新高考数学专题04 数列的通项、求和及综合应用（原卷版）

专题04数列的通项、求和及综合应用

【命题规律】

数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考杳等差数列、等

比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），

浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门

难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，

在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂

项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要.数列与数学归纳法的结合问题，

也应适度关注.

【核心考点目录】

核心考点一：等差、等比数列的基本量问题

核心考点二：证明等差等比数列

核心考点三：等差等比数列的交汇问题

核心考点四：数列的通项公式

核心考点五：数列求和

核心考点六：数列性质的综合问题

核心考点六：实际应用中的数列问题

核心考点七：以数列为载体的情境题

【真题回归】

I.（2022•浙江•高考真题）已知数列｛可｝满足6=则（）

A.2<100«10O<|B.|<100«1（）0<3C.3<lOOflloo<-|D.g<100a烦<4

2.（2022.全国.高考真题（文））记工为等差数列应｝的前〃项和.若2s3=35?+6,则公差d=.

3.（2022•全国•高考真题）已知｛凡｝为等差数列，色｝是公比为2的等比数列，且生-a

（1）证明:%=*；

（2）求集合任也=4m<500｝中元素个数.

4.（2022.全国.高考真题（理））记工为数列的前〃项和.已知一丁+〃=2%+1.

（1）证明：｛4｝是等差数列；

(2)若%，%，％成等比数列，求S”的最小值.

5.(2022・天津•高考真题)设｛可｝是等差数列，他｝是等比数列，且4=白=生-4=%-2=1.

(1)求｛凡｝与也｝的通项公式;

⑵设也｝的前n项和为S.，求证：(S,用+一)仇=5川%-5也；

(3)求.

hl

6.(2022・浙江・高考真题)已知等差数列｛叫的首项％=-1,公差〃>1.记｛勺｝的前〃项和为£,(〃­♦).

(1)若S4-2a2%+6=(),求S”：

⑵若对于每个，?存在实数G，使4+%。-+4%勺+2+1%成等比数列,求d的取值范围.

【方法技巧与总结】

1、利用定义判断数列的类型:注意定义要求的任意性，例如若数列｛凡｝满足4,1-q=4(常数)(〃、2,

〃eN*)不能判断数列｛叫为等差数列，需要补充证明%-4=，八

2、数列｛4｝满足q+*=2%(〃eN)，则｛%｝是等差数列；

3、数列出｝满足以包=物,(“GN),q为非零常数，且印中0,则也｝为等比数列；

4、在处理含S,，的式子时，一般情况下利用公式%°〃:!口.，消去S”，进而求

Sn-5n.1，〃32,旦〃€N

出｛4｝的通项公式；但是有些题目虽然要求｛”“｝的通项公式，但是并不便于运用S“，这时可以考虑先消去4“

得到关于S的递推公式，求出S。后再求解〃.

5、遇到形如%--%=/(〃)的递推关系式，可利用累加法求｛q｝的通项公式，遇到形如为■=/(〃)的

递推关系式，可利用累乘法求｛〃”｝的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足

进行检验.

6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解

该数列的通项公式：

（1）形如a.=pa+q（〃工I»gwO）,可变形为an+l4-――=panH——,则,an4-——­是以

〃-1p-\）p-\]

4+'二为首项，以〃为公比的等比数列，由此可以求出巴：

〃一1

（2）形如％="“+夕用（〃工1,”0）,此类问题可两边同时除以qf得金=2之+1,设以=）,

从而变成勿X=Eb.+1,从而将问题转化为第（1）个问题:

⑶形如qati-pa”,1=,可以考虑两边同时除以4M川,转化为—-----=1的形式,设d=’,

%t+lanan

则有地1-/次=1，从而将问题转化为第（1）个问题.

7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础.其他一些数列的求和可以转化为等差或

等比数列的求和.利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论.

8、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如:

〃(〃+&)k\nn+k)

裂项后产生可以连续相互抵消的项.抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后

面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同.

常见的裂项公式：

(1)----=-----；

〃(12+1)n〃+1

⑵=lf_!____

(2〃-1)(2〃+1)212〃-12n+1)

⑶^邛

”5+2)2(〃n+2)

1111

〃(〃+1)(〃+2)2+(〃+1)(〃+2)

小/.lx〃(〃+1)("+2)--1)心+1)

＜。,n(n+1)=---------------------------■

9、用错位相减法求和时的注意点：

（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

（2）在写出“SJ与"恭二'的表达式时应特别注意将两式“错顶对齐”以便下一步准确写出“邑-砧”的表

达式:

（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于I和不等于1两种情况求解..

10、分组转化法求和的常见类型：

（1）若《,=白土%,且抄）仁｝为等差或等比数列，可采用分组求和法求｛七｝的前〃项和；

（2）通项公式为，其中数列出｝，匕｝是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求

和；

（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题.

11、在等差数列｛〃"｝中,若m.+〃=s+/=2Z（刖，〃，s,/»AwN*），则q”=4=24♦

在等比数列｛%｝中，方〃z+〃=s+/=2A（〃？，kwN*），则c0=a,q=a；.

12、前〃项和与积的性质

（1）设等差数列｛4｝的公差为“，前〃项和为S”.

①SjS2n-S,^SJ-S?,,，…也成等差数列，公差为

②也是等差数列，且2=4〃+]公差为

bd〃21I2）2

③若项数为偶数2&，则S偶-S^=/，3=%L.

S奇4

若项数为奇数〃+1，则为-S,=4.|，兽=与1.

5偶卜

（2）设等比数列｛凡｝的公比为g,前〃项和为S”.

①当C/H-I时，S.，S]—S.，53”一邑"，…也成等比数列，公比为二.

②相邻〃项积7；,区,乙，…也成等比数列，公比为（/）"=9”2.

③若项数为偶数〃，则s,-Sw=%（T）.j；项数为奇数时，没有较好性质.

奇偶1+夕S偶q

13、衍生数列

（1）设数列｛七｝和抄“｝均是等差数列，且等差数列｛q｝的公差为d，2，〃为常数.

①｛凡｝的等距子数列｛勺，4川,品.2小-｝（太〃7£川）也是等差数列，公差为W.

②数列｛也+〃｝,｛皿±他｝也是等差数列，而｛仍｝是等比数列.

（2）设数列｛《,｝和抄“｝均是等比数列，且等比数列｛〃“｝的公比为q,2为常数.

①｛4｝的等距子数列｛册必虫,品口，…｝也是等比数列，公比为「.

②数列｛久｝（4=0），.（，工0），｛㈤｝,｛a也｝,T｛〃：｝

MJ12J

也是等比数列，而｛log,q｝（a>0,a/1,q>0）是等差数列.

14、判断数列单调性的方法

（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）.

15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）

方法1：利用数列的单调性；

方法2：设最大值项为〃，解方程组再与首项比较大小.

【核心考点】

核心考点一：等差、等比数列的基本量问题

【规律方法】

利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首项，公比，项数）翻译条件,

将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解.

【典型例题】

例L（2022•全国•模拟预测）己知等差数列｛为｝的前〃项和为S.,且2%+5%=21,加=68,则4=（）

A.4B.3C.2D.1

例2.（2022•江西•临川一中高三阶段练习（文））已知数列｛q｝满足4=3,m2向4+1,则%。=

（）

A.80B.100C.120D.143

例3.（2022・新疆•高三期中（理））已知一个项数为偶数的等比数列｛q｝,所有项之和为所有奇数项之和的

3倍，前4项之积为64,则修=（）

A.IB.-1C.2D.1或一1

例4.（2022・全国•高三阶段练习（文））已知公差不为零的等差数列｛%｝中，%+6=14,且”，勺，生成

等比数列，则数列｛〃,｝的前9项的和为（）

A.1B.2C.81D.80

例5.（2022•重庆八中高三阶段练习）己知数列｛q｝满足6=1，/=］，联=乎，则%=（）

an+lan

A.2T2B.2~,0C.2-9D.2-8

例6.（2022・湖北•高三阶段练习）在公差不为零的等差数列｛q｝中，4=1,且％,%，%3成等比数列，设

数列｛2"乜川｝的前.〃项和为则（=（）

A.3X29+2B.11X27+8C.13X28+2D.13X27+4

例7.（2022・江苏无锡・高三期中）已知两个等差数列2,6,10,…，198及2,8,14,2CO,将这两个

等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（）

A.1460B.1472

C.1666D.1678

核心考点二：证明等差等比数列

【规律方法】

判断或证明数列是等差、等匕数列常见的方法如下.

（1）定义法：对于几.2的任意正整数：

①若用一。,1为一常数，则｛q｝为等差数列：

②若&为常数，则｛q｝为等比数列.

an-\

(2)通项公式法：

①若an=kn+c,则｛q｝为等差数列；

(2)若〃”=cp",则｛《1｝为等比数列.

(3)中项公式法：

①若2an=%+%(〃•.2,〃£N)则｛an｝为等差数列；

②若=a,1•%讨(几.2,〃wN"),w0,〃wN*,则｛q｝为等比数列.

(4)前〃项和法：若｛〃“｝的前〃项和S“满足：

①S“=An2+Bn,则｛a,｝为等差数列.

②S'=A-4f,则｛q｝为等比数列.

【典型例题】

例8.(2022•吉林长春•模拟预测)已知数列｛%｝满足：％=2,叫+]+(〃+1)=(〃+2)〃“+(〃+1。

(1)证明：数列[二％不是等差数列；

⑵设"”=笔?，求数列｛々｝的前〃项和S-

例9.(2022・河南•高三期中(理))已知数列｛4｝的前〃项和为S“，％=1,S“T=4%.

⑴证明：数列〈亲＞为等差数列；

⑵求数列｛S,｝的前〃项和刀,•

例10.(2022•全国•高三专题练习)在数列｛%｝中，«,=1,24M=q-

⑴求生，%;

(2)证明：数列，•为等差数列，并求数列他“｝的通项公式;

例11.(2022・四川・宜宾市叙州区第二中学校模拟预测(理))现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从

甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的•人，接球后视为完成第•次传接球；接球者进行第二次传球，

随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误.

(1)设乙接到球的次数为X,通过三次传球，求X的分布列与期望；

⑵设第〃次传球后，中接到球的概率为勺，

(i)试证明数列｛《「J为等比数列；

(ii)解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数.

，ci+〃〃_2左।

例12.(2022・湖南•宁乡一中高三期中)已知数列｛《,｝满足：4=1,%=2~JeN\

an-2H,n=2k

(1)求；

Q)设〃二〃2”一2，〃eN.，证明数列»“｝是等比数列，并求其通项公式；

(3)求数列｛q｝前10项中所有奇数项的和.

例13.(2022.河南，高三期中(理))已知数列｛q｝的各项均不为0,其前“项的乘积。-2小々田.

⑴若｛为｝为常数列，求这个常数：

(2)若4=4,设勿=log?4，求数列｛々｝的通项公式.

例14.（2022♦全国•高三专题练习）已知数列｛〃“｝满足出=^，可一%=3"，闩…求数列｛4｝的通项公式;

例15.（2022・全国•高三专题练习》问题：已知〃wN.，数列上川的前〃项和为S”，是否存在数列｛4｝,满

足岳=1，，向21+%,?若存在.求通项公式为；若不存在，说明理由.

在①4川=2（宿+底）；②4,=Se+〃（在2）；③4+广2勺+〃-1这三个条件中任选一个，补充在上面

问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第•个解答计分.

核心考点三：等差等比数列的交汇问题

【规律方法】

在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过

程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么“，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法.可以达到减

少运算量的目的.

【典型例题】

例16.（2022•河南•一模（理））己知等比数列｛g｝的前〃项和为S.,4x=2S“+l（〃eN）

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵在。”和之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为力的等差数列，在数列｛4｝中是否存在3项

4“，44,（其中〃」卬是公差不为0的等差数列）成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由.

例17.（2022・全国•高三专题练习）己知数列｛4｝的前〃项和为S„,q=2,2〃q=（〃+l）-S”（〃EN）

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）判断数列13"-二；勺］中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论.

〃+1

例18.（2022•福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列｛q｝中34，；6，2%成等差数列，则

“2022+42021_

“2020+“2019

例19,（2022・湖北•高三期中）已知｛〃“｝是等差数列，｛"｝是等比数列，S.是数列｛见｝的前〃项和，Sn=U,

组一

b5b7=3,则啕

例20.（2022.河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列｛q｝的前〃项利为S.，若S9,6，।成等比数

列，且§”2400,则应｝的公差d的取值范围为.

例21.（2022・上海•华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列｛《,｝的公差d不为零，等比数

列｛2｝的公比4是小于1的正有理数.若%=d,…,且然端是正整数，则9的值可以是_____.

例22.（2022・贵州•顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A,B,定义集合＞4-8=｛划二€人田史砌.

己知等差数列｛%｝和正项等比数列出｝满足4=4,々=2,%=%+»“,4=4+2.设数列｛4｝和电｝中

的所有项分别构成集合4,8,将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列｛%｝,则数列｛%｝

的前30项和$o=.

例23.（2022.全国.模拟预测（文））设数列｛叫,也｝满足勺=2\"=3〃-8,则它们的公共项由小到大排

列后组成新数列匕｝.在G和％pwN*）中插入k个数构成一个新数列｛〃｝：q,1,G，3,5,7,9,

11,q,…，插入的所有数构成首项为1,公差为2的等差数列，则数列在“｝的前20项和与）=.

核心考点四：数列的通项公式

【规律方法】

常见求解数列通项公式的方法有如下六种：

（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式.

（2）累加法：形如%+|=%+/（〃）的解析式.

（3）累乘法：形如％=/（办41（4,尸0）（〃..2,〃£1＜）：

（4）公式法

（5）取倒数法：形如〃“=P*的关系式

叫t+t

（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公式.

【典型例题】

例24.（2022•上海市南洋模范中学高三期中）在数列&｝（〃wN"）中.4=2,S”是其前〃项和，当心2时,

恒有4、S”、S“-2成等比数列，则勺=

例25.（2022•黑龙江•肇州县第二中学高三阶段练习）已知数列｛4｝的前〃项和为S”，4=1,

S“-(2〃-l)S,w=〃2%(〃？2,〃WN*),则数列5“=

例26.（2022•福建•高三阶段练习）设等差数列｛/｝的前〃项和为S”，若工=〃2十2%-6,贝.

例27.（2022•全国•高三专题练习）已如数列｛《,｝满足q=弓，且4+尸五二，则数列｛q｝的通项公式为％

例28.（2022•全国•高三专题练习）已知在数列｛〃“｝中，4=2,4+与+?+…+%=。“+]-2,则%=

51（1Y+,

例29.（2022•全国•高三专题练习）已知在数列｛/｝中，4=7,白川=9"+V，贝心*______

63\2）

例30.（2022•全国•高三专题练习）设｛勺｝是首项为1的正项数列且，说।+（〃+14-（2〃+1）的向=05eN"）,

且%“*%，求数列｛《,｝的通项公式

〃+2

例31.（2022・全国•高三专题练习）己知数列｛%｝的前〃项和为3,且6=2,S.(〃cN')，则S”=

例32.(2022•全国•高三专题练习)数列｛4｝满足：«,=|,(2"+2-1"*=(2向-2H(〃£^),则｛4｝的通

项公式为.

例33.(2022.仝国•高三专题练习)甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如卜.：若掷出的点数之和为

3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷.第一次由甲开始掷，

则第〃次由甲掷的概率匕=(用含〃的式子表示).

核心考点五：数列求和

【规律方法】

求数列前〃项和S〃的常见方法有以下四种.

(1)公式法：利用等差、等比数列的前〃项和公式求数列的前〃项和.

(2)裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干预之差的形式，进行消项.其方法核心有两

点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消.常见的裂项相消变换有以下形式.

c八—砌中11(11111「11

①分式裂项：--------=------------：---------------=-----------------------

n(n+p)p\nn+p)〃(〃+1)(〃+2)+(〃+1)(〃+2)

②根式裂项：z\

P

③对数式裂项:1g上匕=lg(n+p)-1g〃；

n

④指数式裂项

(3)错位相减法

(4)分组转化法

【典型例题】

例M.(2022・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=gx2+；x,数列a｝的前〃项和为S”，点(以S,J(〃eN")

均在函数/(x)的图象上，函数g(x)=—二.

4+2

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)求g(x)+g(l-x)的值;

⑶令一(表)g“)，

求数列｛2｝的前2020项和石。20.

例35.（2022・陕西渭南•一模（理））已知各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和为S”，且生=4,^+1=6\+9n+1.

各项均为正数的等比数列｛叫满足4=4,/=%.

⑴求数列｛4,｝和也｝的通项公式；

⑵若％=4•”,,求数列｛%｝的前〃项和Tn.

例36.（2022•陕西渭南•一模（文））已知等差数列｛q｝的前〃项和为S”，不等式，尤一52彳-8<0的解集为

（T4）.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵若"=」7+!，求数列｛〃｝的前〃项和

例37,（2022•全国•模拟预测）在数列｛〃”｝中，［=-2,（〃—l）4=2〃a,r_"〃N2,〃wN）

⑴求数列｛q｝的通项公式；

.✓f\/r4a

⑵令我=（T）,r^_4n2y求数列｛2｝的前〃项和S”.

例38.（2022•黑龙江•哈尔滨市第六中学校高三期中）已知数列｛qj的各项均为正数的等比数列，6=32,

2（4-0）=3%.

(I)求数列｛凡｝的通项公式；

⑵若^=(-l)z，log,生2,求数列也｝的前〃项和7；.

例39.(2022•四川省蓬溪县蓬南中学高二阶段练习)给定数列几｝,若满足。=1),对于任意

的叫〃wNj都有q”+“=4"q,则称应｝为“指数型数列若数列｛4｝满足：q=lq=21+aj1；

■、

(1)判断,+1『是否为"指数型数列“，若是给出证明，若不是说明理由：

⑵若以=《+〃，求数列｛4｝的前八项和人

“n

例40.(2022•广西•南宁市第十九中学模拟预测(文))数列也｝满足2%川=%1+。如3,咏F(ReN词

a2k

为正常数)，且g=2q=2,a｝=<J2-«6,q+%+%=6.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列何｝的前〃项和S,,.

例41.(2022・全国•高三专题练习)，为等差数列｛4｝的前〃项和，且4=1,$=28,记么=［则］，其中国

表示不超过”的最大整数，如［0.9卜0,［收99］=1.

(1)求仇、如、伉01；

⑵求数列也｝的前2022项和.

例42.(2022•云南・昆明一中高三阶段练习)已知数列｛q｝满足4+2^+…+2”-)“=(5—〃)2"+2—20.

（I）求数列｛凡｝的通项公式；

⑵求数列｛|q|｝的前〃项和

核心考点六：数列性质的综合问题

【典型例题】

例43.（2022•全国•模拟预测）已知数列｛4｝满足%+「勺=2〃-]1,且％=10,则氏的最小值是（）

A.-15B.-14C.-11D.-6

例44.（2022•福建三明•高三期中）设等比数列｛勺｝的公比为,其前〃项和为S.,前〃项积为7；,并满足

条件q>1,。刈*2020>1，色*<0,则下列结论正确的是（）

02020-1

A.S刈9>S202GB.是数列亿｝中的最大值

C.%“汹⑶T<0D.数列亿｝无最大值

例45.（2022.广西南宁市第十九中学模拟预测（文））数列｛〃“｝的前〃项和S”=2?i-g，则数列归•【鸣号■

中的最大项为（）

例46.（2022・全国•安阳市第二中学模拟预测（文））已知数列｛q｝的前〃项和为S”，且甘^=可，若

r_$

--^41-〃恒成立，则实数4的最大值为（）

n

例47.（2022•山西运城•高三期中）已知数列小｝满足誓=-3吗=1,若\=：+3,数列｛〃｝的前〃项和

为S“，且对于任意的〃wN.都有-4KS“-3/L3<4f+2,则实数/的取值范围是（）

-5八八（5J八「㈤八八5一

L3）I3L3jI3」

例48.（2022•山东聊城•裔三期中）若函数/（x）使得数列为=/（〃），〃wN*为递增数列，则称函数/（”为“数

列保增函数已知函数/（x）=e'-or为“数列保增函数”，则。的取值范围为（）.

A.0]B.6?e(-oo,e--e

C.aw(Yo,c)

例49.（2022.广东.执信中学高三阶段练习）已知等比数列｛4｝的前5项积为32,V则丹+争上的

取值范围为（）

B.(3,+co)C.[3,+oo)

(2-I)//+5,/?<4

例50.（2022•北京八中高三阶段练习）已知数列｛4｝是递增数列，且勺二,：八I：_一〃wN+，则%的

\5—A）+n>4

取值范围是（）

A.(1,2)C.D.

例51.（2022•江西•高三阶段练习（理））已知数列｛q｝,但｝的前〃项和分别为5”，7；,Sn=\-an,b、=3,

oz

当〃之2时，btl=--t若对于任意〃eN’，不等式（-Sj（f-7；）＜0恒成立，则实数，的取值范围为（）

3-1「3]「]

A.1,—B.[1»2]C.1,2D.二,3

_2j\_2J\_2

核心考点六：实际应用中的数列问题

【规律方法】

解数列应用题的一般步骤

（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系.

（2）根据题意数列问题模型.

（3）应用数列知识求解.

（4）将数列问题还原为实际问题,注意宾际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.

【典型例题】

例52.（2022•黑龙江•哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）某单位用分期付款方式为职T.购

买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，

并加付此前欠款利息，月利率1%,当付清全部房款时，各次付款的总和为（）

A.1205万元B.1255万元C.1305万元D.1360万元

例53.（2022•全国•高三专题练习）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷

款1000。元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算

每月获得的利润是该月月初投入资金的20%,每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全

部用于再进货，如此继续.设第〃月月底小王手中有现款为则下列结论正确的是（）（参考数据：

l.2=7.5，1.2'2«9）

①4=12000

②％-=1.2勺-1000

③2020年小王的年利润约为40003元

④两年后，小王手中现款约达41万

A.②③④B.②©C.①②④D.②③

例54.（2022•全国•高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济为响应国家

号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地擦经济老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，

用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%,每月底扣除生活费

10C0元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（）

（取（1.2）”-7.5,（1.2），2-9）

A.32500元B.4（X）0。元C.42500元D.50000元

例55.（2022•云南昭通・高三阶段练习（文））某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验

室.每个实验室的改建费用分为装修费和设备费,每个实验室的装修费都-样,设备费从第一•到第十实验

室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改

建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总

费用最多需要（）

A.2806万元B.2906万元C.3106万元D.3206万元

例56.（2022•全国•高三专题练习）在流行病学中，基本传染数R。是指在没有外力介入，同时所有人都没有

免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.R。一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、

每次接触过程中传染的概率决定.对于Ro>1，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染

源，切断传播途径.假设某种传染病的基本传染数R。=3,平均感染周期为7天（初始感染者传染R。个人

为第一轮传染，经过一个周期后这R。个人每人再传染R。个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始

感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：36=729,45=1024）（）

A.35B.42C.49D.56

核心考点七：以数列为载体的情境题

【规律方法】

1、应用数列知识解决此类问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——等差、等比数列模型.

2、需要读懂题目所表达的具体含义，观察给定数列的特征.进而判断出该数列的通项与求和公式.

3、求解时要明确目标，认清是求和、求通项、还是解递推关系问题，然后通过数学推理与计算得出结

果，并回归实际问题中，进行检验，最终得出结论.

【典型例题】

例57.（2022•上海市行知中学高三期中）定义：对于各项均为整数的数列｛4｝,如果4+i（i=l,2,3,…）

为完全平方数，则称数列何｝具有“P性质”；不论数列｛《,｝是否具有“P性质”，如果存在数列也,｝与｛4｝不

是同一数列，且也｝满足下面两个条件：

（1）々也也，…也是4，。2,。3，・・・，4的一个排列；

（2）数列｛"｝具有“P性质”，则称数列｛q｝具有“变换〃性质给出卜.面三个数列：

①数列｛4｝的前〃项和Sn档M-1）；

②数列｛"｝：1,2,3,4,5；

③数列｛%｝：1,2,3,4,5,6.

具有“尸性质”的为:具有“变换P性质”的为.

例58.（2022・江苏•沐阳县建陵高级中学高三阶段练习）在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成一

个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到1,3,2；第二

次拓展得到数列1,43,5,2;……；第〃次拓展得到数列I,%,%，……，42.设。“=1+为+占+―+%+2,其中E

»an=­

例59.（2022•河北唐山•三模）角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以

3再加1；如果它是偶数，则将它除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈

1-4->2-1.如取正整数〃?=6,根据上述运算法则得出6—3->10->5->16->8—4->2->1,共需要

经过8个步骤变成1（简称为8步“直程”），已知数列｛凡｝满足：q=/〃（机为正整数），

Z当〃为偶数时

2'""丙姒八①若加=13,则使得4=1至少需要步雹程；②若4=1;则根所有可能

3a,+1,当勺为奇数时,

取值的和为.

例60.（2022•全国•华中师大一附中模拟预测）已如数列｛《｝为1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,

8,16,…，其中第一项是2°，接下来的两项是2°，2、再接下来的三项是2°，2、2,依此规律类推.若

其前〃项和S.=2Y&GN'）,则称女为｛凡｝的一个理想数.将｛可｝的理想数从小到大依次排成一列，则第二

个理想数是______;当｛%｝的项数〃W2022时，其所有理想数敢和为

例61.（2022•吉林吉林•模拟预测（文））如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都大于2,则称

这个数列为“"-数列''.已知数列｛q｝满足：4=2,a向=24，则数列｛为｝的通项公式为=；

若%=（〃一2，）4,…Z-4,且数列出｝是““一数列”，则J的取值范围是___________.

例62.（2022•全国•模拟预测）将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级Koch

曲线“_/、_"，将1级Koch曲线上每一线段重复上述步骤得到2级KoM曲线，同理可得3级曲线

（如图1）,…，曲线是儿何中最简单的分形.若一个图形由N个与它的上一级图形相似，相似比为一

的部分组成，称。=|1。及凶为该图形分形维数，则O曲线的分形维数是________.（精确到0.01,

log.2«0.631）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花（如图2）飘拂在国家体育场上空，畅想

着”•起向未来”的美好愿景.六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条I级QM曲线组成，再将六角

雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）,…，依次得到〃级K〃（）

角雪花曲线.若正三角形边长为1,则〃级K〃角雪花曲线的周长C”=

999

图2

【新题速递】

一、单选题

1.（2022•全国•模拟预测）已知数列乩｝的前〃项和为S“，4=—=25.,2=（_1）"可，数列低｝的前

〃项和为，，则Too=（）

A.0B.50C.100D.2525

2.（2022•黑龙江・哈尔滨市第六中学校高三期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期

的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上向卜一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座.已

知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8,则第11层的塔数为（）

18C.19D.20

3.（2022,江苏・常熟市中学高三阶段练习）等差数列｛〃”｝各项均为正数，首项与公差相等,

则。2022的值为（）

A.9069B.9079C.9089D.9099

4.（2022•浙江•绍兴市越州中学高三阶段练习）记国表示不超过实数x的最大整数，如==

2）22

[-1-2]=-2,设q=[logx〃],则=（）.

1-1

A.5475B.5479C.5482D.5485

5.（2022•上海市洋泾中学高三阶段练习）设等比数列4,生，…，4,首项4=1，实系数一元二次方程

4犬+》+4=0的两根为牛士.若存在唯一的，（A=12…,5）,使得人一百<6,则公比4的取值可能为

（）.

A.-B.；C.\D.-

4234

6.（2022・全国•高三阶段练习）已知等差数列口｝,也｝的前〃项和分别为S”，且*-々F，则合

ln4〃生

（）

A.；B.—C.-D.—

212813

,、伉,,+1,凡《°♦

7.（2022•广西・南宁市第十九中学模拟预测（文））数列。〃满足％=-4,则满足

%+“2+…>2018的〃的最小宜为（）

A.16B.15C.14D.13

8.（2022•福建省福州第十一中学高三期中）己知定义在[（）,#）上的函数/（“满足/（x）=3/（-2）,当

工40,2）时，/（耳=一3/+61，设/（“在工42〃一2,2〃）上的最大值为/（”可）,且｛%｝的前〃项和为丛，

则臬=（）

A.—11——IB.4--U-C.3—D.4—

2（3n）2"-‘3"2"T

二、多选题

9.（2022・江苏盐城•模拟预测）设等比数列｛〃“｝的公比为.其前〃项和为S”，前〃项积为并满足条件4>1,

。刈9"2020>1，巴哈<。，下列结论正确的是（）

d2O2O-1

A.SMg<,^2020

B.生019'&J2I一1<°

C,北削是数列亿｝中的最大值

D.若则〃最大为4038.

10.（2022•江苏南京•模拟预测）已知数列｛凡｝满足q=1,，*=〃:+],则（）

,1

A.an>iv