2025年人教版八年级数学上册同步讲义：三角形有关的线段（原卷版）

第01讲三角形有关的线段

学习目标

课程标准学习目标

1.认识三角形并了解三角形的相关元素，并能根据三角

①三角形的认识与分类

形的特点对其进行分类。

②三角形的三边关系

2.掌握三角形的三边关系，能够利用三边关系解题。

③三角形的中线、高线以及角平分线

3.掌握三角形的中线、高线、角平分线以及他们的性质。

④三角形的稳定性

4.掌握三角形的稳定性并了解它在生活中的应用。

思维导图

认识

知识清单

知识点01三角形的认识与分类

1.三角形的认识:

如图：由三条不在上的线段首位顺次连接组成的图形。用符号“△”来表示，表示

为。

其中：点A、点B、点C时三角形的。

线段AB、BC、AC是三角形的o

NA、NB、NC是三角形的o

AB、AC与NA相邻，所以是NA的,BC与NA相对，所以是NA的；

同理可得ZB、NC的邻边与对边。

题型考点：①判断认识三角形。

2.三角形的分类:

三角形可按或_________进行分类。

①按边分类:

|两边相等|

有边相等（|三边相等（)

三角形

无边相等（)

②按角分类:

有一个角是直角（）

r1

三角形所有角都是锐角（）

J.J

有一个角是钝角（）

题型考点：三角形的分类。

【即学即练1】

I.图中共有三角形个，其中以4E为边的三角形有个.

【即学即练2】

2.关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（)

等边

角

三

钝角

锐

角

三

形

边都

三

三

形

等

腰

等

相

不

三

角

形

角

的

三

\直角三角形/\

甲乙

A.甲、乙两种分法均正确

B.甲、乙两种分法均错误

C.甲的分法错误，乙的分法正确

D.甲的分法正确，乙的分法错误

知识点02三角形的三边关系

1.三角形的三边关系:

由两点之间线段最短可知，三角形的任意两边之和第三边。任意两边之差_______第三边。

解题时常用两边之差小于第三远小于两边之和建立不等式。

题型考点：①判断能否构成三角形。②求第三边的范围。

【即学即练1】

3.将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.2,3,5D.3,5,9

【即学即练2】

4.若一个三角形两边的长分别为2和6,则这个三角形第三边的长可以是（）

A.3B.4C.6D.9

【即学即练3】

5.己知三角形的三边长分别为3,5,X,则.1不可能是（）

A.5B.4C.3D.2

6.若三角形三边长为3,2什1,10,则X的取值范围是

知识点03三角形的中线

锐角三角形的三条高都在,垂心在0

直角三角形有两条高是,垂心在“

钝角三角形有两条高在，垂心在O

题型考点：①三角形高线的判断与作图。②根据高线与垂心的位置判断三角形的形状。

【即学即练1】

9.如所示的四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（）

【即学即练2】

10.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定

知识点05三角形的角平分线

1.三角形角平分线的定义：

如图。三角形的一个内角平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间

的是三角形的角平分线。

2.三角形角平分线的性质：

①AD是三角形的角平分线0/1Z2o

②三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段

比。即:SAACQ=。

③三角形有条角平分线，三条角平分交于一点，这一点叫做三角形的°

题型考点：①角平分线的认识。

【即学即练1】

11.如图，在△ABC中，Z1=Z2=Z3=Z4,则下列说法中，正确的是（）

A.AO是△ABE的中线

B.AE是△ABC的角平分线

C.A”是AACE的高线

D.4E是△/）/1尸的中线

知识点06三角形的稳定性

1.三角形的稳定性:

三角形的三条边确定，则这个三角形的和就会确定。这就是三角形的稳定性。

题型考点：判断三角形的稳定性在生活中的应用。

【即学即练1】

12.如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项

目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”.桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更

.加稳固.其中运用的数学原理是（）

A.三角形具有稳定性

B.两点确定一条直线

C.两点之间，线段最短

D.三角形的两边之和大于第三边

题型精讲

题型01利用二角形二边关系求取值范围

【典例1】

已知小儿。是一个三角形的三边，且4,〃满足伤l+（b-2）2=S则。的取值范围是（)

A.c>\B.c<2C.1<CW2D.\<c<3

变式1：

在△ABC中，AB=2n-5,AC=4,BC=13,则〃的取值范围是（）

A.n<\\B.C.9<«<17D.〃>7

变式2：

已知三角形三边分别为2,1,5,那么。的取值范围是（）

A.2<«<5B.3<d<6C.3<a<lD.4V〃V8

题型02利用三角形三边关系化简

【典例1】

已知4,b,C是三角形的三条边，则|c-4-。|+匕+力-aI的化简结果为（）

A.0B.2a+2bC.2bD.2a+2b-2c

变式1：

己知小b,c是三角形的三边长，化简：\a-b-c|+|/>-c+a\+\c-a-h\=.

变式2：

已知二角形的三边长分别为2.〃-1,4,则化简31-1〃-7|的结果为.

题型03三角形三边关系与等腰三角形

【典例1】

等腰三角形的两边长分别为4和9,这个三角形的周长是（）

A.17B.22C.17或22D.17和22

变式1：

在等腰△A8C中，AB=AC,其周长为1653则AB边的取值范围是（）

A.\cm<AH<4cmB.3cm<AB<6cm

C.4cm<AB<3cmD.5cm<AB<\0cm

变式2：

等腰三角形的周长为26cm,一边长为6c?〃，那么腰长为（：

A.6cmB.10cmC.或10c〃iD.14cm

变式3：

已知a,方是等腰三角形的两边长，且小I满足J2a-3b+5+（2a+3b-13）2=0,则此等腰三角形的周长

为（）

A.8B.6或8C.7D.7或8

题型04三角形的中线与周长与面积的关系

【典例1】

如图，△八中,/lB=16,BC=10,BD是AC边上的中线，若△人8。的周长为30,则△3CO的周长是（）

C.26D.28

变式1：

在△A6C中，AD是8C边上的中线，△AOC的周K比△A6D的周K多3,A8与AC的和为13,贝UAC的

长为（）

A.5B.6C.7D.8

【典例2】

己知：如图所示，在△ABC中，点。，E,产分别为BC,AD,CE的中点，且5号此=4。/，则阴影部分的

面积为cnr.

强化训练

1.如图，图中三角形的个数共有（)

D

A.3个B.4个C.5个D.6个

2.下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（)

A.甲、乙两种分法均正确

B.甲分法正确，乙分法错误

C.甲分法错误，乙分法正确

D.甲、乙两种分法均错误

3.图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（)

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.以上都有可能

4.下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（)

A.5cm,11cmB.3cm,4cm,5cm

C.4cm,6(772,1OcmD.3cm,4cm,Scm

5.在△ABC中，AB=2cm,AC=5cm,若BC的长为整数，则BC的长可能是（）

A.2cmB.3cmC.6cmD.1cm

6.若a,b,c为△ABC的三边长，化简：\b-a-c\~\a-b-(?|—

7.用三角板作8c的边3c上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（)

A.形状相同的三角形B.面积相等的三角形

C.直角三角形D.