空间向量与距离、探究性问题-高考二轮数学专项复习

微专题3空间向量与距离、探究性问题

［考情分析］1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中

等难度2以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一

般以解答题的形式考杳，难度中等偏上.

考点一空间距离

1.点到直线的距离

直线；的单位方向向量为明4是直线/上的任一点，〃为直线/外一点，设而=%则点P到直线/的距离

2

D=JQ2-(a-u).

2.点到平面的距离

平面a的法向量为〃，4是平面a内任一点，P为平面矽卜一点，则点尸到平面a的距离为需.

考向I点到直线的距离

例1(2024•来宾模拟)楼长为3的正方体力8C0-48O中，点£/满足万"=2前，格2两，则点

E到直线/G的距离为()

.3>/35

A—B等

「36

cvD苧

答案A

解析如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得E(0,0,1),F(3,3,2),G(0,3,3),

而=(3,3,1),元7=(-3,0,1),则点f到直线9的距离d=I而2_(乔磊//等

考向2点(线)到平面的距离

例2(1)如图，长方体力8CQ-小SGG的顶点力在平面a内，其余顶点均在平面a的同侧，AB=3,

AD=4,力小=5,若顶点8到平面〃的距离为2,顶点。到平面。的距离为2,则顶点4到平面a的距离

为.

G

换

答案蜉

O

解析以4为原点，AB.AD,44所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0),8(3,0,0),D(0,4,0),4。0,5),

所以屈=(3,0,0),AD=(0,4,0),

京=10,0,5),

设平面。的法向量为〃=(x,y,z),

1*=|3x|=

|n|"-'

由题意可得

I而闾_14yl=2

,向一谆尸说一'

lyl

解得

⑶=手1讣

|5z|5VIT

所以顶点4到平面。的距离为I4/1厂兀1

|n|y/x2+y2+z26

(2)(多选)已知正方体ABCO-N,G。的棱长为1,点E,。分别是力由I,XiG的中点，?在正方体内部

且满足而三而£而《标，则下列说法正确的是()

*■wO

A.点.4到直线AE的距离是当

B.点0到平面ABCD的距离为4

C.平面480与平面囱CA间的距离为当

D.点。到直线4?的距离为德

答案BC

解析如图，建立空间直角坐标系，则40,0,0),8(1,0,0),D(0,0),4(0,0,1),

C1(1,1,1),D1(O,1,1),E6，o,1),oQ,i,1),C(l,1,0),

所以砺=(-l,0,0),SE=(-1,0.1).

对于A,

方;£—设N/BE=。,则cos党党溪「?，sin0=y11-cos20=^.

故点A到直线旌的距离力=|瓦^sin-x等W.

方法二点力到直线8E的距离

1■»■

BABE2

I附，

=FW

故A错误；

Ci0=|c遇o),

平面,48G0的一个法向量两=(0,-1,1),

则点。到平面4BCD的距离比」溜%q,故B正确;

AiB=(l,0,-1),A1D=(0,1,・1),AiD^O,1,0).

设平面48。的法向量为〃=(x,y,z),

n-AB=0,-(x-z=0,

则n布l=0所K(以rity-2=0,

令z=l,得x=l,尸1,所以〃=(1,1,1).

所以点。到平面48。的距离9-％

|n|733

0,・1尸41丛所以。C〃力山,

又因为。1。2平面小8。，小8u平面48。,

所以DC〃平面力山。，同理SC〃平面48。，

=

D\CC\B\CCtD\C,〃i(?u平面3]CQi,

所以平面＜山。〃平面BCDi,

所以平面4BD与平面间的阻离等于点U到平面48。的距离,

所以平面48。与平面间的距离为?，故C正确;

因为"3说《荷3痂，

所际G，j.1),

又方=(1,0,0),贝喘二，

所以点尸到直线力8的距离

T时-镭信安故D错误.

考向3异面直线间的距离

例3在四棱锥248。中，底面力8CQ是边长为3的正方形，P力上底面力BCD,24=6,点G在侧棱

尸“上，旦满足2QG=G4,则异面直线PC和OG的距离为()

.37n3-715

AB.

—15

「3何3yf77

C-D.

,77

答案A

解析如图，以点力为原点，AB.AD,而的方向分别作为x,必z轴正方向，建立空间直角坐标系,

则5(3,0,0),。(3,3,0),。(0,3,0),P(0,0,6),G(l,0,4).

所以诟=(1,-3,4),PC=(3,3,-6),DC=(3,0,0),

设〃=(x,外z)为直线PC和。G的公垂线的方向向量，则有

n^DG=x—3y4-4z=0,

ji•同=3x+3y—6z=0,

可取〃=(1,3,2),所以异面直线PC和DG的距离为喀L

［规律方法］(1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积

法.

(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距

离.

跟踪演练1(多选)(2024•扬州模拟)如图，在棱长为2的正方体48。。-由於。。|中，点P是线段4D

上的一点，点£是线段CG上的一点，则下列说法正确的是()

A.存在点E,使得4E_L平面

B.当点E为线段CCi的中点时，点小到平面AED\的距离为2

C.点E到直线BDy的距离的最小值为日

D.当点石为线段CG的中点时，存在点P,使得平面P8。与平面E80的夹角为3

答案ABD

解析对于A选项，以。4DC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则根据题意可得。(0,0,0),Z)i(0,0,2),4(2,0,2),BQ2,2),A[2,0,0),

设£(0,2,a)(0〈aW2),

所以西=(-2,0,2),福工(0,2,2),砧=(-2,2,小2),

假设存在点E,使得力iE_L平面力

贝!]福•砧=4+2(Q-2)=0,函1=4+2伍-2尸0,

解得＜7=0,

所以存在点E,使得4EI平面力小。।，此时点E与点C重合，故A正确；

对于B选项，当点E为线段CG的中点时，E(0,2,1),AE=(-2,2,1),砧=(-2,0,2),

设平面力石。的法向量为m=(x,乂z),

则(砧m=-2x+2z=0,

(AE-m=-2x+2y+z=0,

取x=2,则〃尸(2,1,2),

福WO,2,2),故点S到平面力£。的距离为嘴且彗=2,故B正确；

对于C选项，8(2,2,0),£-(0,2,X(0«),BE=(-2,0,a),西=(-2,-2,2),

点石到直线39的距离为,2_(^)2斗+q2_(兼)2由(时1)2+3,

故当,7=1,即点E为CG中点时，点E到直线8。1的距离取到最小值为故C错误;

对于D选项，点E为线段CG的中点时，E(0,2,1),DE=(O,2,1),DB=(2,2,0),

设平面”。的法向量为a=g,y,zi),

则［弓以=2yl+Zi=°，

loB.a=2巧+2yl=0,

取xi=l,贝！I〃=(1,-1,2),

设P(x,0,2・x)(0WxW2),

DP=(x,0,2-x),丽=(2,2,0),

设平面尸8力的法向量为力=(X2,如Z2),

xx

则性b=2+(2—x)z2=0，

取X2=2-X,则b=(2-x,x-2,-x),

若存在点P,使得平面PBD与平面EBD的夹角为T,

4

则\_\ab\

|cos<a,b>1lall^l

_|2xxi22x|_V2

V6-V2(2-X)2+X22z

化简得7f&-8=0,解得产久等或空，由于0«2,所以尸竽，故存在点尸使得平面相。与平面

E3。的夹角为，故D正确.

考点二空间中的探究性问题

与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的

夹角满足特定要求时的存在性问题.处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设

出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.

例4(2024•聊城模拟)如图，在正三棱柱力8C-451G中，AA『2AB=2,点。，E,产分别是棱力C,

CC1,C山I的中点，点尸满足而=浓十〃京,其中4£[0,1],蚱[0,1].

(1)当入=〃=1时,求证：DP〃平面小E6

(2)当41时，是否存在点尸使得平面4CP与平面4E厂的夹角的余弦值是?？若存在，指出点P的位

置：若不存在，请说明理由.

⑴证明当归弓时，宿斗丽卓而；故点尸是苗的中点，

如图，连接。叫，DP,因为点。是4C的中点，。是彳乱的中点，所以。尸〃C5,

因为点瓦厂分别是CG,G囱的中点，所以勿WC3,所以。尸〃£尸，

因为DPS平面Ebu平面4IEE,所以。P〃平面力|石厂.

⑵解存在，点夕为函的靠近点A的四等分点.当2=1时，而=而+"而,

即眄函，;/e[0,1],

所以点P在棱8囱上，

取小C的中点D,连接皿,DB,则g〃CG，

在正三棱柱彳8。481G中，QOi_L平面48C,△/18C是正三角形，所以。8_1_4。，

以。为坐标原点，DA.DB,。。邛斤在直线分别为x,%z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

则

G0,0),B(0,1,0),40，o,2)f51(O,y,2),Ci(-1,0,2),E(-p0,1),P(0,

T124)，C(-10,0),

从而用-"*2),审=(-*,y*°)/

A\E={-1,0»—1),4P=(-；,-y»2〃)，

AC=(-\.0,0),

设平面4E厂的法向量是〃尸8,九zi),

由pn•枣=0,

1mAi7=0,

-x1-z1=0,

即3y/3_

-；X1+7月=n°，

令xi=l,得/w=(l,V3,-1).

设平面4cp的法向量是"=(》2,yi,Z2),

[京=0面广2=0,

由—►BPj1,y/3,

[ri'AP=0,(~jx2+方及+n2az2=n0,

令Z2=g,得〃=(0,-4/z,V3).

所以1cos<m,n>.

_|-4\/3/4-V3|

U1+3+1XJ16〃2+3

4^M+V3_V15

得(4〃+l)2=16/耳3,

A/5XV16^2+35

解得所以存在点P使得平面力“与平面4E尸的夹角的余弦值是当，此时点尸为88的靠近点8的

四等分点.

［规律方法］解决立体几何中探索性问题的基本方法

(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据

或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立.

(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用.

跟踪演练2(2024•黔西南州模拟)如图所示为直四棱柱AB=AD=2五,CB=CD=4,

JJi=4,N8CD=60。，忆同分别是线段8C,8C的中点.

(1)证明：8C_L平面MZO；

(2)求8c与平面8。小所成角的正弦值，并判断线段8。上是否存在点尸，使得尸田〃平面4。小？若存

在，求出8P的长；若不存在，请说明理由.

⑴证明由N8c0=60。，CB=CD,知△8C。为正三角形，

又M为8c的中点，则。8c

又必为8Q的中点，则A/Mi〃CG,

而CG_L8C,所以MM_L8C,

又。MnMMi=A/,DM,MMu平面MM1。，

所以8c，平面MMyD.

⑵解由(1)知△8。。为正三角形，贝！J8/A4,

在中，AB=AD=2y[2,

BD2=AB2+AD2,所以4

易知,44_L/A,AA\LAD,建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,0),8(2立，0,0),C(V6+V2,瓜+叵,0),D(0,2遮，0),J,(0,0,4),B\”,0z4),

所以近=(遥-夜，V6+V2,0),

西=[-2&,0,4),BD=(-2y/2,2a0),

西=(0,0,4),

设平面804的法向量为〃=(x,y,z),

.fn-FD=-2y/2x+2在y=0,

Wmlj,___

(mBAi=-2V2x+4z=0,

令kVZ,得尸应，z=\,故〃=(&,V2,1),

设8c与平面8ZM所成的角为仇

则sin俎cos(BC,ri)|_|5Cn|

网mi4百5

即8c与平面8。小所成角的正弦值为十.

假设在线段8c上存在点P,使得P3〃平面反M,

令丽=/前（0W2W1）,

贝!］丽=（倔-岳，V62+V2zz0）,

所以西=西-乔=（低-乃晨S.-W,4）,

由尸81〃平面%）小，得PA；，”，

所以西M=2A-2V3A-22-2V3A+4=0r

解得方当

此时丽=（专区等£0）,

所以明=j（等了+（*MY粤,即在的长为?

专题强化练

（分值：60分）

IK素养提升

1.（13分）如图，已知正三棱柱48c-4SG的侧棱长和底面边长均为2,M是8。的中点，N是4囱的中点,

尸是叫G的中点.

A.

⑴证明:MN〃平面4C尸；（7分）

（2）求点P到直线MN的距离.（6分）

（1）证明由题意知，力力」平面4BC,NBAC=6Q0,而,48u平面48c

所以,44J_/8,在平面相。内过点力作j轴，使得"_L歹轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,0),8(2,0,0),C(l,V3,0),4(0,0,2),BQ0,2),

得"(I，T»°)>Ml,0,D,尸(I，f，2),

所以中=(1,®-2),中=(|,苧，0),

而=(一g，-当，1),

设平面4c尸的法向量为〃=(x,y,z),

n/]C=x+V3y-2z=0,

则■34冉

(ri'A^=-x+—y=n0,

令x=l,得产・V3,z=-\,

所以"=(1，・圾/)，

所以丽〃=*1+(-亨)x(-V5)+lx(-l尸0,又MN不在平面4c尸内，即MN〃平面小CP.

⑵解连接PK由⑴得丽=(0,0,-2),

则丽丽=・2,|而?|=四，|丽|=2,

所以点P到直线的距离为

2.（15分）（2024•，黔东南州模拟）如图，在多面体48CQM中，四边形力8c。为菱形，DE工平面4BCD,DE

//BF.AD=DE=2,BF=1,ZBAD=6Q°.

（1）证明：平面E4C_L平面8DEE：（6分）

（2）试问线段CO上是否存在一点P,使得平面力Eb与平面出了夹角的余弦值为苧？若存在，请判断点尸的

位置；若不存在，请说明理由.（9分）

⑴证明因为四边形月8。。为菱形，所以4C_L8D

因为。石，平面48。0,4Cu平面48。。，所以。

又因为。En8O=£>,且DE,BDu平面BQEF,所以力C_L平面8OEE

因为，4Cu平面E4C,所以平面力1CJ_平面8D£K

⑵解设438。=。，以0为坐标原点，0A,砺的方向分别为x,y轴的正方向建立如图所示的空间直角

坐标系，则

A(何0,0),仅0,0),C(-V3f0,0),。(0,-1,0),E(0,,2),F(0,1,1).

设而与反="一百，1,0),A£[0,1],

则产(•百2,z-1,0).

设平面4EE的法向量为〃i=(x,y,z),

因为屉=(一百，一1，2),前=(0,2,-1),

^4Em=~\/3x-y+2z=0,

所以

EF-m=2y-z=0,

令尸L则府=(V5,1,2).

设平面4PP的法向量为〃=(笛，y\<zi),

因为丽=(0,0,1),5P=(-V3z,A-2,0),

BF-n=Z[=0,

所以

,fiP-n=-\lSAxi+(A-2)yi=0,

令xi=A-2,贝！J"=(4—2,V3A,0).

假设存在点P,使得平面4M与平面BFP夹角的余弦值为9,

M|cos(m,n)产也V，

112V2V(A-2)2+3A24

解得耳或A=2(舍去)，

所以存在点尸满足题意，旦夕为。。的中点.

3.(15分)如图，在四棱锥PdBC。中，E4_L平面片8。，AB//CD,且CZ>2,AB=\,BC=20P4=l,AB

IBC,E,b分别为PD,4c的中点.

(1)求证：小〃平面48；(6分)

（2）在平面外C内是否存在点“，满足而泣=0?若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点〃的轨

迹图形形状.（9分）

⑴证明如图，

过点E作EG_L/。交力。于点G,连接EG,GF,

因为P4_L平面/8CQ,4力u平面/4CO,贝

又EGu平面尸力。，P/fu平面P4Q,且EG,尸力不共线，WEG//PA.

因为E为尸。的中点，所以G也为4。的中点，又尸为8c的中点，所以G/〃力8,

而£G2平面P44,PR平面20所以EG〃平面P",同理G/7〃平面P力伉

又因为EGCIGQG,EG,GFEGF,

所以平面EGF〃平面尸"，而EFu平面EG/7,

所以所〃平面/M8.

⑵解如图，以点力为坐标原点建立空间直角坐标系，

又0)=2,AB=\,BC=2\[2,PA=\,

则P(0,0,1),8(0,1,0),C(2/,1,0),D(2y/2,-1,0),

故而=(0,1,-1),PC=(2y/2.1,-1),

设平面P8C的法向量〃=(x,y,z),

则有卜”=y-z=0,

（n-PC=2\[2x+y-z=0,

取尸I,得x=0,z=l,即〃=（0,1,1）,

又4）的中点G（鱼，0）z

则宿（VL-|，o）,

则AD的中点到平面PBC的距离为号L3f,

\n\vl+1vZ4

由丽德=0,即故〃在以％。的中点为球心，半径为，。=|的球面上,

而斗＜|,故“在平面尸8c上的轨迹是半径为断邛百考的圆，

故存在符合题意的〃，此时〃轨迹是半径为乎的圆.

ID思维创新

4.(17分)［向量的叉乘］两个向量a和6的叉乘写作户"叉乘运算结果是一个向量，其模为|〃＞力|=|〃物sin〈小

b),方向与这两个向量所在平面垂直.若o=(xi,y\,zi),6=(x2,yijZ2),则妙方力田-、必，-(xiZ2-X2Zi),

知2.卬1).如图，已知在四棱锥A4BCO中