六年级数学下册：行程问题中的相遇与追及模型探究

六年级数学下册：行程问题中的相遇与追及模型探究一、教学内容分析一、教学内容分析从《义务教育数学课程标准（2022年版）》来看，本课属于“数与代数”领域，核心在于运用数与运算、数量关系解决实际情境中的问题，并初步形成模型意识。在小学六年级下册的复习与提升阶段，行程问题（特别是相遇与追及）是综合考查学生逻辑思维能力、信息提取与整合能力以及方程思想应用的重要载体。其知识技能图谱植根于“速度、时间、路程”三者的基本数量关系（s=vt），并向上拓展至对两个或多个运动对象在直线运动中相对运动关系的分析与建模。这一内容在单元知识链中，起到了串联比例、分数、方程等多领域知识的枢纽作用，是培养学生从算术思维向代数思维过渡的典型桥梁。过程方法上，本课强调数学建模的全过程：从现实情境中抽象出数学问题（分离运动对象），识别关键变量并建立等量关系（往往是路程相等或时间相等），用符号（方程或算术式）表达模型，进而求解并回归解释。这一过程蕴含了深刻的化归思想与数形结合思想。其素养价值渗透于：在严谨的逻辑推理中培养科学理性精神；通过解决复杂的多对象运动问题，锻炼系统性思维和抗挫折能力；将抽象的数学关系与具体的生活情境（如交通、运动）相联系，增强数学应用意识与解决实际问题的能力。基于“以学定教”原则，学生已牢固掌握速度、时间、路程的基本公式，并能解决单一对象的简单行程问题。然而，面对涉及两个对象、尤其是需要分析“速度和”或“速度差”的相遇与追及问题时，学生普遍存在的障碍在于：难以从复杂的文字叙述中清晰剥离出两个独立而又关联的运动过程；对“同时出发”、“相向而行”、“同向而行”等关键术语所对应的数学模型反应不够敏捷；习惯于单一的算术解法，对设未知数、列方程这一更具普适性的代数方法存在畏难或运用不熟练的情况。此外，部分学生可能对“中点相遇”、“往返相遇”等变式情境感到困惑。在教学过程中，我将通过设计阶梯性任务、鼓励画线段图辅助分析、组织小组讨论辨析关键条件等方式，动态评估学生的理解层次。对于基础薄弱的学生，提供“信息提取卡”和标准线段图模板作为支持；对于思维敏捷的学生，则引导其探索一题多解及变式推广，挑战开放性问题，实现差异化提升。二、教学目标阐述二、教学目标知识目标：学生能够准确辨析相遇问题与追及问题的核心特征与关键术语，深入理解“速度和×相遇时间=总路程”与“速度差×追及时间=初始路程差”这两个核心模型的推导过程与内在逻辑。他们不仅能直接应用公式解决标准情境问题，更能从复杂叙述中自主抽象出模型所需的等量关系，实现知识的条件化与结构化存储。能力目标：重点发展学生的数学建模与逻辑推理能力。学生能够熟练运用线段图这一工具，将文字描述的动态行程问题转化为直观的静态几何图示，并从中有效提取等量关系。他们应能根据问题特征灵活选择算术方法或方程法进行求解，并清晰、有条理地表述解题思路，特别是在小组合作中，能够通过对话协同构建问题模型。情感态度与价值观目标：通过解决具有挑战性的行程问题，引导学生体验攻克难关的成就感，培养其面对复杂问题时的耐心与毅力。在小组探究中，鼓励倾听他人见解、尊重不同解题思路，形成理性讨论、合作共赢的学习氛围，认识到数学方法在规划和解释现实世界运动现象中的价值。科学（学科）思维目标：本课着力强化模型思想与数形结合思想。引导学生经历“现实情境→数学抽象（画图）→模型建立（找等量关系）→求解验证→解释应用”的完整建模过程。通过对比相遇与追及模型的异同，培养学生对数学模型进行辨析、类比与归纳的抽象思维能力。评价与元认知目标：设计引导学生依据“图示清晰、关系明确、步骤完整、检验合理”的标准，对解题过程进行自我评价与同伴互评。鼓励学生在解决问题后反思：“我用的是什么模型？”“除了这种方法，还有别的思路吗？”“我的线段图还能画得更清楚吗？”，从而提升其对自身思维过程的监控与调节能力。三、教学重点与难点析出三、教学重点与难点教学重点在于引导学生自主建构并深入理解相遇问题与追及问题的基本数学模型，掌握通过画线段图分析数量关系、确立等量关系（通常是路程等量或时间等量）的核心解决方法。确立此为重点，源于课标对“模型意识”和“应用意识”的强调，这两类模型是小学阶段行程问题的支柱，也是后续学习工程问题、流水行船等复杂数量关系问题的重要认知基础。从小升初测评角度看，相遇与追及及其变式是高频考点，且题目灵活多变，深刻理解模型本质而非记忆公式，是应对各类变式的关键。教学难点集中于学生在复杂情境下准确识别模型类型并建立正确等量关系。具体表现为：第一，对“相向而行途中某对象停留后再出发”、“往返运动中多次相遇”等非标准情境，学生容易因运动过程复杂而迷失，无法有效分段分析。第二，在追及问题中，对“快者先行一段时间后慢者再出发”或“环形跑道追及”等情境下“初始路程差”的确定容易出错。预设难点成因是学生的空间想象与过程动态模拟能力尚有欠缺，且克服单一、静态的思维定式需要过程。突破方向在于强化“分段图示法”和“将动态过程定格为几个关键瞬间”的策略指导。四、教学准备清单四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态演示相遇与追及过程的动画）、实物投影仪。1.2学习材料：分层学习任务单（A基础版/B挑战版）、课堂巩固练习卷、经典题型手卡。2.学生准备2.1课前预习：复习速度、时间、路程三者关系，并尝试用线段图表示一个简单的行程问题。2.2学具：直尺、铅笔、不同颜色的彩笔。3.环境布置3.1板书记划：左侧预留核心模型区，中部为示例讲解区，右侧为生成性问题区。3.2小组安排：异质分组，便于课堂讨论与互助。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题激发：同学们，想象一下这个场景：每天早上，小明和小红同时从家出发去学校，小明每分钟走60米，小红每分钟走40米。如果他们的家在学校的两侧，相向而行，5分钟后相遇，你们能马上告诉我他们家相距多远吗？反过来，如果他们是邻居，小明在小红后面，两人同向去学校，小明多久能追上小红呢？（稍作停顿，观察反应）这两个问题，一个关于“相遇”，一个关于“追及”，就是我们今天要深入探究的行程问题中的两大经典模型。1.1核心问题提出与路径明晰：看起来有些同学已经跃跃欲试，有些同学可能还在梳理条件。别急，我们今天的核心任务就是：如何像数学家一样，为“相遇”和“追及”这两类运动现象，建立清晰、可靠的数学模型，并运用模型破解各种复杂情况？我们将通过“画图摸清家底→对比归纳建模型→分层挑战练本领”三个步骤来完成这次探索。首先，请大家拿起笔和尺子，我们一起来把文字“翻译”成图形。第二、新授环节任务一：单一对象运动回顾与线段图复现教师活动：首先，我们温故而知新。请一位同学在黑板上用线段图表示：“小明从家到学校，速度60米/分，走了10分钟，求路程。”好，画得清晰。这就是我们最基础的行程关系：路程=速度×时间，线段图能直观展示它。现在，我增加一个对象——“小红”。请大家在任务单上，独立尝试画出以下两个情境的线段图：（1）小明和小红从两地同时相向而行。（2）小红先走一段后，小明从同地同向去追。画完后，和同桌说说你的图是怎么表现“相向”和“同向”的。（巡视，选取有代表性的图样，准备用实物投影展示）学生活动：独立在纸上绘制线段图，尝试用两条线段或箭头表示两个对象的运动。与同桌比较、讨论图示方法的异同，思考如何更好地表达“方向”和“时间关系”。即时评价标准：1.图示是否清晰地区分了两个运动对象（如用不同颜色或标签）。2.是否正确地用箭头方向表达了“相向”（箭头相对）或“同向”（箭头同向）。3.能否口头解释图中各线段分别代表什么（谁的路程、时间信息如何体现）。形成知识、思维、方法清单：★线段图是分析行程问题的利器：它能将动态问题静态化、抽象关系可视化。画图时，务必明确：起点、方向、长度（代表路程或速度）、关键点（如相遇点、追及点）。▲信息提取与转化：将文字中的“同时”、“相向”、“相距”等关键词，转化为图形元素，这是建模的第一步。老师常提醒：“画图时，手别停，脑子跟着笔尖走，关系自然就清晰。”任务二：合作探究——相遇模型的核心等量关系教师活动：现在聚焦相遇问题。看大屏幕上的动态演示：甲、乙两车从A、B两地同时相向而行。大家观察，在它们相遇的那一刻，发生了什么？（演示暂停在相遇点）对，它们“共同走完了全程”。请大家以小组为单位，结合你们刚才画的图，讨论并完成：1.如何用两人的速度和时间来表示各自走的路程？2.两人走的路程与总路程有什么关系？能否写出一个等式？（下发任务单，提供引导句式：甲路程=，乙路程=，因为______，所以______。）学生活动：小组热烈讨论，观察动画，结合线段图，尝试用语言和算式描述等量关系。基础组可能直接套用公式，挑战组会被鼓励用方程思想来表述：“设时间为t，则甲路程是…，乙路程是…，加起来等于总路程。”即时评价标准：1.讨论是否围绕“路程关系”展开，结论是否有图示依据。2.能否用数学语言（算式或含有字母的式子）准确表达“甲路程+乙路程=总路程”。3.小组内是否有分工协作（如一人主讲，一人记录，一人准备汇报）。形成知识、思维、方法清单：★相遇问题核心模型：路程和模型。基本关系式：\(S_{甲}+S_{乙}=S_{总}\)，即\(v_{甲}t+v_{乙}t=S_{总}\)，可推导出\((v_{甲}+v_{乙})\timest=S_{总}\)。关键：抓住“同时出发到相遇，所用时间t相同”这个隐藏条件。▲“速度和”的意义：它相当于一个“虚拟对象”以两人速度之和行驶，走完全程所用的时间就是相遇时间。这是一种高效的解题视角。任务三：对比迁移——自主建构追及模型教师活动：有了相遇模型的经验，我们来挑战追及问题。看这个情境：小红先行3分钟，小明再从同一地点同向去追。动画演示（展示两人距离逐渐缩短至为零）。关键问题来了：在小明追上小红的那一刻，两人走的路程还相等吗？（学生可能说“不等”）那我们该找什么“相等”？（引导学生思考：小明出发时，小红已经领先了一段，小明要用更快的速度去弥补这段差距）对，是“路程差”！请大家类比相遇模型的探究过程，小组合作推导追及问题的等量关系。（提示：初始路程差是怎么形成的？）学生活动：类比任务二，开展探究。通过画图分析，理解“追上的瞬间，快者比慢者多走的路程，正好等于最初的领先距离（即初始路程差）”。尝试写出关系式。即时评价标准：1.能否清晰指出图中哪一段是“初始路程差”（小红先走的路程）。2.能否准确表述等量关系：“小明路程小红路程=小红先行的路程”或“速度差×追及时间=初始路程差”。3.是否体现出与相遇模型的对比思考。形成知识、思维、方法清单：★追及问题核心模型：路程差模型。基本关系式：\(S_{快}S_{慢}=S_{差初始}\)，即\(v_{快}t_{追}v_{慢}(t_{追}+t_{先})=v_{慢}t_{先}\)，当同时出发追及时，简化为\((v_{快}v_{慢})\timest=S_{差初始}\)。核心：抓住“快者比慢者多走的路程等于初始差距”。▲模型辨析：相遇求和，追及求差。判断用哪个模型，首要看运动方向（相对还是相同）和最终状态（相遇还是追上）。任务四：综合辨析与模型选择教师活动：现在我们手握两把“钥匙”——相遇模型和追及模型。考验大家眼力的时候到了！我快速描述几个问题，不计算，只请你们迅速判断它属于哪类模型，并说出依据。（1）两人环形跑道同时同地反向跑，求首次相遇时间。（2）一辆车去某地，每小时行50千米，返回时每小时行40千米，求往返平均速度。（3）哥哥和弟弟从家去图书馆，弟弟先走，哥哥后追。问题1：这是____问题？等量关系是____？问题2：如果求哥哥追上弟弟的时间，需要知道哪些信息？（通过问题链，引导学生辨析）学生活动：快速反应，口头回答。对易混淆的（如环形跑道反向跑实为相遇问题）进行辨析。思考问题（2）并非简单的相遇或追及，涉及总路程与总时间的关系。即时评价标准：1.判断是否准确迅速。2.陈述依据时，是否能紧扣“运动方向关系”和“所求状态”进行分析。3.对非常规问题（如平均速度）是否能意识到其特殊性。形成知识、思维、方法清单：★模型选择决策树：第一步，看对象是否“同时运动”？若否，考虑时间差。第二步，看运动方向？相向→考虑相遇（路程和）；同向→考虑追及（路程差）。第三步，看问题所求与哪种等量关系（路程和/路程差）直接相关。▲警惕非标准模型：如往返平均速度≠(速度1+速度2)÷2，需用公式：平均速度=总路程÷总时间。学会具体问题具体分析。任务五：分层挑战——变式情境中的应用教师活动：现实问题往往不会这么“标准”。现在请大家根据自身情况，选择任务单上的A组或B组问题进行挑战。A组问题：涉及“中途休息后继续相遇”或“已知相遇时间求速度”的直接应用。B组问题：“中点相遇”问题或“往返运动中第二次相遇”问题。我会巡视，为需要帮助的同学提供“思维脚手架”卡片（如提示分段画图、设未知数等）。学生活动：自主选择难度层次，独立或与邻座轻声讨论解决问题。使用线段图辅助分析。A组同学确保模型应用准确；B组同学探索复杂情境中的等量关系建立。即时评价标准：1.解题过程是否清晰、步骤完整。2.线段图是否有效支持了分析（特别是对复杂过程的分段）。3.面对困难时，是积极尝试不同策略，还是主动寻求提示。形成知识、思维、方法清单：★复杂情境处理策略：“分段分析法”。将复杂过程（如休息、往返）按时间或状态分成几个简单阶段，对每个阶段应用基本模型。★“中点相遇”特征：相遇时，两人路程都等于全程的一半。★“多次相遇”规律（拓展）：从第一次相遇到第二次相遇，两人共同走了两个全程。这是一个重要规律，可用于快速解题。“同学们，遇到难题别慌，把它拆解成几个你熟悉的小问题，各个击破！”第三、当堂巩固训练现在进入实战演练环节。练习分为三个层次，请大家量力而行，至少完成前两层。基础层（全员必做）：1.直接应用公式填空：甲乙速度和为100米/分，相距600米，同时相向而行，（）分钟相遇。2.直接应用公式填空：甲每分钟比乙多走10米，甲乙相距50米同时同向出发，甲（）分钟追上乙。综合层（大多数同学争取完成）：3.小轿车和货车从相距360千米的两城同时相向开出，小轿车每小时行60千米，货车每小时行40千米。相遇时，小轿车比货车多行了多少千米？（提示：可先求相遇时间，再分别求路程作差；或利用“速度差×相遇时间=路程差”一步求解）。4.妹妹步行每分钟60米，姐姐骑车每分钟210米。妹妹先走15分钟后姐姐才从家出发去追，姐姐几分钟能追上妹妹？挑战层（学有余力者选做）：5.（开放探究）小明和小红在300米环形跑道上练习跑步。小明每秒跑5米，小红每秒跑4米。如果两人同时同地同向出发，多长时间后小明第一次追上小红？如果同时同地反向出发，多长时间后第一次相遇？你发现了什么有趣的联系吗？反馈机制：完成后，同桌间依据“答案正确、步骤清晰、方法恰当”进行互评。我将用实物投影展示具有代表性的解法（包括典型错误），重点讲评综合层第3题的两种思路，强调“巧用速度差”，并揭示挑战层第5题中“追及时间=跑道周长÷速度差”、“相遇时间=跑道周长÷速度和”的规律。第四、课堂小结旅程接近尾声，让我们一起来盘点收获。知识整合：请大家用一分钟时间，在笔记本上画一个简单的思维导图，中心词是“行程问题（两个对象）”，分出“相遇”与“追及”两大分支，写下核心公式和关键注意点。（请一位同学上黑板绘制，大家补充）。方法提炼：回顾一下，今天我们攻克难题的主要武器是什么？对，是画线段图和建立等量关系（路程和或路程差）。这就是数学建模思想的初步体现。作业布置与延伸：必做作业（巩固基础）：完成练习册上关于相遇与追及的基础练习题。选做作业（拓展思维）：设计一道包含“相遇”与“追及”元素的综合性题目，并给出详细解答。下节课，我们将带着这些模型，一起去探索更奇妙的“流水行船”问题。大家记得，“学数学如行路，方向明，脚步实，方能致远。”六、作业设计基础性作业：1.从A地到B地，甲车需行4小时，乙车需行5小时。如果两车分别从A、B两地同时出发相向而行，相遇时，甲车比乙车多行了全程的几分之几？（考查对相遇时间与路程分配比例的理解）。2.直接应用模型解决3道标准相遇与追及问题（题目略）。拓展性作业：3.（情境应用）小明和小王两家相距1800米，两人同时从家出发相向而行，小明带了一只狗，狗以每分钟200米的速度先向小王跑去，遇到小王后立即返回向小明跑，遇到小明后再跑向小王……如此往返，直到两人相遇。已知小明每分钟走50米，小王每分钟走40米。问：从出发到相遇，这只狗一共跑了多少米？（考查对相遇模型本质的深度理解，狗跑的总时间即两人相遇时间）。4.分析一道“错车问题”（两列车相遇问题），将其转化为相遇模型求解。探究性/创造性作业：5.查阅资料，了解“牛吃草”问题的经典模型。尝试思考并阐述：“牛吃草”问题中，“草的增长速度”与“原有草量”，与我们今天学的行程问题中的哪些量有思想方法上的相似之处？（撰写一份不超过300字的数学短文，旨在感悟不同问题背后的统一数学模型思想）。七、本节知识清单及拓展★1.行程问题三要素关系：路程(S)=速度(v)×时间(t)。这是所有行程问题的基石，必须倒背如流并能熟练变形。理解速度的单位复合含义（如米/分）。★2.线段图核心画法：用一条线段表示总路程；用不同颜色或标记的线段/箭头表示不同对象的运动；清晰标注速度、时间、路程（已知或未知）；关键点（起点、终点、相遇点、追及点）要明确。★3.相遇问题基本模型：两个对象同时从两地相向而行直至相遇。核心等量关系：\(S_1+S_2=S_{总}\)。衍生公式：相遇时间\(t=S_{总}÷(v_1+v_2)\)。关键：时间相同。★4.追及问题基本模型：两个对象同向运动，后者追上前者。核心等量关系：\(S_{快}S_{慢}=S_{差初始}\)。衍生公式：追及时间\(t=S_{差初始}÷(v_{快}v_{慢})\)（针对同时出发追及）。关键：找出初始时快者需要弥补的路程差。▲5.“速度和”与“速度差”的直观意义：“速度和”可视为两对象靠近的合速度；“速度差”可视为快者接近慢者的相对速度。用相对运动理解，有时能让问题更简洁。★6.寻找等量关系的两大主线：时间等量（如“同时出发至相遇/追及”）和路程等量（相遇问题中的“路程和”、追及问题中的“路程差”）。列方程时通常以一个等量为依据。▲7.环形跑道问题转化：反向跑（相遇）：每合跑一圈相遇一次，关系同直线相遇。同向跑（追及）：每快者比慢者多跑一圈相遇一次，关系同直线追及。跑道周长即为总路程或路程差。★8.中点相遇特征：若两人从两地同时出发相向而行，在中点相遇，则两人所走路程相等，即速度与时间成反比（若时间同，则速度相同）。这是一个快速解题的突破口。▲9.处理“不同时出发”或“中途停顿”的策略：分段+时间轴。将整个运动过程按照时间顺序或状态变化分成几个阶段，对每个“同时运动”的阶段应用基本模型。画图时注意时间轴的对应。★10.算术解与方程解的选择：对于简单、标准的问题，算术法（公式法）快捷。对于复杂、多对象、条件间接的问题，设未知数（通常设时间为x）列方程是更通用、更清晰的策略，能直接体现等量关系。▲11.平均速度的陷阱：平均速度≠(速度1+速度2)÷2。必须严格使用定义：平均速度=总路程÷总时间。在往返问题中尤其要注意。★12.检验答案的合理性：养成检验习惯。将答案代回原题情境：时间是否为正？路程是否合理？相遇/追及点位置是否符合逻辑？这是确保解题正确的重要一步。八、教学反思本课教学设计试图将模型思想、差异化教学与核心素养培育进行深度融和。从假设的课堂实施角度看，预设的“任务驱动、支架递进”模式基本能引导学生完成从具体情境到抽象模型的建构过程。(一)目标达成度分析多数学生能通过任务一至三的活动，较为扎实地掌握相遇与追及的基本模型，这一点在“当堂巩固”的基础层与综合层答题正确率（预估85%以上）上可以得到印证。能力目标方面，学生在任务五及巩固练习中展现出的画图分析能力有明显提升，但将复杂文字转化为图形的熟练度仍有差异。情感与思维目标在小组探究环节表现突出，学生讨论的焦点集中于等量关系的寻找，体现了模型思维的发生。然而，元认知目标（如自我评价解题策略）的达成更多地依赖于教师的课堂追问和课后作业反思，在课内时间有限的情况下，需在后续课程中持续强化。(二)教学环节有效性评估导入环节的生活化设问快速激发了兴趣，并成功引出了核心问题。新授环节的五个任务环环相扣，逻辑链条清晰：任务一的“画图复现”成功激活旧知，为后续分析铺平了道路。“画图时，手别停，脑子跟着笔尖走”这句提示语在实践中有效减轻了部分学生对文字的恐惧。任务二的合作探究是本节课的高潮之一，动态演示与静态画图相结合，帮助学生直观理解“路程和”的由来。小组讨论时，我注意到有的学生兴奋地指着图说：“你看，他俩的路程加起来就是这条总长度！”，这正是内部思维的外化。任务三的对比迁移设计较为成功，学生能较快类比出“路程差”模型，体现了学习的正迁移。任务四的快速辨析起到了“趁热打铁”的作用，帮助学生固化模型识别能力。任务五的分层设计照顾了差异，但巡视中发现，选择B组挑战题的部分学生，在“往返二次相遇”问题上卡壳，虽然提供了“思维脚手架”卡片（提示“画出路线图，找找两人共走了几个全程”），但仍有学生难以想象过程。这提示我，对于此类极度依赖空间想象的问题，可能需要更细致的动画分解，或设计实体模拟活动（如用两个物品在纸上模拟运动）。(三)学生表现深度剖析课堂中，学生大致呈现三个层次：第一层次学生（约30%）能迅速建构模型，并灵活运用于变式问题，甚至在挑战题中发现了环形跑道中“速度和×时间=合走路程”的规律。对他们，我在课堂上通过追问“你还有别的方法吗？”“这个结论能推广吗？”，引导其进行深度思考。第二层次学生（约60%）能通过引导和小组互助掌握核心模型，完成综合层练习，但面对复杂变式时需较长时间分析和尝试。他们是课堂的主体，我的主要教学支架（如引导句式、分层任务单）主要服务于他们。第三层次学生（约10%）在从具体情境抽象为模型这一步存在困难，他们能看懂图示，但独立建立等量关系有障碍。对于他们，“信息提取卡”和更简化的单项练习是必要的，课堂上需给予更多个别指导，确保其掌握最核心的公式应用。(四)策略得失与理论归因得：1.“建模过程”贯穿始终：严格遵循“情境抽象模型应用”的路径，使学生不仅知道