2026年高一数学寒假自学课（人教B版）第09讲 倍角公式及三角恒等变换的应用（2知识点+9大题型）（解析版）

第09讲倍角公式及三角恒等变换的应用内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练【题型01：二倍角公式的正用】【题型02：二倍角公式的逆用】【题型03：二倍角公式的综合】【题型04：辅助角公式及其应用】【题型05：给值求值问题】【题型06：给值求角问题】【题型07：利用三角恒等变换判断三角形形状】【题型08：利用三角恒等变换化简证明】【题型09：三角恒等变换的实际应用】第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：二倍角公式（1）（2）（3）知识点2：公式的常用变形（1）降幂公式：；；（2）辅助角公式：，其中，，【题型01：二倍角公式的正用】1．已知，，则．【答案】【详解】由已知，，两边平方可得，，又，所以，所以.故答案为：2．若，，则.【答案】/【详解】因为，所以，所以，，又，解得，所以.故答案为：.3．已知满足，则．【答案】【详解】因为，所以，则，则.故答案为：.4．已知，为第二象限角，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【详解】已知，且为第二象限角，设，，则有方程组，消元得，解得或，当时，；当时，，由于为第二象限角，需满足，，故舍去的解，因此，，利用倍角公式计算.故选：D5．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，可得，.所以.所以.故选：D6．（多选）已知，则的值可能为（

）A． B．0 C． D．【答案】BD【详解】因为，所以，nn所以或，当时，，故，；当时，.故选：BD7．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得，即，因此，而，则，所以.故选：D【题型02：二倍角公式的逆用】8．计算．【答案】/【详解】.故答案为：.9．（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解法一：．解法二：，所以．故选：B.10．下列各式的值为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A选项，，A不满足；对于B选项，，B不满足；对于C选项，，C满足；对于D选项，，D不满足.故选：C.11．已知，则.【答案】/【详解】，.故答案为：.12．化简.【答案】【详解】故答案为：.13．若是第三象限角，且，则.【答案】【详解】，由于是第三象限角，所以，所以.故答案为：14．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，则，即，即，解得或，因为，所以，则，所以.故选：D.【题型03：二倍角公式的综合】15．的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意有：，故选：B.16．化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题.故选：D17．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因，则..则.故选：C18．已知，，且，则．【答案】【分析】【详解】根据二倍角公式：，.又因为，所以，所以，整理得，所以，又因为，，则，所以．故答案为：.19．已知，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)2(2)【分析】【详解】（1）因为，，所以，所以.（2）由（1）知，，又，，所以.20．若不在坐标轴上的点关于直线的对称点为，则（

）A．0或2 B．2 C．0或 D．【答案】D【详解】由题意得，得，解得，当时，，在轴上，舍去.所以，故.故选：D21．已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则．【答案】【详解】由题意可得，解得，又，所以，所以，，所以，所以，所以，即，因为，，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【题型04：辅助角公式及其应用】22．的值为（）A．1 B． C． D．2【答案】D【详解】.故选：D.23．“”是“”的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由，得到，则，当时，，所以可以推出，但推不出，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选：A.24．已知，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，，所以，，所以，则．故选：D．25．函数的最大值为．【答案】【详解】由题知，且锐角满足，故函数的最大值为.故答案为：26．已知函数，，，则=．【答案】【详解】由题可知：，又，，所以为函数的最大值，所以，则，所以故答案为：27．已知函数的最大值为3，则实数的值为.【答案】【详解】，因为函数的最大值为3，所以，（舍去），所以实数的值为.故答案为：.【题型05：给值求值问题】28．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，结合，解得：，所以，当时，，此时，当时，，此时，综上，，故选：A29．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，所以，，，故选：D.30．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以，所以.故选：D31．已知，则.【答案】【详解】因为，所以即故答案为：32．若，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，整理为，则，所以.故选：D33．已知，则.【答案】/【详解】因为，所以由，故答案为：34．已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，，又，所以，，所以，.故选：D.【题型06：给值求角问题】35．若，，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，因为，所以，所以，得.故选：D36．已知，，且，，求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）由，解得，所以；（2），由，，得，所以，因为，，所以，所以，又，，所以，所以，所以，所以．37．已知(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】【详解】（1）由题意知，故，故；（2）由于，且，则，结合，可得，结合（1）可得，而，故，由于，故.38．已知、，且，，求.【答案】【详解】由，得，即，由，得，两式平方相加得，即，则，又，于是，因此，由，得，所以.39．已知，，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）因为，所以；（2）且，，则，，，，，且，解得（负值舍去），，又，，，.【题型07：利用三角恒等变换判断三角形形状】【题型08：利用三角恒等变换化简证明】40．在中，已知，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等边三角形【答案】A【详解】因为，，所以，，即，因为，所以所以，即为等腰三角形.故选：A．41．在中，若，则的形状不可能是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．三个角都不相等的锐角三角形【答案】D【解析】由诱导公式化，由两角和与差的正弦公式和二倍角公式变形后可判断．【详解】由已知可得，∴，∴或，∴或，∴可能是等腰三角形､直角三角形或等腰直角三角形，故选：D.42．在中，若，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不含角的等腰三角形【答案】B【解析】利用三角形的内角和，结合差角的余弦公式，和角的正弦公式，即可得出结论．【详解】解：由题意可得sin（A﹣B）＝1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sin（A﹣B）＝1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB＝1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB＝1，∴sin（A+B）＝1，∴A+B＝90°，∴△ABC是直角三角形．故选：B．【点睛】本题考查差角的余弦公式，和角的正弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．43．已知在中，，，则此三角形是三角形．【答案】等边【详解】由，得，即，由，得，所以或．由得，与有定义矛盾，所以只能．所以是等边三角形．故答案为：等边44．在中，内角、满足，则为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】A【详解】在中，内角、满足，由于中至少有两个锐角，则、中至少有一个锐角，不妨设为锐角，则，从而，故为锐角，，故角为锐角，从而可知为锐角三角形，故选：A.【题型09：三角恒等变换的实际应用】45．求证：．【答案】证明见解析【详解】；由，则；又，故．46．求证：(1).(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】【详解】（1）证明：左边==右边.（2）证明：右边==左边.47．化简：．【答案】【详解】因为.所以，，，，当时，原式无意义；当，即，即，即，时，原式=，，，.48．已知，求证：．【答案】证明见解析【详解】依题意，，，当且仅当，即时取等号，因此，同理，，所以.49．求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】【详解】（1）.（2）.九、未命名题型50．如图，已知直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和，点、分别是直线、上的动点，使得.过点作直线，交于点，交于点，设，则的面积最小值为.

【答案】【详解】因为直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和，过点作直线，交于点，交于点，则，，且，又因为，则，故，且，在中，，则，在中，，则，所以，，因为，则，故当时，即当时，取最小值，且最小值为.故答案为：.51．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（

）A． B． C．5 D．【答案】B【详解】由题意，为的中点，由，得，当人在点时，如下图所示，设，则，在中，，在中，，因为，所以，解得或，因为，所以，则，则，当人运动到中点时，作于点，如下图所示，则，，所以，在中，故选：B．52．如图，正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设，，，，则，，于是，又的周长为2，即，变形可得，于是，又，所以，.故选：B.53．某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）．【答案】【详解】如图，连接OC，设，则，因,则则，故．因，则，故当，即当时，即割出的长方形桌面的最大面积为．54．如图所示，某市政府计划在该扇形地域内建设图书馆，为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该图书馆底面矩形CDEF的四个顶点都落在边界上．经过测量，扇形的半径为60m，，．记弧的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF，设．(1)求矩形CDEF的面积关于α的函数；(2)请说明F点向G靠近时矩形CDEF的面积变化情况；(3)求矩形CDEF的最大面积．【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】【详解】（1）由题意可知，,则，于是矩形CDEF的面积关于α的函数为.（2）由（1）分析得，则，，当F点向G靠近时，角越来越小，因，则，由正弦函数的图象知，的值由增大到1，接着减小到，故的值先由小变大，达到最大值后接着变小.（3）由（2）分析可知，当即时，.【点睛】思路点睛：解题思路在于，透过图形分析找到所求量与已知量、自变量之间的数量关系，再对求得的函数表示式，通过三角恒等变换化成正弦型函数，结合正弦函数的图象即可求得.55．在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记．(1)写出矩形的面积S与角的函数关系式；(2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．【答案】(1)，(2)当时，矩形的面积最大，最大值为【分析】【详解】（1）由题可知，，在中，，，，在中，，，，．（2），，当，即时，，故当时，矩形的面积最大，最大值为．一、单选题1．已知，则（

）A．-1 B．1C． D．【答案】D【详解】，故选：D.2．已知函数，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，因为，所以的值域为，故选：B.3．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由于，所以，故选：B4．已知，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，，，.故选：B.5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，则，所以.故选：D.6．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，故，解得或.因为是直角三角形中较大的锐角，所以，故，，故，又，解得，，又直角三角形的直角边分别为，则，所以.故选：C二．多选题7．下列化简正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【详解】对于A：，A错误；对于B：，B错误；对于C：，C正确；对于D：，D正确；故选：CD.8．（已知，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】因为，所以，，又，所以，，故，，对于A选项，因为，，所以，故A正确；对于B选项，因为，，所以，因为，所以，又，所以，，所以，B错误，对于C选项，因为，，故，C错误，对于D选项，因为，，所以，又，所以，故D正确，故选：AD.三、填空题9．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在射线上，则【答案】/【详解】由题知，，则.故答案为：10．已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则