《应用数学基础》教案33 时间序列分析

长沙民政职业技术学院教案

课程名称数学应用基础

课题时间序列分析授课课时2

课型新授课教案编号3-3

教学目标（知识、技能、素质）：

1、知识目标：掌握时间序列的概念；时间序列长期趋势的测定方法；按月（季）平

均法；

2、技能目标：分析解决问题的能力和严谨的逻辑思维能力

3、素质目标：培养学生理性的思维方式和数学应用意识

教学重点：时间序列的概念；时间序列长期趋势的测定方法；按月（季）平均法；

教学难点：时间序列长期趋势的测定方法

主要教学方法：启发引导式、讲授法

教学环节与内容

一、问题引入

时间序列的一个重要目的，就是要掌握事物发月专变化的规律和趋势，对客观现象未来发

展的可能状态进行认识。

二、新课讲授

（1）时间序列的概念

时间序列是指反映客观现象的同一指标在不同F时间上的数值，按时间先后顺序排列而形

成的序列，它由两个基本要素组成：一个是现象的月年属时间；另一个是反映该现象的同一指

标在不同时间条件下的具体数值。也称为时间数列,或动态数列。

时间序列的一般形式是：

时间顺序：%4G……如乙

指标数值：%%a2……％4

例如，表3-11是国庆生产总值及其部分构成统计表，为一个时间序列。

表3-11国内生产总值及其吾6分构成统计表

国内生产总第一产业增加年末人口总年均国内生产总

年份（年）

值（亿元）值比重（%）数（万人）值（元/人）

199558478.120.511211214584

199667884.620.391223895576

199774462.619.091236266054

199878345.218.571247616308

199982067.517.631257866551

200089468.116.351267437086

200197314.815.841276277651

2002105172.315.321284538214

2003117390.214.421292279111

2004136875.915.1712998810561

（2）时间序列的趋势分析

研究时间序列的一个重要目的，就是要掌握事物发展变化的规律和趋势，对客观现象未

来发展的可能状态进行认识。时间序列的趋势分析提供了一系列有效的方法。

时间序列的形成是各种不同的影响事物发展变化的因素共同作用的结果。影响事物发

展变化的因素很多，有起决定性作用的基本因素，也有起临时作用的、局部作用的偶然因素。

影响时间序列的因素归纳起来有四类，即长期趋势、季节变动、循环波动和不规则变动。由

于现阶段较为成熟的趋势分析的数学方法主要是对长期趋势和季节变动的测定，故这里只介

绍这两种情形。

1.长期趋势：指客观现象在一段较长时期内，持续呈现为同一方向发展变化的趋势。

2.季节变动：指客观现象因受自然条件或社会经济季节因素的影响，在一年或更短的

时间内，随时序变化而引起的有规律的周期性变动。一般以一年为周期，也有以月、周、口

为周期的。

（3）长期趋势的测定

测定长期趋势就是用•定的方法对时间序列进行修匀，以消除序列中季节变动、循环波

动和不规则变动等因素的影响，以显示出现象变动的基本趋势，作为预测的依据。

i）简单平均法

根据过去已有的n期观测值通过简单平均来预测下一期的数值的一种预测方法,称为简

单平均法。设时间序列已有的〃期观测值为匕匕，…匕，则第〃+1期的预测值巴川为

心」（x+x+…+匕）」*，

当有了第〃+1期的实际值，便可计算出第〃+1期的预测误差。

e0+i-工+i-居+i,

且第〃+2期的预测值为

11n+l

£“2=-^（匕+X+・・・+匕+匕+1）=12工・

77+1n+\77

案例1已知某商场2008~2014年的年销售额如表3-12所示，试用简单平均法预测2015

年该商场的年销售额。

表3-12某商场2008~2015年销售额

年份2008200920102011201220132014

销售额（万元）|9896|10510199110L03

解根据简单平均法的计算公式，可得

心心=1（98+96+105+101+99+110+103）

=101.71（万元）

即预测2015年该商场的年销售额为101.71万元。

ii）移动平均法

移动平均法包括简单移动平均法和加权移动平均法.

简单移动平均是将最近的k期观测数据加以平均，作为下一期的预测值。设移动间隔为

k（\<k<n）,则第〃期的移动平均值为

它是对时间序列的平滑结果，通过这些平滑值就可以描述出时间序列的变化形态或趋势。当

然，也可以用它来进行预测。第期的简单移动平均预测值为

F_y_匕_川+匕-+2+…+匕-i+匕

向一八一k.

使用移动平均法分析时间序列的变化趋势，关键在于移动步长（或叫移动项数）的选择。

移动步长为奇数时，移动平均数就是平均期中间一期的“修匀〃值；移动步长为偶数时，要进

行二次平均（即移正平均）。具体做法如图3-15所示。

时期数指标值三项移动四项移动修正后

6%

q

+生+a3

h“23

a+%+%

，32

344+A2

/+为+4+%2

••••••4

4-2an-2

a”-:+4-i+4%+4产41+4

4-1a

n-\34

fn

图3-15移动步长不同时平均数的计算

表3-13给出了一个移动平均计算实例，图3-16画出了移动平均的趋势线。

表3-13移动平均法计算实例（单位：万元）_________________

年份（年）销售收入三年移动平均四年移动平均四年移动平均修正

19881———

1989149.67——

19901417.3313.2516.25

19912421.0019.2519.88

表3-14某产品最近15个月的销售量

时间序列123456789101112131415

销售量10158201016182022242026272929

解为了分析加权系数。的不同取值的特点，分别取。=0.5,。=0.7,。=0.9计算一次指

数平滑。当1二0.5时，取乙=乂=10,则

6=0.5八+0.5g=0.5x15+0.5x10=12.5,

玛=0.5匕+0.5工=0.5x8+0.5x12.5=10.25,

依次计算，得表3・15。

表3-15一次指数平滑值计算表

时间序列销售量a=0.50=0.7a=0.9

110.00——

215.0010.0010.0010.00

38.0012.5013.5014.50

420.0010.259.658.65

510.0015.1316.9018.87

616.0012.5612.0710.89

718.0014.2814.8215.49

820.0016.1417.0517.75

922.0018.0719.1119.77

1024.0020.0421.1321.78

1120.0022.0223.1423.78

1226.0021.0120.9420.38

1327.0023.5024.4825.44

1429.0025.2526.2426.84

1529.0027.1328.1728.78

1628.0628.7528.98

根据表3-15,分别取a=0.5,a=0.7,a=0.9时，下一个月的销售量预测值为28.06,28.75,

28.98o

iv）趋势线预测法

趋势线预测法是采用适当的方程对时间序列予以描述，并据此计算各期趋势值的方法。

用趋势线描述时间序列的方法很多，最常用的主要有直线型、二次抛物线型、指数曲线型、

修正指数曲线型、龚伯兹曲线型、蒲尔-里德曲线模型等。

①直线型趋势线

在线型趋势是指客观现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的线性变化规律。当

客观现象的发展按线性趋势变化时，可以用下列线性趋势方程来描述:

券=a+bt.

②二次抛物线型趋势线

如果客观现象满足二级增减最大体相同的条件，我们可以利用二次抛物线模型进行配

合。其趋势方程为：

2

yc=a+bt+ct

③指数曲线型趋势线

如果时间序列满足环比发展速度大体相同的条件，那么可以配合指数曲线模型来反映现

象发展变化的趋势。其趋势方程为：

X=（㈤

④修正指数曲线型趋势线

如果时间序列满足逐期增减量的环比发展速度大体用同的条件，则可配合修正指数曲线

来描述现象的变化状态。其趋势方程为：

K=a+be1.

⑤龚伯兹曲线型趋势线

如果时间序列的对数的逐期增减量的环比速度大体相同，则可以配合龚伯兹曲线模型来

描述该现象的变化状态。其趋势方程式为：

”=心.

⑥蒲尔-里穗曲线型趋势线

如果时间序列满足其指标值的倒数的逐期增减量的环比发展速度大体相同的条件，则可

配合蒲尔一里德曲线模型来描述该现象的趋势变化。其趋势方程为：

—=a+be1

X-

（4）季节变动的测定

测定季节变动包括两方面的内容：一是测定季节变化规律，研究客观现象随季节变化而

变化的状态，主要利用12月移动平均法（以及原数据平均法、全年平均比率法、平均数趋势

整理法、趋势比率法、环比法、图解法等）计算季节比率（或叫季节指数）；二是根据季节变化

规律对客观现象未来发展的可能状态进行预测。

若把一年划分为若干个时间片断（通常是4个季度或12个月份，但实践中也可根据具体

问题以其他时间单位分割，如以两个月为一个时间片断，以旬为时间片断，以半月为时间片

断，甚至以星期为时间片断一如果有意义），则考察若干个年份的数据，就可得表3-16。“12

即为月份数据，。=4即为季度数据。

表3-16季节变动测度基本数据格式

1期2期・・・n期

第1年如九・・・凡，

第2年>?21必2・・・)’2”

...••••••

第k年>71”2・・・九

按月（季）平均法的基本步骤是：

第一步，计算时间序列中各年同期（同月或同季）的平均数：，二｝£/%0=1，2,3,…成

第二步，计算期内总平均：y=-^y-

nj

第三步，计算季节指数：y喙0=123，…成

第四步，对季节指数进行分析，绘制季节指数图，利用季节指数进行时间存列的预测分

析等。

案例3表3-17是某企业最近五年来四个季度的产品产量资料，试根据该资料数据测

算2006年各季的预测值。

表317某企业近五年各产品产量情况（单位：万件）

年份（年）春夏秋冬

2001270440210150

2002245450230160

2003260420190180

2004250460200160

2005280450220170

解根据产最数据，绘制产最随着时间推移的折线图，如图3-17所示。

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