初中数学七年级上册“选择方案问题”高阶复习知识清单

初中数学七年级上册“选择方案问题”高阶复习知识清单

一、核心概念与思想方法

（一）问题本质【基础】

选择方案问题的核心在于，面对同一问题情境下存在的两种或多种不同解决方案，通过建立数学模型（通常为方程或代数式），寻找不同方案结果相等时的临界值（亦称“平衡点”或“无差别点”），并以此为界，根据具体条件（如变量取值范围、预设目标等）进行比较、分析与抉择，最终确定最优方案。这不仅是方程知识的应用，更是优化思想的萌芽。

（二）主导思想【非常重要】

1.模型思想：将实际情境中的数量关系抽象为数学模型，即用代数式表达不同方案的费用或量值。

2.分类讨论思想：根据未知变量的不同取值范围，分别讨论各方案的优劣，是解决方案选择问题最核心的数学思想。

3.方程思想：通过设未知数，并依据“方案费用相等”、“方案结果相同”等条件构建等式，从而求出临界值。

4.最优化思想：在临界值的基础上，结合具体数值或实际需求，做出最优决策。

二、标准化解题流程【高频考点】

我们将解决方案选择问题提炼为五个核心步骤，可简记为“审、设、表、找、选”：

1.审题与设元【基础】：仔细阅读题目，明确问题背景，理解不同方案的具体规则。确定题目中的关键变量，通常将这个变量设为未知数x。这个变量往往是影响方案选择的关键因素，如购物金额、通话时间、乘车里程、学生人数等。

2.代数表达【基础】：根据各方案的规则，用含有未知数x的代数式，准确地表示出每个方案对应的结果（通常是总费用、总利润或剩余量等）。注意，有些方案的代数式可能是分段函数的形式，例如“超过部分按……收费”，需要准确表达。

3.构建方程求临界【非常重要】：令两个方案的代数式相等，列出一元一次方程。解此方程，求出临界值x₀。这个临界值是方案优劣对比发生变化的关键点。

4.分类讨论与比较【核心】：在数轴上标出临界值x₀，结合题目实际背景（如人数为正整数、距离大于零等），划分不同的取值范围。在每一个范围内，选取一个方便计算的、符合该范围的特定值（特值法），代入各方案的代数式中进行计算并比较大小；或者直接根据代数式的性质（如一次函数的增减性）进行分析。

5.检验与作答【基础】：将讨论的结果与题目实际要求（如人数必须是整数、费用最省、利润最大等）相结合，检验答案的合理性，最终给出明确的选择方案和完整的答语。

三、分类模型与典例剖析

（一）阶梯式计价与套餐选择模型【热点】

此类问题是考试中出现频率最高的类型，其典型特征是方案中设有“基础量”和“超出部分的优惠”，常见于通讯套餐、水电费、出租车计费、会员卡优惠等问题。

1.【模型特征】：方案一的计费方式为：基础费用+超出部分×单价；方案二的计费方式为：无基础费用，所有部分按统一单价计费，或者有另一种不同的阶梯规则。

2.【解题要点】：准确列出分段计费的代数式是解题的第一步，也是最容易出错的一步。求临界点时，一定要注意该临界值是否位于分段函数的定义域内，有时需要分不同区间分别建立方程。

3.【典例精析】：

1.4.问题情境：某通讯公司有两种流量套餐。A套餐：月租费58元，包含30GB国内流量，超出部分按5元/GB收费。B套餐：无月租费，流量按8元/GB收费。问当每月使用多少GB流量时，两种套餐费用相同？用户每月使用20GB、40GB流量时，分别选哪种套餐更省钱？

2.5.【建模求解】

1.3.6.设每月使用流量为xGB。

2.4.7.A套餐费用：当x≤30时，y₁=58；当x>30时，y₁=58+5(x-30)=5x-92。

3.5.8.B套餐费用：y₂=8x。

4.6.9.求临界：首先判断临界点可能出现在x>30的区间。令5x-92=8x，解得x=-92/3（负数，舍去），说明在x>30时，两线无交点。再令58=8x，解得x=7.25。但x=7.25<30，此时A套餐费用恒为58元，B套餐费用为8x。临界点x=7.25有效。

5.7.10.分类讨论【非常重要】：

1.6.8.11.当x<7.25时，8x<58，选择B套餐省钱。

2.7.9.12.当x=7.25时，两方案费用相等。

3.8.10.13.当7.25<x≤30时，8x>58，选择A套餐省钱。

4.9.11.14.当x>30时，A套餐费用为5x-92，B套餐为8x。比较(5x-92)与8x，作差得(5x-92)-8x=-3x-92，恒小于0，即A套餐费用始终低于B套餐。所以x>30时，A套餐更省钱。

10.12.15.【结论】：使用20GB时（20>7.25），选A套餐；使用40GB时（40>30），选A套餐。临界点为7.25GB。

13.16.【易错点警示】：求临界方程时，必须注意所得解是否在对应代数式的定义区间内。本例中若盲目令5x-92=8x得出负数解，就应意识到临界点在另一区间。

14.17.【重要等级】：★★★★★

（二）混合优惠与购物方案模型【高频考点】

此类问题多出现在商场促销、团体购票等场景，涉及“打折”、“满减”、“买送”等不同的优惠形式。

1.【模型特征】：方案一通常是直接打折（如八折）；方案二则是“满×送×”或“前×人全价，超出部分优惠”等形式。

2.【解题要点】：对于“买送”类问题，要明确“送”的部分是实物还是优惠券，是否可直接抵扣现金。对于分段优惠（如门票），要注意人数的阈值。

3.【典例精析】：

1.4.问题情境：某校组织七年级师生共300人参观博物馆。售票处有两种购票方案：方案一，个人票，每张10元；方案二，团体票，超过200人可购买团体票，每张按八折优惠，但需一并购买，不足部分按全价补足。请问哪种方案更省钱？

2.5.【建模求解】：设总人数为x（x>200）。

1.3.6.方案一费用：M₁=10x。

2.4.7.方案二费用：需要购买团体票的张数？题目说“超过200人可购买团体票，但需一并购买，不足部分按全价补足”，这里存在歧义。通常理解是：必须整批购买团体票，且不拆分成个人。另一种理解是：可以一部分人买团体票，其余买个人票。但此题的通常考法是：方案二规定，如果购买团体票，则所有人都必须按团体票价（8元）购票，没有混合购买的可能。但若如此，方案二费用就是8x，显然8x<10x，方案二总是优于方案一，问题失去讨论价值。所以，更合理的题目设计是：方案二为“若购买团体票（超过200张），则所有票均可按8元/张出售”。这样M₂=8x，则对于x>200，恒有M₂<M₁。这也太简单。因此，此题应为经典变式：有两种方案，方案一：个人票10元/张；方案二：团体票（200张起售）每张8元，但若人数不足200，也必须购买200张。问选择哪种方案更优？

3.5.8.修正模型：设人数为x。

1.4.6.9.方案一：M₁=10x。

2.5.7.10.方案二：M₂=200×8=1600（当x<200时，也必须付1600元）；当x≥200时，M₂=8x。

6.8.11.求临界：在x<200区间，令10x=1600，解得x=160。在x≥200区间，令10x=8x，解得x=0，无意义，实际上在x≥200时，8x<10x恒成立。

7.9.12.分类讨论：

1.8.10.13.当x<160时，10x<1600，选方案一。

2.9.11.14.当x=160时，两方案费用相等。

3.10.12.15.当160<x<200时，10x>1600，选方案二。

4.11.13.16.当x≥200时，8x<10x，选方案二。

12.14.17.【结论】：当人数为300人时（300>200），显然选择方案二更省钱。

15.18.【重要等级】：★★★★

（三）有限资源与调配模型【难点】

此类问题不仅涉及费用计算，还涉及到资源总量、时间限制、生产能力的约束，需要统筹规划。

1.【模型特征】：存在一个总目标（如加工完所有蔬菜），但有两种不同的处理方式（如精加工和粗加工），每种方式有各自的效率（速度）和利润，要求在限定时间内完成，寻找利润最大的方案。

2.【解题要点】：不能只比较两个现成的极端方案（全粗、全精），而要思考是否存在一个“混合方案”，使得资源恰好用尽（如时间刚好排满），从而获得最大收益。这需要设出其中一个变量（如精加工的天数或吨数），根据总量约束列出方程，求出这个“平衡点”，再计算其利润，最后与极端方案比较。

3.【典例精析】：

1.4.问题情境：某蔬菜公司收购蔬菜140吨，准备加工后上市销售。该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨。两种加工方式不能同时进行。受季节限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部加工完毕。为此，公司研究了三种方案：方案一：全部粗加工；方案二：尽可能多精加工，剩余的直接销售（直接销售利润低，此处为简化，假设剩余的直接销售利润为0，但一般题目会给出直接销售的利润）；方案三：部分精加工，部分粗加工，并恰好15天完成。已知精加工每吨利润7500元，粗加工每吨利润4500元，直接销售每吨利润1000元。问哪种方案利润最大？

2.5.【建模求解】：

1.3.6.方案一利润：140×4500=630000元。

2.4.7.方案二：15天全精加工可加工15×6=90吨，剩余50吨直接销售。利润=90×7500+50×1000=675000+50000=725000元。

3.5.8.方案三：设精加工用x天，则粗加工用(15-x)天。根据总吨数列方程：6x+16(15-x)=140→6x+240-16x=140→-10x=-100→x=10天。则精加工10×6=60吨，粗加工5×16=80吨。利润=60×7500+80×4500=450000+360000=810000元。

4.6.9.比较：810000>725000>630000。

7.10.【结论】：方案三利润最大。

8.11.【难点突破】：此题关键在于理解“混合方案”的构造，它利用了线性规划的思想（在七年级体现为恰好完成）。通过方程求出两种方式的时间分配，从而得到高于简单极端方案的利润。

9.12.【重要等级】：★★★★★

四、考点、考向与题型透视

（一）【高频考点】求临界点

1.直接考查：给两种方案，直接问“当……相同时，求……”。这是最基础的考法。

2.逆向考查：已知选择了某种方案，反推变量的取值范围。例如“小明选择了A方案，则他每月通话时间可能是多少分钟？”

3.隐含条件：临界点可能不止一个，或者需要结合实际意义取舍。例如人数必须为整数，求出x=20.5人时，需结合“超过20人”的实际条件进行判断。

（二）【重要考向】方案择优

4.计算说理：给定一个具体的数值，要求计算两种方案的费用，并说出选择哪个。这是最简单的考法。

5.范围说理：“请你通过计算说明，在什么范围内选择方案A，什么范围内选择方案B”。这是最主流的考法，必须完整呈现分类讨论的过程。

6.设计新方案：在给定的两种方案基础上，要求学生设计一个获利更多或费用更省的第三种方案（如典例三）。

（三）【常见题型】

7.选择题：给出几个结论，判断哪个正确。常涉及对临界点的理解和在不同范围内方案的优劣。

8.填空题：直接填写临界值，或填写在某个具体值下的选择结果。

9.解答题：此为最主要的考查形式，要求学生完整写出“设、列、解、答”的全过程，并重点考查分类讨论的思想和语言表达的严谨性。

五、易错点与失分雷区【基础】

1.代数式表示错误：在表示“超过部分”的费用时，忘记减去基础量。例如超出部分每吨a元，共x吨，基础量为b吨，则超出部分费用应为a(x-b)，而非ax。

2.忽略代数式的适用范围【非常重要】：在构建方程求临界点时，必须检验所求得的解是否在所列代数式的定义域内。例如，在“套餐选择”问题中，用超出部分的代数式列方程求出的解，必须大于基础量，否则方程无效，应改用基础量部分的方程。

3.分类讨论不完整：只讨论了小于和大于临界点的情况，遗漏了等于临界点的情况。虽然等于的情况有时题目会说“任选其一”，但在答题时作为数学讨论，必须提及“当x=临界值时，两种方案费用相同”。

4.审题不清，忽略实际意义：求出x的值后，未检验是否符合实际，如人数为小数、天数为负数等。方程的解必须符合实际情境才能作为答案。

5.比较时代入错误：在分类讨论的比较环节，选取的“特值”不在该范围内，导致结论错误。例如在x<10的范围内，取x=12去计算比较。

6.答语不明确：最终答案没有明确说明“选择哪种方案”，或者理由表述不清。

六、思维拓展与素养提升

1.函数视角的渗透：对于较高层次的学生，可以引导他们将每个方案的费用表达式看作是关于x的一次函数（或分段函数）。方案选择问题，实际上就是比较在不同自变量取值范围内，两个函数图像的高低。临界点就是两个函数图像的交点。这种数形结合的思想，为后续学习一次函数奠定了基础。

2.方案设计的最优化原理：在有限资源调配问题中（如蔬菜加工），让学生体会“线性规划”的雏形：为了达到利润最大，需要合理分配资源，使得高效率的方式尽可能多用，但又不能浪费资源（时间刚好用完）。这培养了学生的统筹规划和优化决策意