一次方程左、右

两边的值相等的一组未知数的值，

叫作这个二元一次方程的一个解.

x=5，y=3是二元一次方程x+y

x=5，

=8的一个解，记作同样

ly=3.

x=5,

'也是二元一次方程5x+

[y=3

3y=34的一个解.

x=5，

c同时满足方程x+y=8和

ly=3

5x+3y=34，那么，我们就说

’是二元一次方程组

[y=3

1[x++3yy==83，4的解.

二元一次方程组中各个方程的公

共解，叫作这个二元•次方程组的

解.

教学说明：学生分组讨论后进行回

答，教师帮助学生对比得到二元一

次方程(组)的解的定义，并引导学

生理解一个二元一次方程一般有

无数个解.

活动三：开放训练、体现应用【典型例题】

第6页共101页

例1下列方程有哪些是二

元一次方程：，f1)0)(61.

(l)x+3y-9=0；(2)3x2-2y+12

=0；

(3)3a-4h=7；(4•)3x-^=l；

(5)mn+m=7；(6)y—5n=1；

(7)xy-l=0；(8)x+y+z=2.

例2下列方程组匚h，属于二元一

次方程组白勺是(A)

x+y=5，x+y=2，

A.hi:

[y=2y—z=6

1.典型例题进一步巩固新知，提高

xy=4，x2—1=0，学生的应用能力.

C.D：

x+y=5

y=i2•变式训练拓展学生思维，进一

例3下列四组数匚h，哪些是二元步提高学生分析问题、解决问题的

一次方程2x+y=10的解？能力.

x=-2，x=3，

(1)((2)

ly=6：ly=44；

，

x=4Uyx—=6

(3),G

[y=3；

解：(2)(4)是二元一一次方程2x+y

=10的f1?.

例4二元一次方程组

x+2y=10，

的解是(C)

y=2x

x=4，x=3»

A/B.C.

[y=3y=6

第7页共101页

x=2，fx=4,

D.

y=4y=2

例5某旅店一共有70个房间，

大房间每间住8个人，小房间每间

住6个人480个学生刚好住满.设

大房间有x个，小房间有y个，则

x+y=70，

列出方程组为°一°八.

|8x+6y=480

【变式训练】

1•若(a—l)x+4yiw=3是二元一次

方程，则a=~l.

2•小明在解题时发现二元一次方

程口乂一丫二3中，x的系数已经模

糊不清(用“口”表示)，但查看答

X——，，

案发现是这个方程的一

ly=5

组解，则口表示的数为3.

师生活动：学生先独立思考并作

答，然后分小组交流讨论，派学生

代表进行讲解，教师最后进行完

善.

续表

教学步骤师生活动设计意图

【课堂检测】

活动四：课堂检测

L下列方程是二元一次方程针对本课时的主要问题，分层

第8页共101页

的是（。次进行检测，达到了解课堂学

A•x—xy=1B.x2—y—2x习效果的目的.

=1

C•3x—y=1Q.J—2y=1

2•下列各组数中，不是x+y

=5的解的是(6)

2x—y=1，

3•在方程组，,

y=3z+l；

x=2，fx+y=O，

3y—x=1；[3x-y=5；

,(1,1,

xy=l，T+-=IS

<sAy

|x+2y=3；[x+y=l

中，是二元一次方程组的有

(A)

A・2个8.3个C.4个

5个

4•下列各组数是二元一次方

x+3y=75

程组的解的是

ly—x=l

(A)

5•如图，设他们中有x个成

第9页共101页

第10页共101页

1认识二元一次方程组

二元一次方程（组）相关概念

板书设计（二元一次方程提纲挈领，重点突出.

1二元一次方程组

二元一次方程的解

〔二元一次方程组的解

1.通过情境导入“栽树问

题”等实际问题，学生能理解

二元一次方程组的必要性.学

生能区分二元一次方程（组）

与非二元一次方程（组）.

2♦部分学生误判方程类型或

混淆“方程”与“方程组”，

对“公共解”的意义理解不

教学反思反思，更进一步提升.

深，仅停留于数值代入验

证.后续教学要强化概念辨

析，设计分类练习（如判断方

程类型），结合反例深化理

解.需更注重:从生活实例到数

学本质的过渡，加强概念辨析

与解的意义建构，为后续解法

教学奠定基础.

第11页共101页

2二元一次方程组的解法

第1课时代人消元法

新课导入设计

【置疑导入】

问题：体育节要到了，篮球是七年级(1)班的拳头项目.为了取得好名次，他们想在全部

22场比赛中得到40分.已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分.那么七年

级(I)班应该胜、负各几场？

你会用二元一次方程组解决这个问题吗？

根据问题中的等最关系设胜x场，负y场，可以很容易地列出方程组：

x+y=22，①

2x+y=40.②

那么有哪些方法可以求得这个二元一次方程组的解呢？

教学设计

课题第1课时代入消元法授课人

1.了解解方程组的基本思想是“消元”，

掌握代入消元法解二元一次方程组.

素养目标2•在解决问题的过程中学会交流与合

作，感受二元一次方程组的实际应用价

值.

教学重点用代入法解二元一次方程组的基本步骤.

探究如何用代入消元法将“二元”转化

教学难点

为“一元”的过程.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.下列方程是二元一次方程回顾旧知，为学习新知做好准

回顾

吗？备.

第12页共101页

(l)x+3y=7；(2)2y+2=0；

(3)2x—3=5；(4)^—2=1.

2•你能把上面的二元一次方

程改写成用x表示y(或用y

表示X)的形式吗？

3•解一元一次方程的步骤是

什么？

【课堂引入】

上节课我们学习了栽树问题，

经过大家的共同努力，得出了

二元一次方程组

[x—y=2，通过提出实际问题，充分调动

\小明和小

活动一：创设情境、导入新课[x+l=2(y-D.学生的积极性，激发学生的学

颖分别栽种了多少株绿植习动力和兴趣.

呢？这就需要我们去解这个

二元一次方程组.我们会解一

元一次方程，那么二元一次方

程组如何解呢？

续表

教学步骤师生活动设计意图

【探究新知】1.通过利用一元一次方程解

问题1：栽树问题中，你能否决实际问题，引导学生将求解

列一元一次方程？如何求二元一次方程组的问题转化

解？为消“二元”为“一元”，调

活动二：实践探究、交流新知

解：设小明栽种了X株绿植，动学生思考问题的积极性，同

小颖栽种了(x—2)株绿植.时提高学生分析问题、解决问

根据题意，得x+l=2(x—2题的能力.

-1)，2•通过问题罗列及小组讨论，

第13页共101页

x+l=2x—4—2*x—2x=-4让学生发挥学习的主动性，同

—2—1»­x=­7»x=7.时让学生养成学会观察、分

问题2：针对同样的问题，如析、归纳的好习惯.

何求二元一次方程组

X—V=2，

•,的解呢？

x+1=2z(y—1)

提示：(1)对照一元一次方程

的解法，问题2比问题1多了

一个未知数y，y相当于问题

1中的____________.

(2)一元一次方程会解，如何

解二元一次方程呢？能否化

成一元一次方程？换句话说，

多出来的未知数y可以转化

成____________，然后代入

学生自己分析求解，教师规范

解题格式.

x-y=2，①

解.

•(x+l=2(y-1).②

由①，得y=x-2.③

将③代入②，得x+1=2(x-2

-1).解得x=7.

将x—7代入③，得y—5.

所以原方程组的解为"7’

[y=5.

探索与归纳：

(1)给前面解方程组的方法取

个什么名字好？

第14页共101页

(2)解方程组的基本思路是什

么？

(3)解方程组的主要步骤有哪

些？

代入消元法：将其中一个方程

中的某个未知数用含有另一

个未知数的代数式表示出来，

并代入另一个方程中，从而消

去一个未知数，化二元一次方

程组为一元一次方程.这种解

方程组的方法叫代入消元法，

简称代入法.

基本思路：二元一次方程组。

一元一次方程

解二元一次方程组的第一种

解法——代入消元法，其主要

步骤：

第一步：在已知方程组的两个

方程中选择一个适当的方程，

将它的某个未知数用含有另

一个未知数的代数式表示出

来.

第二步：把此代数式代入没有

变形的另一个方程中，可得一

个♦元一次方程.

第三步：解这个一元一次方

程，得到一个未知数的值.

第四步：回代求出另一个未知

数的值.

第15页共101页

第五步：把方程组的解表示出

来.

【典型例题】

活动三：开放训练、体现应用

例1(教材第115页例

1)解方程组：

3x+2y=14，①

x=y+3.②

解：将②代入①，得3(y+3)

+2y=14.

解得y=l.

将y=l代入②，得x=4.

经检验，x=4»y=l适合原

方程组.

所以原方程组的解是、一

y=l.

续表

教学步骤师生活动设计意图

例2(教材第116页例1.两道典型例题先易后难，进

2)解方程组：一步巩固所学新知，加强对代

2x+3y=16，①入法解二元一次方程组的训

x+4y=13.②练.

活动三：开放训练、体现应用

解：由②，得x=13-4y.③2•变式训练通过增加题目的

将③代入①，得2(13-4y)+难度，培养学生的团队合作意

3y=16.识，提高学生的分析能力，增

解得y=2.强学生思维的灵活性.

第16页共101页

将y=2代入③，得x=5.

所以原方程组的解是’

y=2.

师生活动：学生独立思考后分

小组讨论，最后完成解答，教

师鼓励并肯定学生“消元”

方法的多样性.

【变式训练】

1•用代入法解方程组

34H台正确的解法

[4x+l=9y，②

是⑵⑶.

(1)先将①变形为x=写，

再代入②；

2一0x

(2)先将①变形为y—3，

再代入②；

(3)先将②变形为x=^1，

再代入①；

(4)先将②变形为y=9(4x-

1)，再代入①.

2•先阅读材料，然后解方程

组.

材料：

解方程组

x+y=4，①

3(x+y)+y=14.②

第0页共101页

在本题中，先将x+y看作一

个整体，将①整体代入②，得

3X4+y=14，解得y=2.

将y=2代入①，得x=2.

x=2，

所以，

|y=2.

这种解法称为“整体代入

法”，你若留心观察，有很多

方程组可采用此法解答，清用

这种方法解方程组

X—y—1=0，①

4

4（X—y）—y=5.②

解：由①，得x-y=l.③

将③代入②，得4-y=5，解

得y=T

将y=-1代入③，得x=0.

所以原方程组的解为

x=O，

[y=-l.

师生活动：学生分小组讨论并

作答，教师巡堂并对学习有困

难的学生给予及时指导点拨，

最后由教师统一进行讲解.

第18页共101页

续表

教学步骤师生活动设计意图

【课堂检测】

活动四：课堂检测

1.代入法解方程组

[x-2y=7，

时，代入正确的

ly=l-x

是(。

A•x—2—x=7B.x—2—

2x=7

C-x-2+2x=7D.x-2+

x=7

2•用代入法解方程组

f2s+t=1，①

L。有下面四个选通过设置当堂检测，使学生进

13s—5t=8，②

一步巩固新知，及时检测学生

项中正确的是(C)

的学习效果，做到“堂堂

A•由②得t=¥，再代入

清”.

①

Q—5(

B•由②得s=『，再代入

①

C•由①得t=1—2s，再代入

②

。•由①得5=手，再代入②

3•用代入法解方程组：

y=2x-3，

(1)

3x+2y=8；

第19页共101页

2x-y=5，

(2)1

[3x+4y=2.

y=2x—3，①

解.13x+2y=8,②

将①代入②，得

3x+2(2x-3)=8，

解得x=2.

将x=2代入①，得y=l.

故方程组的解为’

ly=L

f2x-y=5，①

解：[3x+4y=2,②

由①，得y=2x-5.③

将③代入②，得3x+4(2x-5)

=2，

解得x=2.

将x=2代入③，得y=-l.

x=2，

故方程组的解为

师生活动：学生进行当堂检

测，完成后，教师进行批阅、

点评、讲解.

1•课堂小结：

学生在反思中整理知识、梳理

(1)本节课主要学习了哪些知

思维，获得成功的体脸，积累

课堂小结识？学习了哪些数学思想和

学习的经验，养成系统整理所

方法？

学知识的习惯.

(2)本节课还有哪些疑惑？请

第20页共101页

同学们说一说.

2•布置作业：

教材第117页随堂练习第1

题;教材第119页习题5.2第

1题.

第1课时代入消元法

1.基本思路：“消元”——

把“二元”变为“一元”.

板书设计提纲挈领，重点突出.

2•一般步骤：①变：②代；

③解.

通过对比“一元一次方

程的解法”，学生能理解“二

元转一元”的核心思想，大部

分学生能独立完成简单方程

的代入消元.需关注学生变形

教学反思时的符号处理和代入的准确反思，更进一步提升.

性，对基础较弱的学生单独指

导，后续可对比代入消元法与

加减消元法，深化“消元”思

想的应用.

第21页共101页

第2课时加减消元法

新课导入设计

【情境导入】

如图，第一个天平的左边有三块积木，质量分别是x克、y克、y克，右边有四块法码，

质量都是1克，此时天平平衡.

第二个天平的左边有两块积木，质量分别是x克、y克，右边有三块硅码，质量都是1

克，此时天平平衡.

如果第三个天平的左边只放一块质量是y克的积木•那么天平的右边应该放几块质量是

1克的祛码才能使得天平平衡？说出你的理由.

\F1l~QF1/e.一痣

\F1Fl/&

\F1/\；!

7/

II

教学设计

课题第2课时加减消元法授课人

1.会用加减消元法解二元一次方程组.

素养目标2•在用加减消元法解二元一次方程组的

过程中，会用不同解法解同一问题.

用加减消元法解二元一次方程组的基本

教学重点

步骤.

教学难点对用加减消元法解方法组过程的理解.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.解二元一次方程组的基本回顾旧知，为学习新知俶好准

回顾

思路是什么？备.

第22页共101页

2•用代入消元法解二元一次

方程组的步骤是什么？

【课堂引入】

怎样解下面的方程组？

3x+5y=21，①

2x-5y=-ll.@

小明：把②变形得x="/，

以实例引入，既巩固旧知，又

代入①，不就消去x了！

活动一：创设情境、导入新课

引入新课.

小亮：把②变形得5y=2x+

11，可以直接代入①呀！

小丽：5y和-5y互为相反

数……

按小丽的思路，你能消去一个

未知数吗？

续表

教学步骤师生活动设计意图

【探究新知】1.通过对一道练习题的解答，

[3x+5y=2l，①鼓励学生一题多解•，不要局限

解法1：八

[2x—5y=­ll.②

于教师教过的方法，而要注意

解：由②，得x=t旦，③观察、发现题目中的特点，找

把③代入①……到解决问题的其他方法，同时

通过一题多解，拓展学生的思

活动二：实践探究、交流新知

维.

(3x+5y=21，①

解法2：

2x-5y=-ll.②2•总结归纳加减消元法的解

解：由②，得5y=2x+ll，题思路、步骤，让学生体会加

③减消元法与代入消元法的区

把5y当作整体，将③代入别，合理恰当地选择解题方

法.

①……

第23页共101页

（此种解法体现了整体的思

想）

3x+5y=21，①

解法3：

[2x-5y=-ll.②

解：①+②，得5x=10，解

得x=2.

把x=2代入①，得y=3.

所以原方程组的解为’

[y=3.

师生活动：学生先独立对方程

组进行求解，然后分小组进行

解法的交流，并比较解法的更

杂程度，最终教师进行引导，

帮助归纳得到加减消元法的

特点和思路.

归纳：在方程组的两个方程

中，若某个未知数的系数互为

相反数，则可直接把这两个方

程的两边分别相加，消去这个

未知数：若某个未知数的系数

相等，则可直接把这两个方程

的两边分别相减，消去这个未

知数得到一个一元一次方程，

从而求出它的解，这种解二元

一次方程组的方法叫作加减

消元法，简称加减法.

特点：某一个未知数的系数相

同或互为相反数.

基本思路：二元一一元.

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主要步骤：

（1）加减消去一个元；

（2）分别求出两个未知数的

值；

（3）写出方程组的解.

【典型例题】

活动三：开放训练、体现应用

例1（教材第117页例

[2x-5y=7，①

3）解方程组：,人

2x+3y=-l.②

分析：观察到方程①和②中未

知数X的系数相等，可以利用

两个方程相减消去未知数X.1.典型例题进一步巩固所学

解：②一①，得