期末复习压轴题（38个考点）原卷版-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

期末复习压轴题（38个考点）（九年级全册）

【北师大版】

■题型归纳

【选填压轴篇】..................................................................................2

【考点1利用一元二次方程求取值范围】.........................................................2

【考点2利用一元二次方程解决几何问题】.......................................................2

【考点3利用二次函数的性质比较大小】.........................................................3

【考点4利用二次函数的性质求最值】...........................................................4

【考点5利用二次函数的性质求字母取值范围】..................................................4

【考点6二次函数的交点问题】.................................................................5

【考点7利用圆的性质求角度】.................................................................6

【考点8利用圆的性质求线段长度】.............................................................7

【考点9正多边形与圆的综合】.................................................................8

【考点10弧长与阴影部分的面枳问题】..........................................................9

【考点11反比例函数与几何图形的综合运用】...................................................10

【考点12反比例函数的交点问题】..............................................................11

【考点13由反比例函数的比例系数求特殊图形的面积】..........................................13

【考点14判断组成相似三角形的点的个数】.....................................................14

【考点15利用相似三角形的判定应性质求线段长度】............................................15

【考点16利用相似三角形的判定应性质求最值】.................................................16

【考点17利用相似三角形的判定应性质求面积】.................................................18

【考点18网格中的锐角二角函数】..............................................................19

【考点19与函数有关的多结论问题】...........................................................20

【考点20与几何图形有关的多结论问题】.......................................................21

【解答压轴篇］.................................................................................23

【考点21由一元二次方程的解求参数】.........................................................23

【考点22根的判别式与根与系数的关系的综合】................................................24

【考点231元二次方程的应用】...............................................................25

【考点24二次函数中的定值问题】.............................................................27

【考点25二次函数中的最值问题】.............................................................29

【考点26二次函数中的存在性问题】...........................................................31

【考点27二次函数的应用】....................................................................32

【考点28圆与三角形的综合】.................................................................35

【考点29圆与四边形的综合】.................................................................37

【考点3（）圆与平面直角坐标系的综合】.........................................................40

【考点31证明某直线是圆的切线】.............................................................42

【考点32求不规则图形的面积】...............................................................44

【考点33相似相关动点问题】.................................................................45

【考点34反比例函数的比例系数与特殊图形的面积】............................................47

1/57

【考点35反比例函数中的定值、最值问题】.....................................................48

【考点36相似相关折置问题】.................................................................50

【考点37相似三角形的实际应用】.............................................................53

【考点38无刻度尺规作图】....................................................................56

举一反三

【选填压轴篇】

【考点1利用一元二次方程求取值范围】

【例1】（25-26九年级上•山东泰安・期中）若二次函数丫=以2-2g+。一1与％轴两交点横坐标为必与孙,

且M，外均为正实数，那么。的范围是（）

A.a<0B.a>1C.0<a<1D.-1<a<0

【变式1-1］关于x的一元二次方程/一（巾+2）x—3m—3=0在一2Wx42范围内有且只有一个根，则m

的取值范围为（）

A.TH>—|B.一（VmW5或m=-8—48

C.mV-］或mN5D.一1<mW5或m=-8+4百

【变式1-2】设方程a/+bx+c=0（QW0）有两个根力和％2，且1V勺V2V4<4,那么方程c/

-bx+a=0的较大根%3的范围为（）

A<x

-13<1B.-4<x3<-2C.-1<x3<-；D.-l<x3<-1

【变式1-3】已知二次函数f（x）=3a%2+2b>+c（aH0）,若a+b+c=0,/（0）-/（I）>0,若不，也是方

程/（乃二0的两个实根，则与一小的范围是—.

【考点2利用一元二次方程解决几何问题】

【例2】（25-26九年级上•湖北襄阳•月考）在数学发展史上，一元二次方程的正根可以通过几何方法进行研

究.如图，已知矩形A8C。的边长A8=a,AD=bt连接AC,分别以点力、C为圆心，ADtC。长为半径

画孤，分别交4c于E尸两点，若关于无的一元二次方程/+2a%=〃；通过勾股定理发现这个方程的正

根是哪条线段的长？（）

2/57

A.AEB.AFC.CFD.CE

【变式2-1]如图，有一张矩形纸片ABC。，AB=7,40=2&，点E为边力8上一动点（不与点48重

合），沿DE折叠该纸片使点A的对应点为A,再沿经过点E的直线EF对折（点F在边BC上），若点8的对应

点夕恰好落在边CD上，且E,4,所三点在同一直线上，则0E的长为.

【变式2-2]（25-26八年级上•浙江宁波・期中）如图，在RtZkAOB中，々0=90。，0B=7,。是△408外

一点，〃在40的垂直平分线上，若47）=2,则。4=.

【变式2-3]（25-26九年级上•广西玉林•期中）如图，E为矩形48CD对角线AC上的一点，AE=AB=3f

A.线段4E的长B.线段8E的长

C.线段4c的长D.线段CE的长

【考点3利用二次函数的性质比较大小】

【例3】抛物线y=x2&+〃经过力（X/,为），B（必，刃），C（白，/）三点，且x/KS.1力1=Ml，

>6,则下列关于力J2J3的大小关系的结论正确的是（）

A.yi>yi>y2B.y3>y2>yi

c.yf>y2>y3D.y2>y3>yi

【变式3/】（24-25九年级上•浙江湖州•月考）三个关于x的方程：ai（x+l）（x-2）=1,a2（x+l）（x-2）

=1,a3（x+l）（x-2）=1,已知常数a】>々z>々3>。，若勺，乂乙、粉分别是按上顺序对应三个方程的正

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根，则不，％2,％3的大小顺序为（用々〃连接）

【变式3-2】已知点&%1，月），8（如丫2）在抛物线y=—（％—3>+m（m是常数）上，若八<3<%2，打+%2

>6,则下列大小比较正确的是（）

w

A.yi>72>B.丫2>力>血C.m>%>及D.m>y2>yi

【变式3-3]（25-26九年级上•浙江杭州•期中）已知二次函数y=Q（x-2）2+c,当％=不时，函数值为月：

当欠=刈时，函数值为y?,若％-2|>|%2—2],则下列关系式正确的是（）

A.乃+力>。B.yi—y2>0C.。（月一丫2）>。D.a（y-1—y2）<

【考点4利用二次函数的性质求最值】

【例4】（25-26九年级上•河北保定•期中）已知二次函数y=Q/-2a%+a+2（aH0）,若一时,

函数的最大值与最小值的差不大于10,则满足条件的整数a共有个.

【变式4-1]（25-26九年级上•安徽合肥•期中）已知二次函数y二%2-（根+4）工+租+3.

（1）写出该二次函数经过的定点坐标；

（2）当+m时，歹有最小值一27八，则加的取值范围为.

【变式4-2]（2025•陕西咸阳•二模）已知二次函数y=/—2bx+c（°、c为常数），当匕一lWxW匕+2

时，该函数的最大值与最小值的差是一2匕则上的值为（）

3S

A.-1B.--C.-2D.--

【变式4・3】已知函数'=｛密;&，若三九则下列说法正确的是（）

A.当n一m=l时，b—Q有最小值B.当n—m=l时，8—Q无最大值

C.当b-Q=1时，九一m有最小值D.当力一Q=1时，n—m有最大值

【考点5利用二次函数的性质求字母取值范围】

【例5】（25-26九年级上•浙江杭州•期中）二次函数y=—/+b%+c的图象经过«-1,一3）,（t+1,-3）

两点，若一6Wy4—2时，总有p工xWq,则q-p的取值范围是（）

A.l<g—p<3B.2<q-p<3C.2<q—p<4D.0<g—p<4

【变式5-1]（25-26九年级上•浙江宁波・期中）点A（t,m+1）在二次函数y=ax2+bx+c（a<0）±,当％V2

时，y<rn+1,当x22时，y<m,求用勺取值范围（）

A.t>2B.1<t<2C.t<2D.2<t<3

2

【变式5-2]（25-26九年级上•福建福州・期中）若抛物线y=ax-2ax+c（a工0）经过点（2,*）,（3即2+4）,

（如2m—3）,则项》的取值范围为C

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A.0<%o<2B.XQ<0或％o>2C.2<x0<3D.XQ<2或％o>3

【变式5-3］（2025•陕西汉中•二模）已知点火一3,y。，5（1,y2）,。（“乃）在抛物线丫=奴？+4”+3上,且

力<y3V、2，则W的取值范围是（）

A.m<—3或m>1B.—3<m<1或m>1

C.—1VmV1或一5Vm<—3D.mV—3或一l<m<l

【考点6二次函数的交点问题】

【例6】（24-25九年级上•浙江金华•期中）如图，点4B的坐标分别为（2,—3）和（5,-3）,抛物线y=a

。-m）2+71的顶点在线段48上运动，与％轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为一1,则

点。的横坐标最大值为（）

【变式6-1］我们约定：（mb,c）为函数尸a/+b%+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标

均为整数时，该交点为“整交点”.若关联数为（风加33）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），

则这个函数图象上整交点的坐标为

【变式6-2］如果关于%的方程三一1=已有非负整数解，且关于％的二次函数y=（a—l）/+（4a—l）

%+40与%轴有交点，那么满足条件的所有整数a的和为（）

A.6B.11C.12D.15

【变式6-3】对于二次函数y=2©2+（Q—2）x-l,当一时，函数图像与x轴有且只有一个交点,

则以下不满足题意的a值为（）

A.—1B.—V2C.—y/5D.1

【考点7利用圆的性质求角度】

【例7】（25-26九年级上•广东广州•期中）如图，Zk/IBC的三个顶点都在一圆上，将△A8C绕点力顺时针方

向旋转，旋转后的三角形为△4BC，，旦夕会落在同一圆上，其中力8与力。的夹角为X。.若乙BAC=27°,

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41BC=31。，则%值是（）.

【变式7-1］（25-26九年级上•江苏无锡・期中）如图，点力、B、C在。。上，点。为。0外一点,

^AOB=32°,BC=420A,则乙。的度数可■能是（）

D

A.60°B.61°C.62°D.63°

【变式7-2］（25-26九年级上•江苏无锡•期中）如图，在。。中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿

弦4c翻折，交于点0,连接CC.若点。与圆心。不重合，ZABC=62。,则44co的度数为（）

A.56°B.45°C.34°D.44°

【变式7-3］（25-26九年级上•江西宜春•期中）如图，△A8C内接于。0,乙4=72。，CA=CB,点尸是。0

上异于点儿B、C的一动点，若△8CP为等腰三角形，则乙48P的度数为一.

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【考点8利用圆的性质求线段长度】

【例8】（25-26九年级上•浙江杭州•月考）如图，在。。中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧元沿弦4C

（1）若4BAC=20。，则乙ACO的度数等于,

（2）若力。=6,DB=2,则AC内长为.

【变式8-1]（25-26九年级上•江苏连云港•期中）如图，已知0。的直径RB=6,C是标的中点，AC^BD

交于点E.若E是BD的中点，则弦AC的长是.

B

【变式8-2]（24-25九年级下•全野期末）如图，AB,4t分别与圆。相切于点8,F,射线80与力F的延长

线相交于点C,与圆。相交于点E,连接EF和8凡若tan4C=：,EF=2,则圆。的半径为

【变式8-3]（25-26九年级上•福建厦门•期中）如图，直线力B与。。相切于点儿弦CDIMB,E,尸为圆上

的两点，且NCDE=41D凡若。。的半径为aCD=4,则弦EF的长为

AB

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【考点9正多边形与圆的综合】

[ft9]（25-26九年级上•河北廊坊•期中）如图，已知。。为正六边形4BCDEr的内切圆，.忆N是。。与

的切点，连接。M,ON,若力B=2,则五边形4BN0M的周长为.

【变式9-1]（24-25九年级上•浙江宁波・期末）如图,正十边形A8CDEFGH"内接于。。，AF,。交于点

P，则称的值为)

DV5-1

C.得D.V5-2

【变式9-2】（24-25九年级上•河北邯郸•期中）如图,O。与正六边形4BCDQ的边CD,“分别相切「点

C.F,若48=V3,则O。的半径长为（）

3C.4D.V3

【变式9-3]（24-25九年级上•山东潍坊・期末）如图,在正八边形ABCDE/GH中，连接4。，EH,AE,DH,

AE与DH交于点0.则下列说法错:吴的是（）

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A.BC2+AD2=AE2B.=V2+2

C.点、B美卜力D的对称点在DH上D.S四边形=2s四边形人8c0

【考点10弧长与阴影部分的面枳问题】

【例10】（25-26九年级上•江苏盐城•期中）如图，在中，^ACB=90°,AC=6,BC=8,。。

是△ABC的内切圆，连接。4OB,则图中阴影部分的面积是（）

535

A./B.-nC.2TCD.并

【变式10-1]（25-26九年级上•浙江衢州•期中）已知点4B,C在。。上，4ABe=30。，把劣弧前沿着直

【变式10-2]（25-26九年级上•浙江杭州•期中）如图，在平面直角坐标系中，以P（2,2）为圆心作OP,使

其经过原点5与x轴交于点反并与y轴交于点4点七是圆弧上一点，连接。E,点尸为OE的中点.当

点E沿着圆弧从点A顺时针运动到点4时，点F的运动路径长是.

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【变式10・3］（24-25九年级上•重庆・期末）如图，。为矩形ABC。的中心，。。与力0、8C相切于点E、F,

以F为圆心、8C为直径的半圆交0。于点G、H,若48=2,AD=273,则阴影部分的面积为（）

【考点11反比例函数与几何图形的综合运用】

【例11］如图,△。&81，△人血历,△力2&B3,...是分别以41，力2,43,…为直角顶点，一条直角边

在工轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点心（打,月），C2（x2,y2）,0（%3，乃），…均在反比例函数

”外＞0）的图象上.则丫1+、2+―・+丫10的值为（）

A.2V10B.6C.4或D.277

【变式11-1】（2024四川宜宾•模拟预测）如图，△/BC的顶点/在刀轴上，顶点8和C都在反比例函数y=g

图象上且关于原点对称，连接48交反比例函数图象于点。，且4）:08=1:4,△08。的面积为24,则k的值

为（）

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【变式11-2】（2025•福建漳州•三模）如图，等腰三角形48c中，AB=AC,反比例函数y=工0）的图象

经过点力、8及4C的中点M,BCII/轴，与y轴交于点N.则吟的值为.

【变式11-3］（25-26九年级上•安徽阜阳•期中）如图，四边形加CD和四边形。"G都是正方形，旦面积分

别是45和5,点8,C,E都在不轴上，点G在边CD匕第二象限的点4是反比例函数y=幻H0）图象上一点,

反比例函数y=3机=0）的图象同时经过点QR

（2）3m+k的值为.

【考点12反比例函数的交点问题】

【例12］（25-26九年级上•四川内江•期中）直线y=2%+2与工釉、y轴交于4C,与双曲线y=?（m是常

数）交于点D，四边形力C8E为矩形，8在丫=口^勺图像上，且。EJ.X轴于H,则爪=.

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【变式12-1】（2025•辽宁沈阳•三模）1'如图，正方形4BC0的顶点8在x轴上，点4点C在反比例函数

y=V（x>0）图象上.若直线BC交y轴负半轴于点G,且tan/OGB=2,则直线BC的函数表达式为

【变式12-2】（2025•广西梧州•二模）如图，一次函数y=2x+b的图象与反比例函数y=：（%>0）的图

象相交于点/（Q,4）,与y轴相交于点B,把线段绕点4逆时针旋转90。，若点B的对应点B在函数y=5的图

像上，则々的值为（）

【变式12-3］（24-25九年级上•四川成都・期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数丁二一》+

9的图象分别与入轴，y轴相交于力，B两点.在线段48上取一点P（a,b）,此时点Q（2a,嘤）恰好落在△AB。

内部（不包含边界），贝心的取值范围是.

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【考点13由反比例函数的比例系数求特殊图形的面积】

【例13】（25-26九年级上•湖南怀化・期中）如图，O为矩形0H8C（边04,。。分别在x,y轴的正半轴上）

时角线。8上的点，且。。=扣0,经过点。的反比例函数y=：的图象分别与4B,BC相交于点£,F,连接

0E,OF,EF,若408万的面积是24,则△OEF的面积为.

【变式13-1]（25-26九年级上•山东淄博・期中）如图，点4在反比例函数y=：上，点B在反比例函数

7=-;±,连接AB交工轴正半轴于点C,连接。40B,若华=），则△。力B的面积是_____.

X4

【变式13-2]如图，在平面直角坐标系中，直线AB与％轴，y轴分别交于力，B,与反比例函数y=%k>0）

在第一象限的图象交于点E,F,过点E作EM_Ly轴于M,过点尸作产可1%轴于7,直线EM与FN交于点C,

若案=1则aOEF与的面积之比是（）

or3

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A.2:1B.3:1C.2:3D.3:2

【变式13-3］如图，一次函数y=-%+6与反比例函数（A>0）交于力、4两点，过力、8两点分别作

x轴、），轴的平行线交于点C,连接OC交48于点。，连接04若△彳。。的面积是△80。面积的需，则上

的值是（）

A.8B.10C.10.5D.12

【考点14判断组成相似三角形的点的个数】

【例14］定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相

似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形〃.如图，点48、。是正方网格中的格点，在

网格中确定格点。，使以小B、。、。为顶点的四边形是“自相收四边形”，符合条件的格点。的个数是

()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式14-1］如图,在平面直角坐标系中，A（0,4）,B（2,0）,点C在第一象限，若以4B、C为顶

点的三角形与相似（不包括全等），则点C的个数是（）

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4

A.1

B.2

C.3

D.4

【变式14-2］如图，在矩形MCO中，作DF14C,垂足为R延长DF交边AB于点、E,在图中一定和△OR2

相似的三角形个数是个.

【变式14-3］（25-26九年级上•四川成都・月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形04RC为矩形，

0/1=8,AB=6,连接力C,。为AC的中点，点。在y轴上，若以尸，C,。为顶点的三角形与△4BC相似,

则点尸的坐标为.

【考点15利用相似三角形的判定应性质求线段长度】

【例15】（25-26九年级上•河南开封•期中）如图，在菱形48CD中，zC=60°,BC=6,M为边CD上的一

点，CM=4,N为边8C上的一动点，沿MN将ACMN翻折.点C落在点P处.当点P在菱形4BCD的对角线上

时，CN的长度为.

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B

【变式15・1］（25-26九年级上•陕西西安・期中）如图，在Rta/IBC中，4c=90。，4D平分Z&48交于点

D,C。=2,点E为4。中点，连接BE.若BC=BE,则8。的长度为____.

【变式15-2］（25-26九年级上•山东青岛•期中）如图，在矩形A8CD中，点E,尸分别是边4B,8c上的点,

连接DE、AF,。5_14凡点时，N分别是DE,力尸的中点，连接MN,若AB=6,BC=8,EB=2,则MN

【变式15-3］（24-25九年级上•海南省直辖县级单位•期中）直线式％眄，且A与殳的距离为1，，2与，3的距

离为3,把•块含有45。角的直角三角形如图放置，顶点4B,C恰好分别落在三条直线上，4c与直线，2交

于点D,则线段BD的长度为（）

【考点16利用相似三角形的判定应性质求最值】

【例16】（25-26九年级下•全国・期末）如图，在矩形/BC。中，48=6,BC=8,P是边8。上一个动点,

连接P0.在上取一点f,满足PC?=PEPD,则9E长度的最小值为.

16/57

【变式16-1]（24-25八年级下•福建福州•期中）如图，△71。。中,4）=9,。。=企,8。14。于€',力。=28。,

则8D的最大值为（）

A.V10B.2V5C.2VTUD.372

【变式16-2]（25-26九年级上•四川成都・期中）如图，点。是等腰RtZi/BC的斜边的中点,

AC=BC=5丘,0£=2,连接BE,以BE为直角边,作等腰内△BE凡其中48£〜=90。，连接力凡求:

（1）瓦点到8c的最大距离为；

（2）四边形4CBF面积的最大值为.

【变式16-3]（2025•贵州遵义•模拟预测）如图，点。是&△ABC的斜边AC上一点,且NABC=90。,

4A=30。乃。=4四，以80为斜边作等腰Rt△BOE,使3c在80同侧，连接CE,则CE的最小值为

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A

【考点17利用相似三角形的判定应性质求面积】

【例17】（2025・天津•一模）如图，在△ABC中，AC=BC=2,zC=90°,BC平分AELBD,垂

足E在8D的延长线上，厂是4c的中点，连接EF,则△£*尸。的面积是

【变式17-1]（25-26八年级上•福建龙岩•期中）三角形三条中线的交点叫三角形的重心.重心是个物理名

词，我们可以认为物体所受重力的合力集中于该物体的某一点，这一点叫物体的重心.如果取一块均匀的

三角形纸板，用一根细线绳从重心G处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态.如图，△HBC的中线

AD,BE,CF相交于点G,三角形被三条中线分成六个小三角形，这六个小三角形SGBD,△GCD,

△G4E,AGCE,△G4F,△GBF）的面积相等.已知在△中，中线40=6,BE=4,若4。1BE,

则△4BC的面积为

【变式17-2]（25-26九年级上•安徽马鞍山•期中）如图，在△A8C中，LACB=90°,AC=4,BC=3,P

是48边上一动点，PD1/1C于点。，点E在P的右侧，且PE=1,连接CE,P从点力出发，沿4B方向运动，当

E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的大小变化的情况是（）

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c

C.先减小后增大D.先增大后减小

【变式17-3］（24-25九年级上•浙江衢州•期末）如图，赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一

个大正方形A4C。，中间是一个小正方形EFG”.连结CE并延长，交8G于点M,交718于点/V.连结N凡

HM,若要求出△AN户的面积，只需知道（）

A.△GHM的面枳B.△MNF的面积

C.aEMF的面积D.△GCM的面积

【考点18网格中的锐角三角函数】

【例18】（25-26九年级上•山东淄博・期中）如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点

称为格点，已知菱形的一个内角为60。，点力、E、C、。都在格点上，且线段4B、CD相交于点P,则tan〃PC

为（）

A.3鱼B.V3C.芋D.2>/3

6

【变式18-1］如图，△48C的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin^=

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【变式18-2]（25-26九年级上•山东淄博•月考）如图，在边长为1的正方形网格中，点4B,C,。均在

格点上，AB,CD相交于点E,则cos〃EC的值为（）

1

D.

2

【变式18-3]如图，在正方形网格口，四边形的顶点均在格点上,对角线AC交BD于点E，则tanzCE/）

的值是

【考点19与函数有关的多结论问题】

【例19]（25-26九年级上•辽宁大连•期中）如图，抛物y=Q炉+b%+c（a>0）与x轴的一个交点力的坐标

为（一1,0）,对称轴为直线x=1.下列结论:@00；②9a+3b+c=0：③若点。（1一n,y。，C（1+n.y2）

都在该抛物线上，则丫1=及.其中正确结论的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【变式19-1]（24-25九年级上•福建福州•期中）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，

则把该函数称"黄金函数"，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”.若点/（1即），巩九,一4）是关于

》的“黄金函数〃y=ax2+bx+c（a工0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线％=2的右侧，有

结论①a+c=0；（2）b=4；③%+gb+cVO；④一1<a<0.则下列结论正确的是.

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【变式19-2]（2025•广东揭阳•一模）记max{m,n}表示实数"和〃中的较大值,即若mNn,则max

{m/i}=m,如max{l,2}=2,max{6,6}=6.在平面直角坐标系xOy中,4（一4,一1）,8（2,2）,则下列结论

正确的是（将正确结论的序号填在横线上）.

①直线y=ax+b（aw0）和直线y=ex+d过点4且这两条直线垂直，则函数y=max{ax+hex+d}的最

小值为2；

②若直线、=ax+b与反比例函数y=9Ie>0）的图象交于点B,则函数y=max{ax+6,§的最小值为

-1;

③若直线、=QX+匕与二次函数y=c%2+dx+e（c>0）的图象交于点力，B,则函数y=max

（ax+b,c/+dx+e}有最小值，无最大值.

【变式19-3】（2025・四川南充•三模）如图，抛物线的沙=%2-2工一3与之轴交于点4B,顶点为M,抛物

线C2：y=-0—攵/+k（k>0）与x轴交于点C,D,顶点为N,抛物线的,C?交于点P,Q（不与M,N重

合）.下列四个结论：①若MNlx轴，则k=l；②线段MN长度的最小值为条③当G）=.48时，k=4；

④四边形MPNQ一定是平行四边形.其中正确结论的个数是（）

【考点20与几何图形有关的多结论问题】

【例20]（2025•山东青岛•模拟预测）如图，在等腰RtZXABC中，AC=BC=4,"为A8上一点，且力f=

VL连接。儿将绕点b逆时针旋转90。得AOE七点力的对应点。刚好落在4c上，OE分别交8F,

“于忆N,连接BE.下列说法：①AD=2；②连接8D,则BD平分〃BC：③四边形BCDE是矩形；

④MN=&⑤tan匕CFO=1正确的是.（请填写序号）

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A

【变式20-1]（25-26九年级上•山东临沂•期中）如图,是2LBC的外接圆,AO||BC,连接C。并延长

交0。于点D.分别以点4c为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M.直线。M交BC

于点E,连接力E,下列结论①而=而，②AB=0E,③〃0D=乙B4C,④四边形A0CE为菱形，其中

一定正确的是.（请将正确结论的序号填在横线上）.

【变式20-2】（2025・吉林长春•模拟预测）如图，菱形A8CD的对角线AC与8。相交于点。，过点。作

CELAB,交力B的延长线于点E,连接E0并延长，交A。于点F,E尸与8c相交于点G,若乙4BC=120。，则下

列结论：①4&48=30。；②54.6四边形ABOF=16③。屏="♦BC；④tanMOG=冬

@CE:FF=2:3.其中结论正确的是.

【变式20-3]（25-26九年级上•江苏扬州•期中）如图，在矩形中，AB<BC,E为边。。的中点，连接

AE并延长交8c的延长线于凡过点E作EM14F交员?于点M,连接4M交80于点N,现有下列结论：①

AM=AD^-MC-（2）AM=DE+BM；③点N为的中点；@DE2=AD-CM.其中结论正确的是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

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【解答压轴篇】

【考点21由一元二次方程的解求参数】

【例21]（25-26九年级上•江西西昌・期中）如果关于％的一元二次方程ax?+以+c=0（«牛0）有两个不相

等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，方程/-6%+8=0

的两个根是2和4,则方程/—6%+8=0就是〃倍根方程

⑴若一元二次方程%2—3%+c=0是“倍根方程〃，则c=；

（2）若（X—2）（771%—n）=0（7H*0）是"倍根方程"，求代数式4ni2一5血几+/的值；

⑶若方程。必+以+。=0（aR0）是倍根方程,且相异两点M（1+t,s）,N（5-£,s）都在抛物线y=ax2+bx+c

上，求一元二次方程a/+以+c=0伍工o）的根.

【变式21-1]（25-26九年级上•江苏镇江•期中）若x=m时，代数式a%2+bx+c的值为一m,则称一m是这

个代数式的9自反值例如，当义=0时，代数式/十无的值为0；当工=一2时，代数式/+%的值为2,所

以0和-2是7+%的9自反值〃.

⑴代数式d一2的9自反值〃是；

⑵若代数式aN—5工+a—3（。为常数）只有一个""自反值"，求a的值；

⑶若代数式（0一1）/一取+2（a,匕为常数，aHl）对于任意常数b恒有两个9自反值〃，贝必的取值范围

是.

【变式21-2】（2926九年级上•江苏无锡•期中）定义：若关于x的一元二次方程。/+版+。=0（。±0）的

两根都为整数，则称方程为“全整根方程通过计算发现，任何一个“全整根方程"的根的判别式乒一4ac的

值一定为完全平方数.现规定：代数式誓竺的值为该"全整根方程"的“最值码”.例如"全整根方程〃/

4Q

-5x4-3=0的"最值码"为竺今严=一

⑴关于％的一元二次方程/―2mx+n?2一m一i=0是一个"全整根方程

①当瓶=一1时，该方程的“最值码"是；

②若m为整数，且lvm<8,求该方程的其“最值码”.

⑵若关于工的一元二次方程/一⑺+2）x+机+1=0与7+Q_n）x_2n=0都是“全整根方程”，且其“最

值码”相等,设£=tn?+n2-4根+4几+25,求珀勺最小值.

【变式21-3]（25-26九年级上•山东济宁•月考）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于x的二次多项

式。工2+以+。若能分解成两个一次整式相乘的形式（7nx+口）（出+。），当mx+p=0或时，原多项式的值

为0,则定义x=一%II%=为多项式aK+bx+c的“零值”，两个“零值〃的平均值为多项式的“对称

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值”.例如：3X2-5X-2=（3X+1）（X-2）,当3%+1=0或