2025-2026高考数学第一轮复习：平面向量（解答题）专项练（含解析）

2025—2026高考数学第一轮复习试卷：平面向量解答题专项练

一、平面向量的线性运算（本大题共1小题）

1.如图，在VA4C中，DC=2BD»E为A。的中点，过点E的直线分别与边A8,AC交于点M,N

llUUUUUUUDULM1

（不含端点）.若AA/rAB，AN=yAC^x,y>0.

（I）用AR，衣表示而（请写出具体推理步骤）；

（2）求；的值.

二、平面向量的基本定理及坐标表示（本大题共6小题）

2.在锐角三角形43c中，角AB,C所对的边分别为兄角c,且勒sinC+6csinB=4asin8sinC.

（I）若2bsmB+2csmc=be+6a，求V4BC面积的取值范围;

（2）S^U^-sinB+c-g）cosB=V7,b-c=2.

（i）求8c边上的高；

（ii）若AO是一胡。的平分线，交于点。，且而5=〃?而+〃祝，求，〃一〃的值.

3.如图，在平行四边形A8C。中，AP上BD,垂足为P.

（2）设|瓯=6,|■=8,/84C」,而=x而+），/,

3

①用向量入瓦比表示向量而；

②求的值.

4.已知向量1=（2/）五=（一2,3）1=（5,-1）.

（I）求62+3-21：

（2）若/=mb+nc，求实数见”的值：

（3）若（乙+妨）〃（"2"）,求实数4的值.

5.已知d=（l/），6=（（）,-2）.

（1）若垢与G+28共线，求L的值.

（2）若%-序与%+6的夹角为90。，求攵的值.

<3）求向量4在向量方上投影向量.

6.已知q,6是平面内两个不共线的向量，若耳耳=2^-/，BP=ei-3e2,PC=e}+2e2.

(I)证明：A,B,C三点共线；

uu..

(2)若q=(l,O),s=(O,l),点。(2,1),B,C,。，P恰好构成平行四边形8CZ)P,求点P的坐标.

LILli.

7.已知点。(0,0),向量3=(2,3),08=(4,-3),OC=(1,2).

(1)若双_LAg，求力的值；

(2)若点P在线段的延长线上，且|麻卜寺闻求点尸的坐标.

三、平面向量的数量积(本大题共26小题)

8.已知平面向量力,B,若同=1,|同=2,卜―25卜

(I)求向量4与B的夹角；

(2)若守=2+花，2=4位+5,向量*与向量。共线且方向相反，求实数，的值.

9.如图，在边长为2的菱形A3CO中N84)=60。.

(2)若E为对角线AC上一动点.连结BE并延长，交CD于点F,连结AF,设在1).当/

为何值时，可使行.旃最小，并求出行.旃的最小值.

10.设0va＜用＜/7＜2乃,向量«=(1,-2),B=(2cosa,sina),c=(sin^,2cos/y),J=(cos^.-2sin^).

(I)若a_L。求。；

(2)若|如2|=6求sin^+cosP的值；

(3)若tanatan/?=4,求证:石〃己

11.如图，在直角梯形ABC。中，|。/|=2,ZC£)A=y,DA=2CB»N8为直角，E为A8的中点，

~DP=/DC(2GR，OW/iWl).

金

(I)当时，用向量觉，方表示向量屋；

(2)求IPEI的最小值，并指出相应的实数7的值.

12.已知向量2=3弓+色,〃=9q+l2^2，^=4^—3/,其中q=(1,0),02=(0，1)

(I)若(不+妨),求々的值；

（2）若沅=2d-反万=1+乙，求向量历在向量而上的投影向量E勺坐标.

13,已知向量力=（3次），方=（1,2）,3=（0,1）.

（1）若,〃,+求攵的值；

（2）若产+q=4,求cos（d,3）.

14.已知平面向量2、6满足同=1,W=2,（2Z+4R叫=-3.

（I）求3在6上的投影向量（结果用6表示）；

（2）求cos（Z,Z+%）；

（3）若7"=尻£=2,求*

15.在VABC中，〃、沙、。分别为VA3C的内角A、B、。的对边，满足标+/=。?—"，D为48的

中点.

（I）求角C的大小；

（2）若a=3,8=4,求线段CD的长度.

16.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，8（2,Tj.

（I）求向量八月与向量刁X夹角的余弦值：

（2）点C是线段AB的三等分点，求点C的坐标.

17.已知平面向量扇石满足Z=（2,4）,|昨巾,（2£+仍_10-3历.

（I）求向量G与4的夹角：

（2）求向量以+5的模.

18,已知平面直角坐标系X。），中，点A（-2,0）,氐2,-3）,单位向量正与向量油垂直.

（I）求单位向量力的坐标；

（2）若灰-廊+丽,且历〃荔，求向量正在八月上的投影向量入

19.某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外

接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为

该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角VA8C中，BC=4,其外接圆O的半径

为三百,且三条圆弧沿V4BC三边翻折后交于点从

（I）求sin/Z/CA；

（2）若点7为劣弧上一动点，求屈・元的最小值；

（3）若前.近=一10，求H4+H8+//C的值.

20.在平行四边形4BCO中，£为48的中点，点尸，G满足雨=2人*，GC=2BG.

（I）用血，而表示乔，EG：

(2)若EFLEG,求一；

(3)若AB=AD=1,求3(石户+E0・脱5+,4的取值范围.

21.如图，在平面四边形48CD中，VABC是等边三角形，点E,尸分别是CO,AC的中点，4。=1,

CO=2,ZADC=120°.

(I)求AC；

(2)求sin/CAD；

(3)求M•方.

22.如图，在直角梯形A4C。中，AB//CD,ADJ.AB,AD=26CD=2,AA=4,尸为BC的中

点，点E满足市=4云，Ae[O,l].

<1)用A月与也表示衣；

(2)求荏.行的取值范围；

23.平面内给定三个向审2=(3,2)4=(-1,2定=(4,1).

(I)求Z与5+2的夹角的余弦值；

(2)求满足[=加-标的实数次几

24.在平行四边形A8C。中，点E是A8的中点，点F,G分别是A。，8C的三等分点(AF=：AO,

BG=^BC),设丽=£,AD=b.

⑴若同=4,|同=3,3一3矶%+5)=13,求)与石的夹角也

(2)若|同=纲

①前与前夹角余弦值；

②判断四边形EFCG的形状，并说明理由.

25.已知力=（〃7,1）,B=c=（cos2，,sin&ose）（0<d<].

（I）若Z〃（2B-£）,求，〃的值；

（2）若石G=l，求夕的值.

26.在VABC中，丽=2反，E为AC中点，BE与AD交于点F.

<1）设衣=4而，求实数义的值；

（2）若3A8C=90，AB=2,AC=3,设M是AO上一点，AMB-MA=MC-MB求不必。力的值.

27.如图，在VA8c中，AB=AC,M，N分别是A8，AC的中点.

（I）设而=£，AC=hf试用人5表示丽，CM;

（2）若BNLCM,求cosNBAC.

28.已知向量。和/；,且同=2，W=2,<4,〃>=60求：

（I）的值

（2）悔+可的值

（3）2（+]与万的夹角夕的余弦值.

29.已知平面向量1=（1,1）,b=（2x+3,-x）.

（I）若，求工的值：

⑵若,//以求卜-%

30.已知向量向否满足同=1,忖=2,且（2Z叫卡+3与=-5.

⑴若（413®1伍+4，求实数k的值；

（2）求Z与y+B的夹角.

31.已知4=（1,-2）,B=不=（—2,3）.

（|）若q»求A的值；

（2）当）为何值时,（a+2c）//（ka-c）?

32,已知向量〃=（一1,34）石=（5,4一1）.

（I）若％/4，求人的值；

（2）若（W+WR叫，且；1>0,求（5词尻

33.已知向量口5满足同=4跖卜2①与5的夹角为g.

（I）求忖-年

（2）当尤为何值时，向量初+2G与府+万垂直？

四、平面向量应用举例（本大题共3小题）

34.（1）叙述余弦定理，并用向量法证明；

（2）叙述正弦定理，并用向量法证明（仅证明钝角三角形的情形，设A为钝角）；

（3）用正弦定理证明余弦定理.

35.如图，G为的中线。0的中点，过点G的直线分别交QAO8两边于点P,Q,记

OA=a,OB=b，设。户==

（I）试用向量,,〃表示0G•:

（2）判断山是否是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由；

S

（3）设△OPQ的面积为SQOW的面积为丁，求下的取值范围.

36.如图，M，CN是以点O为圆心，06为半径的60上的点，前M、N关于直线OC对称，

OC±AE,OA=OE/BAE=ZAED.如果以线段石4所在直线为实轴，以线段CO所在直线为虚轴，建

立复平面.则A8两点在复平面内对应的复数分别为马=46,Z2=5G-5i.

（|）求的值；

（2）求NABO的正弦值；

（3）点M在何位置时，五边形8MCNO的面积S取到最大值，并求出该最大值.

五、专题综合（本大题共7小题）

37.如图，我们把由平面内夹角为60。的两条数轴"，少构成H勺坐标系称为“完美坐标系”，设工分

别为办，。，正方向.L:的单位向量，若向量无=忘+）演，则把实数对［司习叫做向量炉的“完美坐标二

y4

%p

(I)若向量而的“完美坐标”为[3,4],求附

(2)已知[内,y],匡,必]分别为向量。的“完美坐标”，证明：日4=%七+)1%+3($%+々)1)；

(3)若向量入5的“完美坐标”分别为[2sinx,l],[2cosx,l],设函数/(力=/日，若对任意的

工€(0片)，不等式〃矿(x"sin2H亘成立，求实数小的取值范围.

38.设平面内两个非零向量正,后的夹角为。，定义一种运算“③”：〃①?=同胴]①试求解下列问题.

(I)已知向量满足2=(1,2),W=2,34=4,求％③坂的值；

(2)在平面直角坐标系中，已知点从(0,-1),8(-3,。),。(一2,2),求满保黑的值；

(3)已知向量〃一——l^=f—求的最小值.

Vcosasinay[sinacosa)\2)

39.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相

似度，常用测量距离的方式有3种,设4石,M),8%,力)，则欧几里得距离

D(A,B)=；曼哈顿距离"(AB)=1%-%|+1y-%I；余弦距离。A0=1—8s(AB)，

其中cos(4B)=cos〈方，历〉(。为坐标原点)

(1)若4(1,2),8(3,4),求4,8之间的余弦距离e(A8)；

(2)已知Ovavp<,Af(5cosa,5sina),2V(13cos13sinft),F\5cos(«+p\5sin(a+/?)),若

cos(M,P)系cos(M,N)=||,求M、尸之间的曼哈顿距离；

(3)若点、M(3,0),d(M,N)=2,求e(M,N)的最大值.

40.设OA8是平面上任意三点•定义向量的运算：RT(),丽卜而•砺，其中M由向量函以点。

为旋转中心顺时针旋转得到，当方为零向量时，规定两也是零向量.

(I)若函=(2,1),05=(-1,1).求RT(耐,砺)，RT(砺,9)；

(2)若为不共线的向量，满足方+m=3(x,)，eR),请解答下面的问题：

RT-

(i)证明：工=一T；

RT(叫

(ii)求[RT(M出口+RT0,也+RT伍㈤5卜的值.

41.如图，设。工、Ox是平面内相交成a(0<a<?i)的两条射线，&,"分别为。x,同向的单位向

IHII

量，定义平面坐标系xOy为a-仿射坐标系，在a-仿射坐标系中，若加=.话+)而，则记。户=(x,y).

%

uB%

(i)在:-仿射坐标系中，若％=(上」)，求向；

(2)在a-仿射坐标系中，若［=(-1,3),5=(—3,1),且工与6的夹角为(求cosa；

(3)如图所示，在］-仿射坐标系中，B,C分别在x轴，丁轴正半轴上，园=1,OD=-^OCtE，

户分别为8。、4C中点，求区.丽的最大值.

42.定义非零向量丽=(a,b)的“相伴函数”为/(x)=asinx+〃cosx,(.veR),向量次7=(a〃)称为函

数/(x)=asin.c+bcosx(xwR)的“相伴向量”(其中点。为坐标原点).

(I)设函数》(x)=2sin信71-cos传+。求函数碎)的“相伴向量”0M.的坐标；

13/167

(2)记丽=(0,2)的“相伴函数”为/⑺,设函数g(x)=((x)+26|sinx|T,问0,2句,若方程

g(x)=Z有四个不同实数根，求实数A•的取值范围；

(3)已知点加值乃)，(人。0)满足条件：ge(0，G］，且向量0M的“相伴函数”/(x)在工=小时取得最

大值，当点M运动时，求tan2x。的取值范围.

43,向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广

泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用.它们通过向审的

运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题.其中数量积的运算就很好的解决了物理

中做功的概念，其运算结果是一个实数.向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向

量的叉积(外积),记作：axb•规定：①。x5为同时与不，〃垂直的向量，且与〃x〃为相反向量；②

,><.=同忸卜山(万,5)(R,5)为向量值与/；的夹角)；

(I)证明：BXq=，同2怀;

(2)如图，已知棱长均为I的平行六面体ABCD-ABCQ，且NB4D=NBAA=NA4O=60%计算

1(丽X而).河的值，并解释其几何意义.

(3)有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面见,%,%，%上，且两相邻平行平面距离为1，

求该四面体的棱长.

参考答案

__2__1__

1.【答案】(1)AD=-AB+-AC

(2)3

【详解】(1)AD=AB+BD=AB^BC=AB+^AC-AB^=^AB+^AC

一|一I一1一11

(2)AE=-AD=-AB+-AC=—AM+——AN,

2363H6y

•「M,N,E三点共线，—=3

3xbyx2y

2.【答案】<1)(乎，苧；

(2)(i)宏互；(ii)!

142

【详解】(1)因为\/5/?sinC+V5csinB=4asin8sinC

JVr以V5sinBsinC+\/3sinCsinB=4sinAsinBsinC.

所以sinA=巫，

因为0VB<2,0<C<^,所以sin8工0,sinCVO,

2-2

又0<A<；,所以A=1.

由正弦定理得一2_='=，一=友〃，Sin8=4ib.「x/3c

—»sinC=-----，

sinBsinCsinA32(72a

代入2〃sinZ?+2csinC=be+\/3a»得2〃正^+2。=

he+\/3a»b2+c2-a2=—abc.

2a2a3

由余弦定理得所以bc=@abc，a

=6，Z?=2sinB,c=2sinC,

3

所以-=』

SAMhcsinA=GsinBsinC=\/5sinBsin—■-B=—sin2B—+—.

*2is)216；4

因为VA8C为锐角三角形，所以0<B<N且B+色，即

23262

;in(2K一四]«1,/<s

所LLi以、l兀三(2c",、一兀57c-।<<

OOO26)，24

型更

故面积的取值范围为

VA3c~2'~'

\」

(2)(i)因为叵sinb+'c-gcosB=5/7,所以ccosA-ACOS(4+])=J7,

2

因为人=］，所以cos(8+-

-=cos(/l+B)=-cosC,所以CCOS4+〃COSC=V7.

JJ

设R为V/V5C外接圆的半径，〃为笈。边，的高.

由正弦定理，得2/?（sinCeosB+sinBcosC）=2/?sin（B+C）=2/?sinA=布,

所以2RsinA=6，即〃=>/7.

由余弦定理，W7=Z72+c2-2/?ccosA=b2+c2-be=（b-c）2+be,解得Z;c=3,

所以SMe='〃csinA==—x5/7x/?,h=3y.

以24214

（ii）由/）一。=2,bc=3,解得b=3,c=1.

因为AO是。的平分线，所以N3AD=2C4。，

乂sin/BAD=2^sin3,sinCAD=sinC,

ADAD

DBsinCc1

所以一=-----二一二一，

CDsmBci3

所以4/5=A#+B/5==人方+^（八^-人初二之八8+^^乙.

44、744

因比，〃[=],〃=!，，〃-〃的值为;.

442

3.【答案】（1）2

___2

（2）BD=AC-2A*；-

【详解】（1）

•••在平行四边形A4C3中，AP工BD,垂足为P，

:.7LPAC=AP2AO=2而.（而+呵=2AP-AP+（）=8,

...（珂2=|研=4,

解得网=2,故AP长为2.

（2）®BD=Ab-AB=BC-AB=AC-AB-Ali=AC-2AB

②；AP=xAB+yAC=xAB+2yAO，且B,P,。三点共线，

：.x+2y=\,

又•••卜月卜6,|AC|=8,ZBAC=1,

||/\c|cos^AC=12

则痔KD=葡

由AP_L3£＞可知^户•丽=（%/月+2），行）（祈一丽）=0,

^2yAO-xAB+（x-2y）AB-Ad=0>化简得到Y=3x

I3?

联立解得x=,,y=,,^y-x=~.

4.【答案】（1）（0,11）

⑶k=-

3

【详解】⑴va=(2,l),5=(-2,3),c=(5,-l),

.•.65+5-2C=6(2,1)+(-2,3)-2(5,-1)

=(12,6)+(-2,3)-(10,-2)

=(。/)

(2)•.•5=(-2,3)忑=(5,-1),

mb+nc=m(-2,3)+

=(~2m,3/〃)+(5〃,一〃)

=(-2根+5/?,3m-n)

又日=mb+nc»d=(2,1),

7

m=­

2=-2m+5n13

所以解得

1=3m-n8

n=一

13

7Q

所以〃7二⑪，〃二百.

(3)•.4=(2,1)3=(-2,3)]=(5,-1),

.•.&+防=(21)+2(—2,3)=(2—221+3外,

d-25=(5,-1)-2(2,1)=(1,-3),

•.•他+/)〃传-2〃)，

3(2-2Q+(1+32)=。

7

解得

5.【答案】(I)

(2)-6；

(3)(0,1).

【详解】(1)因为。=(W),5=(0,-2),

所以依一5=(左/+2),a+25=(1,-3),

因为依。与4+25共线，所以-34="2,解得&=-；；

(2)因为量一历=(3,3+2k),3Hb=(3,1),

又%-历与3。+5的夹角为90。，

则(3,一心)・(3彳+/；)=3x3+3+2k=0,解得左二-6；

(3)因为。=。,1),/；=((),—2),

所以及石=一2,⑻=2,

d・b-1―/、

所以向量〃在向量I；上投影向量为而电=-2%=(0.1).

6.【答案】(1)见详解

(2)(0,2)

——.————UllllIIUU

【详解】⑴因为BC=BP+PC=2e「s，所以4B=8C.

又因为4反8。有公共点点3,

所以A,B,C三点共线.

(2)设点尸的坐标为(x,y),则丽=(2-乂1一力，前=而+前=2■-贰=(2,-1),

因为8,C,D,P恰好构成平行四边形BCOP.所以所=前，

2-x=2x=0

即.解得J，

[|_y=T

所以点。的坐标为(0.2).

7.【答案】(1)A=1

(2)(8,-15)

【详解】(1)而=丽—次=(2,-6),

因为碇_L而，所以祝•丽=2-62=0,

得4

3

设P(x,y),因为点尸在线段AI3的延长线上且|用=,

所以所,

2

3.

yx-4)

x=8

所以;,解得：＜

y=_15'

y-3=押+3)

所以点尸的坐标为(8,-15).

8.【答案】⑴y

(2)/=--

2

【详解】(1)因为卜一2可=①，

则(0一25『=^2-4(ib+4b2=时-4|d|•|^|cos^7,b^+41^|'

=1-8COS(4,5)+16=21,

解得cosG$)=-；,又因为0«〃,与4兀，

因比，(咽=?，即向量。、6的夹角为笄.

JJ

（2）因为向量2与向量［共线，所以存在实数4使得武布=刈4万+町,

即a+tb=4Ata+Ab，

因为向量值与万不共线，所以I』"'，

解得：2或：2

/=—t=--

22

因为向量［与2方向相反，所以4<0,

所以，=-/.

9.【答案】（1）6

（2）2

【详解】（1）在菱形A8CO中，易知/=丽+而，|而|=|而|=2,

所以福=而（而+而）=|丽『+福布

=4+|A2||AZ)|COS600=4+4X1=6

(2)在菱形ABC。中，AB//CD,易知AEFCS^EBA,

\CF\\CE\

由画，则昌=昌=义，即=T而,

CT=4网网

所以标.丽=（而+配+汴）•（而+汴”［。-⑷存+布］•（而―/1通）

2

=(\-A)AB-+\AB^~^ABAD=U-SA+6t

^AF-BF=4(2-l)2+2,所以当4=1时，而•丽取得最小值为2.

10.【答案】(1)a=-

4

⑵一姮

3

(3)见详解

【详解】(1)若4,则=2cosa-2sina=0,tana=I,

再由0<。<不，可得a=£;

(2)由题意“J得d+Z=(sin/?+cos/7,2cos4一2sin/?),

/.|c+J|=yl(sin/3+cos/?)2+(2cos/?-2sin^)2=>/5-6sin/?cos/?=£，

7.sin尸cos夕=g.

结合乃</<2乃，可得夕为第三象限角，故sin/+cos4<0,

/.sin/?+cos/?-—J(sin/?十cos0，--5/l+2sin^cos/?——;

，、一八.r,,sinszsin/?”

(3)若tanatan6=4,则有----------=4,

cosacos/7

/.2cosa2cos力=sinasin/?,

・「B=(2cosa,sina),3=(sin/7,28s乃)

故5//0.

11.【答案】(I)。反方

64

⑵把I,2

48

1I---

【详解】(1)解：因为当％=5时，DP=-DC,

所以=g(而+方)

=7[(DX-DP)+(PC+CB)1

=-(DA--DC+-DC+-DA)

2332

1一,3一

(2)因为方=g(中+而)

=^l(DA-DP)+(PC^~CB)]

=^[DA-2DC+(l-A)DC+|oA]

=^[|DA+(l-2/l)DC]

3--1—22

~~DA1--D7sC,

由于1况1=2,ZCDA=pDA=2CB，知I就1=1加1=2,

，国|2=高次2+(心)-抗2+如2团方8

1644

=422-7A+—=4m-+卫，

4I,8；16

因为0W4W1,所以当2=/7时-，|而|2有最小值27

o16

即I西I有最小值地.

4

12.【答案】(1)k=—；

【详解】⑴解:因为。=(3,4)为=(9,12)4=(4,-3),

所以不+防=(3+94,4+12外,5=(5,15),

因为m+防)JL(5-习，

所以(〃+序)-b=5(3+94)+15(4+12A)=0,

所以％=T；

(2)m=2a-b=2x(3,4)-(9,12)=(-3,-4),

>j=j+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1),

所以布•乃二一3又7—4><1=-25,同=>/^71?=5近，

所以向量沅在向量方的投影向量为第八=妾(7,1)=(-1-]

I〃IDUIZ

13.【答案】(1)9

⑵一女

13

【详解】(1)5+?=(1,2)+(0,1)=(1,3),

口〃伍+可，故3x3-Z=0,解得&=9；

(2)Z+石=(3㈤+(1,2)=(4次+2),

忖+4=4,故J16+(&+2)2=4,解得&=-2,

所以亍=（3,-2）,

8,启出二无二（3，一2）（。/）「2屈

8'm力一丽一屈一一丁

14.【答案】（1）\b

（3）2

【详解】（1）V（2a+&）（5-5）=-3,即作一公不一片=一3,

又,.[a=l,W=2,=

-1-

b=-b

4­

(2)由(1)知+B)=a+ab=1+1=2,

+2ab+b=Jl+2+4=".

作04=3，OQ=B,OC=c^如下图所示:

WiAB=OA(OB-OA]=OAOB-OA=1-1=0,即况上建

A。

,:ac=bc=2,即0Aoe=O8OC=2，

/.(?C(05-04)=OCAB=0,则加,南，故德、灰共线,即。//；,

又.••7Z=2>0,故£、2同向,故7工=忖卡卜忖=2.

15.【答案】⑴y

⑵叵

2

【详解】（1）因为〃2+/=/一加，即,，+从一。2=一心,

由余弦定理可得8Q史萨

-a-b-=——1

2ab2

因为0＜（7＜兀，故C=3~.

（2）因为。为AB的中点，所以6=+即2①=①+而，

所以4而2=（*+闻y=^^+2无.赤+而」=^^+2］可|词cosNACB+而,

=/?2+2^cosy+o-=16+2x4x3x^-i^+9=13,故。。=孚.

16.【答案】（1）一曲

10

【详解】（1）因为点O为坐标原点，网2,-1）,所以A®=（1,—2）,OA=（\,\）f

/-7-H7\ABOA1-2_x/10

则cos(AB,O7TA)=।_]।_!

',A8.QA]百•五一io

所以向量方与向量方夹角的余弦值为-我;

10

（2）若点。是线段AB的三等分点，则衣=2四或AC=gc8,设C（x,y）,

当衣=2。月时，（工一1,,,-1）=2（2—乂一1一），）,

A—1=2(2—A)

则

y-1=2(-l-y)

x-l=|(2-x)

x=

则:，解得「所以

故点c的坐标为仔，T或传W

lJ3）\JJ

17.【答案】（1）y

（2）VlO5

【详解】（1）由题意|Z|=26,访|=后（2£+和（£-35）=0,

所以21-5£石-3片=0，

即%2+5ab-2a=3x5+55•万一2x20=0，

：.ab=5-

ab_5_1

:.cos(a,b)

13H⑹一26x"5

•.•历e[0,冗],.•.〈4,〃〉=7t

3

(2)\2a+b\=+4x5+5=Vl05.

4)

18.

5>

(2)

【详解】（1）由题意丽=（4,一3）,设所求为";=（x,y）,

因为单位向量而与向量AB垂直,

所以［网

解得:或，

［沅A月=4工-3y=0

故所求为士、

5>

（2）由题意双=屈+丽=（-2人0）+（2,-3）=（2-2八-3）,

因为觉/而，且为与向量通=（4,-3）垂直,所以8（17）+9=0,

解得，=［，

O

所以Od=（2—2「3）=（—*—3）,而04=（-2.0）,

从而前=祝一0彳=（一；,一3）一（一2,0）=（—

因为血=（4,一3）,

部（4，—3）=g|,一||：

所以向量"在八分上的投影向M^=I—.2AR=

\AB\

3

19.【答案】（1）-

4

（2）--

7

⑶”

7

【详解】（1）在锐角VA8C中，・・・3C=4,其外接圆。的半径为25，

解得sin/BAC=立.

・•・由正弦定理可得:缶&=2”

4

/.cosABAC=J-(sinNR4c)2=Jl一专=(

由题可知4HCA=--ZBAC,「.sinZHCA=sin（--ZBAC）=cosZBAC=-.

224

（2）设点M为VA3C的边4C所对的外接圆的劣弧，点。为选3c的中点.

由题意及对称性可知觉.天1=加"乙=（收+。①.（加万一。豆）=加6-方天=加6-4.

故要使用元取得最小值，只需|叫最小.

在现。上，由三角形三边关系可知加。+0。之。"=5近，当且仅当",0,0三点共线时取等号，此时

O/O/又60

MD=OM-OD=-^7->JOD2-f3D2=-s/l-y/OC2-BD2=-V7--V7=-77.

77777

ATBTC=MD-4>

即汕汽的最小值为一亍.

(3)由(1)可知：sinZ^AC=^-»cosZ.BAC=*/1--=—

4V164

vBOAC=-OBAC=-10，,-.OBXC=10.

^OBAC=OB(OC-OA)=OBOC-OSOA=\o^^c\cofi^BOC-\o^\a^cofiZBOA,

，由圆的性质可知

OBAC=-y/7x-y/7cos2ZBAC--y/7x-47cos2ZBCA=—cos2ZBAC--cos2ZBCA=10.

777777

又cos2/R4C=2(cos-1=2x—-1=i,

168

64I6431

Ayx--ycos2ZBCA=10,解得cos2ZBCA=--.

・左比山/m/cos2ZBC/4+lI./nkA/l-cos2ZBCA3不

••任锐角VA8C中，cosZZ^CA=J-----------------=一，sinZ^CA=J------------------=------,

V28V28

sin/ABC=sin(N8CA+NBAC)=sinNBCAcosNBAC+cosNBCAsinNBAC=—x-+-x—=—，

848416

cosZABC=Jl-(sinCA8C)2=..

・•・由正弦定理可得:缶占=3

AAB=2x->/7sinZBCA=2x-V7x->/7=6,AC=2x->/7sinZABC=2x-y/lx—y/l=5.

7787716

在VA3C中，由点”是VA8c的垂心可得/4"C=7t—ZA3C,NBHC=TC—NBAC,NAHB=TI-NACB.

HAAC

在△A”C中，由正弦定理可得

sinZACHsinZAHC

,3

山ACsinZACH5cos4AC5cosZfiAC因口"

sinZAHC~sin(兀—/ABC)-sinZABC~577-7

16

ABsin/BAH=6cos/A8C=6cos/A8C=6、正=9小

sinZ.AHBs\n(n-Z.ACB)sinZACB3万7

~T~

BCsin/CA”_4cosNACl_4cosN8cA__23

sinNBHC~sin(7i-ZB4C)-sinZBAC~~^jT~

7

：,HA+HB+HC=屈+也+也=处.

7777

20.【答案】(1)EF=-AD--AI3W=-AB+-AD

32t23

AB2

(2)~AD=3

(3)

minLRIDiiunIuinniim

【详解】(l)由题意知，EF=AF-AE=-AD--AB,

51

EG=EB+BG=-AB^-AD-

23

<2)若石尸,房，则方.房=(),

所以+；丽)=0,

可叫河.可町

AB2

所以而=3

（3）设N8AO=e，6>G（O,7t）,

^^jEF+EG=-AD--AI3+-AI3+-AE）=-Ab

32233t

所以3（/+函）-B方+|园

=2A/（4万一A£j）+J（A8+A。）?=2^AD-^D-AB^ylAB+2ABAD+AD

+J祠?+2］研西cos9+|画

=2（阿-河网cos。）

=2（1-cos4-V2+2cos^=2x2sin2—+g0=4「c。〃+2。

22）2

7co〃+2c"+4,

22

令cosg=i,则3（万+房）•丽+码=-4/+2.+4,re（0,l）,

因为-4/+2，+4=-4（，一（+?,re（0,l）,

可得一4r+2/+4w（吟，

所以3（加+的）・布+|码的取值范围是（2彳

【详解】（1）在aAC。中，

由余弦定理知AC?=AO2+CO2-24OCQcosNAOC=l+4—2xlx2x（-g）=7,

所以AC=J7.

CDAC

⑵在AA女中'由正弦定理知嬴苕而

sinZADC'

叫*3%笋=等=竽

（3）因为VA3c是等边三角形，所以3?=且4。=叵，

22

因为点E,尸分别是C。，AC的中点，AD=\,所以Er=；,

所以庵•丽=|FE|-|F//|-COS/BFE

=浮cos(90。+NCFE)=cos(900+ZCAD)

V21.小八721x/213

=-----sinZ.CAD=-----x----=——.

4474

__3_I___

22.【答案】(1)AF=-AB+-AD

42

(2)[6,12]

【详解】(1)在直角梯形A8CQ中，AB//CD,。。=2,人8=4,/为8c的中点,

一，—|.—»1.1——1.3—*1-

用以八尸=1(4。+48)=耳(八。+548)+548=^从8+54。.

(2)由加=义加，得亚=弁方+丽=45+/乩由AO/A3,得而•丽=0，

^)tAEAF=(Ab+-AB)\-AD+-AB)=-AD+—AB=()+6A,而

22428

所以荏•标w[6,12].

23.【答案】(1)生匣

26

,八58

(2)/〃=—,〃=—

99

【详解