江西省吉安市重点高中2026届高一下数学期末统考模拟试题含解析

江西省吉安市重点高中2026届高一下数学期末统考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形2．甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（）A．甲、乙两人打靶的平均环数相等B．甲的环数的中位数比乙的大C．甲的环数的众数比乙的大D．甲打靶的成绩比乙的更稳定3．在等差数列an中，a1=1，aA．13 B．16 C．32 D．354．已知正数组成的等比数列的前8项的积是81，那么的最小值是（）A． B． C．8 D．65．已知，，，则（）A． B． C． D．6．已知数列an满足a1=1，aA．32021-18 B．320207．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．9．已知数列满足，则（）A．2 B． C． D．10．在中，分别为角的对边，若，且,则边=()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图所示，已知点，单位圆上半部分上的点满足，则向量的坐标为________．12．已知点，，若向量，则向量______.13．设数列（）是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2019项的和________14．已知三点、、共线，则a=_______.15．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．16．把二进制数1111（2）化为十进制数是______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米．（1）求线段的长度；（2）若，求两条观光线路与之和的最大值．18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取个，求至多有人在分数段内的概率．19．如图，是正方形，是正方形的中心，底面是的中点.（1）求证：平面；（2）若,求三棱锥的体积.20．已知是一个公差大于的等差数列，且满足，数列满足等式：（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.21．已知直角梯形中，，，，，，过作，垂足为，分别为的中点，现将沿折叠，使得．（1）求证：（2）在线段上找一点，使得，并说明理由．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．则：，由于：0＜A＜π，故：A．由于：sinBsinC＝sin2A，利用正弦定理得：bc＝a2，所以：b2+c2﹣2bc＝0，故：b＝c，所以：△ABC为等边三角形．故选C．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2、C【解析】甲：8,6,8,6,9,8，平均数为7.5，中位数为8，众数为8；乙：4,6,8,7,10,10，平均数为7.5，中位数7.5，众数为10；所以可知错误的是C。故选C。3、D【解析】

直接利用等差数列的前n项和公式求解.【详解】数列an的前5项和为5故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4、A【解析】

利用等比数列的通项公式和均值不等式可得结果.【详解】由由为正项数列，可知再由均值不等式可知所以（当且仅当时取等号）故选：A【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及均值不等式，属基础题.5、C【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】为减函数，，为增函数，，为增函数，，所以，故.故选：C【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题.6、B【解析】

由题意得出3n+1-12<an+2【详解】∵an+1-又∵an+2-∵an∈Z，∴于是得到a3上述所有等式全部相加得a2019因此，a2019【点睛】本题考查数列项的计算，考查累加法的应用，解题的关键就是根据题中条件构造出等式an+27、B【解析】

方程化为，可转化为半圆与直线有两个不同交点，作图后易得．【详解】由得由题意半圆与直线有两个不同交点，直线过定点，作出半圆与直线，如图，当直线过时，，，当直线与半圆相切（位置）时，由，解得．所以的取值范围是．故选：B.【点睛】本题考查方程根的个数问题，把问题转化为直线与半圆有两个交点后利用数形结合思想可以方便求解．8、B【解析】

根据零点存在性定理即可求解.【详解】由函数，则，，故函数的零点在区间上.故选：B【点睛】本题考查了利用零点存在性定理判断零点所在的区间，需熟记定理内容，属于基础题.9、B【解析】

利用数列的递推关系式，逐步求解数列的即可．【详解】解：数列满足，，所以，．故选：B．【点睛】本题主要考查数列的递推关系式的应用，属于基础题．10、B【解析】

由利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosA，整理化简得a2b2+c2，与，联立即可求出b的值．【详解】由sinB＝8cosAsinC，利用正弦定理化简得：b＝8c•cosA，将cosA代入得：b＝8c•，整理得：a2b2+c2，即a2﹣c2b2，∵a2﹣c2＝3b，∴b2＝3b，解得：b＝1或b＝0（舍去），则b＝1．故选B【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理,准确计算是解本题的关键，是中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

设点，由和列方程组解出、的值，可得出向量的坐标.【详解】设点的坐标为，则，由，得，解得，因此，，故答案为.【点睛】本题考查向量的坐标运算，解题时要将一些条件转化为与向量坐标相关的等式，利用方程思想进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.12、【解析】

通过向量的加减运算即可得到答案.【详解】，.【点睛】本题主要考查向量的基本运算，难度很小.13、2019【解析】

根据二次方程根与系数的关系得出，再利用等差数列下标和的性质得到，然后利用等差数列求和公式可得出答案.【详解】由二次方程根与系数的关系可得，由等差数列的性质得出，因此，等差数列的前项的和为，故答案为.【点睛】本题考查等差数列的性质与等差数列求和公式的应用，涉及二次方程根与系数的关系，解题的关键在于等差数列性质的应用，属于中等题.14、【解析】

由三点、、共线，则有，再利用向量共线的坐标运算即可得解.【详解】解：由、、，则,,又三点、、共线，则，则，解得：，故答案为：.【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算，属基础题.15、【解析】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：，解得：，则圆的方程为.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．16、.【解析】

由二进制数的定义可将化为十进制数.【详解】由二进制数的定义可得，故答案为：.【点睛】本题考查二进制数化十进制数，考查二进制数的定义，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）3；（2）1.【解析】

（1），．用余弦定理，即可求出；（2）设，，用正弦定理求出，，展开，结合辅助角公式可化为，由的取值范围，即可求解.【详解】（1）在中，由余弦定理得，，所以线段的长度为3千米．（2）设，因为，所以，在中，由正弦定理得，．所以，，因此，因为，所以．所以当，即时，取到最大值1．答：两条观光线路距离之和的最大值为1千米．【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，尤其是辅助角公式要熟练应用，属于中档题.18、(1)0.3，直方图见解析；(2)121；(3).【解析】

（1）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；（2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；（3）先计算、分数段的人数，然后按照比例进行抽取，设从样本中任取2人，至多有1人在分数段为事件，然后列出基本事件空间包含的基本事件，以及事件包含的基本事件，最后将包含事件的个数求出题目比值即可.【详解】(1)分数在[120,130)内的频率为：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3，，补全后的直方图如下：(2)平均分为：95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由题意，[110,120)分数段的人数为：60×0.15＝9人，[120,130)分数段的人数为：60×0.3＝18人．∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120,130)分数段内抽取4人并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15种．事件A包含的基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共9种，∴.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）由平面得出，由底面为正方形得出，再利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面；（2）由勾股定理计算出，由点为线段的中点得知点到平面的距离等于，并计算出的面积，最后利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积．【详解】（1）平面，平面，，又为正方形，，又平面，平面，，平面；（2）由题意知：，又，，，点到面的距离为，.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，在计算三棱锥的体积时，充分利用题中的线面垂直关系和平面与平面垂直的关系，寻找合适的底面和高来进行计算，考查计算能力与推理能力，属于中等题．20、【解析】

（1）利用等差中项得到关于，的方程组，利用通项公式求得公差，则数列的通项公式可求；（2）把数列的通项公式代入，得，作差可得，再由数列的分组求和可得数列的前项和．【详解】（1）在等差数列中，由，得，又，可得或．，，则