2025-2026学年北师大版高一数学上学期期末常考题之抽样的基本方法

20252026学年上学期高一数学北师大版期末必刷常考题之抽样

的基本方法

一.选择题（共6小题）

1.某地区有大型商铺50家，中型商铺150家.为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取

一个样本容量为20的样本，则应抽取中型商铺（）

A.5家B.10家C.15家D.20家

2.中国占代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2

的比例录取，若某年会试录取人数为400,则中卷录取人数为（）

A.40B.70C.110D.150

3.为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析.在这

个问题中，被抽取的200名学生是（）

A.总体B.个体C.样本D.样本量

4.某班同学身高的平均数为方差为$2,其中女生身高制，X2,…，的平均数为a方差为男生

身高V，”，…，加的平均数为9，方差为下列说法错误的是（）

A.若元寸，则寸

B.若S；<S2，则s；<y2<sj

1

C.若机=〃，则，=*叵+①

c过一-M2msj+nsl

D.若％=y，则11*="2

5.某学校初中部和高中部分别有40（）名和200名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的

分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为〃的样本，已知从高中部中抽取40名学生，则〃为（）

A.60B.80C.100D.120

6.某工厂生产4,B,C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5.现用分层抽样的方法抽取一个容量

为〃的样本，若样本中A型号的产品有8件，则样本容量〃=（）

A.16B.40C.80D.100

二.多选题（共3小题）

（多选）7.下列说法正确的是（）

A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体加被抽到的概

率是0.1

B.已知一组数据1,2,〃?，6,7的平均数为4,则这组数据的方差是5

C.数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23

D.若样本数据xi,X2,…，川0的标准差为8,则数据2xi-l,2x2-1,…，2xio-1的标淮差为32

（多选）8.某班有男生30人，女生20人.在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为五,

花后工与；方差分别为寸，sQ该班成绩的均分和方差为己s2,则下列结论一定正确的是（）

A.±二乱+&

B.X>F%7+

32

22

CS-S+

515一

D.s2>|sf+1S2

（多选）9.港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建

筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途

径.某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青年旅客的比例为5：

3：2,现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取〃名，若抽到青年旅客40人，则（）

A.抽到老年旅客100人

B.抽到中年旅客20人

C./?=400

D.被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和不超过200

三.填空题（共4小题）

10.如图是某汽车公司100家销售商2025年前半年新能源汽车销售量（单位：辆）的频率分布直方图，

若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家，则应从销售量在［50,150］内的销售商

II.某学校有男生800人，女生600人.为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法

抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1,女生每天睡眠时间的平均数为7

小时，方差为1.4.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为.

12.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人,

其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1,抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差

为0.5,则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为.

13.某市为了调查教师对统计软件的了解程度，拟采用比例分配的分层随机抽样的方法从A,B,。三所学

校抽取60名教师进行调查,己知A,B,。三所学校分别有180,270,90名教师，则从4学校中应抽

取的人数为.

四.解答题（共2小题）

14.统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机

数量.假设敌军某年生产的战机数量为M摧毁某年生产的〃架战机编号从小到大为川，血,心，…，

物，最大的编号为X“，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号XI，火，X3,…，物，相当于从［1，M

中随机抽取的〃个整数，这〃个数将区间10,N1分成（1+〃）个小区间（如图），可以用前〃个区间的平

I%N

均长度上估计所有（1+〃）个区间的平均长度一进而得到"的估计值.

nn+1

0464N

已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2,5,7,13,15,17,21,据此回答下列问题.

（I）根据材料估计敌军生产的战机数量;

（2）已知敌军所有现役战机分为三个等级（四代战机，四代半战机，五代机），通过分层抽样调查三类

战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为己歹，z.

（i）根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补

充条件并写出估计式;

（打）若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为人，B，

ABab

C,样本量分别为a,b,c,据此证明:x+y+-z=—■—x+—■—y+

4+8+C----A+8+C----A+8+Ca+b+ca+b+c

------5.

a+b+c

15.A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法

抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高.

（1）该校高一学生中男、女生各有多少名？

（2）若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率;

（3）在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165。〃记录为156cm,由错误数据求得

这32个数据的平均数为161。〃，方差为23.6875,求原始数据的平均数及方差.（平均数结果保留精确

值，方差结果精确到0.01）

20252026学年上学期高一数学北师大版（2019）期末必刷常考题之抽样

的基本方法

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案CACBDB

二,多选题（共3小题）

题号789

答案ACADAD

一.选择题（共6小题）

I.某地区有大型商铺50家，中型商铺150家.为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取

一个样本容量为20的样本，则应抽取中型商铺（）

A.5家B.10家C.15家D.20家

【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量.

【专题】刈应思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比求出答案.

【解答】解：分层抽样的抽样比为W\

20010

用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，应抽取中型商铺总x150=15家.

故选：C.

【点评】本题考查分层抽样的应用，属于基础题.

2.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝.明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2

的比例录取，若某年会试录取人数为400,则中卷录取人数为（）

A.40B.70C.110D.150

【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量.

t专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】A

【分析】依题意，求出中卷录取的比率，再根据会试录取人数即可求得中卷录取人数.

【解答】解：因为南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，

21

可得中卷录取的比率为：——.

11+7+210

故会试录取人数为400时，中卷录取人数为400x^=40.

故选：A.

【点评】本题主要考查分层随机抽样的应用，属于基础题.

3.为了了解某地参加计算机水平测试的5(X)0名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析.在这

个问题中，被抽取的200名学生是()

A.总体B.个体C.样本D.样本量

【考点】简单随机抽样.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数据分析.

【答案】C

【分析】根据统计中抽样调杳的概念即可得解.

【解答】解：由题意可知，总体是5000名学生的成绩，

个体是每个学生的成绩，

样本是200名学生的成绩，

样本容量为200,

所以抽取的200名学生的成绩是样本.

故选：C.

【点评】本题主要考查了简单随机抽样中的相关概念，属于基础题.

4.某班同学身高的平均数为五方差为，，其中女生身高川，总，…，X,”的平均数为a方差为寸，男生

身高户，”，…，如的平均数为歹，方差为或，下列说法错误的是()

A.若工中，则亍＜7中

B.若s：Vs/,则sjv/Vsg

C.若m=n,则5=i(x+y)

D.若钎区则展噂空

【考点】由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】利用分层随机抽样的均值和方差公式判断各个选项即可.

【解答】解：对于A,因为5=恶斤+占歹，

m+nm+n，

_EIm_n__m_n_m_n_

右％<y则，-----x+------x<z=------x+------y<----y+----y,

m+nm+nm+nm+nm+nm+n

即寸，故A正确；

对于B若sy,当sj,s22都比较接近于0时，而工与歹相差较大时，

此时，>S22>S/,故B错误：

对于C,若gi,Mz=1(I+y),故C正确：

对于Df若土=y,则5=x=y,

所以、2=^【sJ+0一为勺+扁层2+(7-7)2]=离+黯=2^4故。正确.

故选:B.

【点评】本题主要考查了分层随机抽样的均值和方差公式，属于基础题.

5.某学校初中部和高中部分别有400名和200名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的

分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为〃的样本，已知从高中部中抽取40名学生，则〃为()

A.60B.80C.100D.120

【考点】分层随机抽样.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】D

【分析】根据分层抽样的性质列式求解即可.

【解答】解：已知从高中部中抽取40名学生，

n40

根据分层抽样可得=京，解得〃=120.

400+200200

故选：D.

【点评】本题考查分层抽样相关知识，属于基础题.

6.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5.现用分层抽样的方法抽取一个容量

为〃的样本，若样本中4型号的产品有8件，则样本容量〃=()

A.16B.40C.80D.100

[考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】设出样本容量，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的变量

〃，即为要求的样本容量.

【解答】解：设出样本容量为〃，

・・•由题意知产品的数量之比依次为2：3：5,

•2_£

・・2+3+5-n

An=40.

故选：B.

【点评】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.

二,多选题(共3小题)

(多选)7.下列说法正确的是()

A.用简单随机抽样的方法从含有5()个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体〃?被抽到的概

率是0.1

B.已知一组数据1,2,〃?，6,7的平均数为4,则这组数据的方差是5

C.数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23

D.若样本数据xi,X2,…，KIO的标准差为8,则数据Zri-l,2x2-1,…，2h0-1的标淮差为32

【考点】简单随机抽样；用样本估计总体的离散程度参数：百分位数.

【专题】计算题；对•应思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】AC

【分析】由简单随机抽样的定义可判断选项4，

由平均数的定义先确定〃?，再求方差即可；

由百分位数的定义及标准差的定义判断即可.

【解答】解：对于选项A,个体机被抽到的概率是三=0/，故正确：

50

对于选项8,l+2+〃?+6+7=4X5,・・・加=4,

故S2=/x|(1-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2+(7-4)2]=5.2,

故错误；

对于选项C,V8X70%=5.6,

，数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是从小到人排序的第6个数，即为23,

故正确；

对于选项。，•・•样本数据加，X2,…，川0的标准差为8,

工数据2川-1,ZV2-1,…，2xio-1的标准差为8X2=16,

故错误；

故选：AC.

【点评】本题考查了数据数字特征的分析，属于基础题.

（多选）8.某班有男生30人，女生20人.在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为有,

石①。石）：方差分别为受，s2该班成绩的均分和方差为ms2,则下列结论一定正确的是（）

A.5=|用'+抚

32_

B.X>gXj+可无2

C.s2=

D.s2>isf+is?

【考点】由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数；方差.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】AD

【分析】利用公式计算平均数与标准差判断各个选项.

【解答】解：对于A、B,该班成绩的均分为土=|§焉+|§石=。而+|石，所以A正确，3错误；

2222

对于C、D,si[（Xi-%D+（x2-x7）+（x3-x^+•••+（x30-x^]

=击[好+送+蜡■1---1"x30~2（工1+无2+无3"1---1-x30）^l+30（x7）2]

=靠用+十，+十升…+溜o-60㈤2+30㈤2]

='阳+诏+W+…+Wo-

=建/-例2,

所以中=jo2：*才一（焉y，同理赍=4-㈤2,

该班成绩的方差为s2=驾应+后■_守]+翁[sl+（法一X）2]

=。0+（五一抚一抚）2]+看度+e—杭一[初2]

二+看s/+（看—看工2）2+（1—卷石）2〉卷S，+看S；,所以O正确，C错误.

故选：AD.

【点评】本题主要考查了分层随机抽样的平均数和方差公式，属于基础题.

（多选）9.港珠澳大桥是中国境内•座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建

筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往杳港的游客提供了便捷的交通途

径.某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青年旅客的比例为5：

3：2,现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取〃名，若抽到青年旅客40人，则（）

A.抽到老年旅客100人

B.抽到中年旅客20人

C.w=400

D.被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和不超过200

【考点】分层随机抽样.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】AD

【分析】利用分层抽样求出设抽到老年旅客、中年旅客的人数，逐项判断即可.

【解答】解：由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青年旅客的比例为5：3：2,

现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取〃名，抽到青年旅客40人，

设抽到老年旅客、中年旅客的人数分别为。、b,

则a：b：40=5：3：2,

解得。=100,力=60,故〃=9方+40=200,

被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和为。+%=160<200,

故A。正确，8c错误.

故选：AD.

【点评】本题考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

三,填空题（共4小题）

10.如图是某汽车公司100家销售商2025年前半年新能源汽车销售量（单位：辆）的频率分布直方图，

若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家，则应从销售量在［50,150］内的销售商

中抽取7家.

【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】7.

【分析】计算销量在内的频率，再结合分层抽样计算即可.

【解答】解：由题可得：(0.001+0.002+0.003+2a+0.006)X50=l,得4=0.004,

故应从销量在［50,150］的销售商中抽20X(0.003+0.004)X50=7家.

故答案为：7.

【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查计算能力，属「基础题.

II.某学校有男生800人，女生600人.为调杳该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法

抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1,女生每天睡眠时间的平均数为7

小时，方差为14若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为1.92

【考点】由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】1.92.

【分析】根据分层抽样的方差计算公式可解.

【解答】解：采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差

为2.1,女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4.若男、女样本量按比例分配,

800600

总体样本均值为X7.7+X7=7.4,

800+600800+600

则总体方差为——-——{800X(2.1+(7.7-7.4)2l+600X[1.4+(7.4-7)2])=1.92.

800+600

故答案为：1.92.

【点评】本题考查分层抽样的方差计算公式，属于中档题.

12.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人,

其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1,抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差

为0.5,则估计该地区中学生每天睡眠M间的方差为」.

【考点】由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数；方差.

【专题】整体思想：综合法；概率与统计：运算求解.

【答案】0.94.

【分析】利用抽样中样本平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式即可算出.

8001200

【解答】解：该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：……x9+……X8=8.4（小时），

1200+8001200+800

该地区中学生每天睡眠时间的方差为：门对…X[1+（9-8.4）2]+X[0.5+（8-

1200+8001200+800

8.4）2]=0.94.

故答案为：0.94.

【点评】本题主要考查了分层随机抽样的定义，属于基础题.

13.某市为了调查教师对统计软件的了解程度，拟采用比例分配的分层随机抽样的方法从A,B,C三所学

校抽取60名教师进行调查，已知A,B,。三所学校分别有180,270,90名教师，则从4学校中应抽

取的人数为20.

【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量.

【专题】转化思想：综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】20.

【分析】根据题意，得到A,B,C三所学校教师的人数比为2：3：1,进而求得A学校中应抽取的人

数，得到答案.

【解答】解：由题可得4,B,C三所学校教师的人数比为：180：270：90=2：3：I,

所以三所学校抽取60名教师，其中A学校中应抽取的人数为60x=20人.

乙IKJIJL

故答案为：20.

【点评】本题主:要考查分层随机抽样的应用，考查计算能力，属于基础题.

四.解答题（共2小题）

14.统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机

数量.假设敌军某年生产的战机数量为M摧毁某年生产的〃架战机编号从小到大为加，血,心，…，

Xn，最大的编号为X〃，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号XI，X2，X3，…，Xn，相当于从[1,N|

中随机抽取的〃个整数，这〃个数将区间[0,N]分成（1+〃）个小区间（如图），可以用前〃个区间的平

■XN

均长度上估计所有（1+〃）个区间的平均长度一进而得到"的估计值.

nn+1

0叼*2XN

已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2,5,7,13,15,17,21,据此回答下列问题.

（1）根据材料估计敌军生产的战机数量;

（2）已知敌军所有现役战机分为三个等级（四代战机，四代半战机，五代机），通过分层抽样调查三类

战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为a9，z.

（i）根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补

充条件并写出估计式;

（ii）若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为A,B,

C,样本量分别为小b,c,据此证明：三+广工歹+三77^=±+~:^-歹+

4+B+C4+B+C4+B+Ca+b+ca+b+c

c

a+b+cZ

【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量.

【专题】方程思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】（1）24架；

（2）（i）不能，需要知道这三个等级战机具体的个体数量X,X,Z,或者抽取样本的数量〃?，〃，/,

估计式见解析；

（ii）证明见解析.

【分析】（I）由题设得3=3求参数，即可得；

（2）（7）根据题意需要知道这三个等级战机具体的个体数量X,匕Z,或者抽取样本的数量相，“，/,

进而写出公式；

（/7）按比例在各层抽取的且各层抽取的样本量分别为。、氏°,得£=3=：=能言，应用分层等

ABCA+B+C

比例性质即可证.

【解答】（1）解：•・•可用上估计一，

nn+1

21N

—=—,解得N=24.

78

・•・估计敌军生产的战机数量为24架.

（2）（i）解：不能估计敌军所有现役战机的平均飞行高度，

需要知道这三个等级战机具体的个体数量X,V,Z,或者抽取样本的数量〃?，〃，/,

XYZ

估计式为------7+-------y+------z

X+Y+ZX+Y+Z7X+Y+Z

一m_nI

或-------x+-------y+------;z.

m+n+lm+n+lm+n+l

（ii）证明：•・•样本是按比例在各层抽取的且各层抽取的样本量分别为。，b,c,

abc

==一,

ABC

aAbBcC

a+b+c-A+B+c'a+b+c-A+B+c'a+b+c-4+B+C'

cuc+by+cza_b_c

•••样本平均数为:--------------=----------x+----------y+-----z,

a+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

4_B_C_a_bc

---------x+----------y+-----z—;—x+—:—y+—：—z.

A+B+CA+B+CA-i-B+Ca+b+ca+b+ca+b+c

【点评】本题考查分层随机抽样的性质与平均数公式，属于中档题.

15.A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法

抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高.

（1）该校高一学生中男、女生各有多少名？

（2）若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率；

（3）在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，咎将165c机记录为l56a〃，由错误数据求得

这32个数据的平均数为161cm,方差为23.6875,求原始数据的平均数及方差.（平均数结果保留精确

值，方差结果精确到0.01）

【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量；由分层随机抽样的样本平均数估计总体

平均数；古典概型及其概率计算公式.

【专题】计算题；对应思想；综合法：概率与统计；运算求解.

【答案】（1）男、女生各有170,160名：

17

（2）——；

65

（3）23.33.

【分析】（1）根据抽样比即可计算出男女生人数；

（2）利用古典概型计算公式可得结果；

（3）根据方差定义，利用方差的计算公式进行整体代换即可计算出结果.

【解答】解：（1）根据题意可知，抽样比为5：1,

所以该校高一学生中男生有34X5=170名，

女生有32X5=160名；

（2）从这66名学生中随机抽取两名共有或6种，

两名都是男生的抽法共有废4种，

c2

3417

--

所以这两名都是男生的概率为P265

C66

(3)根据题意可设正确的31个数据为XI,X2,…，X31，

易知Xi4-156=32x161,可得£当勿=4996,

]

所以原始数据平均值为不(2嵩%,■+165)=161.28125,

由方差定义可得a[£3区—161)2+(156-161)2]=23.6875,

因此EU1(看一1617=温*-2xl61£*i修+31x16"=733,

可得2出x?=2x161X?iix(-31x1612+733=805894；

22

原始数据的方差为石22(xk-161.28125)+(165-161.28125)]

=32[，首1*-2X161.28125温Xf4-31x161.281252+3.718752]

1

«X746.46875«23.33,

即原始数据的方差为23.33.

【点评】本题主要考查分层随机抽样，古典概型概率公式，方差的求法，考查运算求解能力，属于中档

题.

考点卡片

1.古典概型及其概率计算公式

【知识点的认识】

1.定义：如果一个试验具有下列特征：

（I）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；

（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的.

则称这种随机试验的概率模型为古典概型.

*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就

可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.

2.古典概率的计算公式

如果一次试验中可能出现的结果有〃个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率

都是一；

n

如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率为PGO=用=

nW基本y事.件f总?数/”

【解题方法点拨】

1.注意要点：解决古典概型的向题的关键是：分清基本事件个数〃与事件A中所包含的基本事件数.

因比要注意清楚以下三个方面：

（I）本试验是否具有等可能性：

（2）本试验的基本事件有多少个；

（3）事件A是什么.

2.解题实现步骤：

（I）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件4

（3）分别求出基本事件的个数〃与所求事件人中所包含的基本事件个数小；

（4）利用公式P（A）=与求出事件4的概率.

3.解题方法技巧：

（I）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率

（2）利用分析法求解古典概型.

2.简单随机抽样

【知识点的认识】

1.定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取〃个个体作为样本（〃WN）,如果每

次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.

2.特点：

（I）有限性：总体个体数有限；

（2）逐个性：每次只抽取一个个体；

（3）不放回：抽取样本不放回，样本无重复个体；

（4）等概率：每个个体被抽到的机会相等.（如果从个体数为N的总体中抽取一个容量为〃的样本，则每

个个体被抽取的概率等于三）

N

3.适用范围：总体中个数较少.

4.注意：随机抽样不是随意或陛便抽取，随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素.

【解题方法点拨】

I.抽签法（抓阿法）

一般地，从个体总数为N的总体中抽取一个容量为k的样本，步骤为：

（1）编号：将总体中所有个体编号（号码可以为1・N）；

（2）制签：将编号写在形状、大小相同的号签上（可用小球、卡片、纸条等制作）：

（3）搅匀：将号签放在同一个箱子中进行均匀搅拌：

（4）抽签：每次从箱中取出1个号签，连续抽取及次；

（5）取样：从总体中取出与抽到号签编号一致的个体.

2.随机数表法.

。随机数表：由0-9十个数字所组成，其中的每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数表.

。随机数表法：按一定的规则到随机数表中选取号码的抽样方法叫做随机数表法.

实现步骤：

（1）编号：对总体中所有个体编号（每个号码位数一致）；

（2）选数：在随机数表中任选一个数作为开始；

（3）取数：从选定的起始数沿任意方向取数（不在号码范围内的数、重复出现的数不取），直到取满为止；

（4）取样：根据所得的号码从总体中抽取相应个体.

【命题方向】

以基本题（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生学习

基拙知识、应用基础知识、解决实际问题的能力.

（I）考查简单随机抽样的特点

例：用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体，〃被抽到的

概率为（）

1111

A.--B.-C.-D.一

100209950

分析：依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5,可以看成

是抽5次，从而可求得概率.

解答：一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为二，

100

・•・以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，

则指定的某个个体被抽到的概率为二x5=4.

10020

故选：B.

点评：不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“•次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的

概率都是一样的，体现了抽样方法具有客观公平性.

（2）判断抽样方法是否为简单随机抽样

常见与分层抽样、系统抽样对比，注意掌握各种抽样方法的区分.

例：下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）

A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为

2709的为三等奖

B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C.某学校分别从行政人员、教师、后勒人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见

D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质后检验.

分析：从所给的四个选项里观察因为抽取的个体间的间隔是固定的；得到4、B不是简单随机抽样，因为

总体的个体有明显的层次，。不是简单随机抽样，。是简单随机抽样.

解答：4、8不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；

C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；

。是简单随机抽样.

故选D.

点评：本题考查简单随机抽样，考查分层抽样，考查系统抽样，是一个涉及到所学的所有抽样的问题，注

意发现各种抽样的特点，分析清楚抽样的区别.

（3）考查简单随机抽样的抽样方法操作

例：利用随机数表法对一个容量为500编号为000,0（）1,002,…，499的产品进行抽样检验，抽取一个

容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第II行至第15

行），根据下图,读出的第3个数是（）

18180792454417165809798386196206765003105523640505

26623897758416074499831146322420148588451093728871

23424064748297777781074532140832989407729385791075

52362819955092261197005676313880220253538660420453

37859435128339500830423407968854420687983585294839

4.841B.I14C.014D.146

分析：从随机数表12行第5列数开始向右读，最先读到的1个的编号是389,再向右三位数一读，将符合

条件的选出，不符合的舍去，继续向右读取即可.

解答：最先读到的1个的编号是389,

向右读下一个数是775,775它大于499,故舍去，

再下一个数是841,舍去，

再下一个数是607,舍去，

再下一个数是449,

再下一个数是983.舍去，

再下一个数是114.

读出的第3个数是114.

故选B.

点评：本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，

所以每个数被抽到的概率是一样的，属产基础题.

3.分层随机抽样

【知识点的认识】

1.定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不

同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽

样，其中所分的各部分叫“层”.

2.三种抽样方法比较

类别共同点各自特点相互联系适用范围

简单随机抽样抽样过程中每个从总体中逐个抽总体中的个体数

个体被抽取的概取较少

系统抽样率是相同的将总体均匀分成在起始部分抽样总体中的个体数

几个部分，按事时采用简单随机较多

先确定的规则在抽样

各部分抽取

分层抽样将总体分成几各层抽样时采用总体由差异明显

层，分层进行抽简单随机抽样或的几部分组成

取系统抽样

【解题方法点拨】

分层抽样方法操作步骤：

（I）分层：将总体按某种特征分成若干部分；

（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；

（3）确定各层应抽取的样本容量；

（4）在每一层进行