2025-2026学年高二数学期中押题卷2（人教A版选择性必修第一册）【测试范围：空间向量+直线与圆+圆锥曲线】（解析版）

期中押题密卷02

全解全析

一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，选对得5分，选错得。分.

1.若两条平行直线3》-4了+m=0(〃?<0)与3》+町+6=0之间的距离是3,则加+〃=()

A.-13B.-9C.17D.21

【答案】A

【分析】根据两直线平行求出〃，再由两平行线间的距离公式求出用.

［详解】因为直线3x—4y+/w=0(m<0)与3x+〃y+6=0,所以3〃=-4x3,解得〃=-4,

|，"6|

又两条平行直线3x-4y+m=0("?<0)与3x-4y+6=0之间的距离是3,所以"=6二(二/=3，

解得〃?=21(舍去)或〃1=一9,

所以m+〃=-13.

故选：A

2.记尸(2,0)为双曲线£：捺-：=1(〃>0)的右焦点，则E的渐近线方程为()

A.y=±2xB.y=±\f5x

C.J'=±xD.y=±V5x

【答案】B

【分析】根据焦点坐标即可求解a=l,进而根据渐近线方程求解.

【详解】由于尸(2,0)为双曲线E：£-《=1(”>0)的右焦点，故/+3=4,所以。=1,

a~3

故渐近线方程为^=土石x,

故选：B

3.如图，在四面体力8C'。中，£是极力“上一点，且/七二"力£/是棱CQ的中点，则而=()

B.-~AB+-7C--75

322

C.D.--J^+-JT4--ZLD

322322

【答案】D

【分析】根据空间向最的加减法进行计算.

【详解】由题意，得而=球+/=；加+衣+而

=--AB+AC+-CD=--ZB+^C+-(75-^C)=--J5+-^C+-!-A5

3232、,322

故选：D.

4.若圆（.丫-2『+/=，&〉（））上到直线工一6），+4=0距离为1的点有且仅有2个，则，,的取值范围为（）

A.（1,3）B.（2,4）C.（3,5）D.（4,6）

【答案】B

【分析】先确定圆心到直线的距离d=3>l,再由题意得到卜-3卜1,进而求解即可.

【详解】*l^（x-2）2+r=r2（r>0）,圆心为（2.0）.半杼为人

则圆心（2,0）到直线x—Gy+4=0的距离为1=41=3,

V3+1

因为圆上的点到更线的距离为1的点有且仅有2个，且d>l,

所以卜-3卜1,解得2<r<4,

即厂的取值范围是（2,4）.

故选：B.

5.设椭圆的两个焦点分别为耳、人,过行作椭圆长轴的垂线交椭圆于点夕，若为等腰直角三角形，则椭圆

的离心率是e=（）

A.y/^—y/l.B.V2—1C.5/3—1D.->/6—V3

【答案】B

【解析】解法一，根据条件可知I乃I,列式建立等量关系求离心率；解法二，

根据△"跖是等腰直角三角形，结合隔圆的定义，求椭圆的离心率.

【详解】解•：设椭圆方程为£+£=1，依题意，显然有|PEI=I6EI，则生=2c,

a~b~a

即匚二=2c,即/+26-1=0,解得e=&-l，故选及

a

解二：•.•*；/有为等腰直角三角形，二|帆|+忻勾=2c,归制=2后c,

2

?£|+|Pg|=2a,二2缶+C=2Q，=£==

aV2I1

故选:B.

6.在直角坐标系xQy中，已知直线卜=代+1与圆/+丁=4相交于44两点，则A/lOB的面积的最大值为（）

A.1B.立C.2D.G

2

【答案】D

【分析】根捌点到走线的距因公式可得圆心到直线的距离公;利用勾股定理可表示出弦长加2"方'

代入面积公式，结合二次函数求最值即可求解.

【详解】圆心到直线的距离"48=2"方

S—=；AB.d=；-24^d

乂/e（oj,所以/（4-d2）43,即邑〃加工6・

故选：D.

7.已知双曲线C：*-*=1（。>0,/»>0）的左顶点为力，右焦点为尸，焦距为6,点〃在双曲线。上，且

M/JL",|M曰=2|明，则双曲线C的实轴长为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.

【详解】把x=c代入5-r=1中，得y=±J,即|用=§.

因为|NF|=a+c,\MF\=2\AF\,

12

所以一=2(a+c)=>c2-a2=2ac+2a2»

a

乂c=3,所以4+2“一3=0,解得4=1,。=一3舍去，则24=2.

故选：A

8.已知圆。:/+/=2,以圆O上任意一点E为圆心，及为半径的圆与圆C：（x+2）~+（y+l）~=5交于4,B两

3

点，则当Z4C8最大时，△XB。的面积为()

A.2B.C.2A/2D.屈

【答案】D

【分析】根据题意，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解即可.

【详解】由题意知,C(-2,-l),在A43c中,|JC|=|5C|=V5,

显然0<|力同42五，/力C8是锐角，sin幺丝=R吧=网，

2\AC\2V5

又函数y=sinx在(0勺)上单调递增，

因此当且仅当公共弦44最大时，N/C3最大，此时弦18为圆£的直径,

在Rta/EC中，N4EC=90。，|/1同=&,

所以|CE|二J|4C『-|第2=6,^C=1X|JB|X|C£|=1X2V2XV3=V6.

故选：D.

二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线/：44+3p+6=0与圆。：/+/—2'—8=0相交于E,尸两点，贝1J()

A.圆心。的坐标为(1,0)B.圆。的半径为2近

C.圆心。到直线/的距离为2D.\EF\=245

【答案】ACD

【分析】化圆的方程为标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D.

【详解】对于AB,圆C：(X-以+炉=9的圆心。。,0),半径,=3,A正确，B错误；

对点C(L0)到直线/：4x+3y+6=0的距离:=2,c正确；

+3~

对丁D,|EF|=2\lr2-d2=275>D正确.

故选：ACD

10.已知椭圆C=十广=1,耳，K分别为它的左右焦点，点户是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有

259

()

A.椭圆离心率为4B.|P"|+|P周=10

4

112

C.若NF"=90°,则△与阴的面积为9D.西+西最小值为:

【答案】BCD

【详解】由椭圆方程可知,a=5,b=3,c=\la2-h2=4>

c4

所以椭圆的离心率.e=£=彳，故A错误；

a5

由椭圆定义知|P£|+|P闾=2。=10,故B正确;

又恒心=2c=8,囚为尸鸟=90。，所以=归用2=色，

.•.（I尸耳+|%|）2=|咫|2+|尸局2+2|"；||尸局=64+2|2/矶尸局=100,

解得I"||帆|二18,所以△"/有的面积为:|尸凰「周=9,故C正耽

♦.•归用+归周=10,

.•・上+„（-^+-^）（附+|呐）」（2+四+也）

1111J

\PFX\\PF2\10I尸6||PF2110\PF}|\PF2\

N\（2+2悔H^=|,当且仅当IM|=|尸乙|=5时取等号，

112

，西+可最小值为《，故D正确.

故选：BCD.

11.已知正方体力8CO-4AGA棱长为1,下列结论正确的是（）

A.直线AC与G。所成角为5

B.直线qc到平面4G。的距离是在

3

c.点8到直线4G的距离为当

D.平面48cl与平面Q4G所成角的余弦值为:

【答案】BCD

【详解】8cl平面CORG，6。（=平面。。。£,所以BC_LG。，A错;

5

以。为原点，分别以O4CCOA为XJ，Z轴建立直角坐标系，如图,

则4(1,0』)，C,(O,U),Z)(O,O,O),C(O,1,O),5(1,1,0),

DA^=(1,0,1),DCI=(0,1,1),设平面NQG的一个法向量是m=(x,y,z),

则J[m-西DA.=x+z=0

取x=l,得利=(1,1,一1),

DC=(0,1,0)

所以直线4c到平面4G。的距离等于点。到平面4G。的距离，即为好:1=叫四=立，B正确:

而3

“8G是直角三角形，AB=I、BC、=&AC、=6

因此B到直线＜G的距离等于乎，C正确:

由正方体的性质，可得£)4J_平面43G，4c，平面。

4(i,o,i),(1,1,1),

cos例，祠=啊竺==」,

、।।/|।网|阔V3XV33，

所以平面48G与平面08G所成角的余弦值为g，D正确.

三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设向量§=(x+6j),7=(y,x-J，(x/eR),满足|亍|+|7|=4.求动点.“(2)的轨迹0的方程,

【答案】—+/=1

4

6

【分析】根据向量模长的坐标表示及已知有而不炉歹+而二国歹=4,结合其几何意义和椭圆的定义确

定轨迹方程即可.

【详解】由题设J（x+6）2+/+4_扬2+/=4,

所以其几何意义是动点M（x，y）到点（-Ao）,（Ao）的距离之和为4,又2石<4,

根据椭圆的定义知，M（x，y）的轨迹。是以（-百,0）,（6。为焦点，长轴长为4的椭圆，

所以对应椭圆参数为a=2,b=\,c=®故所求的轨迹方程为《十炉=1.

4

故答案为：—+y2=1

4-

12V214

13.已知片，鸟分别是椭圆+=l的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则匣|+/可的最小值为.

【答案】j3/1.5

【分析】由椭圆定义得|产制+|叫|=6,再结合乘一法即可求解.

【详解】因为耳K是椭圆《+[=1的左、右焦点，尸在椭圆上运动，

所以，由椭圆定义可得|小|+|叫|=6.

所以占+FJ=」（附|+附|）（厂二+二]=45+禺+^^4>-（5+274）=-,

12]

阳|\PF2\"\\PF.\\PF2\）6（俨周\PF2\）6V>2

当且仅当2P制=|尸闾=4时，等号成立.

143

即西+西的最小值为子

3

故答案为：—.

14.已知“是圆。：/+/=/（〃〉0）上的动点，点N满足何=（公々。（/1>0）,记点N的轨迹为C,若圆。与轨

迹。的公共弦所在直线的方程为2x+y-5=0,则。+丸=—.

91

【答案】-Z4-/4.5

22

【分析】利用相关点法求得圆C的轨迹方程，进而得到两圆的公共弦所在直线的方程，对照已知条件中公共弦所在

直线方程，分别求出4。，从而得到

【详解】设“（戈0，乂））,%（元力，则加=（工70»-%）=（凡/.）.

X-X。=4%=x-a

所以叫

y-y^AayQ=y-Aa

7

因为〃是圆。：，+)，2=/(〃>0)上的动点，所以/+尤=/(。>0).

所以轨迹C的方程为(-)2+()，-助)2=

所以圆O与轨迹C的公共弦所在直线的方程为[(x-4『+(y-而)[-卜2+/)=0,

化简得2x+2少(万+1,=0.

，2八1一,，」

由题意知《/1，〈，解得彳2.

心+1”=5J

=4

9

则。+4=一.

2

故答案为:9;.

四、解答题：本题共5小题，共77分，(15题13分，16T7题15分，18-19题17分)解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤。

15.已知：圆C的圆心在第一象限.与x轴相切,与N轴交干力，B两点,口/"A=I2O",|OC|=JL点。(0,-2)

在斜率为4的直线/匕

⑴若直线/与圆。交于M,N两点，且眼N|=苧，求直线/的方程；

(2)若存在圆心在直线/上，半径为I的圆。与圆。外切，求A的取值范围.

【答案】⑴y=2x—2或y=38x—2

(3V2+2,「3啦-2

⑶_今——M—T~~

a2+b2=5

1-2

【详解】(1)设圆C：(x-a)2+(yT)2=〃(a>0,b>0),根据题意可得“，解得。=1,8=2,

b>0

所以圆C的标准方程为(x-l)2+(y-2)2=4，可知直线/：y=kx-2,

圆心C(l,2)到/的距离djJl=亨W,因为|“M=空，所以(3筌)+'华、=4,

即左2_40左+76=0,解得〃=2或38,所以直线/的方程为y=2》-2或y=38工-2.

,,,k-4l

(2)若存在I员I。与圆。外切，连接C。，即存在点。使得|CD|=3,因为C到/的距离4=方舟,

8

所以仁味牌’\k-4\

所巴马,即8/十8及一7之0,所以C处-2或五+2,

44

所以"的取值范围为［口,-牛M牛,+R

16.如图，在四棱锥P-48CZ)中，平面尸/。1平面48CQ,△PZO是斜边为4。的等腰直角三角形,

AB±AD,AB=\,AD=4,AC=CD=272.

(1)求证：PD工平面口&

(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱尸5上是否存在点M,使得平面力。“与平面片夕CO所成角的余弦值为好？若存在，求出黑的值，若不存

5PB

在，请说明理由.

【详解】(1)..•平面平面力4C。，平面尸4OC平面力BCQ=.4。，

48<=平面/8。。，ABLAD,

.：力81平面4。，

PDu平面PAD,：.AB工PD,

又•.,PZ)_LP/且力800力=力.PA.nbu平面PO_1_平面P/R：

(2)取4。中点为O,连接尸O、CO,

又•：PD=PA,:.POLAD,

则40=尸。=2,

♦;AC=CD=2>/2,AD=4,/.CD1CA.COA.AD,则CO=AC1-AO2=2，

以。为坐标原点，分别以反,场,而所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

9

.-.P(0,0,2),5(1,2,0),D(0,-2,0),C(2,0,0)

.•.P5=(l,2,-2),PD=(0,-2,-2),PC=(2,0,-2),CD=(-2,-2,0),

设方=(卬必当)为平面PCD的一个法向曷，

万•丽=0-2y-2z=0

得令z=l,则无=(1,一U),

n-PC=02x-2z=0

设PB与平面PCD所成角的角为d,

sin<9=|cos(w,=—.

।、A同网|6x33

(3)假设在棱P4上存在点M,使得平面与平面力SCO所成角的余弦值为好,

5

由(2)可知，4(0,2,0),8(1,2,0),P(0,0,2),

...万=(0,—2,2),而=(O,-4,O),]§,PM=APB=(2,22,-22),2G[0,1].

/.JA/=JP+PA7=(2,2A-2,2-2A)

设折=(X2,8,&)为平面ADM的一个法向量,

n-AM=0Ax+(2A-2)y+(2-2A)z=0

由，—得《

n-AD=Q-4y=0

则行=(2"2,0,孙

易知平面ABCD的一个法向量为OP=(0,0,2),

设平面ADM与平面ABCD的夹角为a

10

17.已知椭圆C：［+二=1（八/）>0）的左，右焦点分别为片（w,0）,g（c,O）,过后的直线与椭圆C交于M,N

crb-

两点，且片的周长为8,△股片外的最大面积为

⑴求椭圆。的方程：

（2）设6>1,是否存在x轴上的定点P,使得的内心在x轴上，若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明

理由.

【详解】（1）的周长为8,用的最大面积为G，

4。二8

<yx2cx/)=>/3,解得”=2,1)=用或a=2,b=\.

由（1）及6>1易知月（1,0）,

不妨设直线MV的方程为：、=心+11：E#0）,P（/,0）,M（XQJ,N（x2,j，J,

x=my+1

联立得(4+3〃/+6niy-9=0.

143

6m9

则必+72y^2

4+3小24+3w2

若GMN的内心在x轴上，则ZMPF?=ZNPF?,

；*pM+kpN=°，即=°，即乂（"少2十IT）十%（孙+1,）二°，

Xj-/x?一1

可得2叫仍+（1-。（乂+必）=0•

则力"I卜0，得4-/=（）,BR/=4.

I4+3wJI4+3"J

当直线MN垂直于x轴，即〃?=0时，显然点尸（4,0）也是符合题意的点.

故在x袖上存在定点?（4,0），使得APMN的内心在X轴上.

II

18.已知等腰梯形"CO如图1所示，其中力。〃8C,/切。=45。，点E在线段力。上，且8EJ./。，AD=3BC,

现沿仍进行翻折，使得平面48E_L平面8CDE,所得图形如图2所示.

图1匡2

(1)证明：CDA.AE,

(2)已知点厂在线段C。上(含端点位置)，点G在线段力产上(含端点位置).

⑴若CF=2DF,点G为线段"'的中点，求力C与平面8EG所成角的正弦值；

AC：

(ii)探究:是否存在点EG,使得4〃_L平面8EG,若存在，求田芸的值；若不存在，请说明理由.

【详解】(1)因为平面力平面8CQE,4E1.8/?,平面力8£c平面BC£)£=8E,4Eu平面

所以AE1平面5COE,

而。。u平面故CQ_L4E.

(2)由题意易知E&E2E4两两垂直,

故以后为坐标原点，所在直线分别为xj,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

不妨设8C=1,贝！BE=AE=gDE-1,

(i)氏为/历1。=45。,

则4(0,0/)，C(l,l,0),5(1,0,0),£(0,0,0),G

IJJ/

故丽=(1,0,0),=

„.EB=X=()

设万=(x,y,z)为平面BEG的法向量,则，-~rr151?

n-EG=-x+—y+—z=n0

662

令z=-5,贝iJx=0,)，=3,

12

可得力=(0,3,-5)为平面BEG的一个法向量，

而正二(1,1「1),记直线4c与平面BEG所成的角为0,

则simIcos^C,万|=闻==巫;

11\AC\\ii\瓜亚51

(ii)由题意。(0,2,0),

设乔=%沅+(1—/)丽=(42,0)+((),2—27,0)=(/1,2—/1,()),0W2W1,

故尸(42-4,0),ZF=(2,2-2,-l),

设46=〃4歹=(〃4,2〃一〃/1,一〃)，0<//<1,则G(〃H,2〃-/U』一〃)，

__/.丽=2=0

而廉=(1,0,0),EG=(M，2〃-“l-〃)，若力尸_L平面8EG,则｛______2z,,

AF-EG=+//(2-A)+//-1=0

2=0,、

解得《1,故当”,0重合，点