初中数学专题11反比例函数的性质与图象判断（教师版）

PageSeq更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher专题11反比例函数的性质与图象判断知识对接考点一、反比例函数的概念1.一般地,形如（k≠0,k为常数)的函数称为反比例函数,其中自变量x的取值范围是x≠0.2.确定反比例函数的解析式,实质上就是确定比例系数k的值,找出双曲线上任意一点P(x,y),利用xy=k,即可求出双曲线的解析式.考点二、反比例函数的图像与性质注意:讨论反比例函数的增减性时需强调在每一象限内或强调x>0(或x<0).专项训练一、单选题1．如图，是某个反比例函数图像的一个分支，则它的另一个分支必在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【分析】读图可知：这个反比例函数图象的一个分支在第一象限，即k＞0；则它的另一个分支必在第三象限．【详解】解：由于反比例函数图象的两个分支分别位于一、三或二、四象限；由图可知，它的另一个分支必在第三象限．故选：C．【点睛】本题考查反比例函数图象特点：反比例函数的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．2．如图，原点为圆心的圆与反比例函数的图像交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为，则点C的横坐标为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】因为圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称；而双曲线也既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称，且关于y＝x和y＝−x对称．【详解】把代入，得，故A点坐标为．∵A、C关于对称∴点C坐标为∴点C的横坐标为3．故选：B.【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性和轴对称性，要熟练掌握，灵活运用．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher3．若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2【答案】B【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣5＜0∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵﹣5＜0＜1＜5∴点A（﹣5，y1）在第二象限，点B（1，y2），C（5，y3）在第四象限∴y2＜y3＜y1．故选：B．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的性质是解决本题的关键．4．已知一次函数与反比例函数，其中m，n为常数，且，则它们在同一坐标系中的图像可能是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图象中一次函数图象的位置确定m、n的值，然后根据m、n的值来确定反比例函数和一次函数所在的象限．【详解】∵∴m、n异号∴当时，，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher的图像位于第二、四象限的图像经过第一、二、四象限；当时，的图像位于第一、三象限的图像经过第一、三、四象限∴只有选项A符合．故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质和一次函数的图象与性质，属于基础题，要掌握它们的性质才能灵活解题．5．正比例函数()的图象与反比例函数()的图象相交于A．

B两点，其中A的横坐标为−2，则满足的x的取值范围是（）A．x<−2或0<x<2 B．−2<x<0 C．x<−2或x>2 D．−2<x<0或x>2【答案】A【分析】根据反比例函数的对称性得到反比例函数与正比例函数另一个交点的横坐标，再根据数形结合的思想求得x的取值范围．【详解】如图，令反比例函数与正比例函数的另一个交点为点B根据反比例函数图像关于坐标原点对称，因为点A的横坐标为−2，则点B的横坐标为2由，可知由数形结合思想可知，当正比例函数图像位于反比例函数图像的上方时，x的取值范围是或故选：A．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的关系以及反比例函数图像的性质，熟练掌握数形结合的思想解题是解决本题的关键．6．关于反比例函数y＝﹣，下列叙述正确的是（）A．函数图象经过点（﹣2，﹣3）B．函数图象在第一、三象限C．当x＞﹣2时，y＞3D．当x＜0时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】根据反比例函数的图象和性质求解即可．【详解】解：画出反比例函数y＝﹣的图象如图所示更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA、将点（﹣2，﹣3）代入表达式y＝﹣，得：，等式不成立，选项错误，不符合题意；B、由图象可得，函数图象在第二、四象限，选项错误，不符合题意；C、由图象可得，当时，y＞3，选项错误，不符合题意；D、由图象可得，当x＜0时，y随x的增大而增大，选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．7．现有下列命题：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形；②有两条边长比值是3：4的两个直角三角形相似：③若一元二次方程有实数根，则；④若点在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是．其中是真命题的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【分析】根据矩形的判定可以判断①；根据相似三角形的判定可以判断②；根据一元二次方程的判别式可以判断③，根据反比例函数的性质可以判断④．【详解】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题；②当一个三角形的两个直角边分别为3和4，另一个三角形的斜边为4，那么这两个三角形不相似，是假命题：③若一元二次方程即有实数根，则，解得，是假命题；④若点在反比例函数的图象上，且∵∴函数图像经过二、四且在每个象限y都随x增大而增大∵，∴A、B两个点分别在第二象限和第四象限，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴则a的取值范围是，故是真命题故选D．【点睛】本题主要考查了判定命题的真假，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．已知点A（x，y)，B(x，y)，C(x，y)都在反比例函数y=(k<0)的图象上，且x<x<0<x，则y，y，y的大小关系是（）A．y>y>y B．y>y>y C．y>y>y D．y>y>y【答案】A【分析】根据反比例函数的性质解答．【详解】解：∵反比例函数y=(k<0)∴该函数图象的两个分支在第二、四象限内，且在每个象限内y随着x的增大而增大∵点A（x，y)，B(x，y)，C(x，y)都在反比例函数y=(k<0)的图象上，且x<x<0<x∴y<0，y>y>0∴y>y>y故选：A．【点睛】此题考查反比例函数的性质：当k>0时，函数图象的两个分支在第一、三象限内，且在每个象限内y随着x的增大而减小；当k<0时，函数图象的两个分支在第二、四象限内，且在每个象限内y随着x的增大而增大．9．已知反比例函数y=，点A（m，y1），B(m+2，y2)是函数图像上两点，且满足，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher分析：将点A（m，y1），B(m+2，y2)代入反比例函数y=，得出y1、y2与m、k的关系式，再代入，即可求出k的值.详解：∵点A（m，y1），B(m+2，y2)是函数图像y=上的两点∴，∴，∵∴解得.故选C.点睛：本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征.将函数图象上的点代入其解析式，并利用倒数的方法将转化为是解题的关键.10．已知某函数的图象C与函数的图象关于直线对称下列命题：①图象C与函数的图象交于点；②在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4；④，是图象C上任意两点，若，则，其中真命题是（）A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】根据题意画出图形，①将代入得，从而可判断①正确；②令时，，即关于时的对称点为，从而可判断②正确；③根据图形分析可得C右侧图与x轴间距离小于4，但y轴左侧与x轴距离大于4，从而可判断③错误；④由图像即可判断④错误．【详解】解：由图像C与反比例函数关于对称可得如下图，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher①当时，，故①正确；②当时，，即关于时的对称点为，故②正确；③如图：与之间距离小于2，即C与x轴间距离小于4（C右侧图），但y轴左侧与x轴距离大于4，故③错误；④当时，，则；当时，，则；∴当x1＞0＞x2时，y2＞y1故④错误．故答案为：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象及性质；熟练掌握函数关于直线对称时，对应点关于直线对称是解题的关键．二、填空题11．如图，过原点的一条直线与反比例函数的图像分别交于A，B两点．若A点的坐标为，则B点的坐标为________．【答案】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【分析】根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答．【详解】解：∵反比例函数的图象是中心对称图形则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称∵A点的坐标为∴B点的坐标为；故答案为：．【点睛】此题考查了反比例函数图象的对称性．反比例函数的图象关于原点对称．12．在同一坐标系中，正比例函数与反比例的数的图象交于点A、B．若交点A的坐标为（－2，1），则交点B的坐标为_________．【答案】（2，－1）【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像关于原点中心对称，即可求得点的坐标．【详解】正比例函数和反比例函数的图像关于原点中心对称，则交点也关于原点中心对称交点A的坐标为（－2，1）交点B的坐标为（2，－1）故答案为：（2，－1）．【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数的图像的性质，理解中心对称是解题的关键．13．下列函数：①；②；③；④；⑤中，随的减小而增大的有___个．【答案】2【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以得到哪个函数的y随着x的减小而增大，从而可以解答本题．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解：①，则y随x的减小而增大，故①符合题意；②，y随着x的减小而减小，故②不符合题意；③，y随着x的减小而减小，故③不符合题意；④即函数，y随着x的减小而增大，故④符合题意；⑤，当0<x<2时，中y随着x的减小而增大，当x<0时，中y随着x的减小而增大，但x<2时，中y随着x的变化趋势确定，故⑤不符合题意；故答案为：2．【点睛】本题主要考查一次函数的性质和反比例函数性质，解决本题的关键是要熟练掌握一次函数的性质和反比例函数性质.14．关于反比例函数，当时，的取值范围是___．【答案】x>2或x<0．【分析】根据反比例函数的性质可得，然后分和两情况求解。即可．【详解】解：∵∴∴当时，当时，有，解得：∵∴在每一象限内，随的增大而减小∴当时，综上所述，当时，的取值范围是x>2或x<0．故答案为：x>2或x<0．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是得到，分两种情况解答．15．已知A（－2，y1），B(－1，y2)在反比例函数的图像上，则y1_____y2．(用“>”、“<”、“＝”更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher填空).【答案】【分析】根据反比例函数的图象性质比较横坐标的大小即可得知纵坐标的大小．【详解】∵反比例函数∴∴在每个区间内随的增大而减小∵∴故答案为：【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，熟悉掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．三、解答题16．已知反比例函数（m为常数）．（1）若函数图像经过点，求m的值；（2）若函数图像在第二、四象限，求m的取值范围；（3）若时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）把A（-1，6）代入反比例函数解析式即可；（2）根据函数图像在第二、四象限，即可得到，求解即可；（3）根据时，y随x的增大而减小，，求解即可．【详解】解：（1）∵反比例函数的图像经过点∴解得；（2）∵函数图像在第二、四象限，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴解得；（3）∵时，y随x的增大而减小∴解得．【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．17．已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点．（1）求这个函数的解析式；（2）判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由；（3）当时，求y的取值范围．【答案】（1）；（2）点不在函数的图象上，点在函数的图象上，见解析；（3）【分析】（1）把点A的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值．（2）只要把点B、C的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于12时，即该点在函数图象上；（3）根据反比例函数图象的增减性解答问题．【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点．∴解得∴反比例函数的解析式为（2）∵，∴点不在函数的图象上，点在函数的图象上（3）当时，；当时，∵函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴当时，求y的取值范围为．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质、待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征．用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．18．已知反比例函数的图象经过点．（1）这个函数的图象位于哪些象限？在每一象限内，随的增大如何变化？（2）判断点，，是否在这个函数的图象上？【答案】（1）这个函数的图象位于一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；点，在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上．【分析】（1）设反比例函数解析式为，把点代入可得出k=12，根据反比例函数的性质即可得答案；（2）把各点坐标分别代入比例函数解析式为，等式成立即可得该点在这个函数的图象上．【详解】（1）设反比例函数解析式为∵反比例函数的图象经过点∴,解得：k=12∵∴这个函数的图象位于一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小．（2）由（1）可知k=12∵4=∴点在这个函数的图象上∵∴点在这个函数的图象上，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵∴点不在这个函数的图象上综上所述：点，在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上．【点睛】本题考查反比例函数点性质及待定系数法求反比例函数解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是解题关键．19．我们已经学习过反比例函数y＝的图象和性质，请你回顾研究它的过程，运用所学知识对函数y＝的图象和性质进行探索，并解决下列问题：（1）该函数的图象大致是（2）关于此函数，下列说法正确的是______________（填写序号）：①在各个象限内，y随着x增大而减小；②图像为轴对称图形；③函数值始终大于0④函数图像是中心对称图形（3）写出不等式﹣3＞0的解集．【答案】（1）D；（2）②③；（3）【分析】（1）对于函数y＝，无论x取非零实数时，y的值总是大于零，也可以分为和，两种情况考虑，即：函数可化为函数y＝和；（2）根据（1）中函数图像回答即可；（3）先求出的解，在根据函数的增减性确定自变量x的取值范围即可．【详解】解：（1）函数y＝，可化为函数y＝和两种曲线，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher函数y＝图像是：D；故选：D；（2）根据函数像可知，时y随x的增大而增大，y随x的增大而减小，故①错误；据函数图像可知为轴对称图形，而不是中心对称图形且函数值始终大于0，故②③正确，④错误故答案为：②③；（3）时，即：y＝，解得根据函数的图像和性质得，不等式﹣3＞0即＞3的解集为：或．【点睛】本题主要考查函数的意义以及反比例函数的图像和性质，特别注意利用图像得出性质，再利用性质解决问题．20．参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．因为所以我们对比函数来探究．经过列表、描点、连线．（1）观察图象可知，的图象由的图象向______平移______个单位得到．（2）当时，y随x的增大而_______（填“增大”或“减小”）:对于任意的实数x，y的取值范围是________．（3）探究：设是函数图象上的两点，且，求的值．【答案】（1）上，1；（2）增大，y≠1；（3）5【分析】（1）画出两个函数的图像，观察图象即可解决问题；（2）观察图象即可解决问题；（3）根据图象上点的坐标特征得到，，代入中，利用分式的运算法则变形，即可求出值．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解：（1）如图，分别画出和的图像由图可知：的图象由的图象向上平移1个单位得到；（2）由图可知：当时，y随x的增大而增大对于任意的实数x，y的取值范围是y≠1；（3）∵是函数图象上的两点∴，∵∴====5．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象与几何变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点作轴，垂足为点且的面积为．（1）求与的值；（2）若点也在反比例函数的图象上，求当时，函数值的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）（1）由点A的坐标可知，OB＝4，AB＝m，再由△AOB的面积为4可求出m的值，把A（4，2）代入即可求出k的值；（2）先根据x＝−3与x＝−1时求出y的值，再由此函数的增减性即可求出当−3≤x≤−1时，对应的y的取值范围．【详解】解：（1）∵A（4，m），

∴OB＝4，AB＝m，

∴S△AOB＝OB•AB＝×4×m＝4，

∴m＝2，

∴点A的坐标为（4，2）代入，得k＝8；

（2）由（1）得，反比例函数的解析式为：，

∵当x＝−1时，y＝-8；当x＝−3时，y＝，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵反比例函数在x＜0时y随x的增大而减小，

∴当−3≤x≤−1时，对应的y的取值范围是．【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义及反比例函数的性质，先根据题意求出m的值是解答此题的关键．22．已知反比例函数（k为常数，）的图像经过点．（1）求这个函数的表达式；（2）判断点是否在这个函数的图像上，并说明理由；（3）当时，直接写出y的取值范围_______．【答案】（1）；（2）在图像上，理由见解析；（3）【分析】（1）把坐标代入函数解析式后可以求得的值；（2）把点的坐标代入函数表达式进行验证；（3）根据函数图象的性质进行答题．【详解】解：（1）反比例函数为常数，且的图象经过点该反比例函数解析式为：；（2）点在函数图象上，理由如下：由（1）知，．点在这个函数的图象上；（3）由（1）知，该反比例函数解析式为：，则该函数图象经过第二、四象限，且在第二象限内随的增大而增大．当时，．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher当时，在第二象限内，当时，．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法求反比例函数解析式．解答（3）题时，也可以根据函数解析式画出草图，根据图象直接写出答案．23．某模具厂计划生产一批面积为，周长为的矩形模具，需要确定的取值范围．小亮利用图象的方法解决此问题的过程如下：（1）建立函数模型，设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是这两个函数图象在第________象限内交点的坐标．（2）画出函