2026年高考数学二轮复习：模块三 平面向量（综合训练）（全国适用）解析版

模块三平面向量综合训练

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设点42,0),8(4,2),若点尸在直线AB上，且|而|=2|而则点/，的坐标为()

A.(3,1)B.(L-l)C.(3.T)或D.(3,1)或(1,一1)

【答案】D

【详解】解：・・・《2,0),8(4,2),•••丽=(2,2),

•・•点尸在直线匕且|丽|=2|而

•**AB=2AP^或通=一24户，

SfcAP=(l,l),或Q=

故P点坐标为(3,1)或(1,-1),

故选：D.

【点睛】本题考查的知识点是平面向量坐标表示，熟练掌握向量坐标等于终点坐标与起点坐标的差是解答

的关键.

2.已知向量1和B为单位向量，且囤一项则向量1和1的夹角为()

A.30°B.60°

C.90°D.120°

【答案】B

【详解】设单位向量I与。勺夹角为%可得同=同=1

因为Qq-s)，©?，可得(2月)运=2,石一］=2xlxlcos<2-1=0,

解得cosa=；,又因为0。工。《180。，所以a=60。.

故选:B.

3.设x,ycR,向量M=(x,l,l),c=(2,-4,2)Ralc,bIfc，贝1巾+司=()

A.3B.Mc.2V2D.4

【答案】A

【详解】因为。=（M1,1）,3=（2,~4,2）且an,

所以不£=2汇一4xl+lx2=0,解得x=l,即d=（l,l,l）,

又因为5=(1,y,l),3=(2,-4,2)且孙々,

所以g=3=贝Ijy=_2,即2=(1.-2.1).

故A+B=(2,-l,2),

所以1+方卜6+(一|)2+22=3.

故选:A.

U3。1IRU

4.在VA3C中，点。在边A8上，BD=3DA.记〃?=CA,〃=CQ,则函=()

,_U1U1U1

A.4〃?一3〃B.-3/w+4/2C.46+3〃D.3m+4/?

【答案】B

14LM.1U1LM.KI

【详解】如图，作出符合题意的图形，且/〃=CA,〃=CO,

VBD=3DA,二荏=4彷

则*彳通=融+4而=加4国+前)=C%+4AT+4丽

=-3C4+4前=-3沅+4万，故B正确.

故选：B

5.设单位向量q,&的夹角为等，4=q+%,b=2e1-3e2»则〃在）上的投影向量为（）

3-3-

A.-y/3aB.—aC.\/3aD.—a

22

【答案】B

【详解】依题意得4运=lxlxcos?=-；,

J乙

问:J(4+20=面2+包2+'运=6'

力=（3+2力仅不一3弓）

=霍2-6针+还£

9

2

9

故选：B

6.已知向量2、b＞向量，+万平分)与否的夹角，则下列结论一定正确的是()

A♦a•b=0B.(。+〃)_L(a—加

C.卜卜卜-闻D.\a+b\=\a-b\

【答案】B

【详解】作向量7=工丽=5,在aOACA中，OC=a+h，丽=2-5,

由向量Z+B平分2与万的夹角，得口。48是菱形，即同=W，

对于A,［与否不一定垂直，所以3%不一定为0,A错误；

对于B,(a+b)\a-b)=a2-b2=0,即(a+J)JL(a-I),B正确;

对干C,虽然|。4|=|。周，但是△OW不一定为正三角形，

所以同与不一定相等,C错误;

对于D,由选项A知，3d不一定为0,则|a+加与不一定相等，D错误.

故选:B

7.VA8C的外接圆圆心为O,。为BC的中点，且人8=2,AC=6,则而•祈二()

A.5B.10C.13D.26

【答案】B

【详解】由题意知V"。的外接圆圆心为。,。为BC的中点,

贝ljA£i=，（4//+AC）；

2

设M，N分别为/W,AC的中点，连接OM,ON,则。W_LA及ON_LAC,

、而冠」（而+死）•冠」（而而+ACAO）

=g（|福||加卜osNBAO+l叼|朝COS/C4O）

《网网+|明网卜

结合A8=2,AC=6,可知|再|=1,|砌=3,

故;（A@AM]+[恁1kM）=；（2xl+6x3）=10,

即砂布=10，

故选：B

8.等腰梯形A8CO中，A8平行于CO,AB=2,CD=\,^DAB=-。为腰A。所在线段上任意一点，则

4

京.丽的最小值是（）

3

A.73B.1C.-D.V2

2

【答案】C

【详解】

DC

ADCBx

如图，作。。垂直于AB于点以，作CC垂直于48于点C,

又AB=2,CD=\,ZDAB=-,

4

113

贝IJA。'J,DD'=-,AC=~,C(

222~2,

以点A为坐标原点，人8所在直线为J，轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0),8(2,0),弟，「D11、

三，5，乂。为腰A。所在直线上任意一点,

乙)\

则设1户=44方=(!九；2}[0,1],则点.的坐标为（鼻9）,

1z乙）

_____(311]\(11\1

所以无•丽=--―4——4•2――4――2=一分一22+3,

(2222八22)2LJ

又关于冗的二次函数g万-22+3的对称轴为4=2,

则y=g万-2%+3在2目0,1]上单调递减，

所以当2=1,即点。和点。重合时，定•丽取得最小值

3

故无•丽的最小值是

故选:C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知非零向量值出满足同=忖=|万-5],则下列两个向量的夹角为方的是()

A.d和6B.a和4—方

C.5和。一5D.a和4+B

【答案】AB

【详解】如佟I,在菱形A8CO中，且NA8C=60。，则三角形力BC为等边三角形，

记丽=瓦而=5,则吊="5,BD=a+b,且能保证同=|4=|万叫成立,

易得〃和b及。和。一力的夹角为?，/；和口-〃的夹角为一，〃和〃+〃的夹角为

J30

故选:AB.

1().在VABC所在的平面内有两点P,Q,满足用+2定=0,。,=3。巨，且/＞。与。^交于点闻，而.X^=8,

则下列说法正确的是()

A.~PB//CQB.AQAP=S

___1一2―.

C.酬@<0D.CM=-CA+-CQ

55

【答案】ABD

【详解】由9+2。3=。，及7=308,得如图所示:

由愠=•!，£]=1，则而毋=涉彳*=痴通8,故B项正确;

由参与丽是同向共线的,故@4・。月>0,故c项错误;

二|5=|（。注+44）

=-CA+-x^AQ=-CA+-{CQ-CA）=-CA+^CQ,故D项正确.

5535555

故选：ABD

11.定义平面向量的一种运算“㊉”如下:对任意的两个向量力=（小）»石=（毛，％），令

、，下面说法一定正确的是（）

。④〃=（.±），2-七y，%与+x>2）

A.对任意的4eR,有/二/_r\

B.存在唯一确定的向晟0使得对于任意向量4,都有万㊉'=,㊉万=万成立

C.若日与/；垂直，则/.小亦小_与小.、共线

仅㊉力悭dd㊉（5㊉q

D.若々与〃共线，则（不㊉万帆与响5则的模相等

【答案】AD

【详解】对于A,对任意的，e"（制电.=（人孙）创孙％）=（石力-/网AS+M%）

“\，/小力，故A正确;

=%（内外一々凹，西々+y）’2）=4卜㊉〃）

对于B,假设存在唯一确定的向量2=（七,为）使得对于任意向量口，都有M㊉0=7㊉万二万成立,

即（方为一%x，用/+x%）=（不）「％%，与%+y>b）=（%，）】）恒成立，

即方程组『为一"'=飞凹f。"对任意…恒成立，

而此方程组无解，故B不正确.

对于C,设T=（玉,为），若。与5垂直，则办工2+）］）'2=0，

"，㊉B）㊉0=（不%一看凹，°）®（项，）'3）=（%%%一%2）'阴，％工3）’2一士工3乂）

不④（5④W=（西，X）①（巧）’3-七必，电小+XX）'

=（外玉毛+不%为一％,为+七，）‘2，工/2）'3一%七%+为玉y+x%%）

=（8％）’3一9%为，一八玉）'2+七七）'|）；

此时不存在实数M"。）使得斛肝—（5时故c不正确

对干D,若a与方共线,则2T2y=°，

"R㊉B）㊉（T-（O,A-,A-2十乂%）到小，力）一（f丙』一事X乃，玉2%十%，2力）

日〶伍㊉*）=（%，y）㊉（g力一事必+y2y3）

=（』占七+内）’2）‘3+Wy）‘2，X/2）'3-芭七月+&X3y+,必%）

=（百9王+七,），2，工/2）'3+y%%）；

所以R㊉叱与4♦伍6，）的模相等，故D正确.

故选:AD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量万=（2x+l,3x）,1=（2,2x）,若万〃，，且同明,则（万+办（万-4）=.

【答案】-3

【详解】因为向后，所以（2x+l）2r-3x-2=。，即4x（xT）=0,解得x=0或x=l.

当工=0时，"=（1,0）,勺=（2,0）,此时恸=1,|矶=2,满足烟＜|同；

当”=1时，p=（3,3）,彳=（22）,此时恸=3及,同=2夜，不满足|用〈用，舍去;

因此x=0,P=（k0）,*=（2,0）,

所以（"+互）.（2-"）=浦-国2=1-4=-3.

故答案为：-3.

13.在VABC中，过重心G的直线交边人8于点P,交边AC于点Q（P、Q为不同两点），且

AP=AAB.AQ=pAC,则：+〃的最小值为.

4

【答案】y

【详解】如图所示，设3。边上的中点为。，因为G是VA3c的重心，可得=

unn2uno?1皿加mmiiimiHim

根据向量的线性运算法则，可得人G=；/W=tx：（AB+AC）=[lB+2AC,

JJ4JJ

又因为P,G,Q三点共线，可得同=〃?p。，即后AP-fn（AQ硒,

可得AG=mAQ+(\-m)AP,

因为无户=义入反.d=可得§而+：/=加〃蔗+（1—〃?）：即,

1

111

所以I，整理得义+〃=3/1〃，即彳+—=3,其中GW4,〃W1,

(〜叫2"2

则几+〃=1・(，+工)(/1+〃)=，・(2+幺+人)21(2+2

3“2’32〃3产2〃3

u2

当且仅当勺=一时,即a=〃、2时，等号成立，所以4+〃的最小值为不4

故答案为：!4

14.已知点4,B,C不重合，且I为|=|丽1=宓1=1,（。印一。心・（。月一农^二。，若平面内一点P满足|。户|=4,

则|尸/+尸6+尸6;|的取值范围是.

【答案】口1，13]

【详解】由1的=1函=|"1=1,得洋解。三点在以。为圆心，1为半径的圆上,

由。4一加）（0后一加5=0,得函.加=0，即84_L8C,则线段AC是圆。的直径，04+0（7=0,

因此|中+而+定|=|方一丽+丽—丽+乐一丽|=|OB-3OP\

=\OB2-6OBOP+9OP2=y]\45-24^08,0?）»而OK〈丽丽〉工兀，

即一1Kcos〈O反。户〉<1,则11工J145-24CQS〈函函<13，

所以|西+而+所归[11,13].

故答案为：UL13]

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、注明过程或演算步聚。

15.(17分)£=(2,0),/?=(1,2),3=(-3,2)

⑴若恒+皿不，求日值;

⑵若A月=25+35,阮=£+/且A、B、C三点一线.，求〃的值；

(3)若W+,)_L",求f的值.

【答案】(1)一2

(2)1

【分析】

【详解】(1)因为4二(2,0),5=(1,2),所以历+石=(22+1,2),

又3=(—3,2),且(依+万)/左，所以(2Z+l)x2=(—3)x2,解得七=一2；

(2)因为己=(2,0),5=(1,2),所以荏=%+35=(7,6),BC=a+nb=(2+n,2n),

又A、B、C三点共线，所以丽//阮，所以(2+〃)x6=7x2〃，解得八号；

(3)因为G=(2,0),5=(1,2),所以而+B=(2f+1,2),

又”(—3,2),且(而+万)1口所以(2/+l)x(—3)+2x2=0,解得/=%

16.(17分)如图，在V49C中，AB=2AD.AE=2ECf设*=5,

(1)试用ajj表示向量从户；

(2)设线段3c靠近C的三等分点为M,试证明三点共线;

(3)设AB=2,AC=XZBAC=60。，求NEFC的余弦值.

【答案】(1)入户=(〃+3/；

(2)证明见解析

⑶迈

7

【分^5】

【详解】(1)因为及F，E三点共线,

____9_

所以入户=/1八8+(l-/l)A巨=2人8+(1—2)一HC,

3

同理，因为。，EC三点共线，

所以A户=〃4万+(1—〃)力6=幺48+(1—〃)43,

2

所以2解得：

-(1-2)=1-//,〃=刁.

一］一|11.

所以4户=上人4+±4。=!力+!〃.

4242

(2)由题意得配=3碇，所以正一通二3(沅-汨)，所以4A/=；AA+:4c=+

JJJJ

___4__

所以AM=1A产，所以AEM三点共线.

___2一一_1

(3)由题意得B巨=84+4巨=-△+—反Z)C=D4+AC=—-a+b,

32

BE-DC=\-d+—b\-\--a+b\=-d2--a-b+—b2=4,

I3JI2)233

-a+-b=.la2--ab+—b2=2,

3V39

耳卜j+万=出_无5+于

由图可知NEFC为向量展与配的夹角,

一，BEDC4277

所以‘SC"哂寸〒

所以NEFC的余弦值为法.

7

17.(17分)在VA4c中，点0满足定=2而，直线/过点夕与边A从AC所在直线分别交于点E,F.

+；的最小值.

(2)g7C=/AF(/>0),而=〃版(m>0),求

2〃

【答案】⑴：3

4

(2)1

【分析】

【详解】(1)因为»乙=28户，所以

AP=AB+BP=AB^BC=AB+^BA+AC]=^AB^AC®

因为E,P,/三点共线，所以设加=〃亦，则从户-监二方二,?而二〃而匚/?检,

即/=〃行+(1刊通②

(1)因为A/=§AC,即AC、AF

设m=〃］痔代入①则有4户=?荏+；A尸,因为£,P,/三点共线,

R乙

-,,2m1,“加3,AB3

所ri以丁+：7=1，解得，"=：，所以T7=：.

324AE4

(2)由题/=/1椿而="宿代人①可知，AP=^AE^AFt

JJ

由②得：所以(+与=1，即4+2〃=3,

当且仅当义+1=2〃=2,即2=1,〃=1时取等号，

所以J~7+；的最小值为1.

X+12〃

18.(17分)如图，在VA8c中，ZA»C=90°,ABSBC=2,AM=xAB(Q<x<1),AN=>AC(()<y<1),

设CM与BN交于点、P,且6=2而

⑴求22一3)，的值;

小T同sin。

（2）定义平面非零向量之间的一种运算“㊉”：不㊉卞「（其中。是两非零向量彳和6的夹角）.

（i）若M为AB的中点，求尸后㊉户二的值：

（ii）若而㊉前=3，求'+）1的值.

2

【答案】⑴-1

⑵（i）地（ii）U

720

【分析】

【详解】（1）因为齐=2而，AM=xAB,AN=yAC,

所以A户=4而+M/5=AM+-MC=AM^-（AC-AM'\

33、）

=-l\C+-AM=—AN+—AB,

333y3

又B,P,N三点、共线,

所以；+?=1，即2孙-3y=T.

3y3

（2）（i）因为M为A8的中点，所以x=g,

由（1）知，2xy-3y=-\,则），=；,即。为V/WC的重心.

律立如图所示的平面直角坐标系，则8（0,0）。2.0）,凡0,2司,

所以而半］定=r，-平

4

PBPC_9⑼叱吟等

所以cosZBPC=

|P5||PC|-42yli-14

3,丁

所以血©g胃"。C寸骞考.

3

（ii）建立与（i）相同的平面直角坐标系，

则8（0,0）,C（2,0）,A（0,2x/J）,

所以恁=（2,-2@,丽二（0,-2@,交=（2,0）,

所以加=无而=（0.-2瓜），

1_o_(0)h'

所以前=3，—一^(1+2”,

33

则存.配=*|觉|=2,

_____APAPBC2

所以"+8C===1-M-(AP-BC)

BC

2，

即|A42=整，所以:+噂(1+2%)'=郎，即1=；或］=一；,

11999944

因为0<x<l,所以x=J,又因为2冲—3y=-1,

4

213

所以y=W，则x+y=六.

19.（17分）如图，已知矩形A6c。中，A4=8,8c=4X/5,历、N分别是边A/）、4c上的一动点（不含

端点），。为